信号与系统(刘泉)第三章

null第三章 连续时间信号与系统的频谱分析第三章 连续时间信号与系统的频谱分析频域分析频域分析　　从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解（分解为三角函数或复指数函数的组合）， 　　频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。 null 　任何科学理论, 科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的, 其中有争论, 还有人为之献出了生命。 历史的经验告诉我们, 要想在科学的领域有所建树，必须倾心尽力为之奋斗。今天我们将要学习的傅立叶分析法，也经历了曲折漫长的发展过程，刚刚发布这一理论时，有人反对，也有人认为不可思议。但在今天，这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。null1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示” 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析理论” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 傅里叶生平1768—1830发展历史发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制作出用于工程实际的电容器； 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 主要内容主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。周期信号的频谱分析— 傅里叶级数周期信号的频谱分析— 傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数由积分可知三角函数集级数形式在满足狄氏条件时，可展成直流分量余弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数级数形式null Dirichlet条件： ，在任何周期内信号绝对可积。 在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值为有限值。 在任何有限区间内，只有有限个第一类间断点。因此，信号绝对可积就保证了 的存在。其它形式其它形式余弦形式函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数1．偶函数1．偶函数信号波形相对于纵轴是对称的傅里叶级数中不含有正弦项，只含直流项和余弦项， 频谱函数为实函数2．奇函数2．奇函数傅里叶级数中无余弦分量，频谱函数为虚函数。3．奇谐函数3．奇谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即n=2,4,6,…时, n=1,3,5,…时, 若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：4．偶谐函数4．偶谐函数n=2,4,6,…时, n=1,3,5,…时, f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量null信号频谱的概念幅度频率特性和相位频率特性周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性 null指数函数形式的傅里叶级数 三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用 cosx=(ejx + e–jx)/2 上式中第三项的n用–n代换，则上式写为 null则说明说明幅频特性和相频特性相频特性幅频特性和相频特性幅频特性(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式指数形式总结(2)两种频谱图的关系(2)两种频谱图的关系单边频谱双边频谱关系(3)三个性质(3)三个性质(4)引入负频率注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性null确定信号的基频和周期例请画出其幅度谱和相位谱。例化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角形式的傅里叶级数的谱系数 化为指数形式化为指数形式整理指数形式的傅里叶级数的系数谱线谱线指数形式的频谱图三角形式与指数形式的频谱图对比三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图 周期性矩形脉冲信号的频谱指数形式的谱系数指数形式的谱系数频谱及其特点频谱及其特点(1)包络线形状：抽样函数(3)离散谱（谐波性）null不变 时null不变 时null周期性矩形脉冲信号的频谱特征： 1. 离散性 2. 谐波性 3. 收敛性 考查周期 和脉冲宽度 改变时频谱的变化：当 不变，改变 时，随 使占空比减小，谱线间隔变小，幅度下降。但频谱包络的形状不变，包络主瓣内包含的谐波分量数增加。 2. 当 改变， 不变时，随 使占空比减小，谱线间隔不变，幅度下降。频谱的包络改变，包络主瓣变宽。主瓣内包含的谐波数量也增加。null非周期信号的频谱分析－ 傅里叶变换null 在工程应用中有相当广泛的信号是非周期信号，对非周期信号应该如何进行分解，什么是非周期信号的频谱表示，就是这一部分要解决的问题。 在时域可以看到，如果一个周期信号的周期趋于无穷大，则周期信号将演变成一个非周期信号；反过来，任何非周期信号如果进行周期性延拓，就一定能形成一个周期信号。我们把非周期信号看成是周期信号在周期趋于无穷大时的极限，从而考查连续时间傅立叶级数在 T趋于无穷大时的变化，就应该能够得到对非周期信号的频域表示方法。null 非周期信号f(t)可看成是周期T→∞时的周期信号。 前已指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。 从傅里叶级数到傅里叶变换 为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。nullw（1）频谱密度函数 简称频谱函数单位频带上的频谱值频谱密度函数的表示频谱密度函数的表示 反变换 反变换由复指数形式的傅里叶级数傅里叶变换对傅里叶变换对两个关系：傅里叶变换的表示欧拉公式傅里叶变换的表示实部虚部实部虚部模相位null 偶函数 （奇分量为零） 奇函数 （偶分量为零）傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。典型非周期信号的频谱典型非周期信号的频谱矩形脉冲信号矩形脉冲信号幅度频谱：相位频谱：频谱图频谱图幅度频谱相位频谱频宽：单边指数信号单边指数信号频谱图频谱图幅度频谱：相位频谱：null双边指数函数 结论：实偶信号的傅立叶变换是实偶函数。此时可以用一幅图表示信号的频谱。对此例有null单位阶跃信号null单位冲激函数 这表明 中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。因此，系统的单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统的特性， 才在信号与系统分析中具有如此重要的意义。傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质线性性质线性性质对称性质对称性质例例例尺度变换性质尺度变换性质证明证明综合上述两种情况因为null(1)  01 时域压缩，频域扩展a倍。 可以看出：null(1)  01 时域压缩，频域扩展a倍。 时移特性时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换则例例求图(a)所示三脉冲信号的频谱。解： null因为脉冲个数增多，频谱 包络不变，带宽不变 例例方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换 频移特性证明 频移特性则说明说明应用通信中调制与解调，频分复用。null已知矩形调幅信号解：因为例频谱图频谱图卷积定理卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积频域卷积定理则则时域卷积定理的证明时域卷积定理的证明因此所以卷积 定义交换积分次序时移 性质应用求系统的响应将时域求响应，转化为频域求响应应用用时域卷积定理求频谱密度函数例例j微分性质微分性质时域微分性质频域微分性质频域微分性质或推广例求三角函数的频谱密度函数．例分析分析解解例例解：例例解：时域积分性质时域积分性质也可以记作：则例例  1. 求单位阶跃函数的傅里叶变换解：解：则null频域积分周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换null周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？正弦信号的傅里叶变换由欧拉公式由频移性质正弦信号的傅里叶变换同理已知一般周期信号的傅里叶变换由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换(用定义)一般周期信号的傅里叶变换如何由 求如何由 求null比较式(1),(2)周期单位冲激序列的傅里叶变换周期单位冲激序列的傅里叶变换频谱频谱周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换方法1方法2方法2利用时域卷积定理，周期T利用冲激函数的抽样性质功率谱功率谱 周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和； 也就是说，时域和频域的能量是守恒的.能量谱调制与解调调制与解调调制原理在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进行调制和解调： 高频信号容易以电磁波形式辐射出去 多路信号的传输——频分复用 相关课程中讲解“调制与解调”的侧重点不同： “信号与系统”——应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理； “通信原理” ——研究不同的调制方式对系统性能的影响； “通信电子电路”——调制／解调电路的分析。调制原理null一般的通信系统总是由以下环节组成:在通信系统中调制与解调是一种基本的技术。 调制是指用一个信号去控制另一个信号的某一个参量的过程。被控制的信号称为载波 ( Carrier Wave )。 控制信号称为调制信号 ，也称为基带信号。null调制的分类 按载波 正弦型信号作为载波 (调幅AM,调频FM,调相PM) 脉冲串或一组数字信号作为载波 连续性 模拟（连续）调制 数字调制模拟调制是数字调制的基础幅度调制（振幅调制)幅度调制（振幅调制)频谱结构频谱结构解调解调将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。本地载波， 与发送端载波 同频同相频谱频谱null调制信号 载波信号 抑制载波调幅 调幅 解调利用包络检波器解调利用包络检波器解调频分复用频分复用复用：在一个信道上传输多路信号。 频分复用 （FDM） 时分复用 （TDM） 频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。 (frequency division multiply)复用收信端调制，将各信号搬移到不同的频率范围。复用收信端复用收信端复用收信端收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。频分复用解调分析频分复用解调分析先利用一个带通滤波器（ ） 滤出 附近的分量，再同步解调再使用低通滤波器，完成解调null连续时间系统的频域分析傅里叶变换形式的系统函数则根据卷积定理有傅里叶变换形式的系统函数设频率响应特性频率响应特性系统函数的物理意义系统函数的物理意义系统可以看作是一个信号处理器激励：F(j)响应：H(j)·F(j)对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。 对信号各频率分量进行加权系统增益系统相移null频率响应的求法：1.用微分方程表征的系统null例： 对由微分方程所描述的系统通过求频率响应可以方便地求出其单位冲激响应。null例：2.以方框图描述的系统null* 级联: * 并联:null* 反馈联结:信号的无失真传输信号的无失真传输失真失真线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成 ●幅度失真：由于频谱的模改变而引起的失真。 ●相位失真：由于频谱的相位改变引起的失真。各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。 ●线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频率成分； ●非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求： ●无失真传输；●利用失真波形变换。无失真传输条件无失真传输条件频谱图频谱图几点认识：●要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。●不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。 相位特性为什么与频率成正比关系？相位特性为什么与频率成正比关系？只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的迟延时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。 延迟时间td 是相位特性的斜率：群时延 或称群延时在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。 理想滤波器理想滤波器null1.频率成形滤波器 2.频率选择性滤波器滤波 通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。滤波器可分为两大类：理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性 理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。 滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（pass band ），完全不允许信号通过的频段称为阻带（stop band）。连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通高通带通带阻 各种滤波器的特性都可以从理想低通特性而来。理想低通的频率特性理想低通的频率特性理想低通的冲激响应理想低通的冲激响应波形波形几点认识1．比较输入输出，可见严重失真；2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统几点认识系统为全通网络，可以 无失真传输。 原因：从h(t)看，t<0时已有值。理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应系统响应正弦积分1. 下限为0；2. 奇偶性：奇函数。正弦积分阶跃响应波形阶跃响应波形几点认识B是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。几点认识信号的抽样与恢复信号的抽样与恢复null 在日常生活中，常可以看到用离散时间信号表示连续时间信号的例子。如传真的照片、电视屏幕的画面、电影胶片等等，这些都表明连续时间信号与离散时间信号之间存在着密切的联系。在一定条件下，可以用离散时间信号代替连续时间信号而并不丢失原来信号所包含的信息。null一幅新闻照片null局部放大后的图片null另一幅新闻照片null局部放大后的图片null在什么条件下，一个连续时间信号可以用它的离散时间样本来代替而不致丢失原有的信息。 如何从连续时间信号的离散时间样本不失真地恢复成原来的连续时间信号。 本课研究连续时间信号与离散时间信号之间的关系主要包括 :null抽样 在某些离散的时间点上提取连续时间信号值的过程称为抽样。 是否任何信号都可以由它的离散时间样本 来表示？ 对一维连续时间信号采样的例子：null　 　在没有任何条件限制的情况下，从连续时间信号采样所得到的样本序列不能唯一地代表原来的连续时间信号。 　此外，对同一个连续时间信号，当采样间隔不同时也会 得到不同的样本序列。null利用开关信号p(t)从连续信号f(t)中“抽取”一系列离散样本值的过程。引例：信号数字处理开关 信号需解决的问题：F(j)P(j)如何进行抽样？冲激序列抽样冲激序列抽样（s >2m）有限带宽信号null采样的数学模型：在时域：在频域:冲激串采样(理想采样):null在频域由于null讨论：采样周期变化对频谱的影响 1) 当s 2m时，Fs(j )是F(j )在不同s倍数上的重复与再现，幅值为原值的1/Ts 。讨论：采样周期变化对频谱的影响2) 当s<2m时，Fs(j )中出现F(j ) 的叠加与混合（Overlap现象） 。nullnullNyquist 抽样定理:null信号恢复即：从 fs(t)中恢复f(t)要求理想低通滤波器：信号恢复信号f(t)的恢复实现：理想低通滤波器当s >2m时，Fs(j )含有F(j )完整频谱（s >2m）理想冲激序列抽样：