北大版高数第一章解答

第一章总练习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2 2 1. : 5 81 2. 3 | 5 8 | 14 22. | 5 8 | 6,5 8 6 5 8 6, . 3 5 2(2) 3 3, 5 23 3 3,0 15. 5 (3) | 1| | 2 | 1( 1) ( 2) , 2 1 4 4, . 2 2 | 2 |, . 2 , 2, 4, 2; 2 , 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x − ≥ − ≥ − ≥ − ≥ − ≤ − ≥ ≤ − ≤ − ≤ − ≤ ≤ ≤ + ≥ − + ≥ − + ≥ − + ≥ = + − ≤ = + ≤ = − > = 求解下列不等式 （） 或 或 设 试将 表示成 的函数 当 时 当 时 解 解 解 2. 解 5 2 2 2 3 1 2 3 12, 4, ( 2). 3 2, 4 1 ( 2), 4. 3 13. 1 1 . 2 1. 2 1 2,4(1 ) 4 4, 0. 1, 0. 4. : 1 2 3 2(1) 2 . 2 2 2 2 2 1 2 11 , . 2 2 1 2 3 2 2 2 n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x x x n n n n − > = − − ≤⎧⎪= ⎨ − >⎪⎩ + < + ≥ − + < + + < + + > ≥ − ≠ ++ + + + = − += = + + L 求出满足不等式 的全部 用数学归纳法证明下列等式 当 时,2- 等式成立设等式对于 成立,则 解 证 1 2 3 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 1 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 ( 1) ( 1) 32 2 2 , 2 2 2 2 1 . . 1 ( 1)(2)1 2 3 ( 1). (1 ) 1 (1 1) 1 (1 ) 1, (1 ) (1 ) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nxx x nx x x x x xn x x + + + + + + − + + ++ + = + + + + + + + + − + + += − + = − = − + − + ++ + + + = ≠− − + + −= = =− − L L L 即等式对于 也成立故等式对于任意正整数皆成立 当 时证 1 , 1 2 1 2 . 1 ( 1)1 2 3 ( 1) ( 1) (1 ) n n n n n n n x nxx x nx n x n x x + − − + ++ + + + + + = + +−L 等式成立 设等式对于 成立,则 课后 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 网 www.khdaw.com 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ( 1) (1 ) ( 1) (1 ) 1 ( 1) (1 2 )( 1) (1 ) 1 ( 1) ( 2 )( 1) (1 ) 1 ( 1) ( 2 )( 1) (1 ) 1 ( 2) ( 1) , (1 ) 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n + + + + + + + + + + − + + + − += − − + + + − + += − − + + + − + += − − + + + − + += − − + + += − +即等式对于 成立. , . | 2 | | | 25. ( ) (1) ( 4), ( 1), ( 2), (2) ; (2) ( ) ; (3) 0 ( ) (4) 2 2 4 2 1 1 2 2 2 4 2 2(1) ( 4) 1, ( 1) 2, ( 2) 2, (2) 0. 4 1 2 4 / , 2 (2) ( ) x xf x x f f f f f x x f x x f f f f x x f x + − −= − − − → → − − − − − − − − −− = = − − = = − = = = =− − − − ≤ − = 由归纳原理 等式对于所有正整数都成立 设 求 的值 将 表成分段函数 当 时 是否有极限: 当 时是否有极限? 解 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 ; 2, 2 0; 0, 0. (3) . lim ( ) 2, lim ( ) 0 lim ( ). (4) . lim ( ) lim ( 4 / ) 2, lim ( ) lim 2 2 lim ( ), lim ( ) 2. 6. ( ) [ 14], ( ) 14 (1) (0), x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f → − → + → − →− − →− − →− + →− + →− − →− ⎧⎪ − < ≤⎨⎪ >⎩ = = ≠ = − = = = = = = − − 无因为 有 设 即 是不超过 的最大整数. 求 2 0 0 2 2 3 , ( 2) ; 2 (2) ( ) 0 ? (3) ( ) 2 ? 3 9 1(1) (0) [ 14] 14, 14 6 7. ( 2) [ 12] 12. 2 4 4 (2) . lim ( ) lim[ 14] 14 (0). (3) . lim ( ) 12, lim ( ) x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x → → + → + → − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = = ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − = − = − = − + = − = − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = − = − = = − 的值 在 处是否连续 在 处是否连续 连续因为 不连续因为 解 1 1 1 1 11. 7. , 0 , , : (1) ( 1) ;(2)( 1) . n n n n n n a b a b n b a b an b n a b a b a + + + + = − ≤ < − −< + + <− − 设两常数 满足 对一切自然数 证明 课后答案网 www.khdaw.com 1 1 1 1 1 1 1 ( )( ) ( 1) ( 1) . 1 18. 1,2,3, , 1 , 1 . : { } , { } . . 1 11 , 1 , 7 , 1 11 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a n a b n n a b a b a b n n n + + − − + + + − − + + += < + + +− − − > +− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ < + = ++ ⎛ +⎜⎝ L L L 类似有 对 令 证明 序列 单调上升 而序列 单调下降,并且 令 则由 题中的不等式 证 证 = ,= + 1 1 1 1 1 1 1 11 11 ( 1) 1 ,1 1 1 1 1 1 11 1 ( 1) 1 1 ( 1) 1 1 1 11 1 1 , 1 1 11 1 . 1 11 1( 1) 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n + + + + + + + ⎞ ⎛ ⎞− +⎟ ⎜ ⎟+ ⎛ ⎞⎠ ⎝ ⎠ < + +⎜ ⎟⎝ ⎠− + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + < + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞+⎜⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ + <⎜ ⎟+⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 1 1 2 11 1 1 1 1 1 1 1 1( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 . 1 1 1 1 11 1 . 1 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n + + + + + + + ⎛ ⎞− +⎟ ⎜ ⎟+⎝ ⎠ − + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + < + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ < + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + > +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⇔ 我们证明 2 2 1 1 1 2 11 1 1 1 ( 1) 1 1 . . ( 1) ( 1) 1 1 1 1, 1 , 1 , 1 1 . n n n n n n n n n n n n e e e n n n n + + + + > + ++ + + ⇔ >+ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞→∞ + → + → + < < +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 最后不等式显然成立 当 时 故 9.求极限 课后答案网 www.khdaw.com 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1lim 1 1 1 1 2 3 4 1 1 1 11 1 1 1 2 3 4 1 3 2 4 3 5 1 1 1 1 ( ) 2 2 3 3 4 4 2 2 10. ( ) lim ( 0 0, ( ) lim n n n n n n n n n n n n nxf x a nx a xnxf x nx a →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + += = → = ≠+ == =+ L L � � � � L � � 作函数 )的图形. 解 解 0; 1/ , 0.x x ⎧⎨ ≠⎩ .→∞ 1 1 11. ? , ( ) [ , ] | ( ) | , [ , ]. , ( ) , [ , ], max{| |,| |} 1, | ( ) | , [ , ]. , | ( ) | , [ , ], ( ) , [ , ]. 12. f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b < ∀ ∈ ≤ ≤ ∀ ∈ = + < ∀ ∈ < ∀ ∈ − < < ∀ ∈ 1 在 关于有界函数的定义下 证明函数 在区间 上为有界函数的充要条件 为存在一个正的常数 使得 设存在常数 使得M 取 则有 反之 若存在一个正的常数 使得 则 证 1 2 1 2 1 2 1 2 : ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] . , ,| ( ) | ,| ( ) | , [ , ]. | ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) | , | ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | , [ , ]. 113. : ( ) cos 0 y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x x π = = + < < ∀ ∈ + ≤ + < + = < ∀ ∈ = = 证明 若函数 及 在 上均为有界函数 则 及 也都是 上的有界函数 存在 证明 在 的任一 证 , 0 ( ) . 1 1( , ), 0 0, , , ( ) , 1( ) ( , ) 0, ( ) (2 1/ 2)cos(2 1/ 2) 0 , 2 1/ 2 0 ( ) . n x f x M n n M f n M n n f x f x n n n x f x δ δ δ δ δ δ π → − > > < > = > − = → = + + = →∞+ → n 邻域内都是无界的 但当 时 不是无穷大量 任取一个邻域 和 取正整数 满足 和 则 故 在 无界.但是x 故当 时 不是无穷大量 证 课后答案网 www.khdaw.com 1 1 1 1 1 0 0 0 1 14. lim ( 1) ln ( 0). 1 ln1 , ln ln(1 ), .lim lim 1 0. ln(1 ) ln(1 )lim lim ln(1 ) ln lim(1 ) ln 1, ln( 1) ln ( ). ln(1 ) 15. ( ) ( ) n n n n n nn n y y y y y nn n n x x x xx y x y n y x n y y y y e y y xn x x n y f x g x →∞ →∞ →∞ → → → − = > − = = + = = − =+ + = + = + = = − = → →∞+ 证明 令 则 注意到 我们有 设 及 在实轴上有 证 0 0 0 20 2 22 2 2 2 20 0 0 0 . : ( ) ( ) , , ( ) lim ( ) lim ( 1 cos 116. lim . 2 2sin1 cos 2sin 1 sin 12lim lim lim lim 1 4 2 2 n nn n x x x y y f x g x 0) ( ).nx x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞ →∞ → → → → → → = = = − = ⎛ ⎞− = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ � 定义且连续证明 若 与 在有理数集合处处 相等,则它们在整个实轴上处处相等. 任取一个无理数 取有理数序列 证明 证 证 0 0 1 1 0 0 0 1 . 2 ln(1 )17. : (1) lim 1;(2) lim . ln(1 )(1) lim lim ln(1 ) ln lim(1 ) ln 1. ( 1) 1 1(2) lim lim lim lim x a x a y x y y y y y x a a a x x a a a y e e e y x y y y e y e e e e e ye e e + → → → → → + = + −= = + = + = + = = − − −= = = = + 证明 证 0 0 0 0 0 ln(1 )ln(1 ) lim 1 . 1 x x x y y a a yx x x y y e e → → → → → + = =� 0 1 1 1 0 18. ( ) lim ( ) 0, ( ) lim ( ) ( ) 0. | ( ) | ,0 | | . 0, 0, 0 | | | ( ) | / . min{ , }, 0 | | ,| ( ) ( ) | | ( ) || ( ) | , li x a x a y f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M M δ ε δ δ ε δ δ δ δ ε ε → → = = = = < < − < > > < − < < = < − < = < =� 设 在 点附近有定义且有极限 又设 在 点附近有 定义,且是有界函数.证明 设 对于任意 存在 使得当 时 令 则 时 故 证 m ( ) ( ) 0. x a f x g x→ = 19. ( ) ( , ) , , ( ) ( ) | ( ) | ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( , ) . y f x c g x f x f x c g x c f x c c f x c g x g x = −∞ +∞ ≤⎧⎪= >⎨⎪− < −⎩ −∞ +∞ 设 在 中连续 又设 为正的常数 定义 如下 当 当 当 试画出 的略图并证明 在 上连续 课后答案网 www.khdaw.com 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | ( ) | , 0, | | lim ( ) lim ( ) ( ) ( ). ( ) , 0, | | ( ) lim ( ) lim ( ). ( ) , ( ) . 0, , 0, x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δ δ δ δ ε ε δ → → → → < > − < = = = > > − < > = = = = = > < > 一 若 则存在 当 时|f(x)| = = < = + − − = − + + 得当 时 设 若 则 若 则 二 利用证 ε 1 2 1 2 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 3 { ( ), ( )} ( | ( ) ( ) | ( ( ) ( )) / 2. 120. ( ) [ , ] , [ ( ) ( ) ( )], 3 , , [ , ]. [ , ], ( ) . ( ) ( ) ( ), ( ), . ( ) min{ ( ), ( ), ( )}, f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f η η η = − − + + = + + ∈ ∈ = = = = = = 设 在 上连续 又设 其中 证明存在一点 使得 若 则 取 即可 否则设 证 3 1 2 3 1 3 1 3 0 0 0 0 0 0 ( ) min{ ( ), ( ), ( )}, ( ) ( ), [ , ] , , [ , ], ( ) . 21. ( ) ( ) , ( ) g( ) , , . 0 ( ) g( ) ( ) g( ) x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x η η = < < ∈ = = + = + ≠ + 在 连续 根据连续函数的中间值定理 存在一点 使得 设 在点 连续而 在点 附近有定义 但在 不连续问 是否在 连续 其中 为常数 如果 在 连续;如果 在解 , l 0, 0 0 0 0 0 0 | | ( ) [[ ( ) lg( )] ( )] / . 22. Dirichlet . . , ( ) 1; , ( ) lim ( ) , ( ) 1 1(1) lim 0;(2) lim (arctan )sin 1 2 n n n n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x → →∞ →+∞ = + − ′ ′→ → → → +⎛ ⎞ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ 不连续,因否则 将在 连续 证明 函数处处不连续 任意取 取有理数列 则 取无理数列 则 故 不存在 在 不连续. 23.求下列极限: 证 0; 2 2 20 0 1 1/1 1 0 1 2 1 3 2 1 0 0; 2 tan 5 tan 5 / 5(3) lim lim 5. ln(1 ) sin [[ln(1 )] / ] sin / 1 (4) lim( ) lim(1 ) . 24. ( ) [0, ) , 0 ( ) . 0 , ( ), ( ), , ( ). { x x yx x y n n x x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π → → − → → + = = = = =+ + + + = + = = +∞ ≤ ≤ ≥ = = = � L 设函数 在 内连续 且满足 设 是一任意数 并假定 一般地 试证明 1 1 } , lim lim , ( ) , ( ) . ( ) ,{ } ( ) 0( 1,2, ),{ } n nn nn n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞ →∞ + + = = = = ≤ = ≥ = 单调递减 且极限 存在 若 则 是方程 的根 即 单调递减.又 单调递减有下界,证 . 课后答案网 www.khdaw.com 1 1 1 lim , lim lim ( ) (lim ) ( ). 25. ( ) ( , ) , : (0) 1, (1) , ( ) ( ) ( ). ( ) ( ( , )). ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) n n n n nn n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞ →∞ →∞ →∞= = = = = = −∞ +∞ = = + = = ∀ ∈ −∞ +∞ + + = = � L �L� 故 有极限.设 则 设函数 在 内有定义且处处连续 并且满足下列条件 证明 用数学归纳法易得 于是证 1 1 . , ( ) (1 1) (1) . 1 (0) ( ( )) ( ) ( ) ( ), ( ) . ( ) . 1 1 1 1, (1) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) . 1 1( ) ( ) ( ) . , n n n n n n n n mm m n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n mE E m E e e r E n n n − = + + = = = = + − = − = − − = = = = = = ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ L � � � � � � � 设 是正整数 则 于对于任意整数 对于任意整数 即对于所有有理数 lim ( ) . , , ( ) , ( ) lim ( ) lim ( ) .nn n r xx x x nn n r e x x E x E x E x e e e e→∞→∞ →∞ = → = = = = n对于无理数 取有理数列x 由 的连续性 的连续性 课后答案网 www.khdaw.com 习题 1.1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 . 3 3 , , .3 , 3 .3 , , 3 1 3 2. 9 6 1, 9 12 4,3 1. 3 ,9 3 , 3 , 3 . , , . , , , , p pp q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a ap a b p a pb b b = = = = + = + = + + = + + = = = = = = 证明 为无理数 若 不是无理数,则 为互素自然数 除尽 必除尽 否则 或 除 将余 故 类似得 除尽 与 互素矛盾. 设 是正的素数 证明 是无理数 设 为互素自然数,则 素 证 2. 证 1. 2 2 2 2 2 2 2 , , . , . . , : (1) | | | 1| 3.\; (2) | 3 | 2. 0, 1 3,2 2, 1, ( 1,0); 0 1, 1 3,1 3, (0,1); 1, 1 3, 3 / 2, (1,3 / 2). ( 1,0) (0,1) p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X = = = + − < − < < − + − < > − > − − < < + − < < > + − < < = − ∪ 数 除尽 故 除尽 类似得 除尽 此与 为互素自然数矛盾. 解下列不等式 若 则 若 则 若 则 3. 解 (1) 2 2 2 (1,3 / 2). (2) 2 3 2,1 5,1 | | 5,1 | | 5, (1, 5) ( 5, 1). , (1) | | | | | |; (2) | | 1, | | | | 1. (1) | | | ( ) | | | | | | | | |,| | | | | | . (2) | | | ( ) | | | | | | x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ∪ − < − < < < < < < < = ∪ − − + ≥ − − < < + = + + − ≤ + + − = + + + ≥ − = + − ≤ + − < 设 为任意实数 证明 设 证明 证 4. , | 1. (1) | 6 | 0.1;(2) | | . 6 0.1 6 0.1. 5.9 6.1. ( , 6.1) ( 5.9, ). (2) 0, ( , ) ( , ); 0, ; 0, ( , ). 11, 0 1 , . 1, 1. 1 1 n nn n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X aa a n n a a b a a + + > − > + > + < − > − < − = −∞ − ∪ − +∞ > = + +∞ ∪ −∞ − = ≠ < = −∞ +∞ −> < − < > = > − = − = 解下列不等式 或 或 若 若 若 若 证明 其中 为自然数 若 显然 解(1) 证 5. : 6. 1 2 0 0 0 0 ( 1)( 1) ( 1). ( , ) , ( , ) . 1/10 . { | }. ( , ) , , { | }, 10 { | }. /10 , ( 1) /10 , /10 ( 1) /10 1/10 n nn n n n nn n n n n n a b b n a a b a b n b a mA A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m − −− + + + > − < − = ∈ ∩ =∅ = ∪ = ∩ ≥ = ∩ ≤ − ∈ − ≤ − Z L 设 为任意一个开区间 证明 中必有有理数 取自然数 满足 考虑有理数集合 = 若 则 中有最小数 - = 证 7. ( , ) , ( , ) . 1/10 . { 2 | }. 10 n n n n a b a b mn b a A m< − = + ∈Z ,此与 的选取矛盾. 设 为任意一个开区间 证明 中必有无理数 取自然数 满足 考虑无理数集合 以下仿8题. 8. 证 1 课后答案网 www.khdaw.com 习题 1.2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 1ln( 4);(2) ln ;(3) ln ;(4) . 1 4 2 5 3 4 0,| | 4,| | 2, ( , 2) (2, ). 1 0 1 01(2) 0. . 1 1, ( 1,1). 1 0 1 01 5(3) 1, 5 4 0. 5 4 0, ( 4 x x xy x y y y x x x x x x D x xx x D x xx x x x x x x x + −= − = = =− + − − > > > = −∞ − ∪ +∞ − > − <⎧ ⎧+ > − < < = −⎨ ⎨+ > + <− ⎩ ⎩ − > − − < − + = 求下列函数的定义域 或 1. : (1) 解(1) 1 2 2 1 2 2 1)( 4) 0, 1, 4. (1,4). (4)2 5 3 0.(2 1)( 3) 0, 3, 1/ 2. ( , 3) (1/ 2, ). ( ), ( ) 1, (0,3). ( ) (1,10). (2) ( ) ln(1 sin ), ( / 2, ], ( ) ( , ln 2]. (3) ( x x x D x x x x x x D f X X f x x X f X f x x X f X f x π π − − = = = = + − > − + = = − = = −∞ − ∪ +∞ = + = = = + = − = −∞ 求下列函数的值域 其中 为题中指定的定义域2. . (1) 2 2 2 1 2 2 ) 3 2 , [ 1,3],3 2 0, 2 3 0, ( 1)( 3) 0, 1, 3, ( ) [0, (1)] [0, 4]. (4) ( ) sin cos , ( , ). ( ) 2(sin cos( / 4) cos sin( / 3)) 2 sin( / 4), ( ) [ 2, 2]. ln(1) ( ) , ( 1) ln10 x x X x x x x x x x x f X f f x x x X f x x x x f X xf x f π π π = + − = − + − = − − = + − = = − = = = = + = −∞ +∞ = + = + = − = − 求函数值： 设 求 3. 2 , ( 0.001), (100); (2) ( ) arcsin , (0), (1), ( 1); 1 ln(1 ), 0, (3) ( ) ( 3), (0), (5). , 0 , cos ,0 1, (4) ( ) 1/ 2, 1, (0), (1), (3 / 2), (2). 2 , 1 3 (1) ( ) l x f f xf x f f f x x x f x f f f x x x x f x x f f f f x f x − = −+ − −∞ < ≤⎧= −⎨− < < +∞⎩ ⎧ ≤ <⎪= =⎨⎪ < ≤⎩ = 设 求 设 求 设 求 解 2 6 4og , ( 1) log1 0, ( 0.001) log(10 ) 6, (100) log10 (2) (0) 0, (1) arcsin(1/ 2) / 6, ( 1) arcsin( 1/ 2) / 6. (3) ( 3) ln 4, (0) 0, (5) 5. (4) (0) cos 0 1, (1) 1/ 2, (3 / 2) 2 2, (2) 4. 24. ( ) , 2 x f f f f f f f f f f f f f xf x x x π π −− = = − = = − = = = = − = − = − − = = = − = = = = = += ≠− =4. 设函数 1 12, ( ), ( 1), ( ) 1, , . ( ) 2 2 1 3( ) , 2; ( 1) , 1, 3, 2 2 1 1 f x f x f x f x f x x x xf x x f x x x x x x ⎛ ⎞± − + + ⎜ ⎟⎝ ⎠ − + + +− = ≠ ± + = = ≠ ≠ −+ − − − 求 解 1 课后答案网 www.khdaw.com 3 3 3 3 2 2 3 3 2 2 2 1/ 2 1 1 2 , 2. ( ) 2 ( ) ( )( ) , ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 6. ( ) l x x x x x x x f x x f x x f xf x x x x f x x f x x x x x x x x x x x 2 2 2 4 1 2 1/ 2 1( ) 1 1 , 2; , 0, 1/ 2, . x x xf x x f x x x x x x x x f x − − + +⎝ ⎠ += ≠ ±− + Δ −= ΔΔ + Δ − + Δ − + Δ + Δ + Δ −= = = +Δ Δ Δ = 设 求 ，其中 为一个不等于零的量. 设 解 5. 2 2 4 2 2 2 n , 0, ( ) , , ( ( )), ( ( )), ( ( )), ( ( ) ( ( )) (ln ) ln ln , 1; ( ( )) ( ) , ; ( ( )) ( ) ln , 0; ( ( )) (ln ) ln , 0. 0, 0, , 0; 7. ( ) ( ) , 0; 1 x x g x x x f f x g g x f g x g f x f f x f x x x g g x g x x x f g x f x x x g f x g x x x x x x f x g x x x > = −∞ < < +∞ = = > = = −∞ < < +∞ = = ≠ = = > ≥ ≥⎧= =⎨− < −⎩ 试求 设 解 + − −⎛ ⎞+ = + = ≠ ± = = ≠ ≠ ±⎜ ⎟ Δ + Δ ). ( ( )), ( ( )). , 0, , ( ) 0, ( ( )) 0. (0), 0, 0, 0, ( ( )) ( ), 0. , 0. 8. : (1) [ ], [ ] ; (2) [ ] ; 1(3) sinh ( )( ); 2 1(4) cosh ( )( 2 x x x x f g x g f x x x x g x f g x g x x g f x g x x x x y x x x y x x y x e e x y x e e − − ⎧⎨ <⎩ ∀ ≥ = ≥ ≥⎧ ⎧= =⎨ ⎨− < − <⎩ ⎩ = = + = = − −∞ < < +∞ = = + − 求 作下列函数的略图 其中 为不超过 的最大整数 解 2 ); , 0 0, (5) 1, 1 0. x x x y x x ∞ < < +∞ ⎧ ≤ <= ⎨ − − ≤ <⎩ 2 课后答案网 www.khdaw.com （1） （2） （3） （4） （5） 2 2 4 2 2 2 2 , 0, 9. ( ) : , 0, (1) ( ); (2) | ( ) |; (3) ( ); (4) (| |). (1) , . , 0, (2) | ( ) | , 0. , 0, , 0, (3) ( ) , 0 , 0. (4) (| |) , x x f x x x y f x y f x y f x y f x y x x x x y f x x x x x x x y f x x x x x y f x x ⎧ ≥= ⎨ <⎩ = = = − = = −∞ < < +∞ ⎧ ≥= = ⎨− <⎩ ⎧ ⎧− ≥ ≤= − = =⎨ ⎨− − < − >⎩ ⎩ = = − 设 求下列函数并且作它们的图形 解 .x∞ < < +∞ 3 课后答案网 www.khdaw.com 2 2 2 2 2 2 10. : 2(1) (0 ); 2 (2) sinh ( ); (3) cosh (0 ). 2(1) , 2 4 0, 4, 4( ). 2 (2) , , 2 1 0, 1, ln( 1), 2 ln( 1), ( ). (3 x x x x xy x x y x x y x x x y x yx x y y y x x x x e e y z e z yz e z y y x y y y x x x − = − < < +∞ = −∞ < < +∞ = < < +∞ − = − − = = + + = + + −∞ < < +∞ − = = − − = = = + + = + + = + + −∞ < < +∞ 求下列函数的反函数 解 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) , , 2 1 0, 1, ln( 1), 2 ln( 1), ( 1). 11. cosh sinh 1. ( 2) ( 2cosh sinh 1. 2 2 4 12. ? (1) , ( x x x x x x x x x x x x x e e y z e z yz e z y y x y y y x x x x x e e e e e e e ex x y e x − − − − − + = = − + = = = + − = + − = + − ≥ − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + − + −− = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ∈ − 证明 下列函数在指定区间内是否是有界函数 证 2 ) = 2 2 10 , ); (2) (0,10 ); (3) ln , (0,1); (4) ln , ( ,1), 0. 1(5) cos(2 ), ( , ); | | 1 2. 2 sin 2 1 x x x y e x y x x y x x r r ey x y x − ∞ +∞ = ∈ = ∈ = ∈ > = + ∈ −∞ +∞ ≤ + =+ − 否 是 否 其中 是 是 4 课后答案网 www.khdaw.com 2 2 10 (6) sin , ( , ); . (7) cos , ( 10 ,10 ). y x x x y x x x = ∈ −∞ +∞ = ∈ − 否 是10 6 4 2 6 6 4 2 6 4 2 6 6 6 6 13. 1 (1, ) ( 1 )( 1 ) 1 11 ( 1 1 2 13. ( , ) . 1 3| | 1 3,| | 1 , 3, 1 1 | | 3, ( , ). y x x x x x xy x x x x x x x x x xy x x x x x x x xx x x x x y y x = + − +∞ + − + += + − = = < >+ + + + + + += −∞ +∞+ + + + +≤ ≤ > ≤ =+ + = ≤ ∈ −∞ +∞ 证明函数 在 内是有界函数. 研究函数 在 内是否有界 时, 时 证 解 1). 1 5 课后答案网 www.khdaw.com 习题 1.3 1. ( 1,2, ), lim 1, 0, , 2 | -1| , : n nn n nx n x N n n N x ε ε →∞= = = >+ > < L设 证明 即对于任意 求出正整数 使得 当 时有 并填下表 ε 0.1 0.01 0.001 0.0001 N 18 198 1998 19998 2 20, 1, | -1| | 1| , 2, 2 2 2 2 , , | -1| . 2. lim , lim | | | | . 0, , ,| | , || | | || | | , lim | | | | . 3. { } , (1) , n n n nn n n n n nn n nx n n n N n N x a l a l N n N a l a l a l a l a l N ε ε ε ε εε ε ε ε →∞ →∞ →∞ ∀ > < = − = < > −+ + ⎡ ⎤= − > <⎢ ⎥⎣ ⎦ = = ∀ > ∃ > − < − ≤ − < = 不妨设 要使 只需 取 则当 时 就有 设 证明 使得当 时 此时 故 设 有极限 证明 存在一个自然数 证 证 1 | | | | 1; (2){ } , , | | ( 12, ). (1) 1, , ,| | 1, | | | | | | | | | | 1. (2) max{| | 1,| |, ,| |}, | | ( 12, ). - 3 1 3(1) lim 2 3 n n n n n n n N n n n N a l a M a M n N n N a l a a l l a l l l M l a a a M n N n n ε ε →∞ < < + ≤ = = ∃ > − < = − + ≤ − + < + = + ≤ = + =− L L L 是一个有界数列即存在一个常数 使得 对于 使得当 时 此时 令 则 4.用 说法证明下列各极限式: 证 3 2 2 3/ 2 3/ 2 sin; (2) lim 0; 2 1 !(3) lim 0(| | 1); (4) lim 0; 1 1 1(5) lim 1; 1 2 2 3 ( 1) 1 1(6) lim 0. ( 1) (2 ) 3 1 3 11(1) , 2 3 2 2(2 3) n n nn n n n n n n nn q q n n n n n n n n n ε ε ε →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ =+ = < = ⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎛ ⎞+ + =⎜ ⎟+⎝ ⎠ +∀ − = <− − L� � � L 不妨设 要使 只需证 > 0, <1, 3 32 2 3 3 3 11 3, 2 11 3 1 3 3 1 33 , , , lim . 2 2 3 2 2 3 2 sin sin 1(2) , , , , 1 1 n n nN n N n n n n n n n n n n n ε εε ε ε ε ε →∞ > + + +⎡ ⎤= + > − < =⎢ ⎥ − −⎣ ⎦ ∀ < ≤ < >+ + 取 当 时 故 要使 由于 只需>0, 课后答案网 www.khdaw.com 3 2 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 1 sin, . 1 1(3) | | ( 0). 4 1 | | ( 1) ( 1)( 2)(1 ) 1 2 6 6 24 24 24, , max{4, }. ( 1)( 2) ! 1 1 1(4) , , . 1 1(5) 1 2 2 3 n n n n n nN n N n q n n nn q n n n n nn n n N n n n n n N n n εε αα α α α α α εα α εα εα ε ε ε ⎡ ⎤= > <⎢ ⎥ +⎣ ⎦ = > >+ = = − − −+ + + + + + ⎡ ⎤< < < > = ⎢ ⎥− − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤≤ < > = ⎢ ⎥⎣ ⎦ + + + L L� � 取 当 时 3/ 2 3/ 2 3/ 2 2 2 1 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 11 , , . 1 2 2 3 ( 1) 1 1 1 1 1(6) , , . ( 1) (2 ) ( 1) 5. lim 0,{ } , , | | ( 1, 2, ), lim n n nn n n n n N n n n n n N n n n n a b M b M n ε ε ε ε ε ε →∞ ⎛ ⎞ −⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎛