高等数学（二）复习指导－第9章__重积分

高等数学（二）复习指导 第九章 重积分 41 第九章 重积分 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1) 理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。 (2) 掌握利用直角坐标计算二重积分及利用极坐标计算二重积分。 (3) 会用二重积分解决实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 。 (4) 了解三重积分的概念与性质。 (5) 掌握利用直角坐标投影法、三次积分法计算三重积分及利用柱面坐标法计算三重积 分。 2. 重点及难点 （1）重点：二重积分的计算。 （2）难点：三重积分的计算。 二、内容概述 1．二重积分的定义 定义 设函数 ),( yxfz = 在有界闭区域 D 上有界。 分割 将闭区域 D 任意分 n个小区域， nσσσ ΔΔΔ ,...,, 21 其中 iσΔ 表示第个小区域，也表 示它的面积。 求和 在每个小区域 iσΔ 上任取一点 ),( ii ηξ ，作乘积 iiif σηξ Δ),( ，并作和 ∑ = Δ n i iiif 1 ),( σηξ 取极限 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时， ∑ =→ Δ n i iiif 10 ),(lim σηξλ 存在，且此极限不依赖区域的分法，也不依赖于点的取法，则称此极限值为 ),( yxf 在闭区 域 D 上的二重积分。记为 ∑∫∫ =→ Δ= n i iii D fdyxf 10 ),(lim),( σηξσ λ 高等数学学习指导 称 σd 为面积元素。 2．存在性 存在定理 若 ),( yxf 在闭区域D上连续，则 ),( yxf 在闭区域D上的二重积分必存在。 ⒊ 几何意义与物理解说 几何意义 二重积分 σdyxf D ∫∫ ),( 表示一个数值。当 0),( ≥yxf 时，其值等于以D为底， 以 ),( yxf 为曲顶的曲顶柱体的体积。 物理解析 若平面薄片D的面密度为 ),( yxf ，则二重积分 σdyxf D ∫∫ ),( 的值等于平面薄片 D的质量。 ⒋ 性质 性质 1： ∫∫∫∫ = DD dyxfkdyxkf σσ ),(),( ， k 为常数。 性质 2： [ ]∫∫ ∫∫ ∫∫±=± D D D dyxgdyxfdyxgyxf σσσ ),(),(),(),( 性质 3：如果闭区域D由有限条曲线分为两个区域 21 ,DD ，则 ∫∫ ∫∫ ∫∫+= D D D dyxfdyxfdyxf 1 2 ),(),(),( σσσ 性质 4：若记σ 为D的面积，则 ∫∫ = D d σσ 性质 5：在D上,若 ),(),( yxgyxf ≤ ，则 ∫∫ ∫∫≤ D D dyxgdyxf σσ ),(),( 性质 6：若在D上有 Myxfm ≤≤ ),( , 则 ∫∫ ≤≤ D Mdyxfm σσσ ),( ， 其中σ 为D的面积。 性质 7：（二重积分中值定理）设 ),( yxf 在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点 ),( ηξ 使得 σηξσ ),(),( fdyxf D =∫∫ ⒌ 面积元的表示 在直角坐标系下面积元 dxdyd =σ ，即 ∫∫∫∫ = DD dxdyyxfdyxf ),(),( σ 在极坐标系下面积元 θσ rdrdd = ，即 ∫∫ ∫∫ ′ = D D rdrdrrfdyxf θθθσ )sin,cos(),( 其中D′是将区域D的边界曲线换为极坐标表示的区域。 高等数学（二）复习指导 第九章 重积分 43 ⒍ 二重积分的计算 ⑴选取坐标系 若积分区域为圆域、扇形域、圆环域时，利用极坐标系，计算二重积分方便。 ⑵选择积分次序 积分次序的选择要考虑两个因素，被积函数与积分区域，具体方法例题说明。 ⒎ 三重积分的定义 定义 设函数 ),,( zyxf 在有界闭区域Ω上有界。 分割 将闭区域Ω任意分成 n个小区域， nvvv ΔΔΔ ,...,, 21 其中 ivΔ 表示第个小区域，也表 示它的体积。 求和 在每个小区域 ivΔ 上任取一点 ),,( iii ςηξ ，作乘积 iiii vf Δ),,( ςηξ ，并作和 ∑ = Δ n i iiii vf 1 ),,( ςηξ 取极限 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时， ∑ =→ Δ n i iiii vf 10 ),,(lim ςηξλ 存在，且此极限不依赖区域的分法，也不依赖于点的取法，则称此极限值为 ),,( zyxf 在闭 区域Ω上的三重积分。记为 ∑∫∫∫ =→Ω Δ= n i iiii vfdVzyxf 10 ),,(lim),,( ςηξλ 称 dV 为体积元素。 ⒏ 三重积分的物理解析 若空间有界形体Ω的密度为 ),,( zyxf ，则 dVzyxf∫∫∫ Ω ),,( 的值等于的Ω质量。 ⒐ 三重积分的计算 计算三重积分的基本方法是将三重积分化三次积分。 （1）投影法：直角坐标系下和柱面坐标系下计算三重积分 若 { }xyDyxyxzzyxzzyx ∈≤≤=Ω ),(),,(),(),,( 21 ，则 ∫∫ ∫∫∫∫ = Ω xyD yxz yxz dzzyxfddVzyxf ),( ),( 2 1 ),,(),,( σ 然后根据具体情况选择直角坐标系下的二重积分计算或极坐标系下的二重积分计算。 （2）利用球面坐标计算三重积分 ,cos,sinsin,cossin θθϕθϕ rzryrx === 高等数学学习指导 将Ω的边界曲面换为球面坐标系下的表达式Ω′，则 ∫∫∫∫∫∫ Ω′Ω = ϕϑϕϕθϕθϕ ddrdrrrrfdVzyxf sin)cos,sinsin,cossin(),,( 2 如果积分区域Ω为球形域或被积函数为 )( 222 zyxf ++ 形式，利用球面坐标计算三重积分 常能简化运算。 （3）如果被积函数 )(),,( zfzyxf = ，并且当 z 等于常数的平面与Ω相截时，其截面积 zS 易求， { }dzcDyxzyx z ≤≤∈=Ω ,),(),,( 则 ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ Ω == d c D d c z x dzSzfdxdydzzfdVzf )()()( 三、典型例题分析 例 1 ：计算 dxdy x yx D ∫∫ sin ，其中D为由 1,0, === xyxy 所围成的区域。 y 分析：由于被积函数 x yxyxf sin),( = 先对 y 积分 dy x yx∫ sin 很容易，先对 x积分 dxxyx∫ sin x O 不能用初等函数表示，所以应该选择先对 y积分。 解：D的不等式表示为 10,0 ≤≤≤≤ xxy dx x yxdy x yxdxdxdy x yx x x D 0 1 0 2 0 1 0 )cos(sinsin −== ∫∫∫∫∫ )1cos1( 3 1)11cos( 1 0 2 −=+−= ∫ dxx 例 2：计算 ∫∫ D xydxdy其中D为由 2,,1 === yxy x y 所围成的区域。 分 析 ： 由 图 9-2 容 易 知 道 ， 如 果 先 对 y 积 分 那 么 D 的 下 曲 线 有 两 部 分 ， 需 要 分 区 域 ， 而 先对 x积分无需划分区域，所以应该选择先对 x积分。 解：区域D : 21,1 ≤≤≤≤ yyx y , 则 高等数学（二）复习指导 第九章 重积分 45 dy y ydyyxdxxydyxydxdy y y y yD )1( 2 1 2 1 32 11 22 11 2 1 −=== ∫∫∫∫∫∫ 2ln 2 1 8 15)ln 2 1 8 1( 21 4 −=−= yy 例 3：计算 dx x yxdy y∫ ∫10 1 sin y 分析：由于 ∫1 siny dxxyx 不能用初等函数表示，所以要 交换积分次序。 x O 解：由积分表示知积分区域D： 10,1 ≤≤≤≤ yxy ，作图如图，得积分区域可重新 表示为： 10,0: ≤≤≤≤ xxyD ，于是 dx x yxdy y∫ ∫10 1 sin dxxyxdyxyxdx x x 0 1 0 2 0 1 0 )cos(sin −== ∫∫∫ )1cos1( 3 1)11cos( 1 0 2 −=+−= ∫ dxx 例 4：计算 ∫∫ + D dxdyyxyx )coscos1( 其中D是以 )1,1(),1,1( − 和 )1,1( −− 为顶点的三角 形区域。 分析： ∫∫ ∫∫ ∫∫+=+ D D D ydxdyxxyxdxdydxdyyxyx coscos)coscos1( 其中 yxxy coscos 是关于 x的奇函数，也是关于 y 的奇函数。 因此连接 BO，令 1D 为 AOBΔ ， 2D 为 BOCΔ 。 y B A x O C 高等数学学习指导 其中 ∫∫ 1 coscos D ydxdyxxy ，由于 1D 关于 y轴对称，而且 yxxy coscos 是的奇函数，这样 ∫∫ = 1 0coscos D ydxdyxxy 。 解：连接BO，令 1D 为 AOBΔ ， 2D 为 BOCΔ 。 其中 ∫∫ 1 coscos D ydxdyxxy ，由于 1D 关于 y轴对称，而且 yxxy coscos 是的奇函数，这样 ∫∫ = 1 0coscos D ydxdyxxy 。 同理得 ∫∫ = 2 0coscos D ydxdyxxy 。这样 ∫∫ ∫∫ ∫∫+=+ D D D ydxdyxxyxdxdydxdyyxyx coscos)coscos1( = ∫ ∫ ∫ ∫− − − −=−==11 1 11 11 21 32)(x x dxxxdxxyxdydx 例 5：计算 ∫∫∫ ≤++ V zyxVxyzdxdydz 1: 222 位于第一卦限的区域。 分析：由积分区域的特点本题可选择直角坐标系或球面坐标系。 方法一：利用直角坐标系。 用不等式表示积分区域 { }10,10,10),,( 222 ≤≤−≤≤−−≤≤= xxyyxzzyxV ∫∫∫ ∫ ∫ ∫− −−= V x yx zdzydyxdxxyzdxdydz 1 0 1 0 1 0 2 22 dyyxyxdx x∫ ∫ − −−= 10 10 222 2 1 ∫ −−−= 10 10422 2]81)1(41[ dxyyxx x ∫ =−= 10 22 481)1(81 dxxx 方法二：利用球面坐标系。 ∫∫∫ ∫ ∫ ∫= V drrrrrddxyzdxdydz 2 0 2 0 1 0 2 sincossinsincossin π π ϕϕθϕθϕϕθ ∫ ∫ ∫= 20 20 10 53 cossincossin π π ϕϕϕθθθ drrdd 48 1 6 1sin 4 1sin 2 1 2 0 42 0 2 == ππ ϕθ 高等数学（二）复习指导 第九章 重积分 47 显然，后者积分更方便。 例 6：求 ∫∫∫ ++ V dvzyx )( 22 其中V 是由曲面 )( 2 1 22 yxz += 与平面 4=z 所围成的 立体区域。 分析：由积分区域的特点选择柱面坐标系或先计算一个二重积分最后对 z 积分的方法。 方法一：利用柱面坐标系 由 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = += 4 )( 2 1 22 z yxz 求出交线圆周的半径为 8=R ∫ ∫ ∫∫∫∫ +=++ π θ20 80 4 2 222 2 )()( r V dzzrrdrddvzyx ∫ += 80 4 2 2 2 2)2 (2 drzzrr rπ ∫ =−+= 80 42 3256)8584(2 ππ drrrr 方法二：先计算一个二重积分，然后对 z 积分。 ∫ ∫∫∫∫∫ ++=++ 40 2222 )()( zDV dxdyzyxdzdvzyx ∫ ∫ ∫ += 40 20 20 2 )(π θ z drzrrddz dzzrr z∫ += 40 20 24 ) 24 (2π ∫ == 40 2 325622 ππ dzz 容易看出，后者积分更方便。 四、自测题及解答 一、 填空题 1．二重积分 dxdyyx yx ∫∫ ≤+ + 1 22 )( 的符号为 。 2．若 ),( yxf 为关于 x的奇函数，且积分区域D关于 y轴对称， ),( yxf 在D上连续，则 ∫∫ = D dxdyyxf ),( 。 3．设 { }09),( 22 ≥≤+= yyxyxD 且 ，将二重积分化成极坐标下的二重积分有 高等数学学习指导 =+∫∫ D dxdyyxf )( 22 。 4．设 { }2222),,( Rzyxzyx ≤++=Ω ，则三重积分 ∫∫∫ Ω =dxdydz 。 二、单项选择题 1．二次积分 ∫ ∫10 0 ),(x dyyxfdx 的另一种次序的积分是（ ） (A) ∫ ∫10 10 ),( dxyxfdy (B) ∫ ∫10 12 ),(y dxyxfdy (C) ∫ ∫10 0 ),(y dxyxfdy (D) ∫ ∫10 0 2 ),( y dxyxfdy 2．设 fyxD ,91: 22 ≤+≤ 是D上的连续函数，则二重积分 σdyxf D )( 22 +∫∫ 在极坐标下 等于（ ） (A) ∫31 )(2 drrrfπ (B) ∫31 2 )(2 drrrfπ (C) ∫31 )(2 drrfπ (D) ∫31 2 )(2 drrfπ 3． ∫ ∫20 cos0 )sin,cos( π θ θθθ rdrrrfd 等于（ ） (A) ∫∫ − 2010 ),(yy dxyxfdy (B) ∫ ∫ −10 10 2 ),( y dxyxfdy (C) ∫ ∫10 10 ),( dxyxfdx (D) ∫ ∫ −10 0 2 ),( xx dyyxfdx 4 . 设Ω是由 12,0,0,0 =++=== zyxzyx 所围成的，则三重积分 ∫∫∫ Ω xdxdydz等于（ ） （A） ∫ ∫ ∫10 10 10 xdzdydx (B) ∫ ∫ ∫ − −−1 0 2 1 0 21 0 x yx xdzdydx (C) ∫ ∫ ∫ −−10 10 210 yx xdzdydx (D) ∫ ∫ ∫ −− −−1 0 2 1 0 21 0 zx yx xdzdydx 三、计算下列重积分的值 1． ∫∫= D xydxdyI 其中D由 1,0,2 === xyxy 所围成。 2． ∫∫ += D dxdyyxI )sin( 22 其中D由 π=+ 22 yx 所围成。 3． dxdy y xI D ∫∫= 22 其中D由 1,,2 === xyxyx 所围成。 4． ∫ ∫ −= 10 1 2x y dyedxI 5． dxdy y yxy xI D ) 1 ( 2 22 ∫∫ + ++= 其中D由 122 =+ yx 所围成。 高等数学（二）复习指导 第九章 重积分 49 6． ∫∫∫ Ω += dVyxI )( 22 其中Ω由 8,222 ==+ zzyx 所围成。 四、设 ⎩⎨ ⎧ ≤≤≤≤= 其它0 0,20 ),( 2 xyxyx yxf , 求： ∫∫ D dxdyyxf ),( 其中D由 xyx 222 =+ 所围成。 五．求 ∫∫∫ Ω += dVyxzI 22 ，其中Ω由 1,0,0,2 2 ===−= zzyxxy 所围成。 六. 证明： ∫ ∫ ∫ −=ba xa ba dxxbxfdyyfdx ))(()( 自测题参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 一、 填空题 1．+ , 2. 0 , 3. ∫ ∫π θ0 30 2 )( drrrfd , 4. 334 Rπ 二、单项选择题 1B, 2.B, 3.D 4.B 三、计算下列重积分的值 1. 解： 10,20: ≤≤≤≤ xxyD ∫ ∫ ∫ ∫ ==== 10 20 10 10 32 2120 2 2 1x dxxdx x xyxydydxI 2. 解： πθπ 20,0: ≤≤≤≤ rD πππθπ π 2 0 cos 2 12sin 2 0 0 22 =−== ∫ ∫ rrdrrdI 3. 解： 21,1: ≤≤≤≤ xxy x D 4 9 1 2 ) 2 1 4 1()(1 2 1 2432 1 22 1 1 2 2 =−=−−=−== ∫∫∫ ∫ xxdxxxdx x x y xdy y xdxI x x 4. 解： 10,0: ≤≤≤≤ yyxD ∫ ∫∫ −−−− −=−=== 10 110100 )1(2121 222 eedyyedxedyI yy y y 5. 解：由于D既关于 x轴对称又关于 y轴对称，而被积函数 x是关于 x的奇函数，被积函 高等数学学习指导 数 2 22 1 y yxy + + 是关于 y的奇函数，所以 0 1 2 22 =+ ++= ∫∫∫∫ dxdyy yxyxdxdyI DD 6．解： ∫∫∫ + ≤+ += 8 216 22 22 22 )( yx yx dzdxdyyxI ∫∫ ≤+ +−+= 16 22 22 22 ) 2 8)(( yx dxdyyxyx 3 4 0 4 ) 12 12(2) 2 8( 5 642 0 4 0 2 2 ππθπ =−=−= ∫ ∫ rrrdrrrd 四、解： ∫∫ ∫∫ ′ = D D ydxdyxdxdyyxf 2),( ， 4 0,cos20: πθθ ≤≤≤≤′ rD ∫∫ ∫ ∫= D drrddxdyyxf 4 0 cos2 0 24 sincos),( π θ θθθ θθθ π dsincos2 5 1 754 0∫= 4 3 0 4cos5 4 8 =−= π θ 五、 解：利用柱面坐标， 10,cos20, 2 0: ≤≤≤≤≤≤Ω zr θπθ ，于是 ∫∫∫ Ω += dVyxzI 22 ∫∫ ∫ ∫ ∫=+= D drrdzdzdxdyyx 1 0 2 0 cos2 0 222 2 1 π θθ 9 8= 六、证明： bxaxyaD ≤≤≤≤ ,: 交换积分次序得 byabxyD ≤≤≤≤ ,: 所以 ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ −=−==ba xa baba by ba dxxbxfdyybyfdxyfdydyyfdx ))(())(()()(