5.5-5.6 定积分计算 广义积分

nullnullnull§5.5 定积分的计算一、微积分基本定理 定积分的计算是通过计算不定积分来进行的，为叙述简 便，首先介绍原函数存在性定理。 1、原函数存在性定理 定义 设f(x)在[a,b]上连续。对任意x∈[a,b]，由f(t)在[a,x] 上连续， 则f(t)在[a,x]可积，即存在唯一的一个数 之对应，这样形成的的函数称为f(x)的积分上限函数或变上限 函数，一般记为null定理(原函数存在性定理)上的一个原函数。即利用这个定理可以求含变上限函数的函数的导数。 null备忘null解null练习null可以看作是由 和u=sinx复合而成。 由复合函数的求导法则得 用同样的方法可得 解 null 对积分上下限函数的求导运算熟练以后，就可以利用导数 研究含有积分形式的函数的性质，例如单调性、极值、凹凸性 或用L’Hospital法则求极限等等。例3解 由f ′(x)=(1+x)arctanx=0得f(x)的驻点x=-1、x=0 。又因此 null练习 函数f(x)是以T为周期的连续周期函数，试证： 证 设F(u)= 则 又null 2、微积分基本定理 原函数存在性定理定积分与不定积分(原函数)之间的关 系，这就为利用不定积分计算定积分提供了思路。17世纪后 半叶，Newton和Leibniz分别独立地发现了下面的定理，这个 定理在微积分中占有重要地位，被称为微积分基本定理。 定理(微积分基本定理) 函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)的一个原函数，则有通常记作 称为Newton-Leibniz公式。null 由微积分基本定理可知，要计算定积分，只需求出原函 数(即计算不定积分)，代入上、下限做差即可。因此，定积分 的计算实质上仍是不定积分的计算。null 当被积函数是分段函数时，若分段区间的端点在积分区 间内，则应利用区间可加性把积分区间分为多部分计算。null 注 计算定积分时所找出的原函数必须在积分区间内连续 (可导)，且在积分区间内为被积函数的原函数。如等式是不对的。null练习解null二、定积分的计算 由微积分基本定理，要计算定积分，只要通过不定积分得 出原函数，再代入上下限作差即可。但在实际计算时，常把不 定积分的计算过程与代入上下限作差的过程结合起来以简化计 算过程。下面分别对换元法和分布积分法进行讨论。 1、换元积分法定理 函数f(x)在[a,b]上连续，函数x=φ(t)满足： ①φ(α)=a, φ(β )=b； ②φ(t)在[α,β]上单调、连续； ③φ′(t)在[α,β]上连续。 则有null 注 ①必须注意定理的条件。如所做的变换x=φ(t)必须在 (α,β)连续，且φ(t)的取值在a、b之间。显然不正确。 ②换元的同时必须换限，且不论大小，原函数的上限对 应新积分的上限，原函数的下限对应新函数的下限。 ③若换元时已换限，则最后得到原函数后不必代回原变 量。nullx=3时，t=2；x=8时，t=3此题可用第一换元法。nullx=0时，t=0；x=1时，t=null练习 计算下列定积分： 注 作三角变换时，尤其在去根号时，要注意三角函数在 积分区间内的符号。作业答案nullnull= 0null 这个结果是很有用的。当我们遇到积分区间为对称区间 时，可以检查被积函数是否奇偶函数或尽量化为奇偶函数的 和、差，然后利用这个结果计算。 =3null解null=右边null 注 计算定积分时,也可以用不定积分(或其他方法)先求出被 积函数的一个原函数，然后利用Newton-Leibniz公式计算定积 分。一般说来，采用这种方法比用定积分的换元法(或其他定积 分计算方法)计算量要大。而且，有时不定积分的换元法无能为 力时定积分的换元公式能奏效。例如因此 null 应用时，u(x)、v(x)的选择原则同不定积分一样，注意 上、下限的前后对应。 2、分部积分法 对分部积分法，同样可把代入上下限的过程放在分部积 分的过程中，即有下面的定理： 定理 函数u'(x)、v'(x)在[a,b]上连续，则有nullnull 练习 计算下面的定积分：解null作业答案计算下列定积分：null§5.6 广义积分 定积分是在积分区间有限且被积函数有界的条件下引入 的，但在实际问题中常会遇到积分区间无限或被积函数无界 的情形。这时需要推广定积分的概念，考虑无限区间上的积 分和无界函数的积分。前者称为无穷限积分，后者称为瑕积 分，统称为广义积分或非正常积分。一、无穷限广义积分 无穷限积分。无穷限积分的计算是通过变上限函数的极限进行的。null1、概念 定义 函数f(x)在[a,+∞)连续，若极限收敛，积分值。记为：发散。类似可定义 null定义收敛，并称的积分值。上述三种积分统称为无穷限积分。即null2、几何意义(y=0)构成的(向右无限延伸的)图形的面积(如下图)。null 3、计算 由定义可知，无穷限广义积分的计算是变上限函数的求极 限运算。只要用定积分的方法求出积分上限函数，再求极限就 可以了。一般可以用Newton-Leibniz公式的形式表述过程：若 F(x)为f(x)的一个原函数，则null例1 计算下列广义积分：nullnull练习 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。 由(3)可知，“对称区间上奇函数的积分为零”在广义积分 中要慎用。作业： 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。答案null二、无界函数的广义积分定义存在，则称之为f(x)在[a,b)上的瑕积分，记作 收敛。x=b称为f(x)的瑕点。发散。 当被积函数在积分区间内有无穷间断点时，同样用极限 形式定义其值。null 当确定了瑕积分的瑕点后，瑕积分的计算就相当于变上限 函数的求极限运算。例 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。null练习 研究下面广义积分的敛散性，若收敛，求其积分值。 答案null三、Γ函数定义的函数称为Γ函数。 1730年Euler在给Goldbach的一封信中发现了两个用广义 积分形式刻画的函数，后来他在《无限小分析引论》中进行 了论述。1811年Legendre将其中一个函数命名为Gamma函数 或Γ函数，记为Γ(s)。 Γ函数是超越函数(不是初等函数)， 它的发现对函数概念的拓广影响很大。 定义 由广义积分关于Γ函数的收敛性， Euler已经证明： 定理 当s>0时Γ函数收敛。null性质(Γ函数的计算)nullnull故null用分部积分法可得用L’Hospital法则其中因此原积分发散。