《二项式定理(一)》教案
设计
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教材:人教A版选修2-3第一章第三节
一、教学目标
1.知识与技能:
(1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广.
(2)理解并掌握二项式定理,能利用计数原理证明二项式定理.
2.过程与方法:
通过学生参与和探究二项式定理的形成过程,培养学生观察、
分析
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、概括的能力,以及化归的意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式.
3. 情感、态度与价值观:
培养学生的自主探究意识,合作精神,体验二项式定理的发现和创造历程,体会
数学
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语言的简洁和严谨.
二、教学重点、难点
重点:用计数原理分析
的展开式,得到二项式定理.
难点:用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.
三、教学过程
(一)提出问题,引入课题
引入:二项式定理研究的是
的展开式,如:
,
那么
的展开式是什么?
【设计意图】把问题作为教学的出发点,直接引出课题.激发学生的求知欲,明确本课要解决的问题.
(二)引导探究,发现规律
1、多项式乘法的再认识.
问题1.
的展开式是什么?展开式有几项?每一项是怎样构成的?
问题2.
展开式中每一项是怎样构成的?展开式有几项?
【设计意图】引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后续学习作准备.
2、
展开式的再认识
探究1:不运算
,能否回答下列问题(请以两人为一小组进行讨论):
(1) 合并同类项之前展开式有多少项?
(2) 展开式中有哪些不同的项?
(3) 各项的系数为多少?
(4) 从上述三个问题,你能否得出
的展开式?
探究2:仿照上述过程,请你推导
的展开式.
【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用计数原理对
的展开式进行再思考,分析各项的形式、项的个数,这也为推导
的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依.
(三) 形成定理,说理证明
探究3:仿照上述过程,请你推导
的展开式.
——— 二项式定理
证明:
是n个
相乘,每个
在相乘时,有两种选择,选a或选b,由分步计数原理可知展开式共有
项(包括同类项),其中每一项都是
的形式,对于每一项
,它是由k个
选了b,n-k个
选了a得到的,它出现的次数相当于从n个
中取k个b的组合数
,将它们合并同类项,就得二项展开式,这就是二项式定理.
【设计意图】通过仿照
、
展开式的探究方法,由学生类比得出
的展开式.二项式定理的证明采用“说理”的方法,从计数原理的角度对展开过程进行分析,概括出项的形式,用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数,从而得出用组合数表示的展开式.
(四) 熟悉定理,简单应用
二项式定理的公式特征:(由学生归纳,让学生熟悉公式)
1. 项数:共有
1项.
2. 次数:字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n.
各项的次数都等于n.
3. 二项式系数: 依次为
,这里
称为二项式系数.
4. 二项展开式的通项: 式中的
叫做二项展开式的通项. 用
表示.
即通项为展开式的第
1项:
=
变一变 (1)
(2)
例. 求
的展开式.
思考1:展开式的第3项的系数是多少?
思考2:展开式的第3项的二项式系数是多少?
思考3:你能否直接求出展开式的第3项?
【设计意图】熟悉二项展开式,培养学生的运算能力.
(五) 课堂小结,课后作业
小结(由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想)
1. 公式:
2. 思想方法:1.从特殊到一般的思维方式. 2.用计数原理分析二项式的展开过程.
作业
巩固型作业:课本36页习题1.3 A组 1、2、3
思维拓展型作业:二项式系数
有何性质.
教案设计说明
二项式定理是初中乘法公式的推广,是排列组合知识的具体运用,是学习概率的重要基础.
本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”,在教学中,采用“问题――探究”的教学模式, 把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段.让学生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力,以及化归意识与方法迁移的能力,体会从特殊到一般的思维方式,让学生体验定理的发现和创造历程.
本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律.在教学中,设置了对多项式乘法的再认识,引导学生运用计数原理来解决项数问题,明确每一项的特征,为后面二项展开式的推导作铺垫.再以
为对象进行探究,引导学生用计数原理进行再思考,分析各项以及项的个数,这也为推导
的展开式提供了一种方法,使学生在后续的学习过程中有“法”可依.
总之,本节课遵循学生的认识规律,由特殊到一般,由感性到理性.重视学生的参与过程,问题引导,师生互动.重在培养学生观察问题,发现问题,归纳推理问题的能力,从而形成自主探究的学习习惯.