4--实数的计算
实数计算 【引入】
古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比(但是该学派的成员希
伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示的，这严重地冲击了当
时希腊人的传统见解，这一事件在
数学
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史上称为第一次数学危机(希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派
的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死( 【知识要点】
1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926„，， 21.414213,
1.010010001„，都是无理数。
对无理数概念的理解主要抓住以下几点:
?既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足;
?无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是:前者不能化成分数，而后者都可以化成
分数;
3 ?凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、等。
2(实数:有理数和无理数统称为实数。
,正有理数,,
,,,有理数零有限小数或无限循环小数,,,,,,负有理数 实数,,,
,正无理数,,,无理数无限不循环小数,,,负无理数,,,
3(实数的计算:
a(a,0)式子叫二次根式.二次根式的运算以下列运算法则为基础(
(1) (2) ac,bc,(a，b)c(c,0)a,b,ab(a,0,b,0)
aann,,,ab0,0，，，，a,a(a,0) (3) (4) bb
【典型例题】
,,23,256例1 在实数3.14，，，，0.412，0.10110111011110„，π，中，哪些是有理3.33335
数，哪些是无理数,
1
例2 下列说法中，正确的是( )
A(带根号的数是无理数 B(无理数都是开不尽方的数
C(无限小数都是无理数 D(无限不循环小数是无理数
例3 计算:
222,,,,517 (1) (2) (3) 32,,,,,，，,,,,572,,,,
例4 二次根式的加减法
,,,,218335,,,,4,10,,80 (1) (2) 81a,5aa，4a,,,,353a,,,,
例5 (1)已知，，求a+b的最小值。 a，,12b，,31
220012002xy,，，,110xy，(2)若，求的值。
2
【经典练习】
1( 小数，叫做无理数。
2(大于,10的负整数是 。
3(的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。 12,
,29,6 4(在数，，，，，，0.232232223„(两个3之间依次多一个2)中无理144,21.23，，313
数的个数有( )
A(3个 B(4个 C(5个 D(6个
5(下列命题中，正确的个数是( )
?两个有理数的和是有理数; ?两个无理数的和是无理数;
?两个无理数的积是无理数; ?无理数乘以有理数是无理数;
?无理数除以有理数是无理数; ?有理数除以无理数是无理数。
A(0个 B(2个 C(4个 D(6个
33 6(已知2110ab，，,,，则 。 ,，,ab
7(判断(正确的打“?”，错误的打“×”)
,a ?带根号的数是无理数;( ) ?一定没有意义;( )
3 ?绝对值最小的实数是0;( ) ?平方等于3的数为;( )
?有理数、无理数统称为实数;( ) ?1的平方根与1的立方根相等;( )
?无理数与有理数的和为无理数;( )
?无理数中没有最小的数，也没有最大的数。( )
8(计算下列各题:
,,,,,,,,31121114383,,,21.253805，,, (1) (2) ,,,,,,,,,,,,,,,,22432712,,,,,,,,
111111,,，,327520.53327534,，,， (3); (4); 2278532
3
【附加练习】
1,22 1(，，3.1416，0.5，,中，有理数的个数是( ) 2327
A(1个 B(2个 C(3个 D(4个
a 2(a为正的有理数，则一定是( )
A(有理数 B(正无理数 C(正实数 D(正有理数
3(下列四个命题中，正确的是( )
A(倒数等于本身的数只有1 B(绝对值等于本身的数只有0
C(相反数等于本身的数只有0 D(算术平方根等于本身的数只有1
4(下列说法不正确的是( )
A(有限小数和无限循环小数都能化成分数 B(整数可以看成是分母为1的分数
C(有理数都可以化为分数 D(无理数是开方开不尽的数
22xa,1 5(代数式，，，中一定是正数的有( ) a，1y，，
A(1个 B(2个 C(3个 D(4个
6(,3的负倒数是( )
11 A(3 B(,3 C( D( ,33
7(已知a为有理数，b为无理数，则a+b为( )
A(整数 B(分数 C(有理数 D(无理数
8(一个数是它的倒数的4倍，则这个数是( )
A(4 B(?4 C(2 D(?2
9(一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的 。
,1y26x,xy 10(已知与互为相反数，求和的值 x2,y，，
22 11(若，则 。 (x,2003)，14，y,0x,10(2,y)，3y,
4
实数计算课后作业 计算下列各题:
1150.220.540.125,，(1); (2); 3242，, 22
,,,,1111(3); (4); 752531088，,,484340.5,,, ,,,,,,,,3383,,,,
,,213(5); (6); 20.125632，,,, 72275162147，,，,,，，，，,,322,,
,,11a335abb，,,4(7); (8) 8154aaaa,，,,,,ab2a,,
5
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