null二维图形的几何变换（复习）二维图形的几何变换（复习）为什么图形变换要采用矩阵运算实现？
图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定，构成图形的基本要素是点。 图形可用点集表示，点集可用矩阵表示。
图形的基本变换就可以通过点集的变换来实现。
因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现。
矩阵运算在计算机中是很容易实现的。 在三维空间内，一个点通常用它的三个坐标（x，y，z）来表示。三维空间的点表示成3x1行矩阵或表示成1x3列矩阵。null图形变换的矩阵运算： 旧点（集）×变换矩阵新点（集）§6－1 图形变换的方法 矩阵运算为什么采用齐次坐标技术为什么采用齐次坐标技术 用2× 2的矩阵来变换一个物体时有两种限制。
第一，它的变换要么针对原点．要么是针对X 轴、Y 轴进行变换，但不可能对任意一个点或者任意一条直线作变换。
第二，它没有包含平移变换。如果要完成平移变换．则必须加上一个与顶点数有关的N×M的矩阵。
在计算机图形学中．许多的变换不可能由单一的一个矩阵来完成，而必须由几个矩阵组合，才能完成一系列的变换。要做到这一点，不同格式的变换矩阵是不可能连续运算的。 齐次坐标技术 齐次坐标技术基本思想：把一个n维空间的几何问题，转换到n＋1维空间中去解决。
如二维平面上的点P（x，y）:
齐次坐标表示为Pw（ wx，wy ，w），w是任一不为0的比例系数。
齐次坐标表示（x，y，w）→二维笛卡儿直角坐标（x/w，y/w）
规格化齐次坐标：齐次坐标表示不是唯一的，通常将w＝1时的齐次坐标称为规格化的齐次坐标。二维图形的几何变换（复习）二维图形的几何变换（复习）变换矩阵（齐次坐标表示时）
图形变换的矩阵运算： null二维图形基本变换矩阵讨论： 实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本几何变换； 实现图形平移变换； 实现图形透视变换，
一般二维变换中p = q = 0； 实现图形全比例变换，
s>1等比例缩小；00沿+x方向错切； c<0沿-x方向错切。
②当c=0时, x’=x, y’=bx+y。x坐标不变：
b>0沿+y方向错切； b<0沿-y方向错切。 变换矩阵为： null（4）旋转变换 变换矩阵为： （5）平移变换变换矩阵为： x′= x cosθ – y sinθ
y′= x sinθ+ y cosθ6.2.2二维图形的组合变换6.2.2二维图形的组合变换实际上，图形变换中常常是相对于任意点或线变换。 单独采用前述的各种基本变换无法完成，通常需要将各种基本变换组合使用，以完成最终的图形变换。
解决这个问题的思路是这样的：
先将任意点移向坐标原点（任意线则移向与X或Y轴重合的位置），
再用前述变换矩阵加以变换，
最后反向移回任意点（任意线移回原位）。 这种由多种基本变换组合而成的变换称为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。6.2.2二维图形的组合变换6.2.2二维图形的组合变换先将任意点移向坐标原点（任意线则移向与X或Y轴重合的位置），
再用前述变换矩阵加以变换，
最后反向移回任意点（任意线移回原位）。 这种由多种基本变换组合而成的变换称为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。null1 绕任意点的旋转（1） 将旋转中心Q平移到原点，图形也随着一起平移
变换矩阵为：（2） 将图形绕坐标系原点旋转α角，
变换矩阵为：（3） 将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为：null因此，绕任意点的旋转变换矩阵为：null 如原图形为长方形，各点坐标为：A(20,10)，B(50,10)，C(50,30)，D(20,30)，要求长方形绕A点作逆时针方向旋转30°，求变换后各顶点的坐标。
原图形长方形点集矩阵表示为：
null（1）旋转中心A (20，10)连同图形整体移动，使旋转中心A与原点重合。使用平移变换矩阵： 负值表示P点的移动方向与坐标轴方向相反。null（2）绕坐标原点旋转图形，即作旋转变换。null（3）将旋转之后的图形，连同A点再反向平移回到原先位置。即作平移变换。null则绕任意定点A的旋转变换矩阵T为：null变换后长方形的各顶点坐标为：null2. 对任意直线的镜射变换设任意直线的方程为：Ax+By+C=0，直线在X 轴和Y 轴上的截距分别为-C/A和-C/B，直线与X 轴的夹角为，α=arctg（-A/B）。 具体步骤如下：null（1）平移直线，沿X方 向将直线平移，使其通过原点（也可以沿y向平移）；（2）绕原点旋转，使直线与X 坐标轴重合（也可以与Y轴重合）；（3）对于X轴进行镜射变换（也可以对于Y轴镜像） ；null（4）绕原点旋转，使直线回到原来与X轴成α角的位置；（5）平移直线，使其回到原来位置。null 通过以上五个步骤，即可实现图形对任意直线的镜射变换。其组合变换如下：作业（二）作业（二）1、四边形的四个顶点坐标为（0，10）、 （10，10）、（10，0）、（0，0），如果图形在x方向上的错切变换为2，求变换后的各点坐标。
2.（1）推导出二维平面图形相对直线y=1－2x的镜射变换矩阵。
（2）已知三角形各点坐标为：A(20,10)，B(50,10)，C(50,30) ，要求三角形相对直线y=1－2x的镜射变换，求变换后各顶点的坐标。
3写出关于固定点P(h,k)进行比例变换的矩阵的一般形式。
若将三角形A(0,0), B(1,1), C(5,2)放大2倍，同时保持C(5,2)顶点的位置不变，试求出新三角形的坐标。null1、四边形的四个顶点坐标为（0，10）、 （10，10）、（10，0）、（0，0），如果图形在x方向上的错切变换为2，求变换后的各点坐标。
变换矩阵为：null2.（1）推导出二维平面图形相对直线y=1－2x的镜射变换矩阵。
（2）已知三角形各点坐标为：A(20,10)，B(50,10)，C(50,30) ，要求三角形相对直线y=1－2x的镜射变换，求变换后各顶点的坐标。
解：
1)沿-Y轴平移，使直线通过原点。
2）逆时针方向旋转θ，使其与X轴重合。
3）关于X轴对称，对称变换矩阵
4）反向旋转，顺时针方向旋转θ，
使直线回到原来与X轴成θ角的位置；
5）反向平移，使其回到原来位置null1)沿-Y轴平移，使直线通过原点。
平移变换矩阵：
2）逆时针方向旋转θ，使其与X轴重合。
tanθ=2，sinθ= ，cosθ=
旋转变换矩阵 null3）关于X轴对称，对称变换矩阵
4）反向旋转，顺时针方向旋转θ，使直线回到原来与X轴成θ角的位置；
旋转变换矩阵
null5）反向平移，使其回到原来位置
平移变换矩阵：
6）总变换矩阵为： null 7）设变换前为图形为P，变换后为图形为P1，则：
8） 变换后A、B、C坐标分别为：null3 写出关于固定点P(h,k)进行比例变换的矩阵的一般形式。
若将三角形A(0,0), B(1,1), C(5,2)放大2倍，同时保持C(5,2)顶点的位置不变，试求出新三角形的坐标。
解：
1）将原图中任意一点P（h，k） ，平移到坐标原点，整个图形随之移动。变换矩阵为：
null2) 相对原点的进行比例变换。变换矩阵为：3) 进行平移变换，将任意点P平移至原来位置，整个图形随之移动。变换矩阵为：
null4) 上述组合变换的组合矩阵为5) 设变换前为图形为P，变换后为图形为P1，则：6） 变换后A、B坐标分别为: (-5,-2),(-3,0) 思考题思考题先将图形绕固定点P(h,k) 旋转θ角度，再进行比例变换，试推导复合变换矩阵的一般形式。
若先将三角形A(0,0)， B(1,1)，C(5,2)绕P（8，6）旋转45°，再放大3倍，试求出新三角形各点的坐标。
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