矢量微积分与Matlab基础

第 1 章 矢量微积分与 Matlab 基础 §1.1 矢量代数 本章并不是要介绍我们所需要的所有数学 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ，而是根据学生在初学阶段的需要主要 介绍矢量代数及其相关的运算规则。旨在为更好的理解物理学描述物体运动的方式和物理思 想奠定基础。另一方面，物理学发展到现在的信息时代，我们认为仅仅掌握普通的数学方法 是不够的，无论从掌握基本物理概念，还是从探究式学习的角度，我们认为引入计算机教学 是非常必要的。这里，我们把计算机算法作为数学方法的一种补充。但是计算机的方法很多， 我们这里只介绍 Matlab 算法在物理学中的应用。由于该程序非常普及易学，我们只是抛砖 引玉式地作一简单介绍，旨在把学生引导到这一探究式学习的道路上来。 §1.1.1 矢量与矢量代数运算 矢量是既有大小也有方向的量。物理学中许多物理量为矢量，比如位移矢量，动量， 角动量，力，电场，磁场，……都是矢量。有些物理量为标量，像温度、热容量、能量、质 量、时间，…….等等，只有大小而没有方向。标量满足一般的代数关系，而矢量的代数关 系是不同于标量的。进一步地，在微分等运算中矢量的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现形式也是与标量很不一样的。因 此，有必要关于矢量运算的各种形式作介绍。 图 1-1 表示的位移矢量 AB 的例子，它只表示物体从 A 点运动 到 B 点的位置的变化，但是并不能说明物体是从哪条路径从 A 点到 达 B 点的。所以位移矢量并不包含路径的任何信息。如果物体从某 点 A 到点 B，然后又从点 B 到点 C，那么物体运动从点 A 到点 C 的 净位移是矢量 AB 和 BC 的矢量和，如图 1-2。 图 1-2 中的矢量和关系可以表示为矢量方程 = + KK Ks a b 。 (0.1.1) 矢量加减法运算规则 （1）交换律 矢量关系见图 1-3，而数学表达则为 + = +K KK Ka b b a (0.1.2) 图 1-1 相同起始位置 A 和 B 不同路径的位移矢量 图 1-2（a）矢量 AC 是矢量 AB 与 BC 的矢量和（b）等价的矢量图 （2）结合律 其矢量关系见图 1-4 ( ) ( )+ + + +K KK K K Ka b c = a b c (0.1.3) （3）矢量减法 矢量− Kb 定义为其大小等于矢量 Kb 但是方向相反，如图 1-5。 加一矢量− Kb 等价于减去矢量 Kb 。所以，定义矢量减法为（见图 1-6） ( )− + −K K KK Kd = a b = a b (0.1.4) 矢量分量表示 如果考虑一个在 x-y 平面的二维矢量 Ka ，如图 1-7 所示。分量 xa 和 ya 分别为矢量 Ka 在 x 轴和 y 轴上的投影。根据三角关系，容易得到 cos sinx ya a a aθ θ= =和 (0.1.5) 矢量的大小，也称为矢量的模，记为 a ≡ Ka ， 根据三角关系有 2 2 tan yx y x a a a a a θ= + =以及 (0.1.6) 图 1-4 三矢量和的结合律 图 1-5 矢量− Kb 与矢量 Kb 图 1-3 两矢量求和可交换顺序 图 1-6 矢量减法用矢量加法表示 图 1-7 (a) 矢量 Ka 的分量 xa 和 ya ； （b）分量的合成。 三维笛卡尔坐标下矢量的分量表示 如图 1-8 所示坐标轴确定的坐标系为右手坐标系。图中 iˆ 、 jˆ 和 kˆ 分别为在 x、y 和 z 轴上长度为 1 个单位且相互垂直的单位矢量。任意矢量 Ka 可以用三个单位矢量来表示： ˆ ˆ ˆx y za a a Ka = i + j + k (0.1.7) 量 ˆ ˆx ya a、i j 和 ˆza k 是矢量 Ka 的“矢量分量”，而 ,x ya a 和 za 是矢量 Ka 的“标量分量”。 矢 量 Ka 的模是 2 2 2x y za a a a= = + +Ka (0.1.8) 任何矢量都可以表示成为其模与其矢量方向的单位矢量之积来表示。比如，若我们记矢 量 Ka 方向的单位矢量为 ˆ an ，则我们可以把 Ka 表示为 ˆ ˆa aa a a= =n nK K ，或者 ˆ a =n K Kaa 。 (0.1.9) 矢量乘法规则及其几何意义 矢量乘法包括标量积和矢量积两种。 （1）标量积 矢量 Ka 和 Kb 的标量积定义为 cosab φ⋅ KKa b = 。 (0.1.10) 图 1-8 三维矢量图。单位矢量 iˆ 、 jˆ 和 kˆ 按右手定则定义了笛卡尔坐标系。 图 1-9 (a) 两矢量 Ka和 Kb及其夹角φ ；(b) 一矢量在另一矢量的投影分量 由于两矢量间的乘积关系用点表示，标量积也称为点积（dot product）或内积（inner product）。(0.1.10)式是读作“ Ka 点乘 Kb ”。该式可以改写为 ( )( ) ( )( )cos cosa b a bφ φ⋅ =KKa b = ， (0.1.11) 式中矢量 cosa φ 是 Ka 投影到矢量 Kb 方向的分量， cosb φ 是矢量 Kb 投影到矢量 Ka 方向的分量。 这意味着标量积是可以交换的。所以我们有 ⋅ = ⋅K KK Ka b b a (0.1.12) 用三维矢量的形式，矢量 Ka 和 Kb 的标量积可以记为 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z x y za a a b b b⋅ = ⋅KKa b i + j + k i + j + k 。 (0.1.13) 根据标量积的定义，不难确定单位矢量间的关系： ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1; 0i i j j k k i j j k i k⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = (0.1.14) 即相同单位矢量的标量积为 1，不同单位矢量的标量积为 0。这个性质可以用一个简洁 的关系表示： 1, = ˆ ˆ 0, l k lk l k l k δ ⎧⋅ = = ⎨ ≠⎩e e （l, k = 1,2,3） (0.1.15) 为方便起见，记 ˆ le （l =1,2,3）表示单位矢量 iˆ 、 jˆ 和 kˆ 中的任意一个， 1 2ˆ ˆˆ ˆ, ,i j= =e e 以 及 3 ˆˆ k=e 。 lkδ 称为克罗内克Delta（Kronecker Delta）符号。所以，容易证明(0.1.13)式可以 写为 3 1 x x y y z z i i i i i a b a b a b a b a b = ⋅ = = ≡∑KKa b + + 。 (0.1.16) 在上面第二个等式，下指标表示的意义是 1,2,3i = 对应于 1 2 3, ,x y za a a a a a= = = ；同样的 表示之于 K b 的分量。(0.1.16)式中最后一个等式是物理学中常用的一种标记形式，称为爱因 斯坦求和规则，即重复指标表示对两个量遍历所有可能指标求和。此处等价于求和i =1, 2, 3。 利用内积的概念，一个矢量在各坐标轴的分量，即为这个矢量在该轴上的投影。所以我 们有 ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ( 1, 2,3)i ia a a a i= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =e e e e即K K K Ka a a a (0.1.17) 所以，我们可以把矢量 Ka 表示为 ( )3 3 1 1 ˆ ˆ ˆi i i i i i a = = = ⋅ =∑ ∑e e eK Ka a (0.1.18) 从代数上讲，这个式子可以看作是将矢量 Ka 用基矢 ˆ le 来表示。 （2）矢量积 矢量 Ka 和 Kb 矢量积定义为 ( ) ˆsin cab φ× nKK Kc = a b = ， (0.1.19) 此处 ˆ cn 是矢量 c K方向的单位矢量。两矢量的矢量积仍然是一矢量，中间用符号×联系，所 以矢量积也称为叉积（cross product）。矢量cK的方向由右手螺旋规则确定，并垂直于 Ka 和 Kb 所确定的平面。由图 1-10 (c) 易知，叉积a b× KK 的模等于由 Ka 和 Kb 所确定的平形四边形的面积。尽管按照(0.1.19)式 其面积大小是相同的，但是a b× KK 并不等于b a×K K，它们方向相反。所以叉积不满足交换律。 如果记c b a′ = ×KK K，那么c c′ = −K K，即 a b b a× = − ×K KK K (0.1.20) 为了在三维笛卡尔（Cartesian）坐标系统下表示矢量积，我们先看单位矢量的矢量积。 根据定义式(0.1.19)，相同的单位矢量的叉积为零，因为同一单位矢量的夹角等于零。比如， ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i i j j k k× = × = × = 。但是不同单位矢量的叉积不为零，因为两不同单位矢量间的夹角 是 90 度，故叉积后与另一单位矢量形成右手螺旋关系。比如， ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , i j k j k i k i j× = × = × = ； 而 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , j i k k j i i k j× = − × = − × = − ，参考图 1-11。 把这些关系代入下面的矢量积 图 1-10 矢量积的右手螺旋规则。 cK垂直于a b× KK (a) 和b a×K K (b) 所确定的平行四边形的平面(c)。 图 1-11 单位矢量 ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z x y za a a b b b× = ×KKa b i + j + k i + j + k 逐项相乘，立即可以得到 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ x y z y z z y z x x z x y y x x y z x y z c c c a b a b a b a b a b a b a a a b b b × ⇒ + + = − + − + −KK Kc = a b i j k i j k i j k = (0.1.21) 比较一下式中cK和a b× KK 的分量的下指标，可以发现右边的第一项按照（x, y, z）形成循环的 关系，而第二项交换下指标而有一负号；所有的下指标没有重复相同的。而行列式只是依据 行列式的性质来表示叉积关系的另一种形式而已。下面我们引进一个符号来表示叉积的分量 之间的关系，这种形式以后对于矢量的运算是很有帮助的。我们记a b× KK 的分量为 ( ) 3 3 1 1 i ijk j ki j k c a b a bε = = = × = ∑∑KK (0.1.22) 其中定义 1, 0, 1, ijkε ⎧⎪= ⎨⎪−⎩ (0.1.23) ijkε 称 为 Levi-Civita 反 对 称 张 量 。 改 变 指 标 顺 序 ， ijk kij ikjε ε ε= = − 。 事 实 上 ， 123 312 231 1,ε ε ε= = = 而 213 132 321 1ε ε ε= = = − 。(0.1.22)式也可以去掉求和符号，用爱因斯 坦求和规则记为 ( )i ijk j kic a b a bε= × =KK (0.1.24) 这里右边 ijkε 第一个字母表示叉积的第i分量，而a, b的下指标j、k与 ijkε 重复表示自动求和。 根据这个关系，(0.1.24)式中的下指标可以取（1、2、3）的任意值。其中 1 对应x分量，2 对 应y分量，3 对应z分量。如若 1i = （即 xc 分量），这时右边 ijkε 中的i是 1。所以j，k只能取 2 和 3，而不能取 1；同时j，k的值也不能相同。对于 1c ， 1 jkε 可以取 123 1ε = ，即j=2，k=3； 和 132 1ε = − ，即j=3，k=2。所以有 x y z z yc a b a b= − 。其余分量可以如此类推给出。这个符 号在物理学物理量的矢量运算关系中是很有用的。下面我们不加证明给出Levi-Civita张量的 一个有用的恒等式 ijk klm il jm im jlε ε δ δ δ δ= − 。 (0.1.25) （3）混合积 下指标按(1,2,3)顺序排列，或其偶数次对换， 下指标中有两个或以上相同 下指标按(x,y,z)的顺序形成奇数次对换 物理学中许多物理量是以矢量场的形式出现。它们有时出现点积和叉积混合相乘的运 算。比如 ( ) ( ) ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ x y z x y z x y z x y z x y z x y z d d d d a b d i d j d k a a a a a a b b b b b b ⋅ × = + + ⋅ =K KK i j k (0.1.26) 可以证明[见习题 1]下面矢量混合积恒等式 ( ) ( ) ( )d a b a b d b d a⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×K K K K K KK K K (0.1.27) 由图 1-12 容易看出 ( ) ( )( )sin cosd a b a b dφ θ⋅ × =K K K KK K ， 这个式子实际上等于如图所示的底面积为 sina b φKK 、高为 cosd θK 的立方体的体积（或体 积的负值，决定于是否三矢量构成右手系）。 下面的矢量恒等式称为双叉积恒等式 ( ) ( ) ( )A B C B A C C A B× × = ⋅ − ⋅K K K K K KK K K (0.1.28) ( ) ( ) ( )A B C B A C A B C× × = ⋅ − ⋅K K K K K KK K K (0.1.29) 可以看出，叉积不满足结合律， ( ) ( )A B C A B C× × ≠ × ×K K K KK K 。(0.1.28)和(0.1.29)式的证明见习 题 2。这个关系也说明，叉积中的括号是不能随意去掉或更换。 【例 1-1】 设矢量 A K 处在 x-y 平面为 ˆ ˆi j+ ，而 BK处在 y-z 平面为 ˆjˆ k+ ，如图 1-13 所示。求 矢量 A B×K K的大小和方向。 【解】 一般计算矢量叉积，可以用行列式公式计算，但是在本例题中因为比较简单， 可以直接将乘积展开为 ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ C A B i j j k i j i k j k k j i ≡ × = + × + = × + × + × = − + K K K A B×K K的模是 2 2 21 ( 1) 1 3A B× = + − + =K K ， A B、K K间的 图 1-13 例 1-1 图 1-12 矢量混合积几何意义 夹角由内积 1cos 2 A B A B θ ⋅= = K K K K 确定为 / 3π ；CK的方向垂直于 ˆ ˆi j+ 和 ˆjˆ k+ ，如图 1-13 所示，由 ˆˆ ˆi j k− + 确定。 §1.2 矢量函数与矢量微分 如果对应于标量 u 的每一个值都联系着一矢量 A K ，则称矢量 A K 为 u 的函数，记为 A u K ( )。在三维空间中可以写成 1 2 3ˆ ˆ ˆu A u A u A u= + + K A i j k( ) ( ) ( ) ( ) 。若空间的每一点(x, y, z) 都 对 应 于 着 一 个 矢 量 K A ， 则 K A 是 空 间 点 (x, y, z) 的 函 数 ， 记 为 1 2 3 ˆ ˆ ˆ, , , , , , , ,x y z A x y z A x y z A x y z= + +KA i j k( ) ( ) ( ) ( ) 。物理上，有时把矢量函数 , ,x y zKA( )称 作定义了一个矢量场，因为在给定区域内的每一点都联系着一个矢量。类似地，对于标量函 数 ( , , )x y zφ ，我们说定义了一个标量场，因为在给定区域内的每一点都联系着一个标量函 数。 §1.2.1 矢量函数的导数与微分 矢量函数导数的基本性质 矢量函数的极限、连续和导数与通常函数的极限、连续和导数的规则类似。下面仅考 虑矢量函数的导数的某些基本性质。 （1） A u K ( )的导数定义为 0 lim , u dA u A u+ u A u du uΔ → Δ −= Δ K K K ( ) ( ) ( ) (0.2.1) 只要这个极限存在。在三维情况，则 31 2 ˆˆ ˆ dA udA u dA udA u i j k du du du du = + + K ( )( ) ( )( ) (0.2.2) 高阶导数如 2 2 d A u du K ( ) 等，可以类似地定义。 （2） 如果 1 2 3 ˆˆ ˆ, , , , , , , ,A x y z A x y z i A x y z j A x y z k= + + K ( ) ( ) ( ) ( ) ，则 A K 的微分是 , , , , , ,, , A x y z A x y z A x y zdA x y z dx dy dz x y x ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ K K KK ( ) ( ) ( )( ) (0.2.3) 偏导数 x ∂ ∂ 表示只对矢量函数 , ,A x y z K ( )中的变量 x 求导，而变量 y、z 则不变；类似的性质 之于偏导数 y ∂ ∂ 和 z∂ ∂ ，其求导规则与普通函数求导规则类似。 （3）标量、矢量间乘积的导数 z ( )d d ddu du duφφ φ= + KK KAA A z ( )x x x∂ ∂ ∂⋅ = ⋅ + ⋅∂ ∂ ∂ K KK KK KA BA B B A z ( )y y y∂ ∂ ∂× = × + ×∂ ∂ ∂ K KK KK KA BA B B A 乘积的导数服从类似于标量函数的导数规则，但要注意，计算叉积时，叉积的次序不能随意 改变。 矢量导数的几何意义 如果是连接坐标原点 O 和点 (x, y, z) 的矢量，则矢量函数 ( )uKr 定义了 x, y 和 z 作为 u 的函数 ( ), ( ), ( )x u y u z u 。当 u 变化时， Kr 的终点（即箭头）在空间中画出一条空间曲线， 它的参数方程为 ( ), ( ), ( )x x u y y u z z u= = = 。若参量 u 是从曲线上某点起量的弧长 s，则 ˆd ds ≡ Kr T (0.2.4) 是曲线切线方向的单位矢量，称为单位切向量。若 u 是时间 t，则 d dt = K Kr v (0.2.5) 是 Kr 的箭头画出这条曲线的速度。物理学上 ( )tKr 通常用于描述质点的位置矢量，而d / dtKr 则 是描述质点运动的速度。由于 ˆ ˆd d ds ds v dt ds dt dt = = ⋅ = K KK r rv T = T (0.2.6) 这个式子说明质点运动的速度的方向沿着运动曲线的切线方向，而 v 显然是质点运动的速 图 1-14 矢量导数几何意义 率，即速度的模。注意一个矢量总可以表示为该矢量的模与其方向的单位矢量相乘。类似地， 2 2 d d d dt dt dt ⎛ ⎞≡ =⎜ ⎟⎝ ⎠ K KK r ra (0.2.7) 是质点的速度随时间的变化，为质点运动的加速度。 【例 1-2】 一质点沿空间曲线 ( )t=K Kr r 运动，其中 t 表示时间。若 d dsv dt dt = = Kv 是质点速度 的大小（s 是沿着空间曲线从初始位置起量的弧长）。证明质点的加速度是 2 ˆ ˆdv v dt ρ= + Ka T N, 其中Tˆ 和 Nˆ 是空间曲线的单位切向矢量和单位法向矢量，而 1/21 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 d d x d y d z ds ds ds ds ρ −− ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ 。 Kr 【解】 质点的速度为 ˆv d / dt=K Kv T = r ，则加速度为 ( ) 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆd d dv d dv d ds dv dv v v vdt dt dt dt dt ds dt dt ds= = = + = + = + KK v T T Ta T T T T 。 因为Tˆ 是单位矢量，我们有 ˆ ˆ 1⋅ =T T 。于是对于 s 求导数我们有 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ 0d d d2 ds ds ds ⋅ + ⋅ ⋅ =T T TT T = T 。 也就是说， Tˆ 与 ˆd dsT / 相互垂直。用 Nˆ 表示 ˆd dsT / 方向的单位矢量，有时也称为空间 曲线的主法向矢量，我们有 ˆ ˆd ds κ=T N, 其中κ 是 ˆd dsT / 的模。利用(0.2.4)式 ˆ d dsKT = r / ，我们有 2 2ˆd ds d dsKT / = r / ，因此 1/22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 d d x d y d z ds ds ds ds κ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ Kr 令 1ρ κ= ，则有 ˆ 1 ˆd ds ρ= T N, 故 2 ˆ ˆdv v dt ρ= + 。 Ka T N 式中 /dv dt 称为的切向加速度分量， 2 /v ρ 为法向加速度分量，或向心加速度；而 ρ 和κ 分别是空间曲线的曲率半径和曲率。 §1.2.2 梯度、散度和旋度及相关等式 物理学中有不同类型的矢量场和标量场，为了描述这些场的性质，数学上引进一个运 算符号∇ （Del）。∇ 在笛卡尔坐标系下的定义如下： ˆ ˆ ˆ x y z ∂ ∂ ∂≡ + +∂ ∂ ∂∇ i j k (0.2.8) 若在一区域内，标量函数 ( , , )x y zΦ 和矢量函数 ( , , )x y zKF 有连续的一阶导数，则可定义相 应的梯度、散度和旋度。 （1） 梯度（gradient） 标量函数Φ 的梯度定义为 Φ∇ 。在笛卡尔坐标系下梯度为 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆgrad = x y z x y z ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ Φ = + + Φ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠∇ i j k i j k (0.2.9) 我们下面证明梯度的一个很重要的性质：若 ( , , )x y z cΦ = （c 是常数）是一个曲面的方程， 则 Φ∇ 是这个曲面的法向量，换句话说， Φ∇ 是垂直于曲面 ( , , )x y z cΦ = 的向量。 设 ˆ ˆ ˆx y z= + +Kr i j k 是曲面上任一点 P(x, y, z) 的位置矢量。那么 ˆ ˆ ˆd dx dy dz= + +Kr i j k 是 在曲面上过 P 点的切平面上。但是，由于 c 是常数，必有 0d dx dy dz x y z ∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ = + + =∂ ∂ ∂ 或者 ( )ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 0dx dy dz = dx y z⎛ ⎞∂Φ ∂Φ ∂Φ+ + ⋅ + + Φ ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ Ki j k i j k r∇ 。 这个式子表示两个矢量的点积为零，即它们相互垂直 dΦ ⊥ K∇ r ，因此 Φ∇ 也垂直于曲面。 一般情况下，位移 dKr 可以是任意的，即不一定在 ( , , )x y z cΦ = 的曲面上。这时Φ从 d→K K Kr r + r 的变化是 ( ) ( )d d dx dy dz = d x y z ∂Φ ∂Φ ∂ΦΦ = Φ + − Φ = + + Φ ⋅∂ ∂ ∂ K K K K∇r r r r ， (0.2.10) 即Φ的变化是 cosd d θΦ = Φ K∇ r ，其中θ 是 Φ∇ 与 dKr 之间的夹角。显然当 0θ = 时，Φ 的变化最大。换句话说， Φ∇ 指向Φ的增加最大的方向（见图 1-15）。 Φ∇ 的大小是在该方 向上Φ的变化率。 （2）散度（divergence） 矢量函数 ( , , )x y z K F 的散度定义为 ⋅ K∇ F ，读作“Del dot F”。在笛卡尔坐标系下散度 为 ( )ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆdiv yx zx y z FF FF i F j F kx y z x y z∂⎛ ⎞ ∂ ∂∂ ∂ ∂= ⋅ + + ⋅ + + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠K K∇F F = i j k (0.2.11) ⋅ K∇ F 度量矢量函数 ( , , )x y zKF 如何从 Kr 处分散开来的。 矢量场在整个空间有一个分布，不同位置的大小和方向可能不同。设想在空间作一个 任意的曲面，那么矢量场必然会穿过这个曲面。如果考虑场 K F 经过某点 Kr 射向其它方向， 为方便起见，我们作一个如图 1-16 中心在点 Kr 处、边长ε 充分小的小立方体，其体积为 3ε ε ε ε× × = 。矢量场 KF （图中没有画出）穿过以 Kr 点为中心距离 x, y, z 方向分别为±ε/2 的六个平面，每个平面的面积是 2ε 。平面所处的位置对应于坐标 ˆ iε± eKr / 2 ，其中 ˆ ie （i =1, 2, 3）分别对应于笛卡尔坐标的单位矢量（ ˆ ˆ ˆ, ,i j k ）。矢量场 K F 通过六面体的六个面的通量 （flux）可以表示为 K F 在各个面上的值乘以相应的面积，即 [ ] ( )3 32 3 3 1 1 ˆ ˆ( / 2) ( / 2) ii i i i i i iDA Fd F F x ε ε ε ε ε = = ∂⋅ = + − − = = ⋅∂∑ ∑∫ KK KK Kv r e r eF A F∇ (0.2.12) 图 1-16 无限小立方体。考虑矢量场通过立方体 的通量推导散度坐标无关的定义。 图 1-15 梯度沿标量函数变化率最大的方向。 式中DA为六个面组成的闭合曲面。第二个等式由泰勒级数展开即可得，比较(0.2.12)式左右 两边不难理解，其实散度就是穿过无限小闭合面单位体积的通量。这个表述可以看作是坐 标系统无关的散度的定义。让A为小体积V的边界，则有 0 1lim V A d V→ ⋅ = ⋅∫ KK Kv∇ F F A (0.2.13) （3）旋度（curl） 矢量函数的旋度记为 × K∇ F （“Del 叉乘 F”）。显然按照矢量的叉积的定义，在笛卡尔 坐标系下的旋度用行列式的形式表示是 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ/ / / y yx xz z x y z F FF FF Fx y z y z z x x y F F F ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞× = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ K∇ i j k F i j k (0.2.14) 或者等价地用 Levi-Civita 张量表示，旋度 × K∇ F 的第 i 个分量是 ( ) kijk ijk j ki j F F x ε ε∂× = = ∂∂ K∇ F (0.2.15) 如前所述，这里 j 和 k 从 1 到 3 求和，后一等式采用了简单记号 /j jx∂ ≡ ∂ ∂ 。 旋度是度量矢量的旋性（vorticity）的，即矢量函数如何绕点 Kr 旋转。一如江河里的水， 如果用 Kv 表示水流的速度，由于水流各点的速度不同，可以称为速度场。当水流比如从东到 西正常流动时，水流动的方向“划出”速度场的方向。此时，速度场不具有旋性。但是如果 当船只航过，船尾的螺旋桨搅起了水的阵阵漩涡，这时船尾水的速度场就具有旋性，或者说 其旋度不为零。 为讨论旋量的特性，我们以点 Kr 为中心取边长为ε ε× 的无限小矩形廻路 dS，dS 在笛卡 尔坐标系下沿着方向 ˆ ie 和 ˆ je （即对应于 ˆ ˆ ˆ, ,i j k 的相应方向）。沿着正方形周长 DL(i, j)逆时针 旋转的线积分，如图 1-17 所示，表示为 K F 的环量如下 ( , ) ˆ ˆ ˆ ˆ( / 2) ( / 2) ( / 2) ( / 2)i j j i i j j i DL i j d F F F Fε ε ε ε ε ε ε ε⋅ = − + + − + − −∫ e e e eKK K K K Kv F S r r r r 图 1-17 无限小矩形。矢量场逆时针廻路 推导旋度的坐标无关定义 2 2( ) j i k i j F F x x ε ε⎛ ⎞∂ ∂= − = ×⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ K∇ F (0.2.16) 此处（i, j, k）是（1，2，3）的循环置换，积分限 ( , )DL i j 表示（ij）平面积分廻路。第二个表 示中的四项来自于正方形四个边的矢量积分，符号取决于积分是顺轴方向还是逆轴方向，出 发点从底部逆时针进行。ε 也是看作为无限小，并作泰勒展开取到导数的一次项。比如第二 表示式中的第一项 ˆ( / 2)i jF ε− eKr 展开为 ( )( )2( ) /i i jF F xε+ − ∂ ∂Kr ，其余各项类推。比较等 式两边的表示，(0.2.16)意思是旋度 × K∇ F 等于环绕一个无限小的廻路 KF 的单位面积的环量 （环量即为 d⋅∫ KKvF S ）。为了确定 × K∇ F 在给定方向nK的分量，设C为包围面积为A的平面的 闭合廻线，此积分廻线右手螺旋确定的该面积A的法线方向是nK，那么 ( ) 0 1lim A C d A→ ⋅ × = ⋅∫n KK KK v∇ F F S 。 (0.2.17) 旋度的这个定义与坐标选取无关。 （4）相关等式 微分算子的另一形式是 Laplace 算子， 2∇ = ⋅∇ ∇ ，读作“Del 的平方”。它作用在标 量函数 ( )f Kr 上是定义为 ( )2 f f∇ = ⋅∇ ∇ (0.2.18) 即 Laplace 算子是函数的梯度的散度。在笛卡尔坐标系下，直接运算立即可得 2 2 2 2 2 2 2 f f ff x y z ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ 。 (0.2.19) 假定 f 和 g 是位置 Kr 的标量函数，而 KF 和 KG 是 Kr 的矢量函数，我们以 表格 关于规范使用各类表格的通知入职表格免费下载关于主播时间做一个表格详细英语字母大小写表格下载简历表格模板下载 形式列出相 关 Del 的运算的恒等式： 表 1-1 Del 等式 乘积的导数: (a) ( )fg f g g f= +∇ ∇ ∇ (b) ( )f f f⋅ = ⋅ + ⋅K K K∇ ∇ ∇G G G (c) ( )f f f× = × + ×K K K∇ ∇ ∇G G G (d) ( ) ( ) ( )⋅ × = × ⋅ − ⋅ ×K K KK K K∇ ∇ ∇F G F G F G (e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅K K K K KK K K K K∇ ∇ ∇ ∇ ∇F G G F F G + F G G F 导数的乘积: (f) ( ) 0f× =∇ ∇ 标量函数的梯度是无旋的 (g) ( ) 0⋅ × =K∇ ∇ F 矢量函数的旋度是不发散的 (h) ( ) ( ) 2× × = ⋅ − ∇K K K∇ ∇ ∇ ∇F F F 【例 1-3】证明表格 1-1 中(d)、（e）式。 【解】 （d）式证明如下： ( ) ( ) ( ) ( )i ijk j k ijk i j k ijk j i kF G F G F Gε ε ε⋅ × = ∂ = ∂ + ∂KK∇ F G ( ) ( ) ( ) ( )k kij i j j jik i kG F F Gε ε= ∂ − ∂ = ⋅ × − ⋅ ×K KK K∇ ∇G F F G 。 注意在 Levi Civita 符号表示中，其实 i, j, k 哪个符号顺序并不是固定不变的，重要的是满足 点积和叉积的表示规则。比如 ( )kij i jFε ∂ 显然是等于 ( )k× K∇ F ，即这个旋量的 k 分量。旋量 的 k 分量与 kG 相乘表示两矢量分量乘积之和，故为点积。所以自然有最后的等式成立。 （e）式的证明用 Levi Civita 符号，先取表达式的第 i 分量 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ijk j klm l m ijk klm j l m il jm im jl j l mi FG FG FGε ε ε ε δ δ δ δ⎡ ⎤× × = ∂ = ∂ = − ∂⎣ ⎦KK∇ F G ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )j i j j j i j j i i j j i j j j j iFG F G G F F G G F F G= ∂ − ∂ = ∂ + ∂ − ∂ − ∂ ( ) ( ) ( ) ( )i i i iF F G G= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅K K K K∇ ∇ ∇ ∇G G F F 所以我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅K K K K KK K K K K∇ ∇ ∇ ∇ ∇F G G F F G + F G G F 。 §1.3 积分定理 （1）平面格林定理 设 , , ,P QP Q y x ∂ ∂ ∂ ∂ 在以简单闭合曲线 C为边界的单连通区域ℜ是单值和连续的，则 ( ) C Q PPdx Qdy dxdy x yℜ ⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫ 。v (0.3.1) 证明：设对于闭合曲线 C，用任意平行于坐标轴的直线切割 C 至多得两个交点，如图 1-18 所示。设曲线 AEB 和 AFB 的方程分别是 1( )y Y x= 和 2 ( )y Y x= ，ℜ是由 C 围成的区域。我 们有 2 2 11 ( ) ( ) ( )( ) ( , ) b Y x b Y x y Y xx a y Y x x a P Pdxdy dy dx P x y dx y y == = =ℜ ⎛ ⎞∂ ∂= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ ∫ [ ]2 1( , ) ( , )bx a P x Y P x Y dx== −∫ 1 2( , ) ( , ) b a a b C P x Y dx P x Y dx Pdx= − − = −∫ ∫ ∫v 故 C PPdx dxdy yℜ ∂= − ∂∫ ∫∫v （a） 类似地，设曲线 EAF 和 EBF 的方程分别为 1( )x X y= 和 2 ( )x X y= ，则 2 2 11 ( ) ( ) ( )( ) ( , ) f X y f X y x X yy e x X y y e Q Qdxdy dx dy Q x y dy x x == = =ℜ ∂ ∂⎛ ⎞= =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫∫ ∫ ∫ ∫ 2 1 1 2[ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) f e f y e f e C Q X y Q X y dy Q X y dy Q X y dy Qdy== − = + =∫ ∫ ∫ ∫v 故 C QQdy dxdy xℜ ∂= ∂∫ ∫∫v （b） 将(a)、 (b)二式相加得 ( ) C Q PPdx Qdy dxdy x yℜ ⎛ ⎞∂ ∂+ = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫∫ 。v 定理证毕。 （2）积分与路径无关的条件 定理 1 设 ( , )P x y 和 ( , )Q x y 在单连通区域ℜ的每一点处连续且有连续的导数，则沿 任意闭合路径 C，在域ℜ上 ( ) 0 C Pdx Qdy+ =∫v 的必要和充分条件是 P Qy x∂ ∂=∂ ∂ 。 定理不难由格林定理证明，此处略。 定理 2 使 1 2 3( ) C F dx F dy F dz+ +∫ 与积分路径无关的充要条件是在域ℜ内有 3 31 2 1 2, , F FF F F F y x x z z y ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 。 (0.3.2) 图 1-18 平面格林定理。 不难看出，条件 (0.3.2)等价于 0× K∇ F = 。线积分也可以写成 C d⋅∫ K KF r 的形式。 d⋅K KF r 可以 写成全微分的形式，则存在一个函数Φ使得 d d⋅ = ΦK KF r 。这时，若曲线C的端点是 1 1 1( , , )x y z 和 2 2 2( , , )x y z ，则线积分的值为 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) 2 2 2 1 1 1( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) x y z x y z x y z x y z d d x y z x y z⋅ = Φ = Φ − Φ∫ ∫K KF r （3） 斯托克斯（Stokes）定理 矢量函数 K F 绕闭合曲线 C 的环流等于通过以 C 为边界的面 A 的矢量的旋量的通量，即： ( ) C A d d⋅ = ∇× ⋅∫ ∫∫K KK KvF l F A (0.3.3) d K l 的方向沿着曲线 C 绕行的切线方向；而积分面积元 ˆd dA= nKA ，ˆn是d KA 的单位法线矢量， 由d K l 绕 C 的右手螺旋规则来确定。（此处证明略，因为我们在电磁学中会有类似的证明。） （4） 高斯（Gauss）定理 矢量通过闭合曲面 A 的通量等于该矢量函数的散度在 A 所包围的体积 V 内的积分，即： 3 A V d d x⋅ = ( ⋅ )∫ ∫KK Kv ∇F A F 。 (0.3.4) 面元 ˆd dA= nKA ，通常用矢量表示为 ˆ ˆ ˆˆ cos cos cosα β γn = i + j + k ，α, β, γ 分别是 nˆ与 x, y, z 三个轴的夹角，而 1 2 3ˆ ˆ ˆF F F= K F i + j + k 。高斯定理也称为散度定理。 定理证明：假定闭合曲面 A 是这样的一个曲面，用任何平行 于坐标轴的直线去切割 A 最多得两个点。假设平行于 xy 平面切 割的下部曲面 A1 的方程 1( , )z f x y= ，以及上部曲面 A2 的方程是 2 ( , )z f x y= 。曲面在 xy 平面的投影为ℜ。 对于 yx zFF F x y z ∂∂ ∂⋅ = + +∂ ∂ ∂ K∇ F ，先考虑 z 分量积分有 2 1 ( , ) ( , ) f x yz z z f x y V F Fdxdydz dz dxdy z zℜ = ∂ ∂⎡ ⎤= ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∫∫∫ ∫∫ ∫ [ ]2 1 2 1( , , ) ( , , ) ( , , ) f z z zf F x y z dxdy F x y f F x y f dxdyℜ ℜ= = −∫∫ ∫∫ 。 对于上部曲面 2A ， 2dA 在 xy 平面的投影是 2 2 2 2ˆ ˆcosdxdy dA dAγ= = ⋅nk ， 2dA 的单位法向 量 2nˆ 与 z 方向的单位矢量 kˆ 构成锐角 2γ 。而对于下部曲面 1A ， 1dA 在 xy 平面的投影是 图 1-19 高斯定理证明 1 1 1 1 ˆ ˆcosdxdy dA dAγ= = ⋅nk ， 1dA 的单位法向量 1nˆ 与 z 方向的单位矢量 kˆ 构成钝角 1γ 。因 此，我们有 2 2 2 2 ˆ ˆ( , , )z zAF x y f dxdy F dAℜ = ⋅∫∫ ∫∫ nk 1 1 1 1 ˆ ˆ( , , )z zAF x y f dxdy F dAℜ = − ⋅∫∫ ∫∫ nk [ ] 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ( , , ) ( , , )z z z z zA A A A AF x y f F x y f dxdy F dA F dA F dAℜ = +− = ⋅ + ⋅ = ⋅∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫n n nk k k 所以 ˆ ˆz zA V F dxdydz F dA z ∂ = ⋅∂∫∫∫ ∫∫ nk 。 （a） 类似地，把 A 向 yz 和 xz 平面的投影分别可得 ˆ ˆx xA V F dxdydz F dA x ∂ = ⋅∂∫∫∫ ∫∫ ni ， （b） ˆ ˆy yA V F dxdydz F dA y ∂ = ⋅∂∫∫∫ ∫∫ nj （c） 把（a）、（b）、（c）三式相加 ( )1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆyx z V A FF F dxdydz = F F F dA x y z ∂⎛ ⎞∂ ∂+ + ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠∫∫∫ ∫∫ nw i + j + k 或者 3 A V d d x⋅ = ( ⋅ )∫ ∫KK Kv ∇F A F 定理证毕。 §1.4 正交曲线坐标系 §1.4 .1 曲线坐标系的定义 描述物体运动除了笛卡尔坐标系统外，还可以用其它正交坐标系来描述。不像笛卡尔坐标 位置和单位矢量的方向都是固定不变的，而一般曲线坐标随着质点的运动而变化。若笛卡尔 坐标系描述质点位置的坐标是 ( , , )x y z ，而在其它正交坐标系中用 1 2 3( , , )u u u 描述。记它们 之间的变换方程为 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ( , , ), ( , , )x f u u u y g u u u z h u u u= = = (0.4.1) 这里假定 f, g, h 是连续的，且有连续的导数和单值的逆。这样某点 P 的位置矢量用相应的 坐标描述是 1 2 3 1 2 3 1 2 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z f u u u g u u u h u u u= + + = + +Kr i j k i j k (0.4.2) 我们称 1 2 3( , , )u u u 是 P 点的曲线坐标。 如图 1-20，假定u2,和u3 不变，而u1 变化，这时 Kr 画出的曲线称为u1 坐标曲线。类似地 可以定义经过P点的u2,和u3 的坐标曲线。位置矢量的导数由(0.4.2)式可得 1 2 3 1 2 3 d du du du u u u ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂ K K KK r r rr (0.4.3) 矢量 iu∂ ∂Kr / 在P点处与坐标曲线ui相切；若定义该方向的单位矢量为 ieK ，则可以写 i i iu h∂∂ = e K Kr 其中 ( )1/2i i i iu u uh ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= = ⋅K K Kr r r 。这样(0.4.3)可以改写为 1 1 1 2 2 2 3 3 3d h du h du h du= + +e e eK K K Kr (0.4.4) 式中 1 2 3( , , )h h h 称为标度因子。注意 d Kr 并非简单地等于三个曲线坐标的微分乘相应的单位 矢量，还要乘以相应的标度因子才对。由于 ie K （i =1, 2, 3）相互垂直，故这个曲线坐标是正 交的。图 1-20 的平行六面体就是以 dKr 为对角线画的。质点位置从 P 点位置 Kr 处运动到 d+K Kr r 处。由于dKr 无限小，它的模对应于曲线运动的元弧长，即平行六面体对角线长度的 平方为 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3( ( (ds d d h du h du h du= ⋅ = + +) ) )K Kr r 。 (0.4.5) 在正交曲线坐标下，平行六面体的体积为（回顾混合积的意义） [ ]1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( )dV h du h du h du du du du u u u ⎛ ⎞∂ ∂ ∂= ⋅ × = ⋅ ×⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ e e e K K KK K K r r r 1 2 3 1 2 3 ( , , ) ( , , ) x