第五次课、连续性的定义nullnull一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性首页×则称 设函数 f 在某U (x0 )内有定义, 1.定义1 若 例如, 函数 在点 x = 2 连续， 因为 又如, 函数
连续, 因为在点 x = 0， 注1 函数 f 在点 x 0 连续，则 x 0 必属于 f 的定义域 . (1)null这是因为null又如：函数连续的等价定义连续的等价定义一、函数的增量null注意nullnullnull为狄利克雷函数.注意:上述极限式绝不能写成null由上面的定...
nullnull一、函数在一点的连续性一、函数在一点的连续性首页×则称 设函数 f 在某U (x0 )内有定义, 1.定义1 若 例如, 函数 在点 x = 2 连续， 因为 又如, 函数
连续, 因为在点 x = 0， 注1 函数 f 在点 x 0 连续，则 x 0 必属于 f 的定义域 . (1)null这是因为null又如：函数连续的等价定义连续的等价定义一、函数的增量null注意nullnullnull为狄利克雷函数.注意:上述极限式绝不能写成null由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说,有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 f 在点 x0 连续null很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数
的定义可得：null 从而它在 x = 0 不连续(见图4-1). 讨论函数
在点 x = 0 的连续性.解 例2 而 所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续, null例3 讨论函数解 因为null二、间断点的分类二、间断点的分类定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:或不连续点.在该点不连续,那么称点 x0 为函数的一个间断点null等于f (x0).根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：可去间断点.null注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定 点. 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.义无关.nullnullnull例4 讨论函数在 x = 0 处是否连续？若不连续，则是什么类型的 x0 连续.间断点？ null所以 f (x) 在 x = 0 处右连续而不左连续,从而不断点是跳跃间断点. 连续. 既然它的左、右极限都存在，那么这个间null解 因为由Heine定理可知，点？nullnullnullnullnullnull三、区间上的连续函数三、区间上的连续函数若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I别指右连续和左连续.数在该点连续是指相应的左连续或右连续.上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点,函null如果函数 f 在[a,b]上的不连续点都是第一类的,能要添加或改变某些分段点处的值).是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可一个分段连续函数.从几何上看,分段连续曲线就并且不连续点只有有限个,那么称 f 是[a,b]上的null在 内任何无理点处都连续, 试证明：黎曼函数 任何有理点处都不连续.
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