高等数学（二）复习指导－第7章__空间解析几何与向量代数

高等数学（二）复习指导 第七章 空间解析几何与向量代数 第七章 空间解析几何与向量代数 一、基本要求及重点、难点 1．基本要求 （1）了解空间直角坐标系，熟悉坐标系中特殊点的坐标及两点间的距离公式。 （2）掌握向量概念，熟悉向量的线性运算。 （3）掌握向量的数量积和向量积概念、坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，掌握向量平行和垂直的判别条件。 （4）掌握平面的点法式方程和一般式方程，会求点到平面的距离 （5）掌握空间直线的对称式方程、参数式方程和一般式方程，会进行方程间的互化。 （6）会用方向向量和法向量讨论平面之间、直线之间以及平面与直线之间的位置关系。 （7）了解曲面方程的概念。知道常用二次曲面（如球面、椭球面、旋转抛物面及圆锥面 等）的方程及其图形。 （8）会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形。 （9）了解空间曲线的参数式方程和一般式方程，会求简单空间曲线在坐标平面上的投影。 2．重点及难点 （1）重点：理解向量的概念与各种运算，用向量代数方法掌握平面和空间直线方程。 （2）难点：用向量代数方法来研究平面与直线问题，培养空间图形的想象能力。 二、内容概述 1．向量概念的基本要点 （1）向量定义：既有大小又有方向的量。 （2）重要概念：单位向量、零向量、负向量、向径、自由向量、相等向量。 （3）向量的坐标表达式： { }zyxzyx aaakajaiaa ,,=++= KKKK ， 其中 zyx aaa ,, 分别为向量在 x轴、 y轴和 z 轴上的投影。 （4）向量的模与方向余弦： 222 zyx aaaa ++=K ； 222cos zyx xx aaa a a a ++ == Kα ， 222 cos zyx yy aaa a a a ++ == Kβ ， 222cos zyx zz aaa a a a ++ == Kγ 2．投影定理 ),cos(Prj babba KKKKK = 4 3．向量的线性运算 设aK { }zyx aaa ,,= ，bK { }zyx bbb ,,= ， cK { }zyx ccc ,,= （1）向量的加减法：平行四边形法则，三角形法则 坐标表达式： ba KK + { }zzyyxx bababa +++= ,, （2）向量的数乘：设λ是数，则 aKλ { }zyx aaa λλλ ,,= 运算规律： aa KK )()( λμμλ = ， aaa KKK μλμλ +=+ )( ， baba KKKK λλλ +=+ )( 4．向量的乘法 （1）向量的数量积： 定义式： ),cos( bababa KKKKKK =⋅ , 坐标表达式： =⋅ba KK zzyyxx bababa ++ 运算规律： abba KKKK ⋅=⋅ ， baba KKKK ⋅=⋅ )()( λλ ， cabacba KKKKKKK ⋅+⋅=+⋅ )( 常用应用： aaa KKK ⋅= ， ba baba KK KKKK ⋅=),cos( ， a baba K KKK K ⋅=Prj ， 0=⋅⇔⊥ baba KKKK （2）向量的向量积 定义式： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =×=× 确定。到，指向按右手法则从、方向：同时垂直于 大小： baba bababa ba KL KKKKKKKK ),sin( 坐标表达式： zyx zyx bbb aaa kji ba KKK KK =× 运算规律： abba KKKK ×−=× ， )()()( bababa LKKKKK λλλ ×=×=× ， cabacba KKKKKKK ×+×=+× )( 几何意义：以 ba KK, 为邻边的平行四边形面积 baS KK×= 常用应用： 0 KKK =×aa ， ba KK // ⇔ 0KKK =×ba . 与 ba KK, 同时垂直的向量可取作 ban KKK ×= 注： abba KKKK λλ =⇔ 使存在唯一实数 ,// ⇔ z z y y x x b a b a b a == ⇔ 0KKK =×ba 5．曲面方程 （1）曲面的一般式方程： 0),,( =zyxF （2）旋转曲面： 曲线 ⎩⎨ ⎧ = = 0 0),( z yxf 绕 x轴旋转所得旋转曲面方程为： 0),( 22 =+± zyxf ； 绕 y轴旋转所得旋转曲面方程为： 0),( 22 =+± yzxf 。 高等数学（二）复习指导 第七章 空间解析几何与向量代数 （3）柱面方程 0),( =yxF 在空间直角坐标系中表示准线为 ⎩⎨ ⎧ = = 0 0),( z yxF 母线平行于 z 轴的柱面。 类似的， 0),( =zxG 和 0),( =zyH 分别表示母线平行于 y轴和 x轴的柱面。 注：在母线平行于坐标轴的柱面方程中，相应于该坐标轴的变量不出现。 6．空间曲线及其在坐标面上的投影曲线方程 （1）空间曲线的一般式方程： ⎩⎨ ⎧ = = 0),,( 0),,( zyxG zyxF ，即空间曲线可看作两个空间曲面的交线。 （2）空间曲线在坐标面上的投影曲线方程 空间曲线 ⎩⎨ ⎧ = = 0),,( 0),,( zyxG zyxF 在 xoy面上的投影曲线方程是在上式中消去 z ，得投影柱面方程 0),( =yxf ，再与 0=z 联立，即 ⎩⎨ ⎧ = = 0 0),( z yxf 。 7．平面方程 （1）点法式： 0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA 其中 { }CBAn ,,=K 为平面法向量， ),,( 000 zyx 为平面上任一点。 （2）一般式： 0=+++ DCzByAx ，其中 { }CBAn ,,=K 为平面法向量。 （3）截距式： 1=++ c z b y a x ，其中 cba ,, 分别为平面在三个坐标轴上的截距。 （4）点 ),,( 000 zyx 到平面 0=+++ DCzByAx 的距离： 222 000 CBA DCzByAx d ++ +++= 8．空间直线方程 （1）对称式（标准式、点向式）： p zz n yy m xx 000 −=−=− 其中直线的方向向量为 { }pnms ,,=K ， ),,( 000 zyx 为直线上任一点。 注：对形如 0 000 zz n yy m xx −=−=− 的直线方程，不要理解为分母为零无意义。方向向量 { }0,,nms =K 表明直线与 z 轴垂直，即平行于 xoy坐标面，应理解为两平面交线 6 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −=− 0 00 zz n yy m xx 。 （2）两点式： 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx − −=− −=− − （3）参数式： ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += += += ptzz ntyy mtxx 0 0 0 （4）一般式： ⎩⎨ ⎧ =+++ =+++ 0 0 2222 1111 DzCyBxA DzCyBxA ，其方向向量 { } { }222111 ,,,, CBACBAs ×=K 9．直线与平面的位置关系 （1）两平面 01111 =+++ DzCyBxA 与 02222 =+++ DzCyBxA 的夹角为θ ： 则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 21cos CBACBA CCBBAA nn nn ++⋅++ ++=⋅ ⋅= GG GG θ （2）两直线 1 1 1 1 1 1 p zz n yy m xx −=−=− 与 2 2 2 2 2 2 p zz n yy m xx −=−=− 的夹角为θ ： 则 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 21 21cos pnmpnm ppnnmm ss ss ++⋅++ ++=⋅ ⋅= KK KK θ （3）平面 0=+++ DCzByAx 与直线 p zz n yy m xx 000 −=−=− 的夹角为θ ： 则 222222 sin pnmCBA CpBnAm sn sn ++⋅++ ++=⋅ ⋅= KG KG θ （4）平行条件 平面与平面： 2 1 2 1 2 1 C C B B A A == ， 直线与直线： 2 1 2 1 2 1 p p n n m m == ， 直线与平面： 0=++ CpBnAm （5）垂直条件 平面与平面： 0212121 =++ CCBBAA ， 直线与直线： 0212121 =++ ppnnmm ， 直线与平面： p C n B m A == 高等数学（二）复习指导 第七章 空间解析几何与向量代数 三、典型例题分析 例 1： 设 2=aK ， 3=bK ，且 b//a KK ，求 ba KK ⋅ 及 ba KK × 解： b//a KK∵ ，∴ aK与bK的夹角为 0（同向平行）或π （反向平行）， 则 6)1(32),cos( ±=±××==⋅ bababa KKKK 又 ba KK∵ // ， 0KKK =×∴ ba 例 2：求与向量 kjia KKKK 22 +−= 平行且满足 18−=⋅ xa KK 的向量 xK。 解：设 { }321 ,, xxxx =K ， a//x KK∵ ， 212 321 xxx =−=∴ 令 λ==−= 212 321 xxx ， λ21 =⇒ x ， λ−=2x ， λ23 =x 又 18−=⋅ xa KK∵ ， 1844 −=++∴ λλλ ， 2−=⇒ λ { }4,2,4 −−=∴ xK 。 例 3：设 bab,aba KKKKKK 32, 3 π)(2,5, −=== 求 解： )32()32(32 2 bababa KKKKKK −⋅−=− 769 3 cos124 22 =+−= bbaa KKKK π ∴ 1927632 ==− ba KK 例 4：设 为边的和以求 babababa KKKKKKKK 32, 6 π),(3,4, −+=== 三角形面积。 解： )3()2( 2 1 babaS KKKK −×+= = bbbaabaa KKKKKKKK ×−×−×+× 632 2 1 15 2 1345 2 1 6 sin5 2 15 2 1 =⋅⋅⋅⋅==×= πabab KGKG 例 5：已知 { }2,3,4 −=aK ，单位向量eK与三坐标轴夹角相等且为锐角，求 ae KKPrj 。 解：可设单位向量 eK = kji KKK γβα coscoscos ++ ， ∵ 1coscoscos 222 =++ γβα ，又已知向量 eK与三坐标轴夹角相等且为锐角， 8 可推得 1cos3 2 =α ，即 3 1cos =α 所以 eK = kji KKK 3 1 3 1 3 1 ++ 。又因为向量 kjia KKKK 234 +−= ，得 3 1 3 2 3 3 3 4 Prj = +− =⋅= e eaae K KKKK 例 6：将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程。 （1）双曲线 12 2 2 2 =− c z a x 分别绕 x轴和 z 轴 解：绕 x轴旋转： 12 22 2 2 =+− c zy a x , 绕 z 轴旋转： 12 2 2 22 =−+ c z a yx （2） yoz面上曲线 yz sin= 绕 y轴 解：绕 y轴旋转： yzx sin22 =+± 例 7：求抛物面 xzy =+ 22 与平面 02 =−+ zyx 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程. 解：（1）两曲面的交线方程为 ⎩⎨ ⎧ =−+ =+ 02 22 zyx xzy ，在此方程中消去变量 z ， 得投影柱面方程 045 22 =−++ xxyyx ，则 ⎩⎨ ⎧ = =−++ 0 045 22 z xxyyx 即为原曲线在 xoy面上的投影曲线； （2）消去 y在 xoz面上的投影曲线 ⎩⎨ ⎧ = =−−+ 0 0425 22 y xxzzx ； （1） 消去 x在 yoz面上的投影曲线 ⎩⎨ ⎧ = =−++ 0 0222 x zyzy 。 例 8：求通过点 ( )112 −− ,,P ， ( )3,2,1Q 且垂直于平面 06532 =+−+ zyx 的平面方程。 解： { }431 −−= ,,QP ，已知平面的法矢量 { }53,21 −=nK 高等数学（二）复习指导 第七章 空间解析几何与向量代数 kji kji nQP KKK KKK K 9327 532 4311 +−= − −−=× 取 { }319 ,,n −−=K ，所求平面为： 0)1(3)1()2(9 =−+−−− zyx ， 即： 01639 =−+− zyx 。 例 9：求与已知平面 0522 =+++ zyx 平行且与三坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面 方程。 解：由于所求平面与已知平面平行，所以其法向量可取 { }2,1,2=nK ， 设所求平面方程为 022 =−++ Dzyx ，其中 0≠D 为待定参数。将平面化为截距式方程 1 22 =++ D z D y D x ，则得平面与三个坐标轴的截距，从而可知四面体体积为 1 226 1 =⋅⋅⋅= DDDV ， 3 32±=⇒ D 故所求平面方程为 03222 3 =+++ zyx ，或 03222 3 =−++ zyx 。 例 10：求平面 0522 =++− zyx 与各坐标面的夹角的余弦。 解： { }1,2,2 −=nK 为该平面的法向量， 设该平面与 面、面面、 xoyxozyoz 的夹角分别是 γβα 、、 ，则 ( ) { } { } 3 2 0011)2(2 0,0,11,2,2,coscos 222222 =++⋅+−+ ⋅−=⋅ ⋅== in in in KK KKKKα 同理 ( ) 3 2,coscos −=⋅ ⋅== jn jn jn KK KKKKβ ， ( ) 3 1,coscos =⋅ ⋅== kn kn kn KK KKKKγ 例 11：求过点 )2,1,3( −A 且通过直线 12 3 5 4 zyx:L =+=− 的平面方程。 解：∵平面通过直线，∴点 )0,3,4( −B 在平面上。由此得平面的法向量nK同时垂直于向量 AB 及直线的方向向量 sK，所以可取 kji kji sABn KKK KKK KK 2298 125 241 ++−=−=×= 10 平面的点法式方程为 0)2(22)1(9)3(8 =++−+−− zyx ， 整理得 0592298 =−−− zyx 例 12：已知两直线方程 1 3 0 2 1 1 1 − −=−=− zyx:L , 11 1 2 2 2 zyxL : =−=+ ， 求过 1L 且平行 2L 的平面方程。 解：直线 21 L,L 的方向向量分别为： { }1,0,11 −=sK ， { }1,1,22 =sK ， 因为平面过 1L 且平行于 2L ，所以平面的法向量可取为： =nK kji kji ss KKK KKK KK +−=−=× 3 112 10121 ， 由于平面过直线 1L ，所以点 )3,2,1( 在平面上，故平面方程为 0)3()2(3)1( =−+−−− zyx ，即为： 023 =++− zyx 四、自测题 （一）选择题 1、下列说法正确的是（ ）： （A） kji KKK ++ 是单位向量 （B） iK− 是单位向量 （C） ),sin( bababa KKKKKK =× （D）与 zyx 、、 三坐标轴的正向夹角相等的向量，其方向角为 ) 3 , 3 , 3 ( πππ 2、设三向量 c,b,a KKK 满足关系式 0=++ cba KKK ，则 =×ba KK （ ）： （A） bc KK× （B） cb KK× （C） ca KK× （D） ab KK× 3、下列等式成立的是（ ）： （A） aaaa KKKK ⋅= （B） baabaa KKKKKK )()( ⋅=⋅ （C） 222)( baba KKKK =⋅ （D） 2222 )( bababa KKKKKK =⋅+× 4、设平面方程为 0=++ DCzAx ，其中 D,C,A 均不为零，则平面 （ ）： （A）平行于 x轴 （B） 平行于 y轴 （C）经过 x轴 （D）经过 y轴 高等数学（二）复习指导 第七章 空间解析几何与向量代数 5、设直线方程为 ⎩⎨ ⎧ =+ =+++ 0 0 22 1111 DyB DzCyBxA 且 0,,,,, 221111 ≠DBDCBA ,则直线（ ）： （A）过原点 （B） 轴平行于 x （C） 轴垂直于 y （D） 轴平行于 z （二）填空题 1、设 bakn,bam KKKKKK +=+= 2 ，其中 1=aK ， 2=bK ，且 ba KK ⊥ 。若 nm KK ⊥ ，则 =k 。 2、已知 cba KKK ,, 都是单位向量，且满足 0KKKK =++ cba ，则 =⋅+⋅+⋅ accbba KKKKKK 。 3、设平行四边形二边为向量 }3,1,2{},1,3,1{ −=−= ba KK ，则其面积为 。 4、过三点 )0,6,0(),4,3,2(),0,3,2( RQP −− 的平面方程是 。 5、曲线 ⎩⎨ ⎧ = =+ 0 1223 22 z yx 绕 y轴旋转一周所得的旋转曲面方程为 。 （三）计算题 1、 设向量 { }1,3,2 −=aK ， { }3,2,1 −=bK ， { }2,1,2=cK ，向量 rK满足 br,ar KKKK ⊥⊥ ，且 14Prj =rc KK ，求向量 rK。 2、 求点 )0,2,1(−A 在平面 012 =+−+ zyx 上的投影。 3、已知直线 ⎩⎨ ⎧ =−+− =+−+ 042 01 : zyx zyx L 及点 )2,1,3( −P ， （1）求点P到直线 L的距离 d 。 （2）过点P作直线 l与 L垂直相交，求 l的方程。 4、求与两直线 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += +−= = tz ty x 2 1 1 及 1 1 2 2 1 1 −=+=+ zyx 都平行且过原点的平面方程。 5、求通过直线 ⎩⎨ ⎧ =+−− =+− 062 0223 zyx yx 且与点 )1,2,1( 的距离为 1 的平面方程。