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第十六讲 质数与合数

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第十六讲 质数与合数第十六讲 质数与合数 我们知道,每一个自然数都有正因数(因数又称约数).例如,1有一个正因数;2,3,5都有两个正因数,即1和其本身;4有三个正因数:1,2,4;12有六个正因数:1,2,3,4,6,12.由此可见,自然数的正因数,有的多,有的少.除了1以外,每个自然数都至少有两个正因数.我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数),把正因数多于两个的自然数称为合数.这样,就把全体自然数分成三类:1,质数和合数. 2是最小的质数,也是唯一的一个既是偶数又是质数的数.也就是说,除了2以外,质数都是奇...

第十六讲 质数与合数
第十六讲 质数与合数 我们知道,每一个自然数都有正因数(因数又称约数).例如,1有一个正因数;2,3,5都有两个正因数,即1和其本身;4有三个正因数:1,2,4;12有六个正因数:1,2,3,4,6,12.由此可见,自然数的正因数,有的多,有的少.除了1以外,每个自然数都至少有两个正因数.我们把只有1和其本身两个正因数的自然数称为质数(又称素数),把正因数多于两个的自然数称为合数.这样,就把全体自然数分成三类:1,质数和合数. 2是最小的质数,也是唯一的一个既是偶数又是质数的数.也就是说,除了2以外,质数都是奇数,小于100的质数有如下25个:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97. 质数具有许多重要的性质: 性质1 一个大于1的正整数n,它的大于1的最小因数一定是质数. 性质2 如果n是合数,那么n的最小质因数a一定满足a2≤n. 性质3 质数有无穷多个(这个性质将在例6中证明). 性质4(算术基本定理)每一个大于1的自然数n,必能写成以下形式: 这里的P1,P2,…,Pr是质数,a1,a2,…,ar是自然数.如果不考虑p1,P2,…,Pr的次序,那么这种形式是唯一的. 关于质数和合数的问题很多,著名的哥德巴赫猜想就是其中之一.哥德巴赫猜想是:每一个大于2的偶数都能写成两个质数的和.这是至今还没有解决的难题,我国数学家陈景润在这个问题上做了到目前为止最好的结果,他证明了任何大于2的偶数都是两个质数的和或一个质数与一个合数的和,而这个合数是两个质数的积(这就是通常所说的1+2).下面我们举些例子. 例1 设p,q,r都是质数,并且 p+q=r,p<q. 求p. 解 由于r=p+q,所以r不是最小的质数,从而r是奇数,所以p,q为一奇一偶.因为p<q,故p既是质数又是偶数,于是p=2. 例2 设p(≥5)是质数,并且2p+1也是质数.求证:4p+1是合数. 证 由于p是大于3的质数,故p不会是3k的形式,从而p必定是3k+1或3k+2的形式,k是正整数. 若p=3k+1,则 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1) 是合数,与题设矛盾.所以p=3k+2,这时 4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3) 是合数. 例3 设n是大于1的正整数,求证:n4+4是合数. 证 我们只需把n4+4写成两个大于1的整数的乘积即可. n4+4=n4+4n2+4-4n2=(n2+2)2-4n2 =(n2-2n+2)(n2+2n+2), 因为 n2+2n+2>n2-2n+2=(n-1)2+1>1, 所以n4+4是合数. 例4 是否存在连续88个自然数都是合数? 解 我们用n!表示1×2×3×…×n.令 a=1×2×3×…×89=89!, 那么,如下连续88个自然数都是合数: a+2,a+3,a+4,…,a+89. 这是因为对某个2≤k≤89,有 a+k=k×(2×…×(k-1)×(k+1)×…×89+1) 是两个大于1的自然数的乘积. 说明 由本例可知,对于任意自然数n,存在连续的n个合数,这也说明相邻的两个素数的差可以任意的大. 用(a,b)表示自然数a,b的最大公约数,如果(a,b)=1,那么a,b称为互质(互素). 例5 证明:当n>2时,n与n!之间一定有一个质数. 证 首先,相邻的两个自然数是互质的.这是因为 (a,a-1)=(a,1)=1, 于是有(n!,n!-1)=1. 由于不超过n的自然数都是n!的约数,所以不超过n的自然数都与n!-1互质(否则,n!与n!-1不互质),于是n!-1的质约数p一定大于n,即n<p≤n!-1<n!. 所以,在n与n!之间一定有一个素数. 例6 证明素数有无穷多个. 证 下面是欧几里得的证法. 假设只有有限多个质数,设为p1,p2,…,pn.考虑p1p2…pn+1,由假设,p1p2…pn+1是合数,它一定有一个质约数p.显然,p不同于p1,p2,…,pn,这与假设的p1,p2,…,pn为全部质数矛盾. 例7 证明:每一个大于11的自然数都是两个合数的和. 证 设n是大于11的自然数. (1)若n=3k(k≥4),则 n=3k=6+3(k-2); (2)若n=3k+1(k≥4),则 n=3k+1=4+3(k-1); (3)若n=3k+2(k≥4),则 n=8+3(k-2). 因此,不论在哪种情况下,n都可以表为两个合数的和. 例8 求不能用三个不同合数的和表示的最大奇数. 解 三个最小的合数是4,6,8,它们的和是18,于是17是不能用三个不同的合数的和表示的奇数. 下面证明大于等于19的奇数n都能用三个不同的合数的和来表示. 由于当k≥3时,4,9,2k是三个不同的合数,并且4+9+2k≥19,所以只要适当选择k,就可以使大于等于19的奇数n都能用4,9,2k(k=n-13/2)的和来表示. 综上所述,不能表示为三个不同的合数的和的最大奇数是17. 练习十六 1.求出所有的质数p,使p+10,p+14都是质数. 2.若p是质数,并且8p2+1也是质数,求证:8p2-p+2也是质数. 3.当m>1时,证明:n4+4m4是合数. 4.不能写成两个合数之和的最大的自然数是几? 5.设p和q都是大于3的质数,求证:24|p2-q2. 6.设x和y是正整数,x≠y,p是奇质数,并且 求x+y的值.
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