空间四边形的余弦定理及其应用

空间四边形的余弦定理及其应用 空 间 四 边 形 的 余弦 定 理 及 其 应 用 尧满荣王文彬 ( )( )江西临川一中江西南城师范 2 2 2 我 们 知 道, 在 空 间 四 边 形 A A A A 中, 若 设 1234 (E F = )? d+ m + n- 2m ncos A ’E , A F _ _ _ _ ____显然, 公式?是公式?的一个直接推论. A A = a, A A = a, A A = a, A A = a, 则 12 1 23 2 34 3 41 4 _ _ _ _ 若设 所成的角为 , 则, ab Η+ + + = 0.a1 a2 a3 a4 Π _ _ _ _ () (() 当 A ’E , A F ? 0, ]时;A ’E , A F , () 这样a= - a- a- a, 两边平方 作数量乘得 4 1 2 3 2 =_ Η )(记 a = a , i= 1, 2, 3, 4 | |ii Π (( ) () ) Π- A ’E , A F ’E , A F , Π, 当 A ? 时. 2 _ _ _ _ _ _ 2 2 2 2 = a+ a+ a+ 2 a?a+ 2 a?a+ 2 a?a a4 1 2 3 1 2 2 3 3 1公式?可变为 _ _2 2 2 1 2 3 = + + + 2〈, 〉 aaaa1a2cos a1 a2 2 2 2 =E F d+ m + ni 2m ncosΗ ? _ _ _ _ + 2aaco〈s a, a〉+ 2aaco〈s a, a〉 232 3 313 1 这就是课本上介绍的公式. 在实际应用中公式?不 2 2 2 + + -= 2aacos?A A A aa a1 2 3 12123 如公式?方便, 请看下例._ _ - 2aacos?A A A + 2aaco〈s a, a〉 ? 23234 313 1 例 1 在长方形 中, = , = , 把这 A BCD A B aBC b 对于空间两条不重合的射线 个长方形沿对角线 折成等于 的二面角, 求这A C Α 不 所 成 的 角, 规 定 为 这 O 1A O 2B 时顶点 间的距离., B D 两条射线平行秱动到它们的一个 (端点重合时的夹角, 并记为 , O 1A ()) 显然, 角 的取值. , O 2B O 1A O 2B 图 1 ( 范围是 0, .Π_ _ )(按此规定,〈a3 , a1 〉= Π- A 4A 3 , A 1A 2 . 这样由 ?就有图 3 图 4 定理 如图 1, 在空间四边形 A A A A , 中, 有 1234 解 如图 3, 分别由 B , D 向 A C 作垂线, 垂足分 2 2 2 2 a= a+ a+ a- 2aacos?A A A 4 1 2 3 12123 别为则, , M N - 2aacos?A A A 23234 ab ?A C A B = ; BM = DN = ()2 2A C 2, - ? a3a1cos A 4A 3 A 1A 2 a+ b 这就是所谓空间四边形的余弦定理. 2 b 2 2 BC - BM = ;CM = A N = 2 2 由这个定理可以推出一些颇有价值的结论.a + b ( 2 2 推论 1 异面直线上 | a- b| . M N = A C - 2CM = 2 2 ) 两点间的距离公式如图 2, a + b 已知 异 面 直 线 的 公 垂 , ab 在 图 4 中, 因 二 面 角 D 2A C 2B 的 大 小 为 Α, 故 线段 ’的长为 分, , A A dE F () , = . 由公式?有M B N D Α 一些特殊的 三角形的共同之处H e ron 孙延照 鞠锡田 ( ( ) ) ( )石油大学 华东257062山东东营师范 257091 H e ron 三角形是指边长和面积都为整数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示, 我们知道 B ?的面积是整数, 它属于 H 的 三 角 形, 文 1 、2 、3 、4对 特 殊 的?. 如果某一 ?是 ?戒其一条高线将其 H B 分为两个 ?, 那么这个 ?称为 ?. 由 H e ron 三角形, 如方 H e ron 三 角 形、周 长 和 B H HB 面积相等的 三角形等进行了研究, 得 于 ?属于 ?, 因此, ?是 ?.H e ron B H B HB 1定 理 周 长 和 面 积 相 等 的 H ? 是 到 一 系 列 的 结 论. 我 们 发 现 这 些 特 殊 的 ?.三角形有共同之处, 即它们不边长为 HB H e ron 整数的毕达哥拉斯三角形有密切的联系, 本 证 由文1 知, 周长和面积相等的 H ? 有五个, 它们的边长分别是: 5, 12, 13; 6, 25,文将揭示这一点. 29; 7, 15, 20; 9, 10, 17; 6, 8, 10. 为方便, 我们把 三角形用 ?表 H e ron H 示: 边长为整数的毕达哥拉斯三角形用 ? B 易验证边长为 5, 12, 13 和 6, 8, 10 的两 2 2 2 2 () ()A C + BD - A B + CD 4 4 2 2 = . a + b - 2a b cosΑ . BD = 2A D ?BC 2 2a+ b () 根据角 A D , BC 不 Η的关系, 有 本 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 若用公式?求解, 则 2 2 2 2 () ()A C + BD - A B + CD =. cosΗ 需就 为锐 角、直 角、钝 角 的 Α2A D ?BC 情形分别加以计算, 不如上面 例 2 在直三棱柱 A BC 2A B C 中, A B = a, BC 111 解法简洁.= , = , 且?. ?求 不 所成的 = 90b A A 1 cA BC A B 1 BC 1 ( 推论 2 四面体对棱所 角. 图 5 ) 成的角在四面体 中,A BCD 解 如图 6, 在四面体 设对棱 A D 不 BC 所成的角为 Η, 则 中,A BC 1B 1 2 2 2 2 2 2 () ()A C + BD - A B + CD a=+ c, A B 1 =? cosΗ 2A D ?BC 2 2 = b + c , BC 1 证 由公式? 2 2 22 2 2 2 =A C 1 a+ b+ c. = + + - 2A B BC CD DA BC 设 A B 不 BC 所 成 的 1 1 ????- 2CD cosBCD CD DA cosCDA 角为 , 则Η图 6 () - 2?, DA BC cos A D BC 2 2 2 2 () ()+ BB + B C 2 2 A C 1 1 - A B 11 = + - 2??BD DA CD DA cosCDA=cosΗ 2A B ?BC 1 12 2() - 2?, + - DA BC cos A D BC CD CD 2 c = , 2 2 ()= + -?, 2BD A C 2 2 2 2 BC cos A D BC DA ) ()( a + c b + c 2 - ,CD 2 2 2 2 2 () () = [ + c+ c.ƒ Ηa rccos cab ? () ? , cos A D BC