微积分入门
By 谭泽睿 QQ754829466
2012-10-20
1.微积分入门之斜率与导数
【估计你肯定不希望看到那些魔鬼一般的MATCH_
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_1711642142265_1,请放心,我在这里并不打算向你介绍纯
数学
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的导数概念,我是希望,你(初三数学水平)也能看懂,甚至进行一些简单的应用,计算。
相信并发现其中数学的魅力,你一定会发现数学之美的。 (这篇文章是给初中人士看的,
内容可能有所缺乏,请各位专业人士见谅。) 】
(前言:
微积分是什么?其实它不过是一种运算。就像加减乘除是对数字的运算一样,微积分能
对函数进行运算。某种意义上说,微积分干的事就是在2个函数之间互相转化。)
要入门地理解微积分,事实上只要举2对函数作为例子就够了。——路程与速度、(高度
与斜率。)
——路程与速度
假设,比如说你正在从学校走回家,你是匀速的走的,那么你走过的路程的函数肯定会
是一条直线,就像这样:
因为你的速度是匀速的,所以速度函数必然是水平线。假设你2s 时走到了2m 处,3s 时
走到了3m 处,从2s~3s 你的平均速度是多少?这个速度你肯定会算,它不过是 v = s/t =
(3m-2m)/(3s-2s) = 1m/1s = 1m/s。同时你也肯定知道如果你的出发点并不影响你的速度,
比如说像这样,你从1m 处出发,还是匀速运动:
速度肯定会一样,即速度跟你的出发点没什么关系。
匀速是很简单的情况,现在让我们考虑一下变速的情况。比如说,你一开始速度为0,
然后速度不断地加快,这里假设你的速度是匀速增加的,并假设你从0m 处出发:
很明显,我们可以观察到,因为你的速度在不断的增加,这就是说你走路的速度在不断
地加快,那么你的路程函数就会越来越“倾斜”,增长得越来越快,因此呈一条曲线状,而
不是直线。
减速的情况也很简单,如果你在开车,看到前面红灯,你知道你得刹车。。现在假设你
刹车之前速度是——数字不太好选,就40吧
(这里请允许我不加单位),然后你的速度肯定在不断地减小,而且是匀速地减小,就像这
样:
(这里路程 S 是你踩了刹车之后滑行的路程)
那么,从才刹车开始,汽车滑行的路程会是什么样子?(稍作思考,你得猜想一下,可
以考虑一下速度和倾斜程度的关系。)
……
……
……
事实上,要知道,你的速度在不断地减小,所以倾斜程度肯定也在减小:
因为汽车在5s 处速度为0,所以路程函数在5s 这里的倾斜程度也是0,即水平。
你是否很疑惑我怎么把5s 之后的也给画出来了,这看起来的确有点滑稽。。事实上你的
汽车并不会刹车完后还往后倒退,这一段是我故意加上的,目的是方便你理解——假设这时
速度的确是负值,汽车在往后倒退……
(如果这几个你能理解,就继续往下看。)
不知道你是否发现了路程、速度 这2个函数之间的内在联系——路程函数的斜率(倾斜
程度)就是速度。
现在请允许我简单地介绍一下斜率这个概念。
斜率的概念是如此的简单,它就
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示倾斜的程度。
【注:纯数学上斜率的定义是:函数某一点的斜率是函数该点的切线与x 轴的夹角的正切
值。】
平均斜率(slope)的计算:
(直线的斜率与其平均斜率相同)
Δy
slope = -----
Δx
其中Δ表示某个变量的增量。比如说,
当 x 增加一小段,比如增加了2,此时 y
也必然增加了一小段,比如1之类的,
那么增加的这一段的平均斜率就是:
Δy 1
slope = ----- = ---
Δx 2
这跟平均速度的计算 v=s/t 很像,
(事实上完全相同)
(注:对于一次函数 y = ax + b ,a 就是它的斜率。
【注中注:这很明显,因为如果 x 增加一段,比如增加了Δx,
那么Δy = a(x+Δx)+b-ax-b =ax+aΔx
斜率 slope = Δy/Δx = a】
斜率的取值与 b 无关,因为之前说过,
速度的取值与起点无关。)
哦,这简直像是在做代数运算,找不到微积分的影子。如果你前面的准备工作做好了,
那么继续请往下看,下面我将引入微分学最核心也是最有趣的部分。。
现在的问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
是,我有一个函数(或者我的路程与时间的关系)是 y=x,有没有办法可以
求出我在 x=1这一点的运动速度呢?(即能否做出 x=1这点的切线。)
“这一点的切线?天方夜谭!”你可能会发出这样的感叹。事实上一开始,数学家们碰到这
样的问题时也头疼不已。但是他们找到了一种补救方法,就是:让 x=1增加Δx,求出这一
段的平均斜率,用平均斜率来近似的代替这一点的斜率。增加之后的就是1+Δx,则
y的增加量为:
2
Δy = (1+Δx) - 1
所以这一段(1, 1+Δx)的平均斜率就是:
2 2
Δy (1+Δx) - 1 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ----------- = ------------
Δx Δx Δx
= 2 + Δx
我们知道,如果Δx越小,则得到的斜率越接近于这一点的真实斜率,而在上式中,我们发
现如果让Δx趋向于0,Δx 就会消失!所以最终的结果很漂亮,这一点的斜率是2!
那么,对于任一点 x ,函数 y=x^2的斜率能求出吗? 当然能!这种情况不过是上面的情况
的推广:
2 2 2
Δy (x+Δx) - x 2Δx + (Δx)
slope= ---- = ------------- = ---------------
Δx Δx Δx
= 2x + Δx
令Δx→0 (意思是让Δx 趋向于0),上式 = 2x 。即对于任意一点 x,函数 y=x^2的斜率
是2x 。
那么一开始的问题我们就解决了:
(问题:)
(解答:)
【解释:函数 y=x^2在 x 点的切线的斜率是2x。
(如果你的路程函数是 x^2,你的速度函数就是2x。像这样,知道路程函数,求得速度
函数的过程就叫求导,这个“速度”函数就叫这个“路程”函数的导数 。
dy
函数 y的导数记作 y' 或 ---- (读作“d y d x”,不读分数线。)。
dx
(即 y=x^2,则 y'=2x)
】
不管你信不信,你已经初步理解了微分学中的导数的概念!是不是很简单?
【注:本文介绍的求导的过程实际上是不严谨的,因为导数的严格的定义是由极限给出的,
而本篇没有介绍极限,也没有给出“连续”
的含义 】
下面写出几个常见的函数的导数,这些公式、求导法则可以直接用,没必要每次都去推导一
次。
常函数 的导数:
y = C y' = 0 (C 为常数)
幂函数 的导数:
n n-1
y = x 则 y' = nx (n 为常数)
【注:√x = x^0.5 ,根号也可以用这个求导法则,(√x)' = 1/(2√x) 】
例:y = x^2 + 2x + 3 ,求它的导数?
y'=2x + 2
例:y = 2x^100 ,求它的导数?
y'=2*100x^99 =200x^99
一般指数函数 的导数:
x x
y = a y' = a * ln a (a 为常数)
指数函数 的导数:
x x
y = e y' = e
求导的加法法则:
(f + g)' = f' + g'
求导的乘法法则:
(f*g)' = f'g + f g'
求导的链式法则(重要!)
f[g(x)] ' = f'[g(x)]*g'(x)
【
解释链式法则:
链式法则是用于遇到“复合函数”的求导时才用的,至于复合函数,是指一个函数“嵌套”
在另一个函数里面。比如:
_____
y=√2x+1 ,是由根号函数 y=√x 和线性函数 y = 2x+1 "复合"而成的。对复合函数求导
时,先对“外函数”求导,再把“内函数”的导数乘在外面。
比如 _____ _____ 1
y=√2x+1 ,外函数是√2x+1 ,内函数是2x+1,外函数的导数就是 ---------
_____
2√2x+1
内函数的导数是2,因此这个复合函数的导数就是
1 1
y' = --------- × 2 = ----------
_____ ______
2√2x+1 √2x+1
】
(以上法则有些看不懂没关系)
导数的用途
导数是微积分的重要概念和基础。不过,你是否疑惑“导数除了做切线还能干什么用”,
事实上导数非常有用而且其乐无穷,用途广泛。这里仅举2个简单的例子说明(这只是导数
应用的冰山一角):
1.物理应用:在物理里,如果一个物体的运动路程与时间的函数为 s,则速度函数是 s
的导数。即 v = s'
2.函数应用:导数可以用来作切线,可以求出函数的 极大/极小值 点。因为函数的极
大/极小值点上的切线的斜率为0,所以对于一个函数 y,只要求出其导数 y' ,其最大最小
值一定在方程 y'=0的解上。
例:求函数 y = x^3 - x^2 的极值?
易得其导数 y' = 3x^2 - 2x
令 y' = 0 即 解方程 3x^2-2x = 0 解得 x = 0 或 x= 2/3
根据图像可以看出 x=0是极大值,x=2/3是极小值。
如果你知道“二阶导数”这一概念,你可以用二阶导数判断极大值和极小值而无需画图。。
而且极值点处二阶导数不能为0,否则不是极值。当然,在不清楚二阶导数时,你可以用作
图来辅助。
3.计算应用:(传说中的线性近似)导数可以用来计算近似值。
10
例:计算 0.995
选取函数 y = x^10 ,发现 x=0.995这一点跟 x=1这一点很接近。我们作出其导数 y' =
10x^9 ,
线性近似的概念就是用这一点 x=1的切线去逼近 x=0.995的值。
易知, x=1时 y'=10,即这一点切线斜率为 10, 这一点与 x=0.995的差距是
(1-0.995)=0.005,我们从 x=1点开始,按照这一点的切线方向后退0.005,即Δx= -0.005,
那么Δy=10 * -0.005 = -0.05,也就是说,按照切线方向,x 下降了0.005,y 也下降了0.05。
所以计算出的近似值就是 1 - 0.05 = 0.95
10
即 0.995 ≈ 0.95
如果你用计算器来检验,你会发现计算器的结果是 0.9511101305,和我们计算的结果非常
接近。这就是微分(导数)在近似计算中的应用。
___
*例2:计算√2 的近似值
1
选取函数 y = √x , y' = ------
2√x
我们知道,1.4^2=1.96,(即√1.96 = 1.4)。 1.96跟2很接近,所以我们就用 x=1.96
这一点的切线来近似 x=2的值。
y'在1.96的取值 y'(1.96) = 1/(2*1.4) ≈ 0.357,这是 x=1.96这一点的切线。
现在让 x 增加0.04,
则 y 就会增加0.04*0.357 = 0.01428
所以√2 ≈ 1.4+0.1428 = 1.41428
如果你用计算器来检验,你会发现这样做精确度还是很不错的:
√2 = 1.414213562 ,
我们的答案精确到了小数点后4位。
4.工程应用:导数可以解方程(详细过程略,参见“牛顿法解方程”)
5.经济学应用:经济学中,导数称为“边际函数”,是一个重要而基础的概念。
……
……等等等等……
有趣的问题,这也是微积分的实用之处:
R博士的家在 A 点。每天,R 博士都要开着小汽车去他的公司 C上班。他以前一直都是这样
走的:先从家垂直的开到 B 点,然后进入公路,再开到 C 点。其中 AB=30km,CB=60km,R 博士
的汽车在公路 CB 上速度可以达到60km/h,但是在非公路地段只有30km/h。有一天 R 博士突
发奇想,发现如果以某个角度开到某个 P 点进入公路,他所用的时间将大大缩短。不过现在
R博士搞不清 BP 取多少时,他用的时间会最短。你能帮他确定这个 BP 的长度吗?
如果设 PB = x km,CP = 60-x
由勾股定理可得, __________
AP = √900 + x^2
汽车在 AP这段速度是30km/h,在 CP这段速度是60km/h,所以可得 R博士所需时间 T与 BP(x)
的取值的函数关系:
__________
√900 + x^2 60 - x
T = ------------ + --------
30 60
这不过是在求一个函数的极值。首先对它求导:
(注:下面分子里的那个2x 是因为链式法则。内函数900 + x^2 的导数是2x,对复合函数求
导时要乘在外面。现在不懂也没有太大的关系)
2x 1
T' = ----------------- - ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
令 T' = 0,解方程:
2x 1
----------------- = ------
________ 60
30 * 2√900+x^2
约分:
x 1
----------------- = ------
________ 60
30 * √900+x^2
交叉相乘得 :
________
30√900+x^2 = 60x
两边约去30:
________
√900+x^2 = 2x
两边同平方:
900+x^2 = 4x^2
移项:
3x^2 = 900
约分:
x^2 = 300
直接开方法(舍去负根):
____ ______ __
x = √300 = √100*3 = 10√3 ≈ 17.32 km
所以,BP 应取17.32 km。R 博士应从这个 P 点进入公路。
【注:严格的数学中的导数被定义如下:
函数 y=f(x)的导数 dy/dx 为:
dy Δy f(x+Δx) - f(x)
---- = lim ------ = lim ----------------
dx Δx→0 Δx Δx→0 Δx
在数学中,导数被定义为一个分式Δy/Δx 的极限。 因此导数又称为“微商”。】
瞧,微积分在生活中也可以有应用,这也是微积分的实用之处。数学是有趣而美妙的。你是
否这样觉得呢?
(:……这篇文章我是希望尽量写的通俗易懂,但由于本人水平十分有限,不免有许多错误
及不足之处,望各位提出宝贵意见。或者你仍然看不懂这篇文章,还请各位见谅。。)