层次分析法(AHP)

培训内容 层次分析法建模 层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法 70 年代由美国运筹学家 T·L·Satty 提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策 分析方法论。吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结 构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是系统科学中常用的一种系统分析 方法，因而成为系统分析的数学工具之一。 传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有： 机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系； 统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、 社会现象）现象的规律。 基本内容：（1）多目标决策问题举例 AHP 建模方法 （2）AHP 建模方法基本步骤 （3）AHP 建模方法基本算法 （3）AHP 建模方法理论算法应用的若干问题。 参考 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ： 1、姜启源，数学模型（第二版，第 9章；第三版，第 8 章），高等教育出版社 2、程理民等， 运筹学模型与方法教程，（第 10 章），清华大学出版社 3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第 11 章，第 7 节，清华大学出版社 一、问题举例： A．大学毕业生就业选择问题 获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 和要 求。就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如： ① 能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）； ② 工作收入较好（待遇好）； ③ 生活环境好（大城市、气候等工作条件等）； ④ 单位名声好（声誉-Reputation）； ⑤ 工作环境好（人际关系和谐等） ⑥ 发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。 问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何 作出决策和选择？——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序？ 贡献 收入 发展 声誉 工作环境 生活环境 可供选择的单位P1’ P2 ‘ ----- Pn 工作选择 1 西安工业大学数学建模培训 Ｂ.假期旅游地点选择 暑假有 3 个旅游胜地可供选择。例如： ：苏州杭州， 北戴河， 桂林，到底到哪个 地方去旅游最好？要作出决策和选择。为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用； ③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一 个可选择的最优 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。 1P 2P 3P 景 色 费 用 居 住 饮 食 旅 途 P1 P2 P3 选择旅游地 目标层 准则层 方案层 C．资源开发的综合判断 7 种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发， 效用最用。 对经济发展、贡献 U 经济价值 开採费 风险费 要求量 战略重要性 交通条件 铁 In 铜 Co 磷酸盐 钿 Ur 铝 Al 金 Go 二、问题分析： 例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行： （S1）将决策解分解为三个层次，即： 目标层：（选择旅游地） 准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等 5 个准则） 方案层：（有 ， ， 三个选择地点） 1P 2P 3P 并用直线连接各层次。 2 西安工业大学数学建模培训 （S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。这些权限重在人的思维过 程中常是定性的。 例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择； 中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。 而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。 （S3）将方案层对准则层的权重，及准则层对目标层的权重进行综合。 （S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。 以上步骤和方法即是 AHP 的决策分析方法。 三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量 在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因 而 Santy 等人提出：一致矩阵法．．．．． 即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较 2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。 因素比较方法 —— 成对比较矩阵法： 目的是，要比较某一层 个因素 对上一层因素 O 的影响（例如：旅游决策解 中，比较景色等 5 个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。 n nCCC , ,, 21 " 采用的方法是：每次取两个因素 和 比较其对目标因素 O 的影响，并用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，全部 比较的结果用成对比较矩阵表示，即： iC jC ija )1( 1 ,0 ,)( =⋅=>= ijij ij jiijnxnij aaa aaaA 或 （1） 由于上述成对比较矩阵有特点： ji ijijij a aaaA 1 ,0 , )( =>= 故可称 A为正互反矩阵：显然，由 ji ij a a 1= ，即： 1=⋅ jiij aa ，故有： 1=iia 例如：在旅游决策问题中： 2 1 12 =a = （费用） （景色） 2 1 C C 表示： ⎩⎨ ⎧ 2O 1O 2 1 的重要性为（费用）对目标 的重要性为景色）对目标（ C C 故： ），费用重要性为即景色重要性为 21(2 1 12 =a 1 4413 ==a = （居住条件） （景色） 3 1 C C 表示： ⎩⎨ ⎧ 1OC 4O( 3 1 的重要性为（居住条件）对目标 的重要性为景色）对目标C 即：景色为 4，居住为 1。 3 西安工业大学数学建模培训 1 7723 ==a = （居住条件） （费用） 3 2 C C 表示： ⎩⎨ ⎧ 1OC 7O( 3 2 的重要性为（居住条件）对目标 的重要性为费用）对目标C 即：费用重要性为 7，居住重要性为 1。 因此有成对比较矩阵： ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1135 1 3 1 1125 1 3 1 3 1 2 117 1 4 1 55 33 7 4 1 2 1 2 1 A ？问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题： ① 即存在有各元素的不一致性，例如： 既然： 4 11 1 4a ;2 2 1 13 31 3 1 1321 2 1 12 ==⇒===⇒== aaC Ca C Ca 所以应该有： 1 88 4 1 2 1 3 1 2 31 21 3 2 23 ====== C C C C a a C Ca 而不应为矩阵 A中的 1 7 23 =a ②成对比较矩阵比较的次数要求太大 ，因： 个元素比较次数为：n !2 )1(2 −= nnCn 次， 因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素 对上层因素 O 的 权重？ nCC , ,1 " 对此 Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素 对因素（上层 因素）O 的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。 nCC , ,1 " 为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性 四：一致性矩阵 Def：设有正互反成对比较矩阵： ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ==== = ==== ===== = 1 a , , 1 , , 1 1 nn 2 2 1 1 2 2 2 2 22 1 2 21 1 1 2 1 12 1 1 11 n nn n n n j i ij n n n n W W W Wa W Wa W Wa W Wa W Wa W Wa W Wa W Wa W Wa A " """ " " (4) 4 西安工业大学数学建模培训 除满足：（i）正互反性：即 )1 ( 1 0 =⋅=> jiij ji ijij aaa aa 或 而且还满足：（ii）一致性：即 n 2, 1,j i, "==⋅== ha haaka a aa j i kjik j i ij 则称满足上述条件的正互反对称矩阵A为一致性矩阵，简称一致阵。 一致性矩阵（一致阵）性质： 性质 1： A的秩 Rank(A)=1 A的唯一非 0 的特征根为 n 性质 2： A的任一列（行）向量都是对应特征根 的特征向量： n 即有(特征向量、特征值)： ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = n nnn n n W W W W W W W W W W W W W W W W W W A " """" " " 21 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ，则向量 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 3 2 1 W W W W # G 满足： Wn nW nW nW W W W W W W W W W W W W W W W WA nnn nnn n = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = "# " #"## " 2 1 2 1 21 1 2 1 1 1 即： 0)( =− WnIA 启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n个元素W1, W2, W3 , …Wn 构成的向量 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nW W W W " 2 1 是一致矩阵A的特征向量，则可以把向量W归一化后的向量ω，看成是诸元素W1, W2, W3 , …Wn 对 目标的权向量，因此，可以用求A的特征根和特征向量的办法，求出元素W1, W2, W3 , …Wn相对于目 标O的权向量。 解释：一致矩阵即：n件物体 ，它们重量分别为 ，将他们两nMMM , , , 21 " nWWW , , , 21 " 5 西安工业大学数学建模培训 两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量 右乘 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nW W W W " 2 1 A，则 ： ( ) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ Σ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 称特征根法，求权向量的方法量权向量，此种用特征向 为即对上层因素O的权重，，C，，CC，就表示诸因素＝W＝ 则归一化后的特征向量，＝：重量向量　为特征根的特征向量为以 的特征根为 n21 1W W W W , 1 2 1 "" " i nW W W n nA 分析： 若重量向量 未知时，则可由决策者对物体 之间两两相比关系， 主观作出比值的判断，或用Delphi（调查法）来确定这些比值，使 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = nW W W W # 2 1 nMMM , , , 21 " A矩阵（不一定有一致性） 为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵 A，并且此 A（不一致）在不一致 的容许范围内，再依据：A的特征根或和特征向量W 连续地依赖于矩阵的元素 ，即当 离 一致性的要求不太远时， ija ija A的特征根 和特征向量i W 与一致矩阵 A的特征根λ 和特征向 量W 也相差不大的道理：由特征向量W 求权向量W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致 性检查的方法。 问题：Remark 以上讨论的用求特征根来求权向量W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题： 1． 一致阵的性质 1 是说：一致阵的最大特征根为 （即必要条件），但用特征根来求特征向量 时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量？且如果正互 反矩阵 n A的最大特征根 n=maxλ 时， A是否为一致阵？ 2． 用主观判断矩阵 A的特征根λ 和特征向量W 连续逼近一致阵 A的特征根λ 和特征向量W 时，即： 由 λλ =→ kkklim 6 西安工业大学数学建模培训 得到： WW k k =∞→lim 即： AAk k =∞→lim 是否在理论上有依据。 3．一般情况下，主观判断矩阵 A在逼近于一致阵 A的过程中，用与 A接近的 *A 来代替 A， 即有 AA ≈* ，这种近似的替代一致性矩阵 A的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致 性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内， 主观判断矩阵是可以接受的，否则，要重新构造主观判断矩阵。此问题即一致性检验问题 的内容。 以上三个问题：前两个问题由数学严格比较可获得（见教材 P325，定理 1、定理 2）。第 3 个问题：Satty 给出一致性指标（TH1,TH2 介绍如下：） 附： Th1：（教材 P326，perronTh 比隆 1970 ）对于正矩阵 A（ A的所有元素为正数） （1） A的最大特征根是正单根λ ； （2）λ 对应正特征向量W （W 的所有分量为正数） （3） W eAe eA kT k k =∞→lim 其中： 为半径向量，W 是对应 ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 1 1 "e λ 的归一化特征向量 证明：（3）可以通过将 A化为标准形证明 Th2： 阶正互反阵 A 的最大特征根n n≥λ ； 当 n=λ 时， A是一致阵 五、一致性检验——一致性指标： 1．一致性检验指标的定义和确定—— IC ⋅ 的定义： 当人们对复杂事件的各因素，采用两两比较时，所得到的主观判断矩阵 A，一般不可直接 保证正互反矩阵 A就是一致正互反矩阵 A，因而存在误差（及误差估计问题）。这种误差，必 然导致特征值和特征向量之间的误差 ( )][ WW)( －及λλ − 。此时就导致问题 WmaxWA λ＝ 与问 题 之间的差别。（上述问题中nWAW = maxλ 是主观判断矩阵 A的特征值，W 是带有偏差的相 对权向量）。这是由判断矩阵不一致性所引起的。 因此，为了避免误差太大，就要衡量主观判断矩阵 A的一致性。 因为： ①当主观判断矩阵 A为一致阵 A时就有： 7 西安工业大学数学建模培训 ∑∑∑ ∑ === = === n k n k kk n k n n kk na 111 1 1λλ ＝ A为一致阵时有： 1=iia 此时存在唯一的非0 n= = maxλλ （由一致阵性质 1：Rark(A)=1，A有唯一非0最大特征根且 n=maxλ ） ②当主观判断矩阵 A不是一致矩阵时，此时一般有： n≥maxλ （Th2） 此时，应有： ∑∑ ==+ ≠ naii k h max max λ λλ 即： ∑ ≠ −=− max max k kn λλ 所以，可以取其平均值作为检验主观判断矩阵的准则，一致性的指标， 即： 11 maxmax − − =− −=⋅ ∑ ≠ nn nIC k kλλ 显然： （1） 当 n=maxλ 时，有： 0=⋅ IC ， A为完全一致性 （2） 值越大，主观判断矩阵IC ⋅ A的完全一致性越差，即：A偏离 A越远(用特征向量 作为权向量引起的误差越大) （3） 一般 10.≤⋅ IC ，认为主观判断矩阵 A的一致性可以接受，否则应重新进行两两比 较，构造主观判断矩阵。 2．随机一致性检验指标—— IR ⋅ 问题：实际操作时发现：主观判断矩阵 A的维数越大，判断的一致性越差，故应放宽对高维矩 阵的一致性要求。于是引入修正值 IR ⋅ 来校正一致性检验指标：即定义 IR ⋅ 的修正值表 为： A的维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 IR ⋅ 0.00 0.00 0.58 0.96 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 并定义新的一致性检验指标为： IR ICRC ⋅ ⋅=⋅ 随机一致性检验指标—— IR ⋅ 的解释： 为确定 A的不一致程度的容许范围，需要确定衡量 A的一致性指示 IC ⋅ 的标准。于是 Satty 又引入所谓随机一致性指标 IR ⋅ ，其定义和计算过程为： 8 西安工业大学数学建模培训 ① 对固定的 ，随机构造正互反阵n A′，其元素 )( jiaij <′ 从 1～9 和 1～ 91 中随机取值， 且满足 与 的互反性，即：ija′ jia′ ji ij aa ′=′ 1 ，且 1=′iia . ② 然后再计算 A′的一致性指标 IC ⋅ ，因此 A′是非常不一致的，此时， 值相当大. IC ⋅ ③ 如此构造相当多的 A′，再用它们的 IC ⋅ 平均值作为随机一致性指标。 ④ Satty 对于不同的 ～11)，用 100～500 个样本1( =nn A′计算出上表所列出的随机一致性 指标 IR ⋅ 作为修正值表。 3． 一致性检验指标的定义——一致性比率 RC ⋅ 。 由随机性检验指标 可知： RC ⋅ 当 时， ，这是因为 1, 2 阶正互反阵总是一致阵。 2 ,1=n 0=⋅ IR 对于 的成对比较阵3≥n A，将它的一致性指标 IC ⋅ 与同阶（指 n相同）的随机一致性指 标 IR ⋅ 之比称为一致性比率——简称一致性指标， 即有： 一致性检验指标的定义——一致性比率 定义： R I ICRC ⋅ ⋅=⋅ ： IR ICRC ⋅ ⋅=⋅ 当： 10 ⋅<⋅ ⋅=⋅ IR ICRC 时，认为主观判断矩阵 A的不一致程度在容许范围之内， 可用其特征向量作为权向量。否则，对主观判断矩阵 A重新进行成对比较，构重新的主观 判断矩阵 A。 注：上式 10 ⋅<⋅ ⋅=⋅ IR ICRC 的选取是带有一定主观信度的。 六、标度——比较尺度解： 在构造正互反矩阵时，当比较两个可能是有不同性质的因素 和 对于上层因素 O 的影响时，采用什么样的相对刻度较好，即 的元素的值在（1～9）或（1～ iC jC ija 9 1 ）或更多 的数字，Satty 提出用 1～9 尺度最好，即 取值为 1～9 或其互反数 1～ija 9 1 ，心理学家也 提出：人们区分信息等级的极限解能力为7 ±2。可见对 nn× 阶矩阵，只需作出 2 )1( −nn 个 判断值即可 标度 ija 定 义 1 3 5 因素 i与因素 j相同重要 因素 i比因素 j稍重要 因素 i比因素 j较重要 9 西安工业大学数学建模培训 7 9 2，4，6，8， 倒数 1， 9 1 , 8 1 , 7 1 , 6 1 , 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 因素 i比因素 j非常重要 因素 i比因素 j绝对重要 因素 i与因素 j的重要性的比较值介于上述两 个相邻等级之间 因素 j 与因素 比较得到判断值为 的互反 数， i ija ij ji a a 1= 1=iia 注：以上比较的标度 ，Satty 曾用过多种标度比较，得到的结论认为：1～9 尺度不仅在较简单 的尺度中最好，而且比较的结果并不劣于较为复杂的尺度。Satty 曾用的比较尺度为： ① 1～3, 1～5, 1～6，…, 1～11，以及 ② ～)1.0( +d )9.0( +d ，其中 4 ,3 ,2 ,1=d ③ ～ ，其中 … p1 P9 5 ,4 ,3 ,2=P 等共 27 种比较尺度，对放在不同距离处的光源亮度进行比较判断，并构造出成对比较矩阵，计 算出权向量。同时把计算出来的这些权向量与按照物理学中光强度定律和其他物理知识得到的 实际权向量进行对比。结果也发现 1～9 的比较标度不仅简单，而效果也较好（至少不比其他更 复杂的尺度差） 因而用 1～9 的标度来构造成对比较矩阵的元素较合适。 七、组合权向量的计算——层次总排序的权向量的计算 层次分析法的基本思想： （1） 计算出下一层每个元素对上一层每个元素的权向量W def：层次总排序，计算同一层次所有元素对最高层相对重要性的排序权值。 当然要先：①构造下一层每个元素对上一层每个元素的成对比较矩阵 ②计算出成对比较矩阵的特征向量（和法，根法，幂法） ③由特征向量求出最大特征根 maxλ （由和法，根法，幂法求得） ④用最大特征根 maxλ 用方式 1 max − −=⋅ n nIC λ 及 IR RCRC ⋅ ⋅=⋅ 对成对比较矩 阵进行一致性检，并通过。 （2） 并把下层每个元素对上层每个元素的权向量按列排成以下表格形式：例，假定：上 层 A有 个元素， ，且其层次总排序权向量为 ， 下层 m mAAA , , , 21 " maaa , , , 21 " B有 个元素 ，则按 对 个元素的单排序权向量的列向 量为 ，即有： n nBBB , , , 21 " jB iA ijb 10 西安工业大学数学建模培训 1A … 12A mAm 层次 1a … 2a ma B层总是排序权重（权向 量、列向量） nB B B # 2 1 1 12 11 nb b b # 2 22 12 nb b b # " # " " nm m m b b b # 2 1 ∑ ∑ ∑ = = = = = = m j njjn m j jj m j jj baW baW baW 1 1 22 1 11 # maxλ 计算出最大特根（方法：和法、根法、幂法） IC ⋅ 一致性检验 1 max − −=⋅ n nIC λ IC ⋅ 一致性检验比率 ∑ ∑ = =⋅ ⋅=⋅ m j jj m j j RIa CIa IR ICRC 3 检验 否？ 10 ⋅