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地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词
导数压轴题
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
21.. (切线)设函数f(x),x,a
g(x),xf(x)[0,1]1a,1 ()当时，求函数在区间上的最小值;
xy,f(x)A(x,0)2a,0ll()当时，曲线在点处的切线为，与轴交于点P(x,f(x))(x,a)2111
. 求证:x,x,a12
332,a,1解:(1)时，，由，解得. g(x),x,xg(x),3x,1,0x,,3
,g(x) 的变化情况如下
表
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:
333x 1 0 (0,)(,1) 333
,g(x) - 0 +
g(x) 0 0 ?极小值?
3323g(x)所以当时，有最小值. x,g(),,339
2,y,f(x)k,f(x),2x(2)证明:曲线在点处的切线斜率 P(x,2x,a)1111
2y,f(x) 曲线在点P处的切线方程为. y,(2x,a),2x(x,x)111
222x，ax，aa,x111y,0x,x,x,,x, 令，得，? 22112x2x2x1112a,x1x,x,0 ?，?，即. x,a2112x12xax，axxaa1111,x,,，,,,a2 又?，? 222x2x22x22x1111
所以. x,x,a12
2.200920 (天津理，极值比较讨论)
22x 已知函数其中a,Rfxxaxaaex()(23)(),,，,，,R
yfxf,()(1,(1))在点 ?当时，求曲线处的切线的斜率;a,0
2fx()a,. ?当时，求函数的单调区间与极值3
解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础
知识，考查运算能力及分类讨论的思想
方法
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。
2x2x ?当a,0时，f(x),xe，f'(x),(x，2x)e，故f'(1),3e.所以曲线y,f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
22x ?,,f'(x),x，(a，2)x,2a，4ae.
2令f'(x),0，解得x,,2a，或x,a,2.由a,知，,2a,a,2. 3
以下分两种情况讨论:
1
2xf'(x)，f(x)?,，则,.当变化时，的变化情况如下表: 若a,2aa,23
x，， ，， ，， ,,，,2a,2a，a,2a,2，，, ,2aa,2
+ 0 — 0 +
?极大值?极小值?
所以f(x)在(,,，,2a)，(a,2，，,)内是增函数，在(,2a，a,2)内是减函数.
,2a 函数f(x)在x,,2a处取得极大值f(,2a)，且f(,2a),3ae.
a,2 函数f(x)在x,a,2处取得极小值f(a,2)，且f(a,2),(4,3a)e.
2xf'(x)，f(x)?,，则,，当变化时，的变化情况如下表: 若a,2aa,23
x，， ，， ，， ,,，a,2a,2，,2a,2a，，, a,2,2a
+ 0 — 0 +
?极大值?极小值?
所以f(x)在(,,，a,2)，(,2a，，,)内是增函数，在(a,2，,2a)内是减函数。
a,2 函数f(x)在x,a,2处取得极大值f(a,2)，且f(a,2),(4,3a)e.
,2a 函数f(x)在x,,2a处取得极小值f(,2a)，且f(,2a),3ae.
1223.fxxaxgxaxb()2,()3ln.,，,， 已知函数2
yfxygx,,()()与 ?设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同，若，试建立关a,0b
a 于的函数关系式，并求的最大值;b
abhxfxgxabx,,，,,[0,2],()()()(2)04 ?若在(,)上为单调函数，求的取值范围。
2
4. (最值，按区间端点讨论)
a. 已知函数f(x)=lnx,x
(1)0 当时，判断在定义域上的单调性;a>f(x)
3(2)[1e]. 若在,上的最小值为，求的值f(x)a2
1axa，(1)f(x)(0)f ′(x). 解:由题得的定义域为,，?，且 ,，,22xxxa>0f ′(x)>0f(x)(0). ?，?，故在,，?上是单调递增函数
xa，(2)(1)f ′(x) ，由可知:,2x
a1xa0f ′(x)0[1,e]f(x)[1e] ?若?,，则，?，即?在上恒成立，此时在,上为增函数，
33f(x) (). f(1)aa?,,,,，?,,舍去min22
aexa0f ′(x)0[1e]f(x)[1,e] ?若?,，则，?，即?在,上恒成立，此时在上为减函数，
a3ef(x))1(). f(a?,,,,，?,,舍去emine22
e
0f(x)(ae) 当,时，，?在,,上为增函数，
3f(x). f(a)ln(a)1?,,,,，,?,,amine2
. 综上可知:,,ae
12a,R5. (最值直接应用)已知函数，其中. f(x),x,ax,ln(1，x)2
f(x)x,2(?)若是的极值点，求的值; a
f(x)(?)求的单调区间;
f(x)[0,)，,0(?)若在上的最大值是，求的取值范围. a
xaax(1),,,解:(?). fxx(),(1,),,,，,x，1
11,f(2)0,依题意，令，解得 . 经检验，时，符合题意. a,a,33
3
x,a,0(?)解:? 当时，. fx(),x，1
f(x)(0,)，,(,1,0)故的单调增区间是;单调减区间是.
1,fx()0,a,0? 当时，令，得，或. x,0x,,112a
,fx()fx()0,a,1当时，与的情况如下:
(1,),xx(,)xxx(,)x，, x111222,fx() 00 ,，，fx() fx()fx() ? ? ? 12
11fx()(,1,0)所以，的单调增区间是;单调减区间是和. (0,1),(1,),，,aa
f(x)(,1,，,)a,1当时，的单调减区间是.
,fx()fx()a,1当时，，与的情况如下: ,,,10x2
(1,),xx(,)xxx(,)x，, x222111,fx() 00, ，，fx() fx()fx() ? ? ? 21
11fx()(0,)，,所以，的单调增区间是;单调减区间是和. (1,0),(1,1),,aa
f(x)(0,)，,(,1,0)a,0? 当时，的单调增区间是;单调减区间是.
f(x)(0,)，,(,1,0)a,0综上，当时，的增区间是，减区间是;
11fx()(,1,0)0,a,1当时，的增区间是，减区间是和; (0,1),(1,),，,aa
f(x)(,1,，,)a,1当时，的减区间是;
11fx()(0,)，,a,1当时，的增区间是;减区间是和. (1,0),(1,1),,aa
f(x)(0,)，,f(0),0a,0(?)由(?)知 时，在上单调递增，由，知不合题意.
1f(x)(0,)，,0,a,1当时，在的最大值是， f(1),a
1由，知不合题意. ff(1)(0)0,,,a
f(x)(0,)，,a,1当时，在单调递减，
f(x)[0,)，,f(0),0可得在上的最大值是，符合题意. f(x)[0,)，,[1,)，,0所以，在上的最大值是时，的取值范围是. a
6. (2010北京理数18)
4
x2xxfx()lnx已知函数=(1+)-+(?0). k2
yfx()f(1))(1,(?)当=2时，求曲线=在点处的切线方程; k
fx()(?)求的单调区间.
12I fxx'()12,,，解:()当时，，k,2fxxxx()ln(1),，,，1，x
3f(1)ln2,f'(1), ，，由于2
3yfx,()(1,(1))f yx,,,ln2(1)所以曲线在点处的切线方程为2
322ln230xy,，,, 即
xkxk(1)，,x,,，,(1,)IIfx'(),. ()，1，x
xfx'(),,. 当时，k,01，x
(1,0),fx'()0,(0,)，,fx'()0,. 所以，在区间上，;在区间上，
fx()(1,0),(0,)，, . 故得单调递增区间是，单调递减区间是
xkxk(1)，,1,kx,0fx'()0,,x,,0 当时，由，得，01,,k121，xk
1,k1,k(1,0),fx'()0,fx'()0,(,)，,(0,) 所以，在区间和上，;在区间上，kk
1,k1,kfx()(1,0),(,)，,(0,). 故得单调递增区间是和，单调递减区间是kk
2xfx()(1,),，, . 当时，故得单调递增区间是k,1fx'(),1，x
xkxk(1)，,1,kx,0fx'()0,,x,,,(1,0). 当时，，得，k,1211，xk
1,k1,k(0,)，,fx'()0,fx'()0,(1,),(,0) 所以没在区间和上，;在区间上，kk
1,k1,kfx()(0,)，,(1,),(,0) 故得单调递增区间是和，单调递减区间是kk
7. (是一道
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合
零点存在性定理不好想，??联系紧密)
x已知函数 fxxgxe()ln,().,,
x+1?若函数φ (x) = f (x),，求函数φ (x)的单调区间; x-1
?设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x，f (x))处的切线，证明:在区间(1,+?)上存在唯一的00
x，使得直线l与曲线y=g(x)相切( 0
5
212x，1x，1x，1,,解:(?) ,lnx,，x,，,( ()xfx,,，，,，，22x,1x,1x，，，，x,1x,x,1
,,()x,x0x,0x,1,?且，??函数的单调递增区间为( ，，，，0,1和1，，,，，
11,,fx(), (?)? ，?， fx(),0xx0
11? 切线l的方程为yxxx,,,ln(), 即, ? yxx,，,ln1000xx00
x1ygx,()设直线与曲线相切于点， l(,)xe1
11,lnxxx01,gxe(),gxe,,e,?，?，?,?(). xx,,ln110xx00
lnx11110 ?直线也为yxx,,，ln， 即yx,，，， ? l，，0xxxxx00000
lnx1x，100ln1x,,， 由??得 ，?( lnx,00x,1xx000
, 下证:在区间(1,+)上存在且唯一. x0
x，1,()x()1,+,,lnx,由(?)可知，在区间上递增( x,122e，,12ee，,1322,又()ln0ee,,,,，， ,()ln0ee,,,,22ee,,11ee,,112(,)ee,()0x,结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的
x唯一故结论成立( 0，
8. (最值应用，转换变量)
221ax， 设函数(fxaxa()(2)ln(0),,，,x
fx()(1) 讨论函数在定义域内的单调性;
a,,,(3,2)xx,[1,3],(ln3)2ln3|()()|mafxfx，,,,(2)当时，任意，恒成立，求实1212
m 数的取值范围(
221,a(1)(21)axx，,2(2)1axax，,,,fxa()2,，,, 解:?(,222xxxx
111111,,(,),(0,),(,)，, 当时，，增区间为，减区间为，(a,,2a2a2a2
11(0,)，,,, 当时，，减区间为(a,,2a2
111111,,(,),(0,)(,),，, 当时，，增区间为，减区间为，(,,,20aa22a2a
a,,,(3,2)fx()[1,3] ?由?知，当时，在上单调递减，
1ff(1)(3),xx,[1,3],|()()|fxfx,,，,,，，(12)[(2)ln36]aaa ?，?，12123
6
2|()()|fxfx,,，,4(2)ln3aa 即?(123
(ln3)2ln3|()()|mafxfx，,,, ?恒成立，12
22(ln3)2ln3ma，,,，,4(2)ln3aamaa,,4 ?,，即，33
2m,,4 又，?(a,03a
1323813ma,,,(3,2),,,,,4, ?，?，??(339a3
9. 山东，两边分求，最小值与最大值 (2010)
1,a()a,Rfxxax()ln1,,，,已知函数. x
1fx()a? ?当时，讨论的单调性;2
12x,(0,2)x,1,2fxgx()()?a,?设当时，若对任意，存在，使，,,gxxbx()24.,,，12124
求实数取值范围b.
解:本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调
性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及
. 解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力
fx()12()直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;()利用导数求出的最小值、利用
gx() [1,2].二次函数知识或分离常数法求出在闭区间上的最大值，然后解不等式求参数
21,al11aaxxa,,，，,fxxaxx()ln1(0),,，,, ,?，fxax()(0),,，,,22xxxx
2 令hxaxxax()1(0),,，,,
,hxxx()1(0),,，,xhxfx,,,(0,1),()0,()0fx()?当时，，当单调递减;当函数a,0,
,xhxfx,，,,,(1,),()0,()0fx()，函数单调递增.
12,fx()0,xx,,,1,1?当时，由，即，解得a,0. axxa,，,,1012a
1,hx()0,fx()0,fx()xx,a, 当时，恒成立，此时，函数单调递减;122
11,x,(0,1)hxfx()0,()0,,fx()0,,a,,,110 当时，时，函数单调递减;,2a
1,hxfx()0,()0,,fx()x,,(1,1) 时，，函数单调递增;a
1,hxfx()0,()0,,fx()x,,，,(1,)时，，函数单调递减. a
1,xhxfx,,,(0,1),()0,()0fx(),,10 当时，当单调递减;函数a,0,a
,xhxfx,，,,,(1,),()0,()0fx()当，函数单调递增.
7
fx()(0,1)(1,)，, 综上所述:当时，函数在单调递减，单调递增;a,0
1,hx()0,fx()0,fx()(0,)，,xx,a, 当时恒成立此时，函数在单调递减;,,122
111fx()(0,1)0,,a(1,1),(1,),，,当时函数在递减递增递减,,,. 2aa1fx()x,(0,2)a,(0,1)(1,2) ?当时，在上是减函数，在上是增函数，所以对任意，14
1fxf()(1)?,, ，有12
1x,1,2fxgx()(),x,1,2,,gx() 又已知存在，使，所以，，(※),,,,212222
22 又gxxbbx()()4,[1,2],,，,,
gxgb()(1)520,,,, 当时，与(※)矛盾;b,1min
2b,1,2gxgb()(1)40,,,, 当时，也与(※)矛盾;,,min
117gxgbb()(2)84,,,,,,,当时，b,2. min28
17[,)，,综上，实数的取值范围是b. 8
1,a10. 设函数( f(x),lnx,ax，,1x
f(x)a,1(?)当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标;
1f(x)0,a,(?)当时，求函数的单调区间; 2
152a,(?)当时，设函数，若对于]，[0，1] gx,x,bx,()2,x,(0,e，x,12312
使?成立，求实数b的取值范围.(是自然对数的底，) e,3，1ef(x)g(x)12
11,a,f(x)(0，，,)解:函数的定义域为， f(x),,a,2xx
f(x),lnx,x,1a,1(?)设点，当时，，则，y,lnx,x,1P(x,y)(x,0)000000
1lnx,x,1100,,f(x),,1,，? f(x),,10xxx00
222解得，故点P 的坐标为 x,e(e，1,e)0
1,aa(x,1)(x,)2,ax，ax，a,1(x,1)(ax,1，a)a,f(x),(?) ,,,,222xxx
11,a0,a,? ? ,1,02a
1,a1,a,,f(x),0f(x),00,x,1x,1,x,?当，或时，当时， aa
8
11,af(x)故当0,a,时，函数的单调递增区间为; (1,)2a
1,a(0,1)单调递减区间为， (,，,)a
1x2f(x)(0，1)(?)当a,时，由(?)可知函数在上是减函数，f(x),lnx,，,1333x
2e2(2，e](1，2)在上为增函数，在上为减函数，且f(1),,，f(e),,， 333e
222e2e3(e1),，,,2f(e)f(1)?，又，?， ,,,e,3，1(e,1),33e3e
2f(e),f(1)f(x)(0,e]?，故函数在上的最小值为 ,3
g(x)[0,1]若对于，使?成立在上的最小值不大于 ,,x,(0,e]，x,[0,1]f(x)g(x)1212
2f(x)(0,e]在上的最小值(*) ,3
55222x,[0,1]()2()又， gx,x,bx,,x,b,b,1212
52g(x)[0,1]b,0[()](0)?当时，在上为增函数，与(*)矛盾 gx,g,,,,min123
520,b,1[()]()?当时，， gx,gb,,b,min1252120,b,1由及得， ,b,,,,b,11232
g(x)[0,1]b,1?当时，在上为减函数，
7172[()](1)2b,1，此时 gx,g,,b,,,,min12123
1b 综上，的取值范围是 [，，,)2
11. 山东，两边分求，最小值与最大值(2010)
2 已知函数fxxxgxxax()ln,()3,,,，,(
fx()[,2](0)ttt，, ?求在上的最小值;
1，，,,,eea2()()fxgx,xe,,2.71828?若存在(是常数，,)使不等式成立，求实数的取,,e，，
值范围;
12x,，,(0,),x,,ln ?证明对一切都有成立(xeex
解:?，
9
11,,,, 0t,,ee所以fx, ，，,min1,tIntt ,,e,
?由题意知
3223,2,xInxxaxaInxx,,，,,，，则x
xx，,31，，，，323,设则hxInxxxhx,，，,,，,,201，，，，，，22xxxx
1，，,当时，单调递减;xhxhx,,,10,，，，，,, e，，
,当时，单调递增;xehxhx,,1,0,，，，，,,
,,11,,，，所以因为存在使成立，hxhhexefxgx,,,max,(),,,2，，，，，，,,,,max,,ee,,，，,,
所以ahx,,，，max
113hee()2,，， he()23,,，，，eee
11ae,，,32hhe()(), 而，故ee
x2xInxx,,,，,0, (?) 等价证明，，，，xee
由?知
1fxxInxx,,，,的最小值是-0,，，，，，，e
1当且仅当取到，x, e
xx21,,,,设则xxx,,,，,,0,,,，，，，，，，，xxeee
1易得，当且仅当,,x,,,,x时取到，11，，，，maxe x2从而对一切都有成立，xxInx,，,,,0,，，xee
12即对一切成立Inxx,,,，,0, (，，xeex
10
12. (最值应用)
qpefxpxx()2ln,,,feqe()2,,,设函数，且，其中是自然对数的底数. ex
pq?求与的关系;
pfx()?若在其定义域内为单调函数，求的取值范围;
2ep1,exfx()gx()gx(),?设，若在上至少存在一点，使得,成立，求实数的取值范,,000x
围.
1qpfepeeqe()2ln2,,,,,,,,，,()()0pqe解:(1)由题意得 eee1pqpq,e，,0而，所以、的关系为. e
qpfxpxxpxx()2ln2ln,,,,,,(2)由(1)知， xx
2ppxxp22,，2'.令， hxpxxp()2,,，fxp(),，,,22xxx
fx()(0,)，,hxhx()0()0,,或要使在其定义域内单调，只需恒成立.
2x'xp,0hxx()2,,hx()fx(),,?当时，，因为,，所以,0，,0， 02xfx()(0,)，,p,0?在内是单调递减函数，即适合题意;
12phxp(),,?当,0时，，?， hxpxxp()2,,，minp
1'p,,0只需，即， phxfx,,,1()0,()0时p
fx()(0,)，,p,1?在内为单调递增函数，故适合题意.
12px,,，,(0,)?当,0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，hxpxxp()2,,，p
ph(0)0,p,0hx()0,(0,)，,只要，即时，在恒成立，故,0适合题意.
ppp,,10或综上所述，的取值范围为.
2e1,egx(),(3)?在上是减函数， ,,x
xe,gxe()2,2,gx()2,gxe()2,x,1?时，;时，，即， ,,minmax
p,0fx()1,e,,,fxf()(1)0?当时，由(2)知在上递减,2，不合题意; ,,max
1pxex,,,,1,0?当0,,1时，由， ,,x
p,1fx()1,e又由(2)知当时，在上是增函数， ,,
1111fxpxxxxeee()()2ln2ln2ln2,,,,,,,,,,,,?,，不合题意; 2xxee
11
p,1fx()1,ef(1)0,gx()1,e?当时，由(2)知在上是增函数，,2，又在上是减函数，,,,,
1fx()gx()xe,1,gx()2,fxfepee()()()2ln,,,,故只需,，，而，， 即 ,,maxminminmaxe14eppee()2ln,,,2，解得, ， 2ee,1
4ep()，，,的取值范围是. 综上，2e,1
13.20112 (湖南文，第问难，单调性与极值，好题)
1fxxaxaR()ln().,,,,设函数x
fx()?讨论函数的单调性;
fx()xx,Axfx(,()),Bxfx(,())?若有两个极值点，记过点的直线斜率为,问:是否存k121122aa在，使得,若存在，求出的值;若不存在，请说明理由. ka,,2
211axax,，fx()(0,).，, 解:?的定义域为fx'()1,，,,22xxx
22 令gxxax()1,,,，其判别式 ,,a4.
||2,0,'()0,afx,,,时 fx()(0,)在，, ?当故上单调递增(
(0,)，,fx'()0,fx()(0,)在，,0?当的两根都小于，在上，，故a,,2时,>0,g(x)=0
上单调递增(
22aaaa,,，,44 ?当的两根为，a,2时,>0,g(x)=0 xx,,,1222
fx'()0,fx'()0,fx'()0,0,,xxxxx,,xx, 当时，;当时，;当时，，故1122
fx()(0,),(,)xx，,(,)xx 分别在上单调递增，在上单调递减(1212
fx()xx, ?由?知，若有两个极值点，则只能是情况?，故(a,212
xx,12fxfxxxaxx()()()(lnln),,,，,, 因为，121212xx12
fxfxxx()()lnln,,11212ka,,，,1 所以xxxxxx,,121212
lnlnxx,12ka,,2 xx,1 又由?知，，于是12xx,12
lnlnxx,12,1alnlnxxxx,,, 若存在，使得则(即(ka,,2.1212xx,12
1xxx,,,,2ln0(1)(*) 亦即222x2
1(0,)，,x,1httt()2ln,,,再由?知，函数在上单调递增，而，所以2t
12
11xx,,,,,,2ln12ln10.a(*) 这与式矛盾(故不存在，使得ka,,2.22x12
14. (构造函数，好，较难)
12已知函数. fxxaxaxaRa()ln(1)(0),,，,,,，2
fx()?求函数的单调增区间;
Fx()CC?记函数的图象为曲线，设点是曲线上两个不同点，如果曲线AxyBxy(,)(,)、1122
xx，12Cx,C上存在点，使得:?;?曲线在点处的切线平行于直线，MABMxy(,)0002Fx()fx()则称函数存在“中值相依切线”.试问:函数是否存在中值相依切线，请说明理由.
fx()(0,)，,解:(?)函数的定义域是.
1axx(1)(),，1a. 由已知得，fxaxa'()1,,，,,,xx
fx'()0,fx()(0,1)a,001,,x? 当时, 令,解得;函数在上单调递增 ？a,0? 当时，
11fx'()0,a,,1x,1 ?当时，即时, 令,解得或; ,,10,,,xaa
1fx()(1,)，,函数在和上单调递增 (0,),？a
1fx()(0,)，,a,,1 ?当时，即时, 显然，函数在上单调递增; ,,1a
11fx'()0,,,,10a01,,x?当时，即时, 令,解得或 ,,1x,,aa
1fx()(0,1)函数在和上单调递增. ？(,),，,a
综上所述:
fx()(0,1)a,0?当时,函数在上单调递增
1fx()(1,)，,a,,1?当时,函数在和上单调递增 (0,),a
fx()(0,)，,a,,1?当时,函数在上单调递增;
1fx()(0,1),,,10a?当时,函数在和上单调递增. (,),，,a
fx()(?)假设函数存在“中值相依切线”.
yfx,()设,是曲线上的不同两点，且， Axy(,)0,,xxBxy(,)111222
1122则，. yxaxax,,，,ln(1)yxaxax,,，,ln(1)1111222222
13
122(lnln)()(1)()xxaxxaxx,,,，,,212121yy,221, k,ABxx,xx,2121
lnln1xx,21 ,,，，,axxa()(1). 12xx,221
xx，2xx，1212,,曲线在点处的切线斜率， ,,,，,aa(1)kfx,(),f()Mxy(,)000xx，2212
lnln1xx,2xx，2112依题意得:,，，,axxa()(1). ,,,，,aa(1)12xx,2xx，21221
x22(1),xlnlnxx,2()xx,2x121221,,ln化简可得 ， 即=. xxxx,xx，xx，21211221，1x1x2(1)4t,2,tt,1 设 ()，上式化为:, ln2t,,,xtt，，111
2(1)t,1444,,令,. gt'(),,ln2t，,gtt()ln,，22tt(1)，tt(1)，t，1t，1
gt'()0,gt()(1,)，,gt()2,t,1因为,显然，所以在上递增,显然有恒成立.
4(1,)，,所以在内不存在,使得成立. tln2t，,t，1
. 综上所述，假设不成立所以，函数不存在“中值相依切线”fx()
15.(201119) 天津理，综合应用
2fxxax,,lnfx() 已知，函数，，，(，，的图象连续a,0x,0
fx ?求，，的单调区间;
,,,,,,?11,3ff,,,?若存在属于区间的，且，使，，，，，证明:,,
ln3ln2ln2,??a (53
2112,ax2a,fx,0 ,解:?，(令，，，则(x,0fxax,,,2x,，，xx2a
,xfxfx ，，，，当变化时，，的变化情况如下表:
,,,,2a2a2a0,,，,x ,,,,,,,,2a2a2a,,,,
,fx ，，, ，0
fx ，，单调递增极大值单调递减
14
,,,,2a2a0,,，,fx 所以的单调增区间是，单调减区间是(，，,,,,,,,,2a2a,,,,
2aff,,,fxfx,,,?由，，，，及，，的单调性知(从而，，在区间上的最小值为,,,,,,2a
f, ，，(
,,,,1123,,,,,,,,,1,3, 又由，，则(,,
fff21,,,,,ln24,,,,aa，，，，，，,, 所以即,,fff23,,,ln24ln39.,,,aa，，，，，，,,,,
ln3ln2ln2,,,a 所以(53
16. (恒成立，直接利用最值)
2 已知函数，fxaxxaxa()ln(1), 0,，，,,
1af(x) x,?若是函数的一个极值点，求;2
f(x) ?讨论函数的单调区间;
1ma,[1,2]fxm?,[,1]. ?若对于任意的不等式，，在上恒成立，求的取值范围2
222(2)axax，,, ,解:?fx(),ax，1
112,f(x). f(),0x,因为是函数的一个极值点，所以，得a,a,2,022
. 又，所以a,0a,2
1f(x)(, ),，, ?因为的定义域是，a2a,22()axx,222(2)axax，,. 2a,fx(),,axax，，11
?当时，列表a,2
221a,2a,2x(, 0), (0, )(, )，,a2a2a
,f(x) ，,，
f(x) 增减增
15
221a,2a,2f(x)f(x)(, 0),. 在，是增函数;在是减函数(, )，,(0, )a2a2a
222x2f(x),. ?当时，，在是增函数fx()0,?(, ),，,a,221x，2
?当时，列表0,a,2
2212a,a,2x(0, )，, (, ),(, 0)aa22a
,f(x) ，,，f(x) 增减增
2212a,a,2f(x)(0, )，,f(x),. 在是增函数;在是减函数(, ),(, 0)aa22a
?
17. (最值与图象特征应用)
,xe2. 设a,R，函数为自然对数的底数)f(x),(ax，a，1)(e2
f(x) ?判断的单调性;
1f(x),在x,[1,2]a. ?若上恒成立，求的取值范围2e
111,x2,x,x2,f(x),,e(ax，a，1)，e,(2ax),e(,ax，2ax,a,1), 解:??222
2 令g(x),,ax，2ax,a,1.
,a,0时,g(x),,1,0,？f(x),0,？f(x). R?当在上为减函数
22 ?当a,0时,g(x),0的判别,,4a,4(a，a),,4a,0,
,？g(x),0,即f(x),0？f(x). R在上为减函数
112x,1,或x,1，, ?当a,0时，由得,ax，2ax,a,1,0,,a,a
1121,,x,1，, 由得,ax，2ax,a,1,0,,a,a
16
a，,aa,,a 上为增函数;？f(x)在(,,,),(,，,)aa
a，,aa,,a. 上为减函数f(x)在(,)aa
?由?知
a,0时,f(x)在[1,2]. ?当上为减函数
5a，15a，111 ？f(x),f(2),.由,得a,.min22252e2ee
5a，11 a,0时,f(2),,?当222e2e
11 ？f(x),[12]a(,，,).在，上不恒成立，?的取值范围是25e
18.() 单调性2fx() 已知=ln(x+2)x+bx+c,
fx()fx())f(1)=0(1[0,3]?若函数在点，处的切线与直线垂直，且,，求函数在区间y3x+7y+2=0
上的最小值;
fx()][0,. 在区间上单调，求的取值范围?若mb
13,,f(1)f(1),f(x),,2x，b= 0b=4c=5. 解:?，依题意令，,，解得，x，27
21,2x，932 ,？fx,,x，,,得x,()240222x，x，
333x 0 (0,2) 2 2,3 3 ()222
y + 0 ′,
y ln2+5 8+ln5 极大
fx()f(0)8+ln5>5+ln2 x=0[03]=5+ln2. 因为?时在，上最小值fx()[0m] ?若在区间，上单调，有两种可能
11, f(x),,2x，b0b2x[0m] ?令?得?,，在，上恒成立x，2x，2
111 y=2x. [0m]2mb2m而,在，上单调递增，最大值为,，??,x，2m，2m，2
11,f(x),,2x，b 0 b2x ?令?得?,，x，2x，2
111 y=2x. [0m]y=b而,在，单增，最小为,，??,x，222
11fx()b2mb[0m]. 故?,或?,时在，上单调m，22
19. (单调性，用到二阶导数的技巧)
f(x),lnx 已知函数
17
f(x)，aF(x) F(x),(a,R) ?若，求的极大值;x
2 k. ?若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数的取值范围G(x),[f(x)],kx
f(x)，alnx，ax,(0,，,) ？F(x),,解:?定义域为xx
(1,a),lnx, ？F(x),2x
1,a1,a,, 令由F(x),0得x,eF(x),0得0,x,e
1,a, 由F(x),0得x,e
1,a1,a 即上单调递增，在上单调递减F(x)在(0,e)(e,，,)
1,a，a1,aa,11,aF(e,),e F(x)时，取得极大值？x,e,ae
2lnx2, ？G(x),,k (0+) ?的定义域为，?，？G(x),(lnx),kxx
2lnx,G (x)G(x),,k,0(0+) 由在定义域内单调递减知:在，?内恒成立x
2(1,lnx)2,,H(x),lnx,kH(x), H(x),0得x,e 令，则由2xx
,x,(0,e)H(x),0,H(x) ?当时为增函数
,x,(e,，,)H(x),0H(x) 时，为减函数当
2x = eH(x)H(e),,k ?当时，取最大值e
22,k,0 ？k,故只需恒成立，ee
22,G(x),H(x),0？k,. k,x = e又当时，只有一点使得不影响其单调性ee
二、交点与根的分布
20. (2008四川22，交点个数与根的分布)
2已知是函数的一个极值点( x,3fxaxxx()ln(1)10,，，,
a?求;
fx()?求函数的单调区间;
yb,yfx,()?若直线与函数的图像有个交点，求的取值范围( 3b
a2fxx'()210,，,解:?， fxaxxx()ln(1)10,，，,1，x
2x,3是函数的一个极值点( fxaxxx()ln(1)10,，，,
af'(3)40,,,a,16， 4
18
2x,,，,(1,)fxxxx()16ln(1)10,，，,?由?，
2162862(1)(3)xxxx,，,, fxx'()210,，,,,111，，，xxx
fx()fx'()xfx'()0,x,1x,3令，得，，和随的变化情况如下:
(3,)，,(1,1),(1,3)x 1 3
fx'()0 0 , ，，
fx() 增极大值减极小值增
fx()(1,1),(3,)，,(1,3) 的增区间是，;减区间是(
(1,1),(3,)，,(1,3)fx()?由?知，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减(
fxf()(3)32ln221,,,fxf()(1)16ln29,,,?，( 极小极大
，fx(),，,fx(),,,x,，,又时，;时，; x,,1
yfx,()可据此画出函数的草图(图略)，由图可知，
yfx,()(32ln221,16ln29),,yb,当直线与函数的图像有3个交点时，的取值范围为( b
21. (交点个数与根的分布)
2已知函数fxxxgxxm()8,()6ln.,,，,，
fx()ht();tt,1， ?求在区间上的最大值,,
m,yfx,()ygx,()?是否存在实数使得的图像与的图像有且只有三个不同的交点,若
m 存在，求出的取值范围;若不存在，说明理由。
22 解:?fxxxx()8(4)16.,,，,,,，
t，,14,fx()tt,1， 当即时，在上单调递增，,,t,3
22 htfttttt()(1)(1)8(1)67;,，,,，，，,,，，
tt,,，41,htf()(4)16;,, 当即时，34,,t
2fx()tt,1， 当时，在上单调递减，,,t,4htfttt()()8.,,,，
2,,，，,ttt67,3,
,htt()16,34,,,, 综上,
,2,，,ttt8,4 ,
yfx,()ygx,() ?函数的图像与的图像有且只有三个不同的交点，即函数
x,()()()xgxfx,, 的图像与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
2？,()86ln,xxxxm,,，，
2 62862(1)(3)xxxx,，,,？,,，,,,'()28(0),xxx,xxx
x,(0,1),,'()0,()xx, 当时，是增函数;
x,(0,3),,'()0,()xx, 当时，是减函数;
x,，,(3,),,'()0,()xx, 当时，是增函数;
x,1,,'()0.x, 当或时，x,3
？,,,,,，,,,,,()(1)7,()(3)6ln315.xmxm 最大值最小值
xx？,()0,x,,()0.x, 0当充分接近时，当充分大时，
x？,()x 要使的图像与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
19
,()70,xm,,,,,最大值 即7156ln3.,,,m,()6ln3150,xm,，,,,,最小值,
mmyfx,()ygx,()?存在实数，使得函数与的图像有且只有三个不同的交点，的取
(7,156ln3)., 值范围为
22. (交点个数与根的分布)
32 f(x),ln(2，3x),x.已知函数 2
f(x)[0,1] ?求在上的极值;
11,x,[,],不等式|a,lnx|，ln[f(x)，3x],0a ?若对任意成立，求实数的取值范围;63
f(x),,2x，bx[01]b. ?若关于的方程在，上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围
3,3(x，1)(3x,1),f(x),,3x, 解:?，2，3x3x，2
1,f(x),0得x,或x,,1 令(舍去)3
11,,？当0,x,时,f(x),0,f(x),x,1时,f(x),0,f(x). 单调递增;当递减33
11？f(),ln3,为函数f(x)在[0,1]. 上的极大值36
,|a,lnx|，ln[f(x)，3x],0 ?由得
33a,lnx,ln或a,lnx，ln2，3x2，3x 233xx，x323g(x),lnx，ln,ln 设，，hx,x,,()lnlnln2，3x2，3x2，3x3
11a,h(x)或a,g(x)在x,[,] 依题意知上恒成立，63
2，3x3(2，3x),3x,32,？g(x),,,,0 ，23xx(2，3x)(2，3x)
312，6x,h(x),,(2，6x),,0 ，2232x，3x2x，3x
11？g(x)与h(x)都在[,] 上单增，要使不等式?成立，63
1111a,h()或a,g(),即a,ln或a,ln. 当且仅当3635
32f(x),,2x，b,ln(2，3x),x，2x,b,0. ?由2
2337,9x2 ,令，,则,(x),ln(2，3x),x，2x,b,(x),,3x，2,22，3x2，3x
20
77 当上递增;,x,[0,]时,,(x),0,于是,(x)在[0,]33
77 上递减，,x,[,1]时,,(x),0,于是,(x)在[,1]33
77 而，,(),,(0),,(),,(1)33
？f(x),,2x，b即,(x),0在[0,1] 恰有两个不同实根等价于,,(0),ln2,b,0,
,7727,,(),ln(2，7),，,b,0 ,366,
1,,(1),ln5，,b,0,2,
1727 ？ln5，,b,ln(2，7),，.263
23.(2009) 宁夏，利用根的分布
32,x 已知函数fxxxaxbe()(3),，，，
fx() ?如，求的单调区间;ab,,,3
fx()(,),(2,),,,,(,2),(,),,，,,,,6.?若在单调增加，在单调减少，证明:,
32,x 解:?时，，故ab,,,3fxxxxe()(333),，,,
322,,xx,x fxxxxexxe'()(333)(363),,，,,，，,,,,，xxxe(3)(3)
03'()0;,,,xfx时，,,,,,303'()0.xxfx或时， 当当x,,3或
fx()(,3),(0,3)303在单调增加，在(，)，(，),,,,，,. 从而单调减少
3223,,,xxx? fxxxaxbexxaeexaxba'()(3)(36)[(6)].,,，，，，，，,,，,，,
3由条件得 fababa'(2)0,22(6)0,4,,，,，,,,,即故
,x3从而 fxexaxa'()[(6)42].,,，,，,
ff'()'()0,,,,,因为
32所以 xaxaxxx，,，,,,,,(6)42(2)()(),,,,,，，(2)[()].xxx,,,,
,,,,，,,,,2,2.a将右边展开，与左边比较系数得，故
2 ,,,,,,,,，,,,()4124.a
,,,,6.(2)(2)0,2()40.,,,,,,,,,,，，,即又由此可得于是a,,6.
24.2009 (天津文，利用根的分布讨论)
21
1322 fxxxmxx,,，，,,1R设函数，其中m,0，，，，，，3
yfx,1,1f ?当时，求曲线在点处的切线的斜率，，，，m,1，，
fx ?求函数，，的单调区间与极值
fx0、、xxxx,?已知函数有三个互不相同的零点，且，若对任意的，，1212
mxxxfxf,,,,1. 恒成立，求的取值范围，，，，,,12
132/2' m,1时，f(x),x，x,f(x),x，2x,故f(1),1解:?当3
yfx,()(1,(1))f1. 所以曲线在点处的切线斜率为
'22'x,1,m,x,1，m ?，令，得到f(x),,x，2x，m,1f(x),0
m,0,所以1，m,1,m 因为，
'x 当变化时，的变化情况如下表:f(x),f(x)
(,,,1,m)(1,m,1，m)(1，m,，,)x 1,m1，m
'+ 0 0 + ,f(x)
f(x) ?极小值?极大值?f(x)(,,,1,m)(1，m,，,)(1,m,1，m) 在和内减函数，在内增函数。
2132f(x)f(1，m)f(1，m)=m，m, 函数在处取得极大值，且x,1，m33
2132f(x)f(1,m)f(1,m)=,m，m, 函数在处取得极小值，且x,1,m33
1122f(x),x(,x，x，m,1),,x(x,x)(x,x) ?由题设1233
122,x，x，m,1=0x,xx，x,3所以方程由两个相异的实根，故，且12123
4112,,1，(m,1),0 m,,(舍)，m,，解得322
3x,x,所以2x,x，x,3,故x,,1 因为(难点)1221222
1x,1,x,则f(1),,(1,x)(1,x),0f(x),0 若，而，不合题意;121213
1,x,x,x,[x,x]x,x,0,x,x,0, 若则对任意的有121212
1f(x)f(x),,,x(x,x)(x,x),0f(x),0x,[x,x]则，又，所以函数在的最121123
12f(x),f(1)0x,[x,x]f(1),m,,0,小值为，于是对任意的，恒成立的充要条件是123
3313m 解得，综上，的取值范围是(,),,m,3323
22
25.2007II22 (全国理，转换变量后为根的分布)
3 已知函数(fxxx(),,
yfx,()Mtft(())，1 ()求曲线在点处的切线方程;
()ab，yfx,(),,,abfa()2 ()设，如果过点可作曲线的三条切线，证明:(a,0
2,yfx,()Mtft(())，yftftxt,,,()()()1 ,解:()(在点处的切线方程为，()31xx,,f
23 即(ytxt,,,(31)2
23()ab，t2 ()如果有一条切线过点，则存在，使(btat,,,(31)2()ab，yfx,() 若过点可作曲线的三条切线，
32 则方程有三个相异的实数根(230tatab,，，,
322,,6()tta, 记，则(gttatab()23,,，，gttat()66,,
,gtgt()()，t 当变化时，变化情况如下表:
(0),,，(0)，a()a，，,ta 0
,gt() 0 0 , ，，
gt()bfa,() 极大值极小值ab，
()ab，yfx,() 如果过可作曲线三条切线，
ab，,0，,gt()0,,,,abfa() 即有三个相异的实数根，则即(,bfa,,()0.,
32fxaxbxxabR,，,,3,1,1fy，,2026. 已知函数在点处的切线方程为( ，，，，，，，，
fx?求函数的解析式; ，，
,2,2fxfxc,,?若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最xx,c,,，，，，1212小值;
Mmm2,2,yfx,?若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围( m，，，，，，
2,fxaxbx,，,323解:?(„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分 ，，
,f12,,,，，ab，,,,32,a,1,,,根据题意，得即解得„„„„„„„„3分 ,,,b,03230,ab，,,,f10,,，，,,,,
3fxxx,,3所以(„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分 ，，
2,330x,,fx,0x,,1?令，即(得( ，，
,,2,1,1,11,2x 1 2 ，，，，，，,2 ,1
,fx + + ,，， fx 增 极大值 减 极小值 增 2 ，， ,2
23
f,,12f12,,因为，， ，，，，
x,,2,2fx,2fx,,2所以当时，，(„„„„„„„„„„„„6分 ，，，，,,maxmin
,2,2则对于区间上任意两个自变量的值，都有 xx,,,12
c,4fxfxfxfx,,,,4，所以( ，，，，，，，，12maxmin
所以的最小值为4(„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„8分 c
Mmm2,2,yfx,xy,?因为点不在曲线上，所以可设切点为( ，，，，，，，，00
3则( yxx,,3000
22,fxx,,33因为，所以切线的斜率为(„„„„„„„„„„„„9分 33x,，，000
3xxm,,3200则=，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分 33x,0x,20
32即( 2660xxm,，，,00
Mmm2,2,yfx,因为过点可作曲线的三条切线， ，，，，，，
32所以方程有三个不同的实数解( 2660xxm,，，,00
32gxxxm,,，，266所以函数有三个不同的零点( ，，
2,,gxxx,,612gx,0x,0x,2则(令，则或( ，，，，
,,,00,22,，,x 0 2 ，，，，，，
,gx + + ,，， gx 增 极大值 减 极小值 增 ，，
则，即，解得(,,,62m60，,m,,g00,，，,,,,，,20m,g22,，，,,
27. (2011省模，利用?的结论，转化成根的分布分题)
axfxxgxxex()ln1,()(ln1),,，,,,， 已知，函数(其中)a,Re,2.718x
fx()0,eI ，()求函数在区间上的最小值;,
ygx,()xe,0,xx,IIy，()是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直,若存在，求,00x 出的值;若不存在，请说明理由。0
24
f(x),xg(x),,f(x)，sinx28.[-11]. 已知函数，函数是区间，上的减函数
I ()求的最大值;,
2 IIt ()若上恒成立，求的取值范围;g(x),t，,t，1在x,[,1,1]
lnx2,x,2ex，m x (?)讨论关于的方程的根的个数(f(x)
f(x),x,？g(x),,x，sinx？g'(x),,，cosx,0I？g(x)在[,1,1] 解:()，上单调递减，
[-11]在，上恒成立，，故的最大值为？,,,cosx？,,,1,,1.
2[g(x)],g(,1),,,,sin1,II ()由题意？只需,,,sin1,t，,t，1,max
22 (其中)，恒成立，令，,,,1？(t，1),，t，sin，1,0(,h),(，1t),，，tsin1，1,0(,,,1)
t，,10t,,1,,2？,而t,t，sin1,0 则，恒成立，？t,,1,,22,,，，，,tt1sin110t,t，sin1,0,,
lnxlnx2,,x,2ex，m. (?)由f(x)x
lnx1,lnx2'f(x),,f(x),x,2ex，m,(), ？fx,令1212xx
'，？f(x)在0,e, 当上为增函数;x,(0,e)时,f(x),0,11
25
'，，,,x,e,，,？f(x)在e,，, 当时，为减函数;f(x),0,11
1 ,[()](),x,e时fx,fe,当1max1e
112222？当m,e,,即m,e，时, 而方程无解;f(x),(x,e)，m,e,2ee
1122,,即,， me,me当时，方程有一个根;ee
1122,,时,，. me,me当时，方程有两个根ee
26
浙公网安备 33021202002483