序贯分析初步
序贯分析初步
序贯方法的重要性与两个要素
大家知道，统计学里最基本的概念是总体与样本。总体常用随机变量(或随机向量)来刻划，它的特性是用分布函数来描述，样本则是由总体中抽取的(或观测到的)若干个个体(样单元)组成，它是由一组随要变量(向量)来刻划，样本中所含的样单元个数叫做样本量。统计学的基本任务是通过样本来推测或掌握总体的特性。一个很基本的问
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是:样本量要取多大?当然样本量越大，对总体
或进行观测)是的了解就越多，因此对总体作出的推断也就越可靠。但是抽样(需要费用的，抽样量越大，耗费就越大。合理的提法是，在保证所得结论是足够可靠性的前提下，应使得抽样量越小越好。通常的统计方法都是在抽样之前预先给定抽样量的大小，实践
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明，这种固定样本量的方法能解决很多问题，便在有些情况下使用这种方法导致不必要的浪费。还存在这样的情况:使用固定样本量方法(无论样本量多大)，根本不能解决问题。请看下列例子。
例1.1(单式抽样
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)设有一批产品(共N件，N很大)须经验收检验，每个产品经过检验可判定为合格还是不合格。最简单的验收方案是选定两个整数，从该批产品中随机抽取n件，如果这n件中所含朱合格品件数d c，则拒收该批产品;若d?c，则接收该批产品。很明显，这个验收方案的样本量(抽样量)是固定的整数n，但是在抽样的过程中，如果未抽到n件就已抽到c+1个不合格品，就没有必要再往下抽样。换句话说，在有些情况下事先固定样本量要造成浪费，这就启示我们:应根据抽样过程中出现的情况来决定抽样量。0nc?
例1.2研究一枚不匀称的硬币，我们把有币值的一面叫正面，另一面叫反面。在桌上任意抛掷一次，问:正面朝上的概率是否大于1/2?我们可以用随机变量X刻划这枚硬币。当正面朝上时，X=1;反面朝上时X=0，记p=P(X=1)。当然0 p1。上述问题可化为检验零假设:H1:0 p1/2(备择假设是:H2:1/2 p1)。若拒绝，则表示正面朝上的概率大于1/2;若接受，则表胆正面朝上的概率小于1/2。在进行检验时，每"抽一个样"就是将硬币任意抛掷一次。给定小正数
α(0α1/2)，问:是否有固定样本量的检验法使得犯两类错误的概率都一致小于α呢?可以证明，这个问题的
答案
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是否定的，也就是说，无论预先固定的样本量有多大，也无济于事。
例1.3设X~N(μ,σ^2),μ、σ都未知。给定γ?(0,1)及L 0，问:μ是否有固定样本量的置信区间1121[(,),(,)]n nXXXXLL使得置信水平是γ，区间宽度不超过L?可以证明，这个问题的答案是否定的。也就是说，无论固定的样本量多大，不存在固定宽度的置信区间(详见?3)。
上述三个例子是有代表性的，表明了固定样本量方法的局限性。第一个例子表明固定样本量方法有时效率不高，第三、三个例子表明固定样本量方法有时无能为力。统计学发展史上的一个重要里程碑就是序贯方法的出现。人们在40年代普遍认识到样本量不必预先固定，可以根据抽样(或观测)过程出现的情况来决定何时停止抽样(或观测)，也就是说样本量是一个随机变量，这样得到的样是一个一个地逐次得得的，叫做序贯样本。可以证明，在例1.2中存在基于序贯样本的检验方法，其两类错误概率均一致不超过α，在例1.3中存在基于序贯样本的固定宽度的置信区间。
序贯分析(或者说统计中的序贯方法)正是研究如何得到和利用序贯样本进行统计推断(或选择)的统计学分支。在假设检验、
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估计及更一般的统计判决问题里，序贯分析方法一般有两个组成部分(两个要素):停止法则与判决法则。停止法则告诉我们，在对总体进行逐次观测(或抽样)的过程中何进停止下来;判决法则告诉我们，根据停止时得到的全部数据(序贯)样本对总体应如何作出推断或选择(接受或拒绝一个假设，估计参数等等)。
数学上如何描述停止法则与判别法则呢?停止法则的定义如下:设是独立同分布的随机变量列(12,XXLiX与总体X有相同的分布)。称随机变量τ是停止法则，若τ只取非负数整数值(但可取值?)，而且0τ?，或1τ?，对一切n?1，存在集合Bn(Borel集)使得
1{}{(,)nnnXXB}τ?=?L
(1.1)式的直观意义是:τ是否大于n仅由观测值1,nXXL来确定，而与尚未
观测的无关。这表明停止法则乃是不依赖于将来的随机变量。当
12,nnXX++L0τ?时，表示不进行任何观测(或抽样)。
浙公网安备 33021202002483