概率论与数理统计课件2

null概率论与数理统计概率论与数理统计常州工学院数学部 陶永祥第一章 随机事件与概率第一章 随机事件与概率§1.1 随机事件及其运算 一 确定性现象与随机现象 1确定性现象 确定性现 确定性现象是事前可预言结果的现象。 2随机现象（非决定性现象） 随机现象是事前不能预言结果的现象。 以上两种现象（满足互补律），统称为分明现象。 3模糊现象：即不分明现象。 4统计规律性5概率统计的研究对象：随机现象的统计规律性。5概率统计的研究对象：随机现象的统计规律性。1）概率论的研究方法： 是根据问MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714042925456_1提出相应的数学模型，然后去研究它们的性质、特征和规律性； 如大家马上要学习的古典概型、几何概型（蒲丰试验，1777年，2212/704=3.142,1901年,拉查里尼投针3408次,得到3.14159）。 2）数理统计的研究方法： 是以概率论的理论为基础，利用对随机现象的观察所获得的数据 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 ,来研究数学模型。6概率统计的发展史6概率统计的发展史1）概率统计的兴起:是由保险事业的发展而产生的. 2）组合概率时期17-18世纪初(法国的pascal巴斯卡、Fermat费尔马和荷兰的惠更斯是概率统计的早期创立者 3） 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 概率时期 3）分析概率时期 18世纪初，贝努里发现了大数定律 18世纪初到19世纪，发现母函数、特征函数、中心极限定理 棣美弗、拉普拉斯、李雅普诺夫 4）概率论与数理统计分家 5）理论概率与应用概率分家 6）蒙特卡罗方法 6概率统计的应用二 样本空间与随机事件二 样本空间与随机事件1 随机试验 （1）试验：即对随机现象进行的观察 （2）随机试验:它具有三个特点<1>在相同条件下可重复进行; <2>每次试验的可能结果是多种的,且能事先明确试验的所在可能结果; <3>每次试验出现什么结果事前不能确定. 2 样本空间与样本点2 样本空间与样本点（1）样本空间S：即随机试验E的所有可能结果的集合 (2）样本点：即S的元素(E的每一个结果) 3 随机事件3 随机事件（1）随机事件：即样本空间S的子集.用A，B，C，……；A0，A1，……表示,简称为事件。 （2）基本事件：即只含一个样本点的事件 （3）复合事件:即由2个以上样本点构成的事件 (4)必然事件S:即在每次试验中一定发生的事件 （5）不可能事件φ:即在每次试验中一定不发生的事件（5）不可能事件φ:即在每次试验中一定不发生的事件 （6）一个事件“发生” 它所包含的一个样本点出现。 （7）一个事件“不发生” 它所包含的所有样本点都不出现。 （8）把必然事件、不可能事件看作（随机）事件 例1求任意掷一枚骰子两次的随机试验的样本点和样本空间。例1求任意掷一枚骰子两次的随机试验的样本点和样本空间。解：样本点 样本空间 例2 观察某电话交换台在上午9点钟内所接到的呼唤次数，例2 观察某电话交换台在上午9点钟内所接到的呼唤次数，求该试验的样本点和样本空间。 解：样本点 （i=0,1,2,3,…） 样本空间 例3向单位圆内均匀地投点，求这试验的样本点和样本空间。例3向单位圆内均匀地投点，求这试验的样本点和样本空间。解：样本点 （x,y),x2+y2<1; 样本空间 例4 连续不断地投篮，直到投中为止，若记“命中”为1，“不例4 连续不断地投篮，直到投中为止，若记“命中”为1，“不命中”为0，求这试验的样本点和样本空间。 解：样本点为 000…… ，1，01，001，001，……， 样本空间 4 事件的集合论定义4 事件的集合论定义(1) 必然事件：S (2) 不可能事件：φ (3) 事件的个数：2n,n为样本点的个数。 (4) 事件A发生 试验中出现的 (5) 事件A不发生 试验中出现的 (6) 比较事件的直观意义和集合论定义例5 投掷质量均匀的骰子，列例5 投掷质量均匀的骰子，列出所有事件，总共有64个不同的事件： （1）含0个样本点的事件(不可能事件)1个φ （2）含一个样本点的事件 （3）含两个样本点的事件 （4）含三个样本点的事件 （5）含四个样本点的事件 （6）含五个样本点的事件 （7）含六个样本点的事件(必然事件)1个 三、 事件的关系与运算三、 事件的关系与运算（一） 用事件的集合论定义研究事件的关系与运算 1 事件的包含 ,A发生 B发生 2 事件的相等 A=B 3事件的和(并)3事件的和(并) 有限或可列个事件的并为： 4 事件的交（积） 发生 A与B同时发生 有限或可列个事件的交为：5 事件的差5 事件的差 A-B发生 A发生但B不发生 6 事件的对立（逆） ，A发生 不发生 7 事件的互不相容（互斥）7 事件的互不相容（互斥）若 ，则称A与B互不相容。 对立事件是互不相容的，反之不一定。 （二） 用文氏图表示事件的关系与运算四 事件运算的基本性质四 事件运算的基本性质1 否定律 2 幂等律 3 交换律 4 结合律 5 分配律 6 德摩根（De Morgan)公式偶原则6 德摩根（De Morgan)公式偶原则 7 A－B＝证明：证明：证法一： 发生 不发生 A不发生或B不发生 证明：证明：证法二：例6 对某目标进行3次射击，记Ai=“第i次射击时射中目标”，i=1,2,3，试用A1, A2, A3例6 对某目标进行3次射击，记Ai=“第i次射击时射中目标”，i=1,2,3，试用A1, A2, A3表示事件：(1)B=“恰有一次射中目标”；（2）C= “最多有一次射中目标”； (3)D=“至少有一次射中目标”;E=“射中目标三次”；(4)F=“射中目标0次”;(5)G=“至多有二次射中目标”. 解:(1) (2)(3) (3) (5)注意各种表示法的相容性!§1.2 随机事件的概率§1.2 随机事件的概率 一 频率 1频率 A的频率fn(A)= 2、稳定性 在不同的试验序列中，当试验的次数充分大时，事件的频率常在一个确定的数值p附近摆动，这就是频率的稳定性。 3、性质3、性质 (1)非负性：0≤ Fn(A)≤1 (2)规范性： Fn( S )=1， Fn( )=0 (3)可加性:若AB= ,则 (4)有限可加性:若 两两互不相容,则 二、概率的统计定义 1概率 A的频率的稳定值p叫A的概率，记为P(A)=p,当n很大时可取频率为概率的近似值 2 性质2 性质<1>非负性：0≤ P(A)≤1 <2>规范性： P(S)=1， P( )=0 <3>可加性:若AB= ,则 <4>有限可加性:若 两两互不相容,则 3小概率事件 若A的概率P(A)与0非常接近，则称A为小 概率事件。通常认为小概率事件在一次 试验中几乎是不发生的。这一原理称为 实际推断原理。三 古典概型三 古典概型1、古典概型的定义 若一次试验中只包含n(有限数)个基本事件，且所有基本事件出现的可能性相等，而A包含的基本事件数有m个，则 将用上述公式来讨论事件的概率的模型称为古典概型。2、古典概型的特征2、古典概型的特征（1） 有限性 （2） 等可能性 只要有一特征不具备，就不能用上述公式计算。 例1 在一批a件产品中有b件次品，从中任取n件产品，求其中恰有m件次品的概率。(b0,则在B已发生的条件下，A发生的条件概率P(A|B)为 三、条件概率的性质三、条件概率的性质(1)非负性：对任一事件A，P(A|B)≥0 (2)规范性： P(Ω|B)=1 (3)可列可加性：设 是两两互不相容的事件，则有 (4)也有无条件概率类似结论如例2 某产品的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率是0.05，第二道例2 某产品的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率是0.05，第二道工序的废品率是0.02。假定两道工序出废品彼此无关，求产品的合格率。 解；设Ai=“第i工序产品合格” P(A1)=1-0.05=0.95 P(A2|A1)=1－ =1-0.02=0.98 P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1) =0.95×0.98 =0.931 四、乘法公式四、乘法公式乘法公式..设A1，A2，…,An为任意n（n≥2）个事件,P(A1A2…An-1)>0,则P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) …P(An|A1A2 …An-1) 例3 在两个孩子的家庭中,(1)求有例3 在两个孩子的家庭中,(1)求有一男一女的概率 ;(2)已知至少有一女孩,求有一男一女的概率 . 解：设A= “一男、一女”，B=“至少有一女孩”,S={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)} P(A)=2/4=1/2,P(A|B)=2/3 §1.4 全概率公式 一 全概率公式 §1.4 全概率公式 一 全概率公式1、样本空间的完备事件组 设A1，A2，…，An为一组事件。若 （1）AiAj=φ，i≠j，i,j=1,2,…，n； （2） A1∪A2 ∪ … ∪An= S （3）P(Ai)>0，i=1,2,…，n 则称A1，A2，…，An为S的一个完备事件组。 （每次试验A1，A2，…，An中有且仅有一个发生）2、全概率公式2、全概率公式设A1，A2，…，An为样本空间的一个完备事件组，则 P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+…+ P(An)P(B|An) 证：B=BS=证：B=BS=P(Ai)>0,(BAi)(BAj)=φ，i,j=1,2,…，i≠j P(A)=P(B)P(A|B)+ 例3 （1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今从例3 （1）设甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球。今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一只球。问取到白球的概率是多少？ （2）第一只盒子装有5只红球、4只白球；第二只盒子装有4只红球、5只白球；先从第一盒中任取2球放入第二盒中，再从第二盒中任取一只球。问取到白球的概率是多少？ 例3例3解：（1）设A=“从甲袋摸一白球”，B=“从乙袋摸一白球” P(B)=P(A)P(B|A)+ (2)设Ai=“从甲袋摸i只白球”,i=0,1,2。 二、贝叶斯公式二、贝叶斯公式设A1，A2，…，An为样本空间的一个完备事件组，P(B)>0,则 证： 例4 某人下午5点下班。他所积累的资料表明：例4 某人下午5点下班。他所积累的资料表明：null某日他抛一硬币决定乘地铁还是乘汔车，结果他是5:47到家的。试求他乘地铁回家的概率。null例4解：设A=“他5：47到家”，B=“乘地铁” §1.5独立性与伯努利概型§1.5独立性与伯努利概型例 抛掷甲、乙两枚硬币，观察正反面出现的情况，求甲、乙同出现正面的概率。 解：设A=“甲币出现正面”；B=“乙币出现正面”； 则P(A)=2/4=1/2,P(B)=1/2,P(B|A)=1/2 P(AB)=1/4，P(B|A)=1/2= P(B) P(AB)=P(A)P(B|A)=一、相互独立事件一、相互独立事件若A(B)是否发生对B(A)发生的概率没有影响,则把这样的两个事件叫相互独立事件,或称这两个事件相互独立. 定义：若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A、B(相互)独立二、性质二、性质Th1 若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立。 Th2 设A,B是两事件，P(A)>0,则A,B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(B) Th3 若A,B相互独立，则 也相互独立。 三、三事件相互独立三、三事件相互独立若三事件A、B、C满足 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称A、B、C相互独立。 四、n个事件相互独立 若n个事件A1,A2,…,An中任意l(l=2,…,n)个事件满足 则称A1,A2,…,An相互独立。 性质1：若n(n≥2)个事件A1,A2,…,An相互独立，则其中任意k（2≤k≤n)个事性质1：若n(n≥2)个事件A1,A2,…,An相互独立，则其中任意k（2≤k≤n)个事件也是相互独立的。 性质2：若n个事件A1,A2,…,An相互独立，则 也相互独立，其中 （ 性质3：独立性常据实际意义判断。例1、设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别是0.2,0.6,0.3,试求：例1、设对某目标进行三次相互独立的射击，各次的命中率分别是0.2,0.6,0.3,试求：（1）在三次射击中恰有一次命中的概率 （2）在三次射击中至少有一命中的概率 解:(1)设B=“恰有一次命中”，C=“至少有一次命中”，Ai=“第i次射击命中”,i=1,2,3 (2)(2)例2、某电路系统是由1个灯泡、4节电池、6个开关串并联组成，每个开关接通的概率例2、某电路系统是由1个灯泡、4节电池、6个开关串并联组成，每个开关接通的概率为0.5,且各开关接通与否是互不影响的，求电路中灯不亮的概率。 解：设A,B,C,D,E,F分别表开关a,b,c,d,e,f接通这些事件。 P（“灯亮”）=P((A∪B)C(DE∪F)) ＝P(A∪B)P(C)P(DE∪F) P（“灯亮”）=P((A∪B)C(DE∪F)) ＝P(A∪B)P(C)P(DE∪F)P（“灯亮”）=P((A∪B)C(DE∪F)) ＝P(A∪B)P(C)P(DE∪F)= P（“不灯亮”）=P（“不灯亮”）=P（“不灯亮”）==例3、设在每次试验中，事件A发生的概率均为p(010×5 P{X=2} = 几何分布 如果随机变量X的概率分布为 P{X = k} = §2.4 连续型随机变量 一、 连续型随机变量的概念 1、连续型随机变量的定义 若ζ的F(x)可表成一个非负可积f(x)的积分 则称ζ为连续型随机变量，f(x)称为ζ的概率密度函数，简称密度函数。 2、性质 (1)非负性： (2)规范性： (3) ζ落在[a,b)内的概率为 (4)F(x)是(-∞,∞)上的连续函数 (5)若F(x)连续，且除去有限个点外，F‘(x)存在且连续，则 (6)P(ζ=a)=F(a+0)-F(a)=0 (7) (8) (9)若f(x) 连续，则f(x) =F’(x) 根据定积分的几何意义，(2)式表示概率密度曲线与x轴围成的区域面积为1; (3)式表示的概率就是概率密度曲线y=f(x),直线x=x1,x=x2和x轴围成的曲边梯形的面积， 例2.3.1 设随机变量X具有概率密度 （1）确定常数k（2）求X的分布函数F(x)（3）求 解：(1) （2）X的分布函数为 (3) 二、若干常见的连续型分布 1、均匀分布 ζ~U[a,b] 设ζ为在[a,b]内均匀投点的落点坐标，则 若ζ服从[0,1]上的均匀分布，则称ζ为随机数。 若 例2.3.2某地铁列车运行的时间间隔为10分钟，一名乘客在任意时刻进入站台，求他候车时间不超过3分钟的概率。 解 首先，我们应求出他候车时间的概率密度，由于乘客在任意时刻进入站台，可知候车时间，应该均等分布在区间（0，10）内（最多等候10分钟），或者说其候车时间为随机变量X,X在（0，10）上服从均匀分布，于是X的概率密度 为 2、指数分布ζ~E[λ] 若ζ的密度函数为 则称ζ服从参数为λ的指数分布，记为E(λ), λ>0. 3、正态分布 如果随机变量X的概率密度为 则称随机变量X服从参数为a，σ2的正态分布（或高斯（Gauss）分布），记作X～N(a, σ2) 正态分布X～N(a, σ2) 的概率密度的图形如图所示。 当a=0，σ=1时，称X服从 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正态分布，记作X～N(0,1) 。它的概率密度为 它的分布函数记作 a-h a+h x=a 正态分布的性质 1、正态曲线：即 的图象 (i)正态曲线关于x=a对称； P(ξa+h), P(a-h< ξ