第4届国际物理奥林匹克竞赛试MATCH_
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_1714063216899_0与解答
(1970年于苏联的莫斯科)
【题1】如图4.1(a)、(b),在质量M=1kg的木板上有质量m=0.1kg的小雪橇。雪橇上的马达牵引着一根绳子,使雪橇以速度v0=0.1m/s运动。忽略桌面与木板之间的摩擦。木板与雪橇之间的摩擦系数μ=0.02。把住木板,起动马达。当雪橇达到速度v0时,放开木板。在此瞬间,雪橇与木板端面的距离L=0.5m。绳子拴在(a)远处的桩子,(b)木板的端面上。
试描述两种情形下木板与雪橇的运动。雪橇何时到达木板端面?
图4.1(a) 图4.1(b)
解:(a)在第一种情形中(如图4.1(a)),雪橇处于匀速运动状态。
雪橇与木板以不同的速度运动。这样引起的最大摩擦力为mg,它作用在木板上,产生的加速度
,直至木板达到雪橇的速度v0为止。加速时间为
=5.1s
在这段时间内,雪橇的位移为
=0.255m
因此,雪橇离木板右端点的距离为
0.5m-0.255m=0.245m
雪橇不能达到木板的一端,因为这段时间以后,木板与雪橇以相同的速度v0一起运动。在木板加速期间,马达必须用力mg牵引绳子,但以后马达不能施加力的作用,它只是卷绳子。
(b)在第二种情形中(如图4.1(b)),木板与桌面之间无摩擦。木板与雪橇形成一个孤立系统,可以用动量守恒定律。当我们放开木板时,雪橇的动量为mv0,释放后的木板具有速度v2,它由下式决定:
mv0=M v2+m(v0+v2)
此式表明v2=0,所以木板保持不动,雪橇以同一速度继续前进。
雪橇达到木板右端的时间为
=5 s
【题2】NaCl的晶体点阵由边长为5.6×10-8cm的立方晶胞组成,它是面心立方点阵。钠原子量约为23,氯原子量为35.5,NaCl密度为2.22g/cm3。试计算氢原子的质量(如图4.2)。
解:我们先求出一个晶胞的Na离子数。在立方晶胞中心有一个离子,在立方晶胞的每一边也有一个离子,但后者仅有四分之一是属于这个晶胞的。
故钠离子数为:
氯离子也是这个数。密度可以表示为晶 图4.2
胞的质量与体积之比,故若用m表示氢原子的质量,则密度可表示为:
解上式可求得氢原子的质量为
m=1.66×10-24g=1.66×10-27kg
【题3】半径r=10cm的金属球置于半径R=20cm的薄金属空心球内,两球同心。内球靠一根长导线经过外球的开孔接地。若外球带电量Q=10-8C,求外球电势(如图4.3)。
解:这里有两个电容,并联连接。其一由外球和内球组成,另一由地与外球组成。由电容相加便可算出电势。
导体球相对远处地球的电容为
,其中k=9×109 N m2/C2,R为导体球半径。在空心球情形,如果内球接地①,电容为:
, 图4.3
所以:
两个电容并联总电容为:
把R=0.2m,r=0.1m,k=9×109 N m2/C2代入上式得:
C=44.4×10-12F=44.4 pF
故外球相对与地球的电势为:
=225V
(注:①Ca是内外球组成的球形电容器的电容,与内球是否接地无关。)
【题4】在半径r=2m、孔径d=0.5m的凹面镜的焦点位置上,放一块圆形屏幕,使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅由原来的1/8,问有多少部分的光能达到在同样位置的屏幕上?
解:我们只有采用较精确形式的反射定律,通过利用某些数学近似来求解本题。
按照教科书中通常的理论推导,半径PO=R的凹面镜的焦点位于距离R的中点F处。我们用h表示凹面镜孔径之半。在P点的入射光线与半径的夹角为,反射后与轴交于F1点。OP F1是等腰三角形。 图
则:
故实际焦点与理论距离的偏差为
我们把圆形屏放在点F处,要求出屏幕的最小半径值x。在直角三角形P F F1中,应用通常的小角近似,得:
对于小角度:
,故
将
代入,得焦“斑”的半径为
将数值:h=50/2=25cm;R=200cm,代入
即得:
x=0.195cm=1.95mm
再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为x,则入射到凹面镜的光束半径为
如果我们用半径kx的屏代替半径为x的屏,则入射光束的半径为:
入射光的量正比于
,因此
本题情形是
,由此得出,落在圆形屏幕上光的量将是前者的
【实验题】桌上有三个装在支架上的透镜,一块有几何图形的屏,一支杆和一把卷尺。仅用所给的工具,以不同的方法测定透镜的焦距。
解答:有几种可能的方法。在凸透镜情形,我们用目视观查虚像的消失,并测定透镜的距离。
我们注视着实像,借助于视差把杆放在实像的位置上,测量物距和像距,从而计算出焦距。
再看凹透镜情形。我们把凹透镜与一个强会聚的凸透镜密接在一起,并用上述方法之一测量系统的焦距,然后算出凹透的焦距。
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