z变换的收敛域
?8.3 z变换的收敛域
收敛域的定义
两种判定法
讨论几种情况
,一(收敛域的定义 n,X(z),x(n)z对于任意给定的序列x(n) ，能使 ,
n ,,,收敛的所有z 值之集合为收敛域。
, n,即满足 x(n)z,, 的区域,ROC)., n,,,
ROC:Region of convergence 不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z 变换，故在确定 z 变
换时，必须指明收敛域。
二(两种判定法
,1(比值判定法 an，1a若有一个正项级数， 令 ,, ,nliman,,,n,, n则: ,<1:收敛
,=1:可能收敛也可能发散
,>1:发散
2(根值判定法
a即令正项级数的一般项 的n次根的极限等于,， n
na,,nlim n,,
则 ,<1:收敛
,=1:可能收敛也可能发散
,>1:发散
三(讨论几种情况
1(有限长序列的收敛域 x(n),n,n,n12
n2(右边序列的收敛 ，，x(n),aun0,n,,
n，，x(n),,au,n,1n,,13(左边序列的收敛
n4(双边序列的收敛 ，，xn,b,,,n,,b,0
2(右边序列的收敛
n，，x(n),aun n，1 a,, 1,,,n,,az,, ,,n,nXzaz(),,,lim,,,, n,,az,,n,0n,0 1,
z
a当,1～即z,a时收敛 z
1z ，，Xz,, az,a1, z
z,aROC:
3(左边序列的收敛
n，，x(n),,au,n,1n,,1
,1 n,n，，X(z),,az ,
n,,,
令m,,n
,,, mmmm00mm,,,，，，，X(z),,az,,az，az,1,az,,,
m1m0m0,,, mm，1, ,,zzz,,,,,,,, ,1,,1,lim1,1,,,,,,,,,,m,,aaa ,,,,,,m,0,,
z 当,1～即z,a时收敛 a
1az X，，z,1,,1,,z,aROC: za,zz,a 1, a
4(双边序列的收敛
n ，，xn,b,,,n,,b,0
n,n ，，，，，，或 xn,bun，bu,n,1,,,,,,,,,, nn,0n,0，，xn,b 0,b,1 1z n，，bun, z,b？？ z,b n ,nbu,n,，，1 n，，xn,bnb,1 ,1,,,，，bu,n,,,，，1
,z,1,z,b？ ？1,1z,b
n
11若 0,b,1,b 则ROC:b,z,bb
四(
总结
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?x(n)的收敛域(ROC)为 z 平面以原点为中心的圆环;
? ROC内不包含任何极点(以极点为边界); ?有限长序列的ROC为整个 z 平面(可能除去z = 0 和z = ,);
z,R?右边序列的ROC为 的圆外; 1
z,R?左边序列的ROC为 的圆内; 2
?双边序列的ROC为 的圆环。 R,z,R12
例8-3-1
n,,2,n,312
n32,n,n X(z),x(n)z,x(n)z,, n,nn,,21
210,x(,2)z，x(,1)z，x(0)z ,,,,,,,,,,,, 常数z,,
,1,2,3 ，x(1)z，x(2)z，x(3)z,,,,,,,,,,,,,
z,0
所以，收敛域为 的z平面 0,z,,
例8-3-2
n ,1,, ,0n,,, (),求信号xn的z变换的收敛域。3,,, , 0 ,0n,
nn ,,,11,,,,nn,, X(z)x(n)zz,,,,,,,,,,jIm(z) 33z,,,,n0n0n0,,,
111 1,，，，，？23 13z(3z)(3z)3Re(z) 0 1若该序列收敛，则要求 ,1
3z
1 1半径为的圆外即收敛域为: z,3 3
例8-3-3
,0 0n,
,,n,()求信号xn的z变换的收敛域。,1,, ,0n,,, 2,,,
,nnn11,,,, 11z,,,,,,,,nnn ()(),,,,Xzxnzzz,,,,,,,,,, 222,,,,,,11,,,,,,,,nnnn 123jIm(z)zzz,,,,,, ,，，，？,,,,,, 222,,,,,, 2 ,zRe(z)0, z,2
z ？,1z,2收敛域为: 2
例8-3-4
n, 1,,jIm(z)n,0,,, 3,,, x(n),,,n 1,,, 1/3n0,,,2,2 ,,,Re(z)0 1 ,z,2ROC: 3
浙公网安备 33021202002483