伽罗瓦群与高次方程的代数解

1 伽罗瓦群与高次方程的代数解 李阳 01068 摘要 1831年 年轻的数学家伽罗瓦倒在一场决斗之中 而这位数学界的凡高 生前遭遇了种种的不平和 不公 他的超越那个时代的数学思想直到其死后方得到人们的认可 在伽罗瓦理论中 一个最为重要的结 论便是论证高次方程 高于四次 不可解问题 本文即将以一种简约的方式向大家介绍这个重要结论的求 证过程 关键词 伽罗瓦 伽罗瓦理论 扩域 高次方程不可解 根号求解 I. 问题的提出 初等数学里 我们接触到了一次和二次方程 这些方程都可以通过一般的方法得以解决 当方程的 次数超过二次的时候 数学家们便皱起了眉头来 直到15世纪末 人们还认为三次方程与化圆为方 一样难以解决 但是不久 意大利的数学家们便成功地获得了三次方程 和四次方程的解决 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 指寻找 到代数解 然而欣喜过望的人们 却又被迎面而来的五次方程和更高次的方程挡住了去路 其后的三百年间 大数学家欧拉 拉格朗日等人的努力相继以失败告终 终于 在 1824年 著名的 挪威数学家阿贝尔不严谨地证明这个结论 一般的五次方程或更高次代数方程的根 不能通过方程的系数 用根式来表示 而最终的明确论断 却是由天才的年轻数学家伽罗瓦在其遗嘱中提出的 其人随后死于决 斗 年仅21岁 数学史上的一大悲剧 数学的发展史上真是多灾多难 让我们来回顾一下这笔宝贵的数学遗产 伽罗瓦解决这个问题的基础理论是他发现的关于群和域的概念 1) 问题的描述 高次方程 高于四次 是否有代数解 即根是否可以用其系数和根号来表示 2) 伽罗瓦断定 高次方程 高于四次 的一般方程不可能用根号求解 好 让我们一起来探讨整个求证的过程 II. 引导概念 可解群 称群G是可解群 如果存在某个正规群列 G=G0 G1 Gr=1 它的每个因子群 即商群 Gi/Gi+1i=0,1, r-1 都是交换群 例 如S3 A3 1中 S3/A3 和A3/1都是交换群 故S3是可解群 又S4 A4 K4 1中 S4/A4 和A4/K4 K4/1都是交换群 故S4是可解群 然而进一步的证明却让人张口结舌 因为可以证明有结论 n 5时 Sn和 An都不是可解群 证明略 大家将会看到 这将是导致高次 高于四次 方程不可解的根本原因 详情参阅 数学珍宝 历史文献精选 卡尔达诺 大术 李文林 主编 1998年 科学出版社 详情参阅 数学史上的里程碑 一个离奇的故事 [美]H 伊夫斯 著 1990年 北京科学技术出版社 参考任何一本关于群和域的专著都可以 在 2 扩域 一般地 如果F和E是两个域 如果F E 则称E是F的扩域 F是E的子域 显然Q是最小的 域 是任一域的子域 显然Q 是Q的扩域 一个方程的求根总是在某个域中进行的 尽管它在某个域中无根 但可能在某个扩域中有根 定理 设E F K是三个域 如果[K : F]< 则[K : E]< [E : F]< 且有次数等式 [K : F]= [K : E] [E : F] 证明见上个片子 分裂域 设f(x)是系数属于域F的多项式 F的包含 f(x)所有根的最小扩域E称为f(x)在F上的分裂域 分裂 的含义就是指f(x)能在这个域中分解成一次因子的乘积 分裂域 又称 根域 正规扩域 设K是F的有限扩域 如果K满足 F[x]中的任一n次不可约多项式 或者在K中无根 或 者n个根都在K中 则称K是F的正规扩域 域F的任一有限正规扩域K称为F的伽罗瓦扩域 自同构群 域E到E自身的同构满射称为 E的自同构 因为群的自同构把单位元变为单位元 所以域的 自同构必把 E + 的单位元0变为0 E 的单位元1变为1 因而保持整数不变 保持一切有理数 不变 则任一域E的任一自同构6限制在有理数域Q上必是恒等变换 即6|Q=1Q 可以证明 域E的自同 构全体关于变换的乘法成群 证明略 称为E的自同构群 记为Aut E 伽罗华群 对于特殊的自同构集合Gal E/F={б|б Aut Eaб=a, 任取a F}其中每一个б都不变F 中的任意数 即6|F=1F 可以证明 Gal E/F是Aut E的子群 称为扩域E/F的伽罗瓦群 设F是任一域 f(x) F[x] f(x)在F上的分裂域是E 则把Gal E/F定义为f(x)在F上的伽罗瓦群 记为Gf Gf的重要性质 任一6 Gf=Gal E/F必把f(x)的根变为根 III. 伽罗华基本定理 我们把Inv G={a|aE,a=a,任取 F}称为G的不变子域 设S1={H|H是G的子群} S2={K|K是E的包 含F的子域} 伽罗瓦基本定理 设E/F是伽罗瓦扩域 G=Gal E/F则有如下结论 1 H¾®¾s Inv H是S1到S2的双射 K¾®¾t Gal E/K是S2到S1的双射 2 S1和S2之间存在如下伽罗瓦对应 H1H2 <=> Inv H1Inv H2 |H|=[E:Inv H], [G:H]=[Inv H:F] H是G的正规子群 <=> Inv H 是F的正规扩域 此时Inv H/F必是伽罗瓦扩域 且有 Gal(Inv H/F)同构于G/H 称s F Gal E/F和 G Inv G为两个伽罗瓦映射 以上内容可以用 伽罗瓦对应图 表示如下 3 证明略 记号说明 把E是F的扩域简记为E/F 把自同构群F记为Aut F 把多项式f(x)的次数记为deg f(x) 把E/F的伽罗瓦群记为Gal E/F 把G的不变子域记为Inv G IV. 求解过程 看了那么多的概念 是不是有些头晕啊 那么 让我们来讨论伽罗瓦的求解过程吧 第一步 迷茫中的尝试与探索 考虑一个简单的方程f(x)=x2-2=0显然可以用根号来求解,X1= + x2= - 在Q上添加一个2 得到Q 即包含了方程的两个根 普遍来讲 对F=Qa,b,c上的二次方程f(x)=ax2+bx+c=0a不 为0 则扩域F( )包含了方程的所有根 这样就得到了了一个两层 根塔 由依次对前一域中 的某数添加根号组建的塔 Q Q( ) 根塔1 同样 对于三次方程了四次方程 我们可以通过添加根式扩大F来找到某个适当大的扩域 将f(x)的根全 部包含在内 得到其通解的相应的 根塔 分别为三层和四层 有部分方程根塔由于相邻的两层相等重合 层数稍减 如 f(x)= x3-2=0的解为:x1= x2= x3= 其对应的根塔 为 Q Q( ) Q( , ) 根塔2 对于特殊的5次根式 如f(x)= x5-2=0显然它是有解的 由此建立的对应根塔为 Q Q( ) Q( ) Q( ) 根塔3 由此我们可以猜想 一个方程是否可以用根号求解可以利用其根塔的存在与否来判定 事实的确如此 参照 古典数学难题与伽罗瓦理论 徐诚浩 著 1986年 复旦大学出版社 4 第二步 换个角度欣赏你的神秘 让我们从另一个角度探讨方程的 根号求解 问题 让我们重新定义 根号求解 定义 设f(x)是某一首项系数为1的多项式 系数属于某域F 称f(x)=0在F上可用根号求解 如果存 在F的某个扩域K 满足以下条件 1 K包含了f(x)在F上的分裂域E 即F E K 2 扩域K/F有如下根塔 F=F1 F2 Fr Fr+1 = K 根塔4 其中每个Fi+1=Fi(di) (di)ni=ai Fii=1,2,r 对应的自然数集{n1,n2,,nr}称为此根塔的 根次数集(如根塔2 3中的根次数集分别为{23}{25}) 因为每个Fi+1是把Fi[x]中的某一个ni次方程xni-a=0的一个根 di= 添加到Fi上而得的单代数扩域 所以Fi+1中的每一个数都可表示为di的多项式 系数属于Fi,即Fi+1中每个数都可由Fi中的数经过有限 次的加减乘除和开ni次方得出 因为f(x)=0的所有根都在分裂域E中 因而也在K中 所以f(x)=0的 每一个根都可利用f(x)的系数 经过有限次的加减乘除和开根号运算表示 这就是通常的可用根号求解的 含义 随后 我们将引入代数方程可用根号求解的判定规则 它所依据的标准 便是我们的这个定义 第三步 搬来两块大石头垫脚 在这里 我们引入两个十分重要的已证明的结论 定理 1 设n是某个确定的自然数 域F含有n次本原根 1 任取a F,a不为0 如果E是f(x)=xn-a在F上的分裂域 则Gal E/F必是m阶循环群 m|n 2 如果E是域F的这样一个伽罗瓦扩域 使得Gal E/F是n阶循环群 则必存在d E 使dr=a F 且E=F(d) 证明略 这个定理说明了这样一个事实 对确定的自然数n来说 只要基域F含有n次本原根 则F的根次数是n 的根号扩域 即f(x)=xn-a F[x]在F上的分裂域 的伽罗瓦群必是m阶循环群 m是n的某个因子 反之 伽罗瓦群为n阶循环群的伽罗瓦扩域必是根次数是n的根号扩域 定理 2 设F是任一域 f(x)= xn-1在F上的分裂域为E 则Gal E/F必是交换群 证明略 以上两个定理在判定规则证明中起了重要的作用 我们即将看到 5 第四步 本年度世界杯 Game Over 现在我们已经有能力证明一个强有力的判定规则 设 F为域 F[x]中多项式 f(x)在 F上的伽罗瓦群为 Gf 则 f(x)=0可用根号求解 <=> Gf是可解群 证明 一 必要性 假设f(x)可用根号求解 根据我们的定义知存在F的某个扩域K 满足定义中的两个性质 我们可以假定 根塔4中的K是伽罗瓦扩域 如果K不是F的伽罗瓦扩域 但K的正规闭包(记为Ka)必是F的伽罗瓦扩域 而且可以根据K/F的根塔构造出Ka/F的根塔 且仍有 F E K Ka 新根塔层次的增加并没有造成根次 的增加 证明略 设根塔4中所有根次数n1,n2,,nr 的最小公倍数是n 任意取一个n次本原根z 把z添加到根塔4 中的每个域上取 即令 Ki=Fi(z)i=12 r+1 那么根塔4又可以得到K(z)/F的一个根塔 F=K0 K1 Kr K(z)=Kr+1其中 K1=F(z)=K0(z) Ki+1=Fi+1(z)=Fi(z,di)=Ki(di) (di)ni FiKi,I=1,2,,r 因为K是F的伽罗瓦扩域 所以K必是某个g(x) F[x]在F上的分裂域 因为z是n次本原根 xn-1=0 的根都是z的方幂 所以K z 就是g(x)(xn-1) F[x]在F上的分裂域 因而K z 必是F的伽罗瓦扩 域 K z 也是每个Ki的伽罗瓦扩域 i=0,1,,r记 Hi=Gal K(z)/Ki则Ki=Inv Hi,I=0,1,,r 考虑伽罗瓦对应图 这里1是H0的单位元群 因为Ki=F(z)是xn-1在F上的分裂域 由定理二知 GalKi/F是交换群 对于任 一i(i=1,,r)由于Ki中已包含了 ni次本原根 zn/ni而Ki+1=Ki(di)是xni-(di)ni Ki[x]在Ki上的分裂 域 由定理一知 Gal Ki+1/Ki也是交换群 于是应用伽罗瓦基本定理 由Ki+1/Ki是正规扩域知Hi+1是Hi 的正规子群 且每个商群因子Hi/Hi+1同构于Gal Ki+1/Ki都是交换群 所以H0=Gal K(z)/F是可解群 考虑伽罗瓦对应图 其中E是f(x)在F上的分裂域 =Gal K(z)/E因为E是F的正规扩域 所以 是H0的正规子群 且f(x) 的伽罗瓦群G=Gal E/F同构于H0/ 因为H0是可解群 所以商群G也是可解群 6 综上可知 若f(x)=0可用根号求解 则Gf是可解群 二 充分性 设f(x)在F上的分裂域为E G=Gal E/F是可解群 设|G|=n则[E:F]=n任取n次本原根z 把z添加 到F E上 则有 F=F1F2=F(z)K=E(z) 因为f(x)在F1上的分裂域是 E 所以f(x)在F2上的分裂域为 E(z)=K要在F上构造一个包含 E的根塔 而F2=F(z)已经是F的根号扩域 且K包含E 故只须要构造一个从F2到K的根塔就行了 可以证明有结论 H=Gal K/F2同构于G=Gal E/F的某个子群 G是有限可解群 故H也是有限可解群 它 们必有合成群列 H=H1 H2 HrHr+1=1 其中每个合成因子群Hi/Hi+1都是素数pi阶循环群 1 i r,且pi|n因为K是F2的伽罗瓦扩域 利用基 本定理得到伽罗瓦对应图 H=H1 Hi HrHr+1=1 F2 Fi FrFr+1=K 必有Hi=Gal K/Fi+1, Gal Fi+2/Fi+1同构与Hi/Hi+1i=1,2,r 因为F2=F(z)中已经包含了所有的pi次本原根zn/pi而Gal Fi+2/Fi+1是pi阶循环群 根据定理一 存在 di+1Fi+2,使得 Fi+2=Fi+1(di+1),(di+1)pi Fi+1, i=1,2,r 故而得到根塔 F=F1F2 Fr+1Fr+2=K 根次数依次为n,p1,p2,,pr且K=E(z)包含了f(x)在 上的分裂域 所以f(x)可用根号求解 综合以上可知判定定理得证 现在一切都明了了 由前面的引导概念我们可以有以下结论 即 一个n次多项式f(x)的伽罗瓦群Gf在n=3或n=4的时候是可解群 故而可以用 根号求解 而当n>4的时候 Gf不是一个可解群 故而不能用根号求解 综合以上所述我们得出结论 高于四次的一般代数方程不可能用根号求解 7 V. 结语 罗瓦的证明 结束了人们长达几个世纪无谓的争论与徒劳的探索 成为数学史上重要的里程碑 年 轻的伽罗瓦所创立的群论成为人类科学史上的灿烂的一页 他研究数学的时间仅有短短的五年 而 他的群论 却成为了跨时代的超越 1831年1月 伽罗华将他的一篇论文提交给法国科学院审查 这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作 当 时负责审查的数学家泊阿松 为理解这篇论文绞尽脑汁花了整整四个月的时间 最后结论居然是 完全不 能理解 伽罗华死后 其朋友舍瓦利叶按照他的遗愿将其发表在 百科评论 中 而他的论文手稿过了 14年 也 就是 1846年 才由法国数学家刘维尔(18091882)领悟到这些演算中迸发出的天才思想 他花了几个月 的时间试图解释它的意义 刘维尔最后他将这些论文编辑发表在他的极有影响的 纯粹与应用数学杂志 上 并向数学界推荐 1931年 年轻气盛的伽罗瓦因为一个舞女 卷入了一场所谓 爱情与荣誉 的决斗 在决斗中 伽罗瓦腹 部中弹 其后殒命 年仅21岁 伽罗瓦的死 成为人类科学史上的一大悲剧 数学上的探索与发现 因此而停滞良久 参考书目 [1] 数学珍宝 历史文献精选 卡尔达诺 大术 李文林 主编 1998年 科学出版社 [2] 古典数学难题与伽罗瓦理论 徐诚浩 著 1986年 复旦大学出版社 [3] 数学史上的里程碑 一个离奇的故事 [美]H伊夫斯 著 1990年 北京科学技术出版社 [4] 域论 戴执中 著 1997年 高等教育出版社 [5] 抽象代数学: 域论及伽罗瓦理论 贾柯勃逊 著 1987年 科学出版社 [6] 伽罗华理论基础 刘长安,王春森 编著 1989年 电子工业出版社 [7] 伽罗瓦传 (法)A.达尔玛 著, 1981年 商务印书馆 伽