IIR数字滤波器的理论和设计

2009-5-17 1 CHAPTER 5 CHAPTER 5 INFINITE IMPULSE RESPONSE FILTERINFINITE IMPULSE RESPONSE FILTER 无限冲激响应滤波器设计无限冲激响应滤波器设计 2009-5-17 2 主要内容主要内容 5.1 IIR5.1 IIR滤波器简介滤波器简介 5.2 5.2 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 Impulse InvarianceImpulse Invariance 5.4 5.4 原型变换法原型变换法 AnalogAnalog--Digital TransformationDigital Transformation 5.5.3 3 双线性变换法双线性变换法 Bilinear TransformationBilinear Transformation 2009-5-17 3 ( )x n  ( )h n ( )y n FIR--h(n) finite lengthIIR--h(n) infinite length Recursively Non-recursively 0 1 ( ) ( ) ( ) N N i i i i y n a x n i b y n i            1 0 N i )in(x)i(h)n(y     N n n H z h n z     1 0        N k k i M k k i zb za )z(H 1 0 1 Digital Filter Different methods to design IIR filter and FIR filter ! 2009-5-17 4 数字滤波器的设计过程数字滤波器的设计过程 滤波器设计的三个步骤滤波器设计的三个步骤 ((basic steps)basic steps)：： •• 分析设计需求分析设计需求 (Requirements)(Requirements) 滤波器类型滤波器类型//基本参数基本参数 ((specification)specification) （（11））低通低通//高通高通//带通带通//带阻带阻 （（22）边界频率）边界频率//通带和阻带衰减通带和阻带衰减 （（33）通带纹波特性）通带纹波特性 •• 利用因果稳定系统函数逼近设计需求，这种传递利用因果稳定系统函数逼近设计需求，这种传递 函数分为函数分为IIRIIR和和FIRFIR传递函数传递函数 •• 通过有限精度的运算实现该系统函数通过有限精度的运算实现该系统函数 2009-5-17 5 数字滤波器基本技术指标数字滤波器基本技术指标 (Specification)(Specification) 过渡带 |)e(H|lg |)e(H|lg s p j s j p     20 20   dBp 3 通带 阻带 dB eH eH dB eH eH s p j j s j j p |)(| |)(| lg20 |)(| |)(| lg20 0 0       3dB通带截止频率 通带内允许的最大衰减 阻带内应达的最小衰减 通带内允许的最大衰减 阻带内应达的最小衰减 归一化后：  20lg 20lg 0.707 3dBcjc H e        20lg 20lg 0.01 40dBsjs H e       幅度下降到0.707： 幅度下降到0.01： 2009-5-17 6                  N i i M i i N i i i M i i i )zd( )zc( A zb za )z(H 1 1 1 1 0 0 1 1 1 5.1 5.1 IIRIIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 一个一个NN阶阶IIRIIR数字滤波器的系统函数：数字滤波器的系统函数： H(z)H(z)的设计目的的设计目的：确定系数：确定系数aaii和和bbii或零极点或零极点ccii和和ddii，，从而从而 保证滤波器满足设计需求。保证滤波器满足设计需求。 IIRIIR数字滤波器系统函数的数字滤波器系统函数的三种设计方法三种设计方法：： 零极点位置累试法零极点位置累试法 利用优化技术设计利用优化技术设计 利用模拟滤波器的理论利用模拟滤波器的理论 2009-5-17 7 单位圆内的极点单位圆内的极点 频谱中的峰值频谱中的峰值 PeakPeak 单位圆内的零点单位圆内的零点 频谱中的谷值频谱中的谷值 ValleyValley 1 1 滤波器设计方法滤波器设计方法 （（11）简单滤波器零极点位置累试法）简单滤波器零极点位置累试法 Geometric evaluationGeometric evaluationPolePole--zero diagramzero diagram 2009-5-17 8 （（22）利用优化技术设计）利用优化技术设计 OptimizationOptimization 循环尝试的方法进行参数设置循环尝试的方法进行参数设置                  N i i M i i N i i i M i i i zd zc A zb za zH 1 1 1 1 0 0 )1( )1( 1 )( )e(H jw i i M jw jw d i | H( e ) | | H ( e ) |      2 1 Large costLarge cost ComputerComputer--aidedaided 步骤步骤11：选择最优化准则，例如最小均方误差准则。：选择最优化准则，例如最小均方误差准则。 步骤2：调整系统函数的参数，使准则取值最小。 2009-5-17 9 模拟滤波器的设计方法：模拟滤波器的设计方法： 简单严格的设计公式简单严格的设计公式 设计参数已 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 化设计参数已表格化 可以利用设计软件可以利用设计软件 （（33）利用模拟滤波器的理论）利用模拟滤波器的理论 Application of analog filter theoryApplication of analog filter theory 设计原理：设计原理： DFDF设计需求设计需求AFAF设计需求设计需求AFAF的的HHaa(s) (s)  DFDF的的HH (z)(z) Impulse InvarianceImpulse Invariance Bilinear TransformationBilinear Transformation 常用方法：常用方法：脉冲响应不变法脉冲响应不变法 双线性变换法双线性变换法 2009-5-17 10 模拟滤波器的设计方法模拟滤波器的设计方法 （（教材教材 6.26.2 ）） 模拟滤波器需求模拟滤波器需求 Requirement Ha(s) Butterworth filterButterworth filter EllipticElliptic filterfilter Chebyshev IChebyshev I Chebyshev IIChebyshev II 2009-5-17 11 四种模拟四种模拟滤波器的比较滤波器的比较 幅频特性：幅频特性： 巴特沃斯巴特沃斯——整个频带内单调下降；整个频带内单调下降； 切比雪夫切比雪夫I I ——通带内等纹波振动，过渡带通带内等纹波振动，过渡带//阻带单调下降；阻带单调下降； 切比雪夫切比雪夫II II ——阻带内等纹波振动，过渡带阻带内等纹波振动，过渡带//通带单调下降；通带单调下降； 椭圆椭圆——除过渡带外，通带和阻带都等纹波振动。除过渡带外，通带和阻带都等纹波振动。 过渡带特性：过渡带特性： 巴特沃斯巴特沃斯——最差；最差； 切比雪夫切比雪夫II，，IIII——居中；居中； 椭圆椭圆——最陡；最陡； 设计复杂性：设计复杂性： 巴特沃斯巴特沃斯——相同条件下，阶数最高；相同条件下，阶数最高； 切比雪夫切比雪夫II，，IIII——居中；居中； 椭圆椭圆——相同条件下，阶数最低；相同条件下，阶数最低； 2009-5-17 12 2 2 用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则用模拟滤波器设计数字滤波器遵循的两个原则 （（11））SS平面的虚轴平面的虚轴 jj映射到映射到zz平面的单位圆上平面的单位圆上eejw jw 上上 （（Frequency response: HFrequency response: Haa(s) (s)  H(z) H(z) ）） （（22））HHaa(s)(s)的因果稳定性经映射后的因果稳定性经映射后H(z)H(z)仍保持，即：仍保持，即： ss平面左半平面平面左半平面Re[s]<0 Re[s]<0 （模拟域因果稳定条件）（模拟域因果稳定条件） 映射到映射到 zz平面单位圆内平面单位圆内||z|<1 z|<1 （（数字域因果稳定条件数字域因果稳定条件）） Analog Filter Digital FilterAnalog Filter Digital Filter HHaa(s) H(s) H (z)(z) 2009-5-17 13 5.2 5.2 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 Impulse invariant methodImpulse invariant method 时域采样定理的应用时域采样定理的应用 Sampling TheoremSampling Theorem 1. 变换 思想 教师资格思想品德鉴定表下载浅论红楼梦的主题思想员工思想动态调查问卷论语教育思想学生思想教育讲话稿 Impulse Invariant Method 使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波 器的冲激响应ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值，即： h(n)=ha(t)|t=nT 脉冲响应不变法是一种时域逼近方法。脉冲响应不变法是一种时域逼近方法。 1 ( ) ( ) N n i H z h n z    aH s 2009-5-17 14 5.2 5.2 脉冲响应不变法脉冲响应不变法 Impulse invariant methodImpulse invariant method 1. 变换思想 Impulse Invariant Method 使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t)。  ah t    ah n h nT  aH s ax t  ay t  H z x n  y n Analog filter Digital filter  aH j  Analog frequency response  jH e   Digital frequency response 2009-5-17 15 ( )aH s ( )H z is Te数字滤波器数字滤波器zz--平面的极点平面的极点 2 数字化设计过程 1 ( ) ( )i N s t a i i h t A e u t   1 ( ) ( ) ( )i N s nT a i i h n h nT A e u nT    1 N i i i A s s   1 1 1 i N i s T i A e z    Inverse Laplace z-transform 模拟滤波器模拟滤波器ss--平面的极点平面的极点 is s s 平面平面 z z 平面平面 T 2009-5-17 16  aH s  ah t  ah nT  h n  aHˆ s  H z ˆ ( ) ( ) snTa n H s h nT e 1 ( ) ( ) N n i H z h n z   1 2ˆ ( ) ( )a a m H s H s j m T T       sTz ePeriodic copies 3. s平面到z平面映射 Mapping from s-plane to z-plane Sampling  aH s 沿虚轴周期延拓之后，使用 映射到z平面sTz e  H z 2009-5-17 17 ( )sT j j T T j Tz e re e e e      = = Mapping between zMapping between z--plane and splane and s--planeplane Tr e 系统因果稳定系统因果稳定 T   模拟频率和数字频率模拟频率和数字频率 2009-5-17 18 3 数字滤波器与模拟滤波器频响关系 若AF的频响是带限的，且: T ||,)j(Ha   0 此时DF的频响才能不失真重现AF频响。 T    ah t  ah nT  h n ( ) 1 2 ( ) j a m H e H j j m T T T         aHˆ jΩ 2009-5-17 19 3 数字滤波器与模拟滤波器频响关系 实际模拟滤波器的频响是非带限的频谱混叠（该方法严重的缺点） 适用范围：低通，带通。 周期延拓 周期延拓以后，混叠严重，难以转换到数字域! 高通模拟滤波器 2009-5-17 20 脉冲响应不变法的特点脉冲响应不变法的特点 （（aa））能够保持模拟滤波器的时域瞬态信号。能够保持模拟滤波器的时域瞬态信号。 （（bb））线性的数字频率和模拟频率关系。线性的数字频率和模拟频率关系。 （（cc）） HHaa(())必须严格带限，否则数字频域内将出现必须严格带限，否则数字频域内将出现 混叠失真。混叠失真。 注意：注意：HHaa(())不严格带限且设计要求高时，不宜采用此不严格带限且设计要求高时，不宜采用此 方法。另外此方法不能直接设计高通和带阻滤波器。方法。另外此方法不能直接设计高通和带阻滤波器。 T   h(n)=hh(n)=haa(t)|(t)|t=nTt=nT 2009-5-17 21 脉冲响应不变法缺点：频谱混叠脉冲响应不变法缺点：频谱混叠 T    js)s(Ha ， 111  js)s(Ha ，        Ttan T 12 12  001 从时，从 TT 正切变换 ss平面整个虚轴压缩到平面整个虚轴压缩到ss11平面的虚轴平面的虚轴 之间。之间。 5.3 5.3 双线性变换法双线性变换法 Bilinear TransformationBilinear Transformation 改进思路：改进思路：采用采用非线性频率压非线性频率压 缩缩，将整，将整ss平面压缩到窄带平面压缩到窄带ss11范范 围围 内，然后再利用内，然后再利用 转换到转换到zz平面上。平面上。 T   sTz e 2009-5-17 22 Image of left half plane ss--平面与平面与zz--平面之间的映射关系平面之间的映射关系 1 11 2 1 2 1 tan s 2 1 s T s T e s T T T e         1 1 1 12      z z T s Tsez 1              s T s T z 22双曲正切 双线性变换关系 AFAF 1 12)()(     z z T s a sHzH DFDF 2009-5-17 23 （（22）相位变换的非线性关系）相位变换的非线性关系               2 12 2 12 1 tanT Ttan T 1 s s z  2009-5-17 24 双线性变换时的频率非线性变化双线性变换时的频率非线性变化 频率的畸变频率的畸变 可以通过预畸来加以校正可以通过预畸来加以校正 Frequency WarpingFrequency Warping 2 tan( / 2) T    2009-5-17 25 （（44））双线性变换法的特点双线性变换法的特点 FeaturesFeatures （（aa））变换后无频率混叠失真，对变换后无频率混叠失真，对HHaa(())无带限要求；无带限要求； （（bb））非线性的数字频率和模拟频率关系；非线性的数字频率和模拟频率关系； （（cc））设计简单，可直接代换；设计简单，可直接代换； （（dd））频率的畸变可以通过预畸来加以校正；频率的畸变可以通过预畸来加以校正； 滤波器瞬态响应滤波器瞬态响应 impulse invarianceimpulse invariance 其他情况其他情况 bilinear transformationbilinear transformation 2009-5-17 26 （（55））使用模拟滤波器设计数字滤波器基本步骤使用模拟滤波器设计数字滤波器基本步骤 (1)(1) 确定数字滤波器技术指标确定数字滤波器技术指标 (2)(2) 技术指标转换：数字技术指标转换：数字模拟模拟 脉冲响应不变法：脉冲响应不变法： = = /T/T 双线性变换法：双线性变换法： (3)(3) 实现模拟滤波器设计实现模拟滤波器设计 (4)(4) 将模拟滤波器将模拟滤波器数字滤波器数字滤波器         2 12 tan T )z(H)s(Ha  2009-5-17 27 例：使用双线性变换法设计一个例：使用双线性变换法设计一个IIRIIR滤波器，要求：滤波器，要求： （（11））通带阻带具有单调下降的特性通带阻带具有单调下降的特性；； （（22）） （（33）） 解：解： 1 2 2 1 1 2 1 0.06745 0.1349 0.06745 ( ) ( ) 1 1.143 0.4128 s a z s T z z z H z H s z z             第一步：临界数字频率第一步：临界数字频率:: 第二步：临界模拟频率第二步：临界模拟频率:: 第三步：选择巴特沃斯滤波器，根据第三步：选择巴特沃斯滤波器，根据 和和 求求HHaa(s)(s) 第四步：求第四步：求HH (z)(z) : 100Hz, 300Hz, 1000Hzp s sDF f f F   3dB, 20dBp s   0.2 , 0.6 ,p s     2 tan( / 2) 685.8 2 109(Hz) 2 tan( / 2) 2452.76 2 438(Hz) p p s s s s T T               , , p s p s   2009-5-17 28 5.4 5.4 原型变换原型变换 常见滤波器的理想幅频特性常见滤波器的理想幅频特性 原型变换：原型变换： 模拟低通滤波器模拟低通滤波器 各种类型数字滤波器各种类型数字滤波器 原型滤波器原型滤波器 ————模拟低通滤波器模拟低通滤波器 2009-5-17 29 （（11）高通、带通、带阻变换）高通、带通、带阻变换 a. a. 设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 设计方案 模拟低通原型模拟低通原型 模拟高通、带模拟高通、带通、带阻通、带阻 数字高通、带数字高通、带 通、带阻通、带阻 模拟低通原型模拟低通原型 数字高通、带数字高通、带通、带阻通、带阻 模拟低通原型模拟低通原型 低通数字原型低通数字原型 数字高通、带数字高通、带通、带阻通、带阻 （（11）） （（22）） （（33））  aH s  H z  z f s  aH s  1H z  z f s  2H Z )Z(gz 11   2009-5-17 30 b b 直接变换直接变换 模拟低通模拟低通 —— 数字高通数字高通 映射关系映射关系 1 1 1 12      z z T s 10 10   zjs zoriginplanes 即 即 ， ，          2  ctg 2009-5-17 31 高通原型变换高通原型变换 模拟低通模拟低通 数字高通数字高通 2009-5-17 32 b b 直接变换直接变换 数字带通数字带通 变换关系变换关系 映射关系映射关系 10 0 000    zjs ezoriginplanes j 即及 即 ， ，             sin coscos z coszz zz ezez s jj          0 2 0 2 1 12 11 00 模拟低通模拟低通 ---- 2009-5-17 33 22）直接变换）直接变换 数字带阻数字带阻 变换关系变换关系 映射关系映射关系         0 0 0 00     ， ，    coscos sin coszz z s      0 0 2 2 12 1 带阻是带通频率关系的倒置带阻是带通频率关系的倒置 模拟低通模拟低通 ---- 2009-5-17 34 33））ZZ--planeplane变换法变换法 同属原型变换法同属原型变换法 由数字低通原型滤波器设计各种所需的数字滤波器。由数字低通原型滤波器设计各种所需的数字滤波器。 从映射的角度看，从映射的角度看， 原型数字低通滤波器的系统函数原型数字低通滤波器的系统函数HH11(z)(z) 所需数字滤波器的系统函数所需数字滤波器的系统函数HHdd(Z)(Z) 从一个从一个zz平面平面另一个另一个ZZ平面平面 从一个因果稳定系统从一个因果稳定系统另一个因果稳定系统另一个因果稳定系统 )Z(gz 11   2009-5-17 35 滤波器的变换公式和设计公式滤波器的变换公式和设计公式（（Next PageNext Page）） 映射要遵循的原则：映射要遵循的原则： 保持稳定性，由一个平面的单位圆内到另一个平面保持稳定性，由一个平面的单位圆内到另一个平面 的单位的单位圆圆内。内。 频响特性满足一个要求，由一个平面的单位频响特性满足一个要求，由一个平面的单位圆圆上映上映 射到另一个平面的单位射到另一个平面的单位圆圆上。上。 实际上是单位圆上的旋转实际上是单位圆上的旋转 如：低通如：低通高通高通 就是旋转就是旋转 2009-5-17 36 低通低通低通低通 低通低通高通高通 低通低通带通带通 低通低通带阻带阻 参参数数 的的 确确 定定g(zg(z--11))变换关系变换关系 2009-5-17 37 数字数字滤波器的变换滤波器的变换 低通低通高通、带通和带阻高通、带通和带阻 2009-5-17 38 Review 1. IIR设计方法 （1）零极点累试法 （2）优化设计方法 （3）模拟滤波器设计数字滤波器（映射） 必须满足两个条件： 频响模拟： j单位圆上 因果稳定性一致：s左半平面单位圆内 2009-5-17 39 2. IIR滤波器的设计 （1）脉冲响应不变法 采样定理的应用（时域） 变换关系：线性的频率映射 频谱混叠 适用于低通和带通滤波器 （2）双线性变换法 s平面 z平面（频域） 变换关系：非线性的频率映射 设计简单，直接代换 （3）原型变换 原型：模拟低通滤波器各种类型的数字滤波器 三种方式：模拟低通AF LP,HP,BP,BS  DF 模拟低通 DF LP,HP,BP,BS 模拟低通 DF LP DF LP,HP,BP,BS 2009-5-17 40 HOMEWORK FOR THE LAST TIME P125 1, 4, 5 P144 2 P194 5, 7 下周二之前 送至科学园2A栋517房间。