第一章 集 合
1 集合的运算
一、集合的概念
定义 1 设有两个集合 A,B。
若 x A∈ ,必有 x B∈ ,则称A是B的子集或B包含A,记为 A B B A⊂ ⊃或 。
若 A B⊂ ,且存在 x B∈ 满足 x A∉ ,则称 A 是 B 的真子集。
若 A B B A⊂ ⊂且 ,则称 A与 B 相等或相同。
定义 2 设Λ是一个非空集合,对于每个α ∈Λ,指定一个集合 Aα ,于是得到许
多集合,它们的总体称为集合族,记为{ }|Aα α∈Λ 或{ }Aα α∈Λ。
二、集合的运算
定义 3 设 A,B 是两个集合。
(1) 称集合 { }|A B x x A x B∪ = ∈ ∈或 为 A 与 B 的并集,即由 A 与 B 的全
部元素构成的集合;
(2) 称集合 { }|A B x x A x B∩ = ∈ ∈且 为 A 与 B 的交集,即由 A 与 B 的公
共元素构成的集合;
定理 1(1)交换律 A B B A∪ = ∪ , A B B A∩ = ∩ ;
(2)结合律 ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ , ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩ ;
(3)分配律 ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ 。
更一般地有
(4) ( ) ( )A B A Bα αα α∈Λ ∈Λ∪ ∩ = ∩ ∪ ;
(5) ( ) ( )A B A Bα αα α∈Λ ∈Λ∩ ∪ = ∪ ∩ ;
(6)设{ }nA 和{ }nB 为两集列,有 ( )1 1 1n n n nn n nA B A B
∞ ∞ ∞
= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∪ ∪ = ∪ ∪ ∪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠。
定义 4 设 A,B 是两个集合,称集合 { }\ |A B x x A x B= ∈ ∉且 是 A 和 B 的差集,
即在集合中而不在集合 B 中的一切元素构成的集合。如果 B A⊂ ,则称
\A B为 B 相对于 A 的补集或余集。
定理 2 (1) ( ), , , ,cc c c c cA A X A A A A X X∪ = ∩ =∅ = =∅ ∅ = ;
(2) \A B = cA B∩ ;
(3)若 A B⊂ ,则 c cA B⊃ ;
(4)若 A B∩ =∅,则 cA B⊂ ;
(5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )\ \ \ , \ \ \A B C A C B C A B C A B C∩ = ∩ = ∪ 。
定理 3 (D Morgan 法则)
(1) ( )\ \X A X Aα αα α∈Λ ∈Λ∪ = ∩ ;
(2) ( )\ \X A X Aα αα α∈Λ ∈Λ∩ = ∪ ;
特别的,若 X 为全集,有
(3) ( )c cA Aα αα α∈Λ ∈Λ∪ = ∩ ;
(4) ( )c cA Aα αα α∈Λ ∈Λ∩ = ∪ 。
定义 5 设 X 与 Y 是两个集合,称集合 ( ){ }, | ,X Y x y x X y Y× = ∈ ∈ 是 X 与 Y 的直
积集,简称 X 与 Y 的直积,其中 ( ) ( )1 1 2 2, ,x y x y= 是指 1 2x x= 且 1 2y y= 。
三、集合列的极限集
定义 6 设{ }kA 是一列集合,分别称集合
{ }lim |kk A x→∞ = ∈ k存在无穷多个k,使x A
{ }lim |k
k
A x
→∞
= ∉ k只有有限个k,使x A
是集合列{ }kA 的上极限集与下极限集。
注解:① lim kkx A→ ∞∈ ⇔ 存在{ }kA 的子集列{ }ikA ,使 ikx A∈ , 1, 2i = ";
② lim k
k
x A
→∞
∈ ⇔ 存在 0N > ,当 k N> 时, kx A∈ ;
③
1 1
lim limk k k kk k kk
A A A A
∞ ∞
= →∞ =→∞
∩ ⊂ ⊂ ⊂ ∪
定理 4 设集列{ }kA ,则(1) 1l im k kk n k nA A
∞ ∞
→ ∞ = == ∩ ∪ ;(2) 1lim k kn k nk A A
∞ ∞
= =→∞
= ∪ ∩ 。
amwpygdx
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右边有错,改为:(A∩C)\(B∩C)
注解:① ( )\ lim lim \k kk kE A E A→∞ →∞=
② ( )\ lim lim \k kkkE A E A→∞→∞ =
定理 5(1)若{ }kA 是单调递增集列,则 1lim k kk kA A
∞
→ ∞ == ∪
(2)若{ }kA 是单调递减集列,则 1lim k kk kA A
∞
→∞ == ∩
四、集类
定义 8 设 X 为一个集合,ζ 是 X 上的一个非空集类,如果对任何 1 2,E E ζ∈ ,
都有
1 2 1 2, \E E E Eζ ζ∪ ∈ ∈ ,
则称ζ 为 X 上的一个环。如果还有 X ζ∈ ,则称ζ 为 X 上的一个代数或域。
如果对任何一列 kE ζ∈ ,均有 1 21 , \kk E E Eζ ζ
∞
=∪ ∈ ∈ ,
则称ζ 为 X 上的σ 环,如果还有 X ζ∈ ,则称ζ 为 X 上的一个σ 代数或
σ 域。
定理 6 若ζ 为环,则
(1) ζ∅∈
(2)任意 1 2,E E ζ∈ ,有 1 2E E ζ∩ ∈
(3)若 ( )αζ α∈Λ 是 X 上的环(或代数),则 αα ζ∈Λ∩ 是 X 上的环(或代数)。
定理 7 设ζ 为σ 环,则
(1)ζ 为环;
(2)对任意 , 1,2, ,nE nζ∈ = " 有 1 nn E ζ
∞
=∩ ∈ ;
(3)对任意 , 1, 2, ,nE nζ∈ = " 有 lim , limn nn nE Eζ ζ→∞ →∞∈ ∈ ;
(4) ( )αζ α ∈Λ 为 X 上σ 环(σ 代数),则 αα ζ∈Λ∩ 是 X 上σ 环(σ 代数)。
定理 8 设 A是由 X 的某些子集构成的集类,则存在唯一的环(或代数, σ 环,
σ 代数)ζ ,使
(1) A ζ⊂ ;
(2)任何包含 A的环(或代数,或σ 环或σ 代数) *ζ ,必有 *ζ ζ⊂ 。
定义 9 定理 8 中的环(或代数,或σ 环或σ 代数)ζ 称为由集类 A所张成的
环(或代数,或σ 环或σ 代数),并用 ( )Aζ (或 ( )Aℜ 或 ( )Aσζ 或
( )Aσℜ )来
表
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示。
例题:设 X为一非空集合,A 为 X的单点集全体所成的集类,则由
① 集类 A 所张成的环 ( )Aζ ={ }|B B是X的有限子集
若 X 为有限集, ( )Aζ 也是代数、σ 环、σ 代数
② 若 { }|nX a n N= ∈ ,则 ( )Aζ ={ }|B B是X的有限子集
( )Aσζ = ( )Aσℜ = 2 A ={ }|B B X⊂
2 集合的势
一、映射
定义 1 有关映射的一些概念(舍)见教材 P9。
定理 1 设 :T X Y→ 为映射,则
(1) ( ) ( )1 2 1 2 ;A A X A T A⊂ ⊂ ⊂当 时,有T
(2) ( ) ( ) ( ), ;T A T A A Xα α αα α α∈Λ ∈Λ∪ = ∪ ⊂ ∈Λ
(3) ( ) ( )( ), ;T A T A A Xα α αα α α∈Λ ∈Λ∩ ⊂ ∩ ⊂ ∈Λ
(4) ( ) ( )11 2 1 2 ;B B Y B T B−⊂ ⊂ ⊂-1当 时,有T
(5) ( ) ( )( )1 1 , ;T B T B B Yα α αα α α− −∈Λ ∈Λ∪ = ∪ ⊂ ∈Λ
(6) ( ) ( )( )1 1 , ;T B T B B Yα α αα α α− −∈Λ ∈Λ∩ = ∩ ⊂ ∈Λ
(7) ( ) ( )( )1 1 ccT B T B− −=
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好
注解:①、(3)中如:一个映射 f 把 X 全部映射成一个值,就可以造成左边为
空集即可;
②、 ( ) ( )( ) ( )T A A T A A⊃ =-1 -1一般T ,当T为单射时,有T
③、 ( ) ( )1 1( ) ( )T B B T B B− −⊂ =一般T ,当T为满射时,有T
定义 2 复合映射概念(舍)见教材 P10
二、集合的势
定义 3 设 A 和 B 为两集合,若存在从 A 到 B 的一一映射,则称集合 A 与B对等,
记为 A~B
注解:①、对等关系是等价关系
②、设{ } { }| , |A Bα αα α∈Λ ∈Λ ,其中{ }Aα 两两互不相交,{ }Bα 两两互
不相交。若对任意的α∈Λ,有 Aα ~ Bα ,则 Aαα∈Λ∪ ~ Bαα∈Λ∪
定义 4 如果集合 A 与 B 对等,则称 A 与 B 有相同的势或基数,记为 A B= (其
中 A 表示 A 的势或基数)
定义 5 设集合 A 与 B,记 ,A Bα β= = ,
如果 A~ 1B B⊂ ,则称α 不大于 β ,记为 A Bα β= ≤ = ,
如果α β α β≤ ≠且 ,则α 小于 β ,记为 A Bα β= < =
注解:对于有限集来说,基数可以看作集合中元素个数,而对于无限集,其基
数表示所有对等集合共同的属性。
结论:(1)映射 T 是从 A 到 B 的单射,则 A B≤
(2)映射 T 是从 A 到 B 的满射,则 A B≥
(3)设{ } { }| , |A Bα αα α∈Λ ∈Λ ,其中{ }Bα 两两互不相交,若对任意的
α ∈Λ,有 Aα ~ Bα ,则 A Bα αα α∈Λ ∈Λ∪ ≤ ∪
引理 若 2 1 ,A A A⊂ ⊂ 且 A ~ 2A ,则 A ~ 1A ~ 2A
定理 2(Bernstein)设 A、B 为两个集合,若 A B≤ 且 A B≥ ,则 A B=
三、可数集
定义 6 凡是与自然数集 N 对等的集合称为可数集或可列集,它们的势(或基数)
记作“阿列夫零”或 a,称为可数势或可数基数。
至多可数集的重要性质:
性质 1 任一无限集 A 必含有可数子集,即 a 为无限集中最小的势; (定理 3)
性质2集合A是无限集的充要条件是A与其某一真子集对等; (定理4)
性质 3(至多可数集的性质) (定理 5)
(1)可数集 A 的任一子集 B 为至多可数集;
(2)设 1 2, , , nA A A" 为至多可数集,则 1
n
ii
A=∪ 仍为至多可数集,如果
1 2, , , nA A A" 中至少有一个可数集,则 1
n
ii
A=∪ 为可数集;
(3)设 1 2, , , ,nA A A" " 为至多可数集,则 1 ii A
∞
=∪ 仍为至多可数集,如果
1 2, , , ,nA A A" " 中至少有一个可数集,则 1 ii A
∞
=∪ 为可数集;
(4)设 1 2, , , nA A A" 为可数集,则 1 2 nA A A× × ×" 为可数集。
(5)若集合 { }1 2, , , | , 1, ,na a a i i iA x a A A i n= ∈ =" "为可数集, ,则 A 为可数集。
常用结论:①有理数集 Q 是可数集, nR 中有理点集 nQ 为可数集。
② 1R 中互不相交的开区间族是至多可数集。
定理 6 若A为无限集,B是至多可数集,则 A B∪ ~ A
由证明归纳出两种证明对等的
方法
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:
(1)建立一一映射;
设 { }1 2, ,B b b= " 为可数集, A B∩ =∅,由性质1知,A存在可数子集
{ }1 1 2, ,A a a= " ,作映射 :f A B A∪ →
( )
2 1
2
, , 1, 2,
, , 1, 2,
, , , 1, 2,
k k
k k
k k
a x a k
x f x a x b k
x x a b k
− = =⎧ ⎫⎪ ⎪= = =⎨ ⎬⎪ ⎪≠ =⎩ ⎭
"
6 "
"
(2)要证A与B对等,可将 A 和B都分解为不交并,即 1 2 1 2,A A A B B B= ∪ = ∪
再分别证明 1A ~ 1B , 2A ~ 2B
( ) ( ) ( )1 1 1 1\ , \ \A A A A A B A A A B A= ∪ ∪ = ∪ ∪⎡ ⎤⎣ ⎦
四、不可数集
定义 7 不是至多可数集的集合称为不可数集。
定义 8 不可数集的基数称为连续基数,记作“阿列夫”或 c
定理 7(常用的基数为 c 的集合)
(1)[ ] { }0,1 | 0 1x R x= ∈ ≤ ≤ 是不可数集;
(2)R 上任何区间的势均为 c;
(3)无理数集的势为 c;
(4)若 kX c= , 1,2,k = "则
1
k
k
X c
∞
=
=∏ ;
1 1
,
m
k kk k
X c X c
∞
= =∪ = ∪ =
(5)若 , , ,X c c X cα ααα ∈Λ= ∈Λ Λ = =∪且 则
定理 8 A⇔集合为A不可数集 为无限集,且对A的任何可数子集B,有A~ A\B
定理 9 设 A 是任一无限集合,则 2 A≤A
注解:①集合的基数中不存在最大基数
②不存在集合 A,使 2 A 为可数集
② 2 2A A=
定理 10 设集合 A 和 B,若 A~B,则 2 A ~ 2 B
定理 11 可数集幂集的基数为连续基数,即 2 a c= 。
连续统假设:基数a与 c 之间是否存在其它的势?(至今悬而未决)
3 nR 中的开集、闭集和 Borel 集
一、 nR 中的距离、领域、区间
定义 1 满足正定性、对称性、三角不等式的称为距离空间。
定义 2 n 维欧式空间
定义 3 有界集定义
定义 4 开球、闭球、球面的定义
定义 5 nR 中开区间、闭区间、半开半闭区间和体积的定义
二、 nR 中开集
amwpygdx
标注工具
改为:实数R的基数称为连续基数
定义 6 设 nG R⊂ ,如果对任意 x G∈ ,有 0δ > ,使 ( ),B x Gδ ⊂ ,则称 G 为 nR
中开集。
定理 1 nR 中开集构成的集族τ 满足下述三条性质:
(1) , ;nR τ∅ ∈
(2) ;τ τ∈ ∩ ∈1 2 1 2若G ,G ,则G G
(3) , , ;Gα αατ α τ∈Λ∈ ∈Λ ∪ ∈若G 则
称τ 为 nR 上的一个拓扑, ( ),nR τ 为拓扑空间。
注解:无穷多个开集的交集不一定为开集,例如 { }
1
1 1, 0
n n n
∞
=
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠∩ 为闭集
定义 7 (1)设 nx R∈ ,若 G为 nR 中的开集且 x G∈ ,则称 G为 x 的一个领域
(2)设 nE R⊂ ,如果存在 x 的一个领域 G,使得G E⊂ ,则称 x 为 E 的
内点。
(3)设 nE R⊂ , nx R∈ ,如果对 x 任意领域既含有 E 的点,又含有 cE
的点,则称 x 为 E 的边界点。
常用结论:①、 ( );cE E∂ = ∂ ②、 0 ;E E⊂ ③、 ( )00 .n cR E E E= ∪ ∪∂
定理 2 设 nE R⊂ ,则
(1) 0E 为开集;
(2) 0E E E⇔ =为开集
三、 nR 中闭集
定义 8 设 ( ) ( ), 1, 2,k nx x R k∈ = " ,若 ( )( ) ( )lim , lim 0k k
k k
d x x x x→∞ →∞= − =
则称点列 ( ){ }kx 收敛于 X,记为 ( )lim kk x x→∞ =
两条收敛判定准则:
(1) ( ) ( )lim .k k
k
x x x G→∞ = ⇔ ∈对x的任何领域G,存在N>0,当k>N时,
(2) ( ) ( )lim 1, 2, , , lim .k ki ik kx x i n x x→∞ →∞= ⇔ = ="对每个 有
定义 9 设 nE R⊂ , nx R∈ ,如果对 X的任意领域 G,必有 { }( ) ,G x E− ∩ ≠∅ 则
称 X 为 E 的聚点或极限点,聚点全体称为导集,记为 'E ;
称 'E E E= ∪ 为 E 的闭包。
相反,如果存在某个领域 0G ,使 { }0G E x∩ = ,则称 X 为 E 的孤立点。
常用结论:①、孤立点集为至多可数集;
②、有限集为孤立点集,但可数集不一定为孤立点集,如 Q。
③、内点一定是聚点,但聚点不一定是内点;孤立点一定是边界点,
但边界点不一定是孤立点。
定理 3 设 nE R⊂ , nx R∈ ,则以下为聚点等价性定义:
( )
( ) ( ) { }( )
( ) ( ){ } ( )
( )
2 0 , , \ ;
3 , l i m ;
4 .
k k
k
x E
B x x E
E x x x
x G E
δ δ
→ ∞
> ∩ ≠ ∅
=
1 为 的 聚 点 ;
任 意
存 在 中 互 异 点 列
对 的 任 意 领 域 , 它 必 含 有 的 无 穷 多 个 点
定理 4 设 E 是 nR 中的有界无限点集,则 E 中至少有一个聚点。
定理 5 设 k 1,2,nE R k⊂ = ", ,则
( )
( )
'
'
1 1 1 1
'
'
1 1 1 1
1 , .
2 , .
m m m m
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k
E E E E
E E E E
= = = =
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⊂ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∪ ∪ ∪ ∪
∪ ∪ ∪ ∪
定义 10 设 nF R⊂ ,若 Fc nF R n为 中的开集,则称 为R 中的闭集。
定理 6 设 { }|n cF R Fμ = ⊂ 为开集 为所有闭集构成的闭集族,则 μ 具有下列性
质:
( )
( )
( ) ( )
1 2 1 2
1
2 , , ;
3 .
nR
F F F F
F Fα αα
μ
μ μ
μ α μ
∈Λ
∅ ∈
∈ ∈
∈ ∈ Λ ∈
∪
∩
, ;
若 则
若 , 则
注解:无穷多个闭集的并集不一定为闭集,例如
1
1 ,1 (0,1]
n n
∞
=
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦∪ 左开右闭集
定理 7 nE R⊂设 ,则下列叙述等价:
amwpygdx
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也是“左边”包含于“右边”,未必相等
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
'2
3
4 , 1, 2, , lim ,k k
k
E
E E
E E
x E k x x x E→∞
⊂
=
∈ = = ∈"
1 为闭集;
;
;
设 若 则 。
定理 8(有限覆盖定理)
Fℑ ℑ ℑ设F是有界闭集, 是一族领域, 覆盖了F,则在 中必有有限个领域覆盖 。
拓广:(Lindelof 定理)
nE R E E⊂ ℑ ℑ设 , 为的一个开覆盖 ,则在 中有至多可数个开集覆盖 。
定义 11
( ) ( )
( )
( ) ( )
'
'
'
1
2
3
E E E
E E E
E E E
⊂
⊃
=
若 ,则 闭集 前面已证明 ;
若 ,则称 为自密集;
若 ,则称 为完备集 或完全集 。
注解:①可数集为闭集;
②设 E 为非空点集,若 E 的任意子集都为闭集,则 E 不一定是有限集,如
自然数集。
③有限个完全集的并集仍为完全集
'
'
1 1 1
m m m
k k k
k k k
E E E
= = =
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∪ ∪ ∪
有限个完全集的交集不一定为完全集,如[ ] [ ] { }, ,a b b c b=∩
④若 E 为非空完全集,则 E c=
定义 12
( )
( )
1
2
n n
c
n
E R E R
E
E R
=如果 ,则称 为 中的稠密集;
如果在每个非空开集中存在非空开子集完全含于 中,则称
为 中的疏朗集。
常用结论:①集合 E 为稠密集的充要条件:任意非空开集 G,必有G E ≠ ∅∩ 。
②集合 E 为疏朗闭集的充要条件:E 的余集为稠密开集。
疏朗集的余集为稠密集,但反之不成立,如有理数集与无理数集。
③有理数集和无理数集均为 R 中的稠密集;
自然数集和有限集均为 R 中的疏朗集。
重要例子:(Cantor 集)
将【0,1】每次挖掉剩余闭区间的中间三分之一长的开区间后,剩下的部
分
amwpygdx
标注工具
可数集未必是闭集,比如有理数集Q
amwpygdx
标注工具
??
{ } [ ] 11
1 2 2
2
1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 1
, , ,
, , , , , , , , , 0,1 \ .
n
n
n
n n n
n
n n n n
n k
n n k
n F F F F
I I I I I I P F I
−
−
∞ ∞
= = =
= =
"
" " " ∩ ∪ ∪
设第 次剩余部分为 ,记 ,挖去的开区间列为
作点集
性质:①P为非空有界闭集;
②P 为完全集;
③P 为疏朗集;
④ P c=
四、 nR 中的 Borel 集。
定义 13 至多可数个开集的交集为G δ 型集;至多可数个闭集的并集为 Fσ 型集。
常用结论:①开集为G δ 型集,闭集为 Fσ 型集;
②集合 E 为G δ 型集充要条件:E 的余集为 Fσ 型集;
③至多可数个G δ 型集的交仍为G δ 型集;至多可数个 Fσ 型集的并
仍为 Fσ 型集。
④任一至多可数集 E 为 Fσ 型集,特别的
有理数集和有理点集为 Fσ 型集;无理数集和无理点集为G δ 型集
定义 14 由 nR 中一切开集构成开集族τ 生成σ 代数称为 Borel 代数,简记ℜ
ℜ 中元素成为 Borel 集。
常用结论:①开集、闭集、G δ 型集与 Fσ 型集皆为 Borel 集;
②Borel 集的余集为 Borel 集;
③Borel 集的并、交、上(下)极限皆为 Borel 集。
五、开集的构造
定理 9( nR 开集的构造)(详细原理见教材 P31)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
11 , , , , , , ,
2 2n
R G a a b b
R n G
−∞ +∞ −∞ +∞
≥
中非空开集 是至多可数个互不相交的开区间
的并集,反之亦真;
中非空开集 是至多可数个互不相交的半开半闭区间的闭集。
六、点集间的距离
定义 15 设 1 2, ,nx R E E∈ 为 nR 非空集合,称 ( ) ( ){ }1 1, inf , |d x E d x y y E= ∈
amwpygdx
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“闭集”改为“并集”
为点 X 到集合 1E 的距离。称 ( ) ( ){ }1 2 1 2, inf , | ,d E E d x y x E y E= ∈ ∈
为集合 1E 到集合 2E 的距离。
常用结论:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1 2 1 2
1 , 0,
2 , 0
3 , 0,
x E d x E
E x E d x E
E E d E E
∈ ⇒ =
∈ ⇔ =
≠ ∅ ⇒ =∩
反之不成立;
若 为闭集,则 ;
反之不成立。
引理 设 E 为非空集合,则函数 ( ) ( ),f x d x E= 在 nR 上一致连续
推论 1 函数 ( ) ( )0,f x d x x= 在 nR 上一致连续。
定理 10 设 F 为 nR 中非空闭集, nx R∈ ,则存在 y F∈ ,使得
( ) ( ), ,d x F d x y=
定理 11 设 1 2,F F 为 nR 中非空闭集,且其中至少有一个集合是有界的,则存在
1 2,x F y F∈ ∈ ,使得 ( ) ( )1 2, ,d F F d x y=
注解:定理 11 中“至少有一个集合是有界集”不能缺少,如
( ){ }1 2 1 21 2 1,0 | , , | 0,E x x R R E x x x R Rx⎧ ⎫⎛ ⎞= ∈ ⊂ = ≠ ∈ ⊂⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭
定理 12(隔离性定理)若 1 2,F F 为 nR 中非空闭集,且 1 2F F =∅∩ ,则存在 nR
中开集 1 2,G G ,使得 1 1 2 2 1 2, ,G F G F G G⊃ ⊃ =∅∩且 。
例:若 F 为 nR 中闭集,则 F 为G δ 型集;若 G 为 nR 中开集,则 G 为 Fσ 型集
定理13(连续延拓)若F是 nR 闭集, ( )f x 在F上的连续函数 ( ) ( )f x M x F≤ ∈
则存在 nR 上连续函数 ( ) ( )( ) ( ) ( ), ng x f x x F g x M x R= ∈ ≤ ∈
4 集合与函数
一、特征函数
定义 1 X 是非空集合, A X⊂ ,称 ( ) 1, ,0,A
x A
x
x A
χ ∈⎧ ⎫= ⎨ ⎬∉⎩ ⎭为集合 A 特征函数
注解:显然 ( ) ( )( )A Bx x x X A Bχ χ= ∈ ⇔ =
定理 1
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) { }
( ) ( ) ( ) ( )
( )
\
limlim
1 1; 0
2
3 ,
4
5 1 ;
6 m ax , m in ;
7
lim , lim ;
8 lim
k k kkk k
A A
A B
A B A B A B
A B A B
A B A B
A A A A
k
A A AA k k
k
A X x A x
A B x x x X
x x x x A B
x x x
x x x
x x x x
A
x x x x
α α α αα α αα
χ χ
χ χ
χ χ χ χ
χ χ χ
χ χ χ
χ χ χ χ
χ χ χ χ
∈Λ ∈Λ ∈Λ∈Λ
→
= ⇔ ≡ = ∅ ⇔ ≡
⊂ ⇔ ≤ ∀ ∈
= + − = ∅
=
= −⎡ ⎤⎣ ⎦
= =
= =
∪ ∩
∩
∪ ∩
∩
;
;
特别的 时;
;
设 是任一集列,则
( )( )
( ) ( )( )lim
lim
lim
k
k kk
k Ak
A Ak
A x x X
x x x X
χ
χ χ
∞ → ∞
→ ∞
⇔ ∈
= ∈
存在 任意 存在,且
极限
二、集合与函数
归纳的一些重要集合等价式:(仅列举部分)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
1
1| 0 | ;
2 E , lim
lim | | ;
3
| | .
n
n
n n n nk
kk
n
f x E R
E x f x E x f x
n
f x f x f x f x f x
E x f x E x f x
f x E R f x E
E x f x c E x f x c c R
α α
∞
=
+ → ∞
→ ∞
⊂
⎡ ⎤≠ = >⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦
≤ =
> = >⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⊂
⇔ > < ∀ ∈⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∪
1 设 定义在 的实值函数,
则
定义在 ,
则
设 定义在开集 的实值函数,则 在 上
连续 与 开集
定义 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }
( ) ( )
0
0 0
0 0
0 0 ' " ' " 0
0
0 0
0 0
0
, ,
lim , lim sup , ,
0 , E
n
E
E
f x E R x E f x
B x E B x
x x f x f x x x B x
f x x x
δ δ
δ δ
ω ω δ δ
δ δ ω
+ +→ →
⊂ ∈
=
= = − ∈
< <
∩
E E
设函数 定义在集合 上, 若 在
上有定义,我们称
为 在 出的振幅, 当 为开集,简记
从而得到一些常用结论:
(1)连续的等价条件:
( ) ( )0 0 0f x x xω⇔ =E在 出 连 续
(2)函数连续点集结构
( ) ( )nf x G R f x Gδ⊂设 定义在开集 的实值函数,则 的连续点集为 集
amwpygdx
标注工具
两个“>”改成“大于或等于”,否则结论有误。
第二章 测度论
实变函数论的核心问题是对数学分析中的黎曼积分进行推广,即 Lebesgue
积分。
数学分析中黎曼积分的缺陷:一方面被积函数的连续性要求太强,以至于著
名的 Dirichlet 函数这样一种非常简单的函数不可积;另一方面应用有局限,
表现在可积函数项级数的逐项积分以及可积函数列的积分与极限的可交换性,
一般要求函数列与函数项级数具有一致收敛性。
改进两方面:一方面是积分范围划分的改进,由此产生了集合的测度;另一
方面是对被积函数进行改进,由此产生了可测函数。
本章介绍 Lebesgue 测度,它是通常意义下“面积或体积”的推广,即能保
持其特性:①非负性;②当集合为区间时,其测度即为区间的体积;③完全可
加性,即当{ }iE 为一列互不相交的有测度集合时, 1 ii E
∞
=∪ 的测度恰好为每个集
合的测度之和。
1 外测度
一、外侧度定义
定义 1 设 nE R⊂ ,{ }iI 是 nR 中覆盖 E 的任一列开区间,即 1 iiE I
∞
=⊂ ∪ ,记
1
i
i
Iμ ∞
=
= ∑ ( μ 可以取+∞),称所有这样的所成数集的下确界为 E 的
Lebesgue 外侧度,记为 *m E ,即 *
11
inf |i iii
m E I E I
∞ ∞
==
⎧ ⎫= ⊂ ∪⎨ ⎬⎩ ⎭∑
注解:对任意 nE R⊂ , *m E 均存在。
二、外测度的基本性质
定理 外测度具有如下性质:
(1) 对任意 nE R⊂ ,都有 * 0m E ≥ 且 * 0m ∅ = (非负性)
(2) 设 nB A R⊂ ⊂ ,则 * *m B m A≤ (单调性)
(3) 设 niA R⊂ ,则 * *1 1i ii im A m A
∞∞
= =
⎛ ⎞∪ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑ (次可加性)
(4) 设 , nA B R⊂ ,若 ( ), 0d A B > ,则 ( )* * *m A B m A m B∪ = + (隔
离)
注解:①、任何可数点集的外测度为零;
②、若 * 0m A = ,则对任意 nE R⊂ ,总有 ( )* *m E A m E∪ = ;
③、零测集的任意子集仍为零测集;
至多可数个零测集的并集仍为零测集;
④、对任何区间 nI R⊂ ,总有 *m I I= ;
常用结论:1、若 E 有界,则 *m E < +∞;若 *m E = +∞,则 E 无界。
2、Cantor 集 P、至多可数集、连续(可积)函数对应的图像的点组
成的集合均为零测集,从而是可测集;
3、若 1E R⊂ 为有界集,且 * 0m E > ,则对所有 *0 m Eμ≤ ≤ ,存
在 1E E⊂ ,使 * 1m E μ= (推广的介值性定理)。
2 可测集
外测度是否是通常意义下的“体积”的拓广,需满足完全可加性,而对外测
度而言,只有当 ( ), 0d A B > 时,才有 ( )* * *m A B m A m B∪ = + ,仅当 A B∩ =∅
时,可能有
( ), 0d A B = ,完全可加性不一定成立,所以需改进。
一、可测集的定义及等价条件
定义 1 设 nE R⊂ ,如果对任意 nT R⊂ ,总有 ( ) ( )* * * cm T m T E m T E= ∩ + ∩ ,
则称 E 为 Lebesgue 可测集,或称 E 是可测的,此时,E的外测度 *m E 称
为 E 的 Lebesgue 测度,记为mE 。
注解:与外测度不同的是,并非每个集合都是可测的。
定理 1 设 nE R⊂ ,则下列三种说法是等价的:
(1) E 是可测集;
(2) cE 是可测集;
(3) 对任意 , cA E B E⊂ ⊂ ,总有 ( )* * *m A B m A m B∪ = +
注解:由(3)零测集为可测集,再由(2)推出 nR 可测。
二、可测集的基本性质
定理 2 (1) 1 2 1 2 1 2 1 2, , , \E E E E E E E E⇒ ∪ ∩可测 均可测;
(2) ( )
1 1
,
m m
i i ii i
E E E= =⇒ ∪ ∩"i=1,2, ,m 可测 可测 ,并且当 iE 两两不交时,
1 1
mm
i ii i
E m E= =
⎛ ⎞∪ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ∑m ,(对于可数个可测集列也同样成立)。
注解:(1)定理 2 中(2)说明了测度具有完全可加性;
(2) lim , limn nnn E E→∞→∞ 可测。由于 1 1
lim , limn k n kn k n n n k nn
E E E E
∞ ∞ ∞ ∞
= = →∞ = =→∞
= ∪ ∩ = ∩ ∪ 。
(3)综上所述,可测集对集合的至多可数并、交、差(余)及极限运算是
封闭的,若μ 表示 nR 中可测集全体,则显然 μ 是一个σ 域。
(4) 2 cμ =
三、单调可测集列的性质
定 理 3 设 ( )nE "n=1,2, 为 单 调 上 升 的 可 测 集 列 , 记
1
lim , limn n nn n nS E E mE mS
∞
= → ∞ → ∞= ∪ = =则 。即极限集测度=测度极
限。
定 理 4 设 ( )nE "n=1,2, 为 单 调 下 降 的 可 测 集 列 , 记
0 01
lim , limnn n nn nnn EE E E mEE mE
∞
= →∞ →∞∞= ∩ = =若存在某个 ,使 <+ 则,
注解:①、定理 4 中条件“
0 0n n
E E ∞若存在某个 ,使 <+ ”不能去掉,否则结论不一
定成立,
如取 ( ) ( ), ,nE n= +∞ "n=1,2, , 1lim 0n nn nmE mE m E m
∞
→∞ =
⎛ ⎞= +∞ ≠ = = ∩ = ∅⎜ ⎟⎝ ⎠ 。
②、由定理 3 有
1
lim n kn k nn
E E
∞ ∞
= =→ ∞
= ∪ ∩ , kk n E
∞
=∩ 中单调上升,有
lim limn kn k nn
m E m E
∞
→∞ =→∞
⎛ ⎞⎛ ⎞ = ∩⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠;
③、由定理 4 有,
1
l i m n kn n k nE E
∞ ∞
→ ∞ = == ∩ ∪ 中 kk n E
∞
=∪ 单调下降,若存
在
0 0
,k kk n k nE E
∞ ∞
= =
⎛ ⎞∪ ∪ < +∞⎜ ⎟⎝ ⎠使m ,则 ( )lim limn kn n k nm E m E∞→∞ →∞ =⎛ ⎞= ∪⎜ ⎟⎝ ⎠
考虑到 n kk nE E
∞
=⊂ ∪ ,则有 n kk nmE m E
∞
=
⎛ ⎞≤ ∪⎜ ⎟⎝ ⎠ 两边取极限有,
( )lim limn nn nmE m E→∞ →∞≤
④、 ( )lim lim lim limn n n nn nn nm E mE mE m E→∞ →∞→∞ →∞⎛ ⎞ ≤ ≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 从而设 nE 为可测集,
且 lim nn E E→∞ = ,若 nE 有界,则 lim nn mE mE→∞ =
⑤对任意可测集 A、B,有(1)若 ( ),B A mB⊂ +则mA=m A\B
(2)若 ( ),mB mB< +∞ ≤则mA- m A\B
(3)若 ( ), ,B A mB mB⊂ < +∞ =且 则mA- m A\B
3 可测集类及可测集的结构
一、可测集类
定理 1(1)零测集为可测集;
(2)零测集的子集为零测集,从而为可测集;
(3)至多可数个零测集的并集为零测集,从而为可测集。
定理 2 nR 中任何区间 I 都是可测集,m I I= 。
注:区间包括开区间、闭区间、左闭右开区间、左开右闭区间
定理 3 nR 中的开集、闭集、Borel 集都是可测集。
注:Borel 集是Gδ 集(至多可数个开集的交集)与 Fσ 集(至多可数个
闭集的并集)但并非每个可测集都是 Borel 集
二、可测集与 Borel 集的关系
定理 4 设 nE R⊂ ,则存在G δ 集 G,使 E G⊂ ,且 *mG m E=
定理 5 设 nE R⊂ ,则下列关系等价:
(1)E 为可测集;
(2)对任意 0ε > ,存在开集 G,使 E G⊂ ,且 ( )\m G E ε< ;
(3)存在Gδ 型集G,使E G⊂ ,且 ( ), \ 0mG mE m G E= = 。
注解: ( )\ \E G G E= 表明任意可测集可以表示成一Gδ 型集与一零测集的差集。
定理6设 nE R⊂ ,则下列关系等价:
(1)E 为可测集;
(2)对任意 0ε > ,存在闭集F,使 F E⊂ ,且 ( )\m E F ε< ;
(3)存在 Fσ 型集F,使 F E⊂ ,且 ( ), \ 0mF mE m E F= = 。
amwpygdx
标注工具
这个注有错,Borel集未必是Gδ集与Fσ集。不过的确并非每个可测集都是Borel集。
注解:①、 ( )\E F E F= ∪
②、以上两个定理表明,只要有了全部的G δ 和 F σ 和全部的零测集,一
切可测集都可以通过G δ 型集与一零测集的差集或 F σ 型集与一零测
集的并集获得。
定理 7 设 A、B 分别为 pR 和 qR 中的可测集,若 E A B= × ,则 E 为 p qR + 中的
可测集,且mE mA mB= •
注解:定理证明中所用到的结论:
① nR 开集的构造: nR ( )2n ≥ 中非空开集 G 是可数个互不相交的半开半
闭区间的并集;
② E 是可测集,则存在一列单调递减的开集列{ }nG ,使得 nE G⊂ ,且
1
\ 0nnm G E
∞
=
⎛ ⎞∩ =⎜ ⎟⎝ ⎠ ;或存在一列单调递增的闭集列{ }nF ,使得 nF E⊂ ,
且
1
\ 0nnm E F
∞
=
⎛ ⎞∪ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 。(见教材 P64 课后习题 20、21 题)
③ 当可测集 A、B 无界时,A、B 分别都可以表示成一列互不相交的有界可
测集的并集,即
1 1
,i ji jA A B B
∞ ∞
= == ∪ = ∪ ,其中 ,i jA B 都是有界可测集。
④ 思路:由定理 5(3)存在G δ 集 1 2,G G ,使 1 2 1, ,A G B G mA mG⊂ ⊂ =且
( ) ( )2 1 2, \ 0, \ 0mB mG m G A m G B= = = * *1 2\ , \A G A B G B= =记
( ) ( ) ( ) ( )* * * *1 2 \ \ \E A B G G A B A B A B= × = × × × ×
第三章 可测函数
1 可测函数的定义及简单性质
一、可测函数的定义及等价定义
1、简单函数
定义 1 设 E 为可测函数, ( )f x 为定义在 E 上的函数,如果
(1)
1
m
i
i
E E
=
= ∪ ,其中 iE 为两两不交的可测集;
(2)在每个 iE 上, ( ) if x c= ,即
( )
1 1,
,m m
c x E
f x
c x E
∈⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪∈⎩ ⎭
#
亦即, ( ) ( )
1
i
m
i E
i
f x c xχ
=
= ∑ 则 ( )f x 称为 E 上的简单函数。
注解:①、可测集 E 上的两个简单函数的和、差、积仍为 E 上的简单函数;若
( ) 0g x ≠ 时, ( )( )
f x
g x
也是 E 上的简单函数。
②、复合函数中内函数为简单函数,则复合函数为简单函数。
定义 2 设 ( )f x 为 E 上非负实函数,集合 ( ) ( ){ } 1, | ,0 nx y x E y f x R +∈ ≤ < ⊂ 称为
( )f x 在 E 上的下方图形,记为 ( ),G E f 。
注解: ( ),G E f 为可测集,且 ( )
1
,
m
i i
i
mG E f c mE
=
= ∑ 。
2、非负可测函数
定义 3 设 E 为可测集, ( )f x 为定义在 E 上非负函数,如果存在一列单调递增的
非负简单函数 ( ){ }m xϕ ,即 ( ) ( )10 nx xϕ ϕ≤ ≤ ≤ ≤" ",使 ( ) ( )lim mmf x xϕ→∞= ,
则称 ( )f x 为 E 上的非负可测函数或称 ( )f x 在 E 上非负可测。
下面定理刻画了非负可测函数的特性:
定理 1 设 ( )f x 为可测集 E 上的非负函数,则 ( )f x 在 E 上非负可测充要条件:
对任意实数 a, ( )|E x f x a<⎡ ⎤⎣ ⎦都是 nR 中可测集。
3、一般可测函数
定义 4 设 ( )f x 是定义在可测集 E 上实函数,如果对任意实数 a, ( )|E x f x a<⎡ ⎤⎣ ⎦
都是可测的,则称 ( )f x 为 E 上的可测函数,或称 ( )f x 在 E 上可测。
下面给出可测函数的几种等价定义:
定理 2 设 ( )f x 是可测集 E 上实函数,则下列各条件是等价的:
a R∀ ∈ , ( )|E x f x a>⎡ ⎤⎣ ⎦或 ( )|E x f x a≥⎡ ⎤⎣ ⎦或 ( )|E x f x a<⎡ ⎤⎣ ⎦或 ( )|E x f x a≤⎡ ⎤⎣ ⎦
是可测集,如果之一成立,则 ( )f x 为 E 上可测函数。
常用结论:①区间上的连续函数和单调函数都是可测函数;
②可测集 E上连续函数为可测函数;
③ ( )f x 为 E 可测函数充要条件: ( ), |r Q E x f x r∀ ∈ >⎡ ⎤⎣ ⎦ 可测;
而 ( ), |r Q E x f x r∀ ∈ =⎡ ⎤⎣ ⎦可测得不出 ( )f x 可测,设 A 不可测集,
( ) [ ]
,
, 0,1 \
x x A
f x
x x A
∈⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬− ∈⎪ ⎪⎩ ⎭
, ( )|E x f x r=⎡ ⎤⎣ ⎦为单点集或空集,而有
( )| 0E x f x A≥ =⎡ ⎤⎣ ⎦ 为不可测集。
推论:若 ( )f x 在可测集 E 上为可测函数,则
(1) ( ) ( ) ( )| , | , |E x f x E x f x E x f x⎡ ⎤= +∞ = −∞ = +∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦均可测;
(2)对任意实数 ( ) ( ), | |a b E x a f x b E x f x a≤ ≤ < =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦和 均可测。
二、可测函数的简单性质
定义 6 设 ( )xπ 是一个与集合 E 中的点 x 有关的命题,如果存在 F E⊂ ,使 0mF =
且 ( )xπ 在 \E F 上恒成立,则称 ( )xπ 在 E 上几乎处处成立,记为
( ) . .x a e Eπ 成立 于 。
例如:①对于【0,1】上的蒂尼克雷函数,即在有理点处取 1 在无理点处取 0.
由于有理点集为零测集,所以 ( ) [ ]. . 0,1D x a e=0, 于 。
②设 ( ){ } ( ),nf x f x 均为可测集 E 上的实函数,若
( ) ( )| 0nmE x f x f x =⎡ ⎤⎣ ⎦不收敛于 ,则称 ( ){ }nf x 几乎处处收敛于 ( )f x 。
③设 ( )f x 为定义在可测集 E 上实函数,若 ( )| 0mE x f x⎡ ⎤= +∞ =⎣ ⎦ ,则称
( )f x 在 E 上几乎处处有限。
注解:①
( )f x 在 E 上几乎处处有限,则 ( )f x 在 E 上可测充要条件:对任意实数
a,b, ( )|E x a f x b≤ <⎡ ⎤⎣ ⎦为可测集。
证明:(必要性)根据上述推论已得证。
(充分性) ( ) ( ) ( )| a | |E x f x E x a f x E x f x≥ = ≤ < +∞ = +∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∪ ,而
( ) ( )
1
| | 1
n
E x a f x E x a n f x a n
+∞
=
≤ < +∞ = + − ≤ < +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦∪ 且根据上述推论知
( )|E x f x = +∞⎡ ⎤⎣ ⎦为可测集,从而 ( )| aE x f x ≥⎡ ⎤⎣ ⎦可测