第九章 无穷级数

第九章 无穷级数 第一节 常数项级数 教学目标：①理解级数的基本概念及级数饿收敛和发散 ②知道级数的基本性质 教学重点：判断一些简单级数的收敛与发散 教学过程： 一、级数的基本概念 定义１ 设给定数列 则式子1 2, , , , ,nu u u⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1 2 nu u u+ + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ n ⋅⋅ ⋅ nu 称为无穷级数，简称级数， 记作 ，即 ，其中第n项 称为级数的一般项或通项．通 项u 为常数的级数 1 n n u ∞ = ∑ n 1 2nu u u= + + ⋅⋅⋅ 1 nu ∞ = 1n u ∞ = + +∑ n ∑ 称为常数项级数或数项级数； 为函数的级数称为函数项级数． nu 例如 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 2 2 3 ( 1) n n n n n n n n n n n ∞ = ∞ − − = ∞ = = + + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ − = − + − + ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅ = + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅+ × × + ∑ ∑ ∑ 都是常数项级数． 而 1 1 2 1 1 1 1 ( 1) 1 1 ( 1) sin sin sin 2 sin n n n n n n x x x x nx x x nx ∞ − − − − = ∞ = − = − + − + ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅ = + + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ ∑ ∑ 都是函数项级数． 二、级数的收敛与发散 在上述例中 右端可以写成 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 ( 1)n n n ∞ − − = − = − + − + ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅∑ (1 结果为０ 1) (1 1) (1 1) 0 0 0− + − + − + ⋅⋅⋅ = + + + ⋅⋅⋅ 也可写成 1 结果为１ [( 1) 1] [( 1) 1] 1 0 0+ − + + − + + ⋅⋅⋅ = + + + ⋅⋅⋅ 两个结果完全不同．因此提出问题＂无限个数相加＂是否存在＂和＂，＂和＂等于什么？ 例１ 讨论级数 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3nn ∞ = = + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅∑ n 的和． 解 这是一个公比为 1 3 的等比数列，它的前 和 n 11 ( ) 132 3[1 (1 31 3 n n nS − = ⋅ = − − ) ] 当 ，有 。 n→∞ lim 3nn S→∞ = 它反映的无穷级数 1 2 3nn ∞ = ∑ 无穷多项累加的结果，我们把极限值３称为级数 1 2 3nn ∞ = ∑ 的“和”． 一般的，对级数 分别取它的１项，２项，．．．n 项的和作出数列{ ： 1 n n u ∞ = ∑ }nS 1 1 2 1 2 1 2n n S u S u u S u u u = = + ⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + ⋅⋅⋅+ ⋅⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 这个数列的通项为 1 2n nS u u u= + + ⋅⋅⋅+ 称为级数 的前 n 项的部分和，而数列{ 称为级数nS 1 n n u ∞ = ∑ }nS 1 n n u ∞ = ∑ 的部分和数列． 这样，就可以把无穷多项求和问题归结为求相应的部分和数列的极限． 定义２ 设 ，如果数列{ 收敛，且 1 n n S ∞ = =∑ nu S}nS lim nn S→∞ = ，则称级数 1 nn u ∞ = ∑ 收敛，极限值 就称为级数 的和．记作 S 1 n n u ∞ = ∑ 1 2 1 n n n S u u u u ∞ = = = + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅∑ 此时， 称为级数1 2n n n nR S S u u+ += − = + + ⋅⋅⋅ 1 n n u ∞ = ∑ 第 n 项以后的余项，且 li 。 m 0nn R→∞ = 如果数列{ 发散，即当 时， 没有极限，则称级数}nS n→∞ nS 1 n n u ∞ = ∑ 发散．发散级数没有 和． 例２ 讨论级数 的收敛性（1na aq aq −+ + ⋅⋅⋅ + + ⋅⋅⋅ 0a ≠ ）． 解 此级数是公比为 的等比级数， q 1 1 ( 1 1 n n n qS a aq aq a q q − −= + + ⋅⋅⋅ + = ⋅ ≠− ) （１） 当 | | 1q < 时， 1lim lim 1 1 n nn n q aS a q q→∞ →∞ −= ⋅ =− − 即级数收敛，其和为1 a q− ． （２） 当 | | 1q > 时， 即级数发散． lim nn S→∞ = ∞ （３） 当 1q = 时， , ∞时，级数发散． nS na n= → 当 时，级数成为 显然 ，从而 极限不存在，级 数发散． 1q ≠ a a a a− + − + ⋅⋅⋅ 0n a n S n ⎧= ⎨⎩ 为奇数 为偶数 nS 总之， | | 时，级数收敛． 时，级数发散． 1q < | | 1q ≥ 例３ 判断级数 1 1 1 1 2 2 3 ( 1)n n + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅× × + 是否收敛，若收敛，求其和． 解 级数的通项 可写成nu 1 1 1 ( 1) 1n u n n n n = = −+ + ，因此 1 1 1 1 2 2 3 ( 1)n S n n = + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅× × + 1 1 1 1 1 1(1 ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1n n n = − + − + ⋅⋅⋅+ − = − 1+ + 而 1lim 1 1 1nn S n→∞ = − =+ 所以级数 1 1 ( 1n n n ∞ = +∑ ) 收敛，其和为１． 例４ 讨论级数 1 1ln n n n ∞ = +∑ 的散敛性． 解 1 1ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) ln(1 ) 2 3n S n = + + + + + + ⋅⋅⋅+ + 1 3 4 1ln 2 ln ln ln 2 3 3 4 1ln(2 ) ln( 1) 2 3 n n n n n += + + + ⋅⋅⋅+ += × × ×⋅⋅⋅× = + 所以有 lim lim ln( 1)nn nS n→∞ →∞= + +∞ 即级数 1 1ln n n n ∞ = +∑ 发散． 例５ 级数 1 1 n n ∞ = ∑ 称为调和级数，讨论它的敛散性． 解 先证明一个不等式 ln(1 )x x≥ + （ ） 0x ≥ 令 ( ) ln(1 )f x x x= − + ， 1(0) 0, '( ) 1 0 1 f f x x = = − + ≥ 由此可知 ( )f x 为增函数． 又因 ( ) (0)f x f≥ ，所以不等式得证． 令 1 1 11, , , 2 3 x n = ⋅⋅⋅ 带入不等式，得 1 3 1 4 11 ln 2, ln , ln , , ln 2 2 3 3 n n n +≥ ≥ ≥ ⋅⋅⋅ ≥ 1 所以 1 1 1 3 4 11 ln 2 ln ln ln 2 3 2 3n nS n n += + + + ⋅⋅⋅+ ≥= + + + ⋅⋅⋅+ 3 4 1ln(2 ) ln( 1) 2 3 n n n += × × ×⋅⋅⋅× = + 而 ，故级数lim lim ln( 1)nn nS n→∞ →∞≥ + = +∞ 1 1 n n ∞ = ∑ 发散． 三、级数的基本性质 性质 1 若级数 收敛，则 li 1 n n u ∞ = ∑ m 0nn u→∞ = ． 注：此性质说明，当级数的通项 lim 0nn u→∞ ≠ ，则级数发散．这个结论提供例判别级数收 敛的一种方法． 如 级数 1 2 3( 1) 1 ( 1) 2 1 3 5 2 1 n n n n n n n ∞ = − = − + − ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅− −∑ 由于 lim lim( 1) 0 2 1 n nn n nu n→∞ →∞ = − ≠− 所以级数发散． 但是通项极限 ，也不能说明级数收敛，如lim 0nn u→∞ = 1 1 n n ∞ = ∑ 的通项极限 1lim 0n n→∞ = ，而级 数发散。 性质２ 若级数 收敛且和为 ，则对任一常数C，级数 1 n n u ∞ = ∑ S 1 n n Cu ∞ = ∑ 也收敛，且和为CS ． 性质３ 若级数 ， 都收敛且和分别为 ，则级数 也收敛，且和 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ 1 2,S S 1 ( n n n u v ∞ = ±∑ ) 为 ． 1 2S S± 例６ 判别级数 1 1 2 ( 1) 3 n n n −∞ = + −∑ 是否收敛，如收敛求其和． 解 根据例２的结论知 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)3 3,1 13 2 31 1 3 3 n n n n −∞ ∞ = = −= = = = − − ∑ ∑ 14( )− 由性质２，３知级数 1 1 2 ( 1) 3 n n n −∞ = + −∑ 也收敛 其和为 1 1 1 1 1 2 ( 1) 2 ( 1) 1 1 52 3 3 3 2 4 n n n n n n n n − −∞ ∞ ∞ = = = + − −= + = × + =∑ ∑ ∑ 4 ． 性质４ 在级数 中添加或去掉有限项，不改变级数的敛散性． 1 n n u ∞ = ∑ 注：收敛级数添加或去掉有限项后和原级数通常是有区别的 例如 等比级数 1 1 11 2 4 2n + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ 是收敛的且和为２，但是去掉两项后的级数 1 1 2 4 + + ⋅⋅⋅ 1 2n + + ⋅⋅⋅是收敛的，但和为 1 2 ． 性质５ 收敛级数加括号后形成的级数仍然收敛且等于原来的和． 注：收敛级数去掉括号后形成的级数未必收敛．例如级数 (1 1) (1 1) (1 1)− + − + − + ⋅⋅ + ⋅⋅⋅ ⋅收敛 于０，但是去括号后级数为 是发散的． 11 1 1 1 1 1 ( 1)−− + − + − + ⋅⋅⋅+ − 课后小结：本节主要讲述了级数的基本概念，级数的收敛与发散以及级数的基本性质，同学 们要掌握利用定义或性质来判断级数的敛散性． 课后作业：课后习题 .1,3NO 第二节 常数项级数的审敛法 教学目标：①理解正项级数的概念及正项级数的比较判别法和比值判别法 ②理解交错级数的判别法 教学重点、难点：利用判别法判断级数的收敛性 教学过程： 一、正项级数的概念 若级数 中各项均为非负， ，则称该级数为正项级数． 1 n n u ∞ = ∑ 0 ( 1, 2,3, )nu n≥ = … 容易知道：正项级数的部分和数列S 是一个单调递增的数列． n 由单调有界数列必有极限可得： 定理 1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界． 根据定理 1，可得正项级数常用的两种审敛法：比较判别法和比值判别法 二、正项级数的比较判别法 定理 2(比较判别法) 设两个正项级数 1 n n u ∞ = ∑ ， 1 n n v ∞ = ∑ 且 ( 1,2,...)n nu v n≤ = 则有 （１）当级数 收敛时，级数 也收敛； 1 n n v ∞ = ∑ 1 n n u ∞ = ∑ （２）当级数 发散时，级数 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ 也发散． 例１ 讨论级数 1 1 p n n ∞ = ∑ 的收敛性，其中 p为正常数，此级数称为 p级数． 解 当 1p = ，此时 p级数就是调和级数 1 1 p n n ∞ = ∑ ，故发散． 当 时，因为0 p< <1 1 1 ( 1,2,...)p nn n≥ = ，而调和级数发散，所以由比较判别法的结论(2) 可知，这时 p级数发散． 当 1p > 时，观察其前 项和n 1 1 11 2 3n p p S n = + + + ⋅⋅⋅+ p 对于每一个确定的 p值， 可以看 成是 n个以１为底，高为 Sn 1 pn 逐步递减的小矩形面积和(如图)， 根据定积分的几何意义，显然 1 1 2 1 1 11 , ( 1) 1 1 1 n n p p p pS dx x p p n p + −< + = − ⋅ <− − − −∫ 由定理 1 知 p级数收敛． 综上所述可知： p级数当0 时发散：当1p< ≤ 1p > 时收敛． 例 2 用比较判别法判断下列级数的敛散性: 2 1 1 2 1 1 1 1(1) (2) 2 ln( 1) 4 1(3) (3) 5 3 5 2 n n n n n n n n n n n n n ∞ ∞ = = ∞ ∞ = = + + + + − + ∑ ∑ ∑ ∑ + 解 （1）由于 2 2 1 1 ( 1,2,...) 2 n n n n < =+ + 且 21 1 n n ∞ = ∑ 收敛，故级数 2 1 1 2n n n ∞ = + +∑ 收敛． （２） 0 ln(1 )x x x x> > +当 时，有 。现取 为自然数 ，n ln(1 )n n> +则有 ( 1,2,...)n = 1 1 ln(1 )n n < +即 ． 因级数 1 1 n n ∞ = ∑ 发散，故级数 1 1 ln( 1)n n ∞ = +∑ 也发散． （３）因为 4 4 4 5 4( ) ( 1, 2,3, )335 3 2 55 (1 )5 (1 ) 55 n n n n nn n nn n n= ≤ = =− −− " 并且等比级数 1 4( ) 5 n n ∞ = ∑ 收敛，由性质１ 1 5 4( ) 2 5 n n ∞ = ∑ 收敛，从而级数 1 4 5 3 n n n n ∞ = −∑ 收敛． （４）因为 2 2 1 1 , 5 2 8 8 n n n n n n + > =+ + 又因为级数 1 1 8n n ∞ = ∑ 是发散的，故级数 2 1 1 5 2n n n n ∞ = + + +∑ 发 散． 由例１中（１）（４）可得，如果正项级数通项 是分式，而其分子分母都是 的多项式(常 数是零次多项式)或无理式时，只要分母的最高次数高出分子最高数一次以上(不包括一次) 该正项级数收敛, 否则发散． nu n 例３ 试判断下列正项级数的敛散性: 1 (1) (2 1)( 1)n n n n ∞ = − +∑ 21 1(2) ( 1n n n ∞ = )+∑ 解 （１）因为通项的分母中 n的最高次为二次，分子 最高为一次，分母比分子仅高一次， 所以级数 n 1 (2 1)( 1)n n n n ∞ = − +∑ 发散． （２）因为通项的分母中 n 的最高次数为 3 2 次，分子 的最高次数为０次，所以n 2 1 1 ( 1n n n ∞ = +∑ ) 收敛． 在利用比较判别法判断正项级数的敛散性时，首先要选定一个已知其收敛性的级数与之比 较．我们经常用 p级数和等比级数作为这样的级数． 三、正项级数的比值判别法 定理 3(比值判别法) 设正项级数 满足： 1 n n u ∞ = ∑ 1lim nn n U U ρ+ →∞ = （ ρ 为常数）则 （１）当 1p < 时，级数收敛； （２）当 1p > 时，级数发散； （３）当 1p = 时，级数可能收敛，也可能发散． 一般的，当正项级数通项中出现 或 等形式时，应用比值判别法较为简便．但应注意， 当 na nn 1p = 时，此方法失效． 例４ 判别级数 1 10 ! n n n ∞ = ∑ 是否收敛． 解 因为 10 , ! n nu n = 1 1 10 , ( 1)! n nu n + + = + 1 1 10 ( 1)!lim lim 10 ! n n nn n n u n u n + + →∞ →∞ += 10lim 1n n→∞ = + 0 1= < ，所以级数 1 10 ! n n n ∞ = ∑ 收敛． 例５ 判别级数 1 ! n n n n ∞ = ∑ 是否收敛． 解 , ! n n nu n = 1 1 ( 1) , ( 1)! n n nu n + + += + 1 1 ( 1) ( 1)!lim lim ! n n nn n n n u n nu n + + →∞ →∞ + += ( 1)lim n nn n n→∞ += 1lim(1 )n n n→∞ = + 1e= > 所以级数 1 ! n n n n ∞ = ∑ 发散． 例６ 讨论级数 1 !( ) ( 0)n n xn x n ∞ = >∑ 的收敛性． 解 因为 1 1 ( 1)!( ) 1lim lim !( ) n n n n nn xnU n xU n n + + →∞ →∞ + += lim 1(1 )n n x n →∞= + x e = ． 所以当 x e< 时，即 1x e < ，级数收敛，当 x e> 时，即 1x e > ，级数发散．当 x e= 时，虽然 不能利用比值判别法直接得出级数收敛或发散的结论，但是由于数列 1{(1 ) }n n + 是一个单调增而有上限的数列，即 1(1 ) n+ ≤ ( 1,2,3, )e n n = " ． 因此对于任意有限的 ，总有n 1 11 1(1 ) (1 ) n n nn U x e U n n + = = + + > ，即级数的后项总是大于前项， 所以 li ，故级数发散． m 0nn u→∞ ≠ 四、交错级数判别法 定义 形为 11 2 3 4�– – ( 1)n nu u u u u−+ + ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅或 1 2 3 4– – ( 1)n nu u u u u+ + + ⋅⋅⋅ + − + ⋅⋅⋅ 的级数称为交错级数． 定理４ (莱布尼兹定理) 如果交错级数 满足条件： 1 1 ( 1)n n n u ∞ − = −∑ 1(1) n nu u +≥ ( 1,2,3,n )= " (2) lim 0nn u→∞ = 则交错级数收敛． 课后小结：本节主要讲述了正项级数的概念及其两种判别方法，交错级数及莱布尼兹定理， 同学们要多做练习，选择适当的方法对级数进行判别． 课后作业：课后习题 .1, 2,3NO 第三节 幂级数 教学目标：①理解函数项级数和幂级数的概念 ②幂级数的收敛性及其运算性质 教学重点：幂级数的收敛 教学过程： 一、函数项级数 一般的，当级数 的通项 是函数时，称该函数为函数项级数，即 1 n n u ∞ = ∑ ( )n nu u x= 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )n n n u x u x u x u x ∞ = = + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅∑ 对函数项级数，若令 x取定义域中某一确定值 0x x= ，则得到一个数项级数 0 1 0 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( )n n n u x u x u x u x ∞ = = + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅∑ 若该项级数收敛，则称 0x 为函数项级数的一个收敛点；反之则称 0x 为函数项级数的一个发 散点。收敛点的全体构成的集合，称为函数项级数的收敛域． 若 0x 是收敛域内的一个值，则必有一个和 与之对应即 0( )S x 0 1 0 2 0 0( ) ( ) ( ) ( )nS x u x u x u x= + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ 当 0x 在收敛域内变化时， 也随之变化，就得到一个定义在收敛域内的函数 ，即 0( )S x ( )S x 1 2( ) ( ) ( ) ( )nS x u x u x u x= + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ 这个函数 就称为和函数． ( )S x 将函数项级数前 项和记为 ，且称之为函数项级数的部分和函数，即 n ( )nS x 1 2( ) ( ) ( ) ( )n nS x u x u x u x= + + ⋅⋅⋅+ 那么在函数项级数的收敛域内有 lim ( ) ( )nn S x S x→∞ = ． 二、幂级数及其收敛性 一般的，形如 （１） 20 1 2 0 n n n a x a a x a x a x ∞ = = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅∑ nn 和 （２） 20 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( )n nn n n a x a a a x a a x a a x a ∞ = − = + − + − + ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅∑ 的级数称为幂级数其中 和 都是常数， 称为幂级数的系数． na ( 0,1,2,...)n = a na 对于级数（２）只要令 x a t− = 就可以转化为（１）的形式，因此我们主要讨论级数（１）． 幂级数 在 时一定收敛；在 0 n n n a x ∞ = ∑ 0x = 0x ≠ 时，级数可能收敛也可能发散．一般的， 幂级数除了在 时或整个实数范围内收敛之外，总存在一个正实数0x = R ，使得幂级数 ： 0 n n n a x ∞ = ∑ ① 当 | |x R< ，即 ( , )x R R∈ − 时收敛； ② 当 | |x R> ，即 ) 时发散； ( , ) ( ,x R R∈ −∞ − +∞∪ ③ 当 | |x R= ，即 x R= ± 时可能收敛也可能发散． 则这个正实数R称为幂级数的收敛半径，区间 ( , )R R− 称为幂级数的收敛区间（收敛域）． 时，级数都收敛，其和为 1 a x−如幂级数 ，当0 n n ax ∞ = ∑ x在区间 ( 内任取一个值1,1)− 0x ，所以 区间 (− 为该级数的收敛域，１就为收敛半径． 1,1) 就 定理１ 若幂级数 的系数满足： 0 n n n a x ∞ = ∑ 1 1lim | |nn n a a R ρ+→∞ = = ，则 ① 当0 ρ< < +∞时，幂级数收敛半径为R； ② 当 ρ = ±∞时，幂级数收敛半径为 0R = ； ③ 当 0ρ = 时，幂级数收敛半径为R = +∞． 例 1 求幂级数 2 1 2! ! nx xx n + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅的收敛半径． 解 收敛半径 1 1 !lim | | lim | | lim( 1)1 ( 1)! n n n n n a nR n a n →∞ →∞ →∞+ = = = + = + +∞ 即级数 0 ! n n x n ∞ = ∑ 的收敛半径为 ，即，幂级数在R = +∞ ( , )−∞ +∞ 内收敛． 例２ 求幂级数 的收敛半径． 21 2 (3 ) ( )nx x nx −+ + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅1 ⋅ 解 收敛半径 1 1 1 1 1lim | | lim | | lim | | 0 01( 1) (1 ) n n nn n n nn a nR a n n e n − →∞ →∞ →∞+ = = = × = ×+ + = 即级数 仅在 处收敛． 1 0 ( )n n nx ∞ − = ∑ 0x = 例３ 求幂级数 2 3 ( 1) 2 3 ! n nx x xx n − + − −⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅的收敛区间． 解 收敛半径 1 1lim | | lim | | 1n n n n a nR a n→∞ →∞+ += = = 当 | | 时，级数1x < 1 ( 1) n n n x n ∞ = −∑ 收敛； 当 | | 时，级数1x > 1 ( 1) n n n x n ∞ = −∑ 发散； 当 1x = 和 ，级数分别为1x = − 1 1( 1)n n n ∞ = −∑ 和 1 1 n n ∞ = ∑ ，前者收敛，后者发散． 所以幂级数 1 ( 1) n n n x n ∞ = −∑ 的收敛半径为 ( 1,1]− ． 例４ 求幂级数 1 ( 2)( 1) 2 n n n n x∞ = −−∑ 的收敛区间． 解 令 2x t− = ，则 1 ( 1) 2 n n n n t∞ = −∑ ， 1 1 1( 1) 2lim | | lim | | 21( 1) 2 n n n n n nn n aR a→∞ →∞+ + − = = − = 所以 即 得2 2t− < < , 1 2x− < − < 2 0 4x< < ． 当 得 ，它是发散的． 0x = 1 1 n ∞ = ∑ 当 得 ，它也是发散的． 4x = 1 ( 1)n n ∞ = −∑ 所以幂级数 1 ( 2)( 1) 2 n n n n x∞ = −−∑ 的收敛区间是 ． (0, 4) 例５ 求幂级数 2 1 ( 1) 2 1 n n n x n ∞ = − +∑ 的收敛区间． 解 2( 1) 1 21 2 ( 1) 2( 1) 1lim | | lim | | ( 1) 2 1 n n n nn n nn x a n x xa n ρ + + + →∞ →∞ − + += = − = + 当 1ρ < 即 ，级数收敛 2 1x < 即 | | 时，所求幂级数绝对收敛． 1x < 当 时，带入级数得1x = ± 1 1( 1) 2 1 n n n ∞ = − +∑ 级数收敛． 所以幂级数的收敛区间[ 1 ． ,1]− 三、幂级数的运算性质 设幂级数 和 的收敛半径分别为 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n b x ∞ = ∑ 1 2,R R ，和函数分别为 ，若 令 1 2( ), ( )S x S x 1 2, )min(R R R= ，对幂级数有以下性质： 性质１ 加法和减法 1 2 0 0 0 ( ) ( ) ( )n n nn n n n n n n a x b x a b x S x S x ∞ ∞ ∞ = = = ± = ± = ±∑ ∑ ∑ 此时所得幂级数 收敛半径为 0 ( ) nn n n a b x ∞ = ±∑ R 性质２ 若幂级数 的收敛半径 ，则在区间 0 n n n a x ∞ = ∑ 0R > ( , )R R− 上和函数 是连续 函数． ( )S x 性质３ 逐项求导数 若幂级数 的收敛半径 ，则在区间 0 n n n a x ∞ = ∑ 0R > ( , )R R− 上和函数 可导，且有 ( )S x 1 0 0 0 '( ) ( ) ' ( ) 'n nn n n n n S x a x a x na x ∞ ∞ ∞ n n − = = = = = =∑ ∑ ∑ 此时所得幂级数收敛半径为R，但是在收敛区间断点处的收敛性质可能改变． 性质４ 逐项积分 若幂级数 的收敛半径 ，则在区间 0 n n n a x ∞ = ∑ 0R > ( , )R R− 上和函数 可积，且有 ( )S x 1 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 x x xn n n n n n n n aS t dt a t dt a t dt x n ∞ ∞ ∞ n− = = = = = = +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ 此时所得幂级数收敛半径为R，但是在收敛区间断点处的收敛性质可能改变． 例６ 讨论幂级数 0 n n x ∞ = ∑ 逐项求积分所得幂级数的收敛区间． 解 幂级数 2 0 1n n n x x x x ∞ = = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅∑ 收敛半径 1R = ，逐项求积分得 1 2 3 1 0 1 2 3 1 n n n x x x xx n n + +∞ = = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅+ +∑ 它的收敛半径 1R = ． 当 ，幂级数为交错级数1x = − 1 0 1( 1) 1 n n n ∞ + = − +∑ ，是收敛的． 当 1x = ，幂级数为调和级数，它是发散的． 故幂级数的收敛区间为[ 1 ． ,1)− 例７ 求幂级数 的和函数． 0 ( 1) n n n x ∞ = +∑ 解 所给幂级数的收敛半径 1R = ，收敛区间为 ( 1,1)− ． 注意到 1( 1) ( )n nn x x ++ = ' '而 1 1 0 0 0 ( 1) ( ) ' ( )n n n n n n n x x x ∞ ∞ ∞+ + = = = + = =∑ ∑ ∑ 在收敛区间 内，幂级数( 1,1)− 1 0 1 n n xx x ∞ + = = −∑ 所以 1 2 0 0 1( 1) ( ) ' ( ) ' 1 (1 n n n n xn x x )x x ∞ ∞ + = = + = = =− −∑ ∑ ． 课后小结：本节主要讲述了函数项级数和幂级数的概念，幂级数的收敛性及其运算性质．同 学们在学习时重点学会判断幂级数的收敛半径和收敛域． 课后作业：课后习题 .2,3NO 第四节 函数的幂级数展开式 教学目标：①知道泰勒级数和麦克劳林级数 ②理解函数的幂级数展开 教学重点：将函数的幂级数展开 教学过程： 一、泰勒级数和麦克劳林级数 设函数 ( )f x 在某区域内能 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成幂级数 20 1 2 0 n n n n n a x a a x a x a x ∞ = = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅∑ ( , )x R R∈ − ． 由幂级数的逐项可导性，求出 ( )f x 的各阶导数，并将 0x = 带入得到 ( ) 0 1 2 '(0) ''(0) (0)(0), , , , , 1! 2! ! n n f f fa f a a a n = = = ⋅⋅⋅ = ⋅⋅⋅ 所以 ( ) 2'(0) ''(0) (0)( ) (0) 1! 2! ! n nf f ff x f x x x n = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ ——— ( )f x 的麦克劳林展开式，等式右端为麦克劳林级数 注：可见若 ( )f x 能表示成 x的幂级数，则在此区域内必存在任意阶导数，且幂级数的系数 由 ( )f x 在 处的函数值和各阶导数值确定. 0x = 同理 函数 ( )f x 在某区域内能表示成幂级数 即 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞ = − = + − + − + ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅∑ 0 0( , )x x R x R∈ − + ． 则 ( ) 2 0 0 0 0 '(0) ''(0) (0)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1! 2! ! n nf f ff x f x x x x x x x n = + − + − + ⋅⋅⋅+ − + ⋅⋅⋅ ——— ( )f x 的泰勒展开式，等式右端为泰勒级数 另外还要研究麦克劳林级数满足什么条件才收敛于 ( )f x ？ 在 ( , )R R− 内要使 ( ) 2'(0) ''(0) (0)( ) (0) 1! 2! ! n nf f ff x f x x x n = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ 成立 只要考察余项 ( ) ( 1) 1 0 (0) ( )( ) ( ) ! ( 1)! n n n n n f f nR x f x x x n n ξ+∞ + = = − = +∑ （余项的拉格朗日形式） 是否满足 lim ( ) 0nn R x→∞ = ．ξ在０和 x之间． 综合： 函数函数 ( )f x 在区域 ( , )R R− 内能展开成 x的幂级数（麦克劳林级数）⇔ ( )f x 在 区域内有任意阶导数，且对于任意的 ( , )x R R∈ − ， li n m ( ) 0nR x→∞ = ． 二、函数的幂级数展开 （１）求出 ( )f x 的各阶导数 ( )'( ), ''( ), , ( )nf x f x f x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅； （２）计算 ( )'(0) ''(0) (0)(0), , , , 1! 2! ! nf f ff n ⋅ ⋅ ⋅ ； （３）写出 ( )f x 的麦克劳林级数 ( ) 2'(0) ''(0) (0)(0) 1! 2! ! n nf f ff x x x n + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ （４）求出上述级数的收敛区间 ( , )R R− ； （５）在收敛区间内考察 lim ( )nn R x→∞ 是否为零，若为零则有： ( ) 2'(0) ''(0) (0)( ) (0) 1! 2! ! n nf f ff x f x x x n = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ 否则即使求出麦克劳林级数，其和函数也不一定是 ( )f x ． 例１ 把 ( ) xf x e= 展开为 x的幂级数． 解 由于 ( ) ( )n xf x e= ，故有 ( )(0) (0) 1nf f= = 则 ( )f x 的麦克劳林级数为 2 1 2! ! nx xx n + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ ( 1) 1 1( )( ) ( 1)! ( 1)! n n n n f eR x x x n n ξξ+ + += =+ + （ ξ 在０ 和 x 之间 ） 而 e ξ 有 界， 1 lim 0 ( 1)! n n x n + →∞ =+ 所以 lim ( ) 0nn R x→∞ = ， 1 ( 1 nx + 0 )!n n ∞ = +∑ 的收敛域为 ( , )−∞ +∞ ，即得 xe 的的麦 克劳林展开式为 2 1 2! ! n x x xe x n = + + + ⋅⋅⋅+ + ⋅⋅⋅ ( ,x )∈ −∞ +∞ 例 2 求正弦函数 ( ) sinf x = x麦克劳林展开式. 解 正弦函数的各阶导数为 ( ) 2'( ) cos sin( ), ''( ) sin sin( ) 2 2 3'''( ) cos sin( ), ( ) sin( ) 2 2 n f x x x f x x nf x x x f x x π π π π = = + = − = + = − = + ⋅⋅⋅ = + x 算出 得到( ) (0)nf sin x的麦克劳林级数 3 5 2 1 1( 1) 3! 5! (2 1)! n nx x xx n − −− + − ⋅⋅⋅ + − + ⋅⋅⋅− 收 敛 区 间 为 ( , )−∞ +∞ ( 1) 1 ( 1)sin[ ]( ) 2( ) 0 ( 1)! ( 1)! n n n n fR x x x n n 1n π ξξ+ + + + = = ++ + = （ξ在０和 x之间） 因为 ( 1)| sin[ ] | 1 2 n π ξ+ + ≤ ，所以 lim ( ) 0nn R x→∞ = 所以 sin x的麦克劳林展开式 3 5 2 1 ! +1sin ( 1) 3! 5! (2 1) n nx x xx x n − −= − + − ⋅⋅⋅ + − ⋅⋅⋅− ) ( ,x∈ −∞ +∞ 同理可得一些常用的初等函数的幂级数展开式（见课本）． 例３ 求函数 ( ) lnf x x= 在 处的泰勒展开式 2x = 用间接法比直接法更简便 令 2x t− = 则 ln ln(2 )x t= + 1 n ⋅1 (n ∞ = ∑ln(2 ) ln 2(1 ) ln 2 ln(1 ) ln 2 1) ( 2 2)2 2 2 n n n t t tt t−+ = + = + + = + − − < ≤ 将 t换回 x就得到所求展开式 1 1 ( 2)ln ln 2 ( 1) (0 4) 2 n n n n xx x n ∞ − = −= + − < ≤⋅∑ 课后小结：本节主要讲述了泰勒级数和麦克劳林级数，以及函数的幂级数展开，同学们多做 练习，熟练 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，更迅速的将函数展开为幂级数． 课后作业：课后习题 .1, 2,3NO