大学物理习题答案第一章

        [习题解答] 1-3 如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达C地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。 解 汽车行驶的总路程为 ； 汽车的总位移的大小为 r = 位移的方向沿东北方向，与 方向一致。 1-4 现有一矢量R是时间t的函数，问 与 在一般情况下是否相等？为什么？ 解 与 在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。 1-5 一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r = 6t 2 2t 3 ，r和t的单位分别是m和s。求： (1)第二秒内的平均速度； (2)第三秒末和第四秒末的速度； (3)第三秒末和第四秒末的加速度。 解 取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿x轴的反方向。 (1)第二秒内的平均速度 ms1； (2)第三秒末的速度 因为 ，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，为 v3 =  18 ms1； 用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为 v4 =  48 ms1； (3)第三秒末的加速度 因为 ，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，为 a3 =  24 ms2； 用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为 v4 =  36 ms2 . 1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为 和 ，试证明： (1)  vdv = ads； (2)当a为常量时，式v 2 = v 02 + 2a (s s0 )成立。 解 (1) ； (2)对上式积分，等号左边为  , 等号右边为  , 于是得  , 即 . 1-7 质点沿直线运动，在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式：s = (t 1)2 (t 2)，s和t的单位分别是m和s。求： (1)当质点经过O点时的速度和加速度； (2)当质点的速度为零时它离开O点的距离； (3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离； (4)当质点的速度为12 ms1 时它的加速度。 解 ：取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。 (1)质点经过O点时，即s = 0，由式  , 可以解得 t = 1.0 s，t = 2.0 s . 当t = 1 s时，  . 当t = 2 s时， v = 1.0 ms-2 ，a = 4.0 ms-2 . (2)质点的速度为零，即 上式可化为  , 解得 t = 1.0 s和 t = 1.7 s . 当t = 1 s时，质点正好处于O点，即离开O点的距离为0 m；当t = 5/3 s时，质点离开O点的距离为 0.15 m 。 (3)质点的加速度为零，即  , 上式可化为 3t-4=0 , 解得 t = 1.3 s . 这时离开O点的距离为 0.074 m。 (4)质点的速度为12 ms1，即  , 由此解得 将t值代入加速度的表示式  , 求得的加速度分别为 a = 12.4 ms-2和 a =  12.2 ms-2 . 1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为a = Cv2，C是常量。若t = 0时质点的速度为v0 ，并处于s0 的位置上，求任意时刻t质点的速度和位置。 解 以t = 0时刻质点的位置为坐标原点O，取水平线为x轴，质点就沿x轴运动。因为是直线运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。  , 于是有  . 两边分别积分，得 . 因为t0 = 0，所以上是变为  , 即  , (1) 上式就是任意时刻质点的速度表达式。 因为 ， dx= v dt , 将式(1)代入上式，得  , 两边分别积分，得  . 于是，任意时刻质点的位置表达式为 . 1-9 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0 ，质点出发后每经过时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后质点的速度和加速度。 解 可以把质点运动所沿的直线定为直线L，并设初始时刻质点处于固定点O上。根据题意，质点运动的加速度应该表示为 . 由速度公式 可以求得经过t时间质点的速度 . 另外，根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移  . 1-10 质点沿直线y = 2x + 1 m 运动，某时刻位于x1 = 1.51 m处，经过了1.20 s到达x2 = 3.15 m处。求质点在此过程中的平均速度。 解 根据定义，平均速度应表示为  , 其中  . 由已知条件找出x和y，就可以求得平均速度 。  . 根据直线方程y = 2x + 1，可求得 y1 = 2x1 + 1 = 4.02 m， y2 = 2x2 + 1 = 7.31 m . 所以  . 平均速度为  . 也可以用下面的方式表示 ； 与x轴的夹角为  . 1-11 质点运动的位置与时间的关系为x = 5 + t 2 ，y = 3 + 5t  t 2 ，z = 1+ 2t 2, 求第二秒末质点的速度和加速度，长度和时间的单位分别是米和秒。 解 已知质点运动轨道的参量方程为  . 质点任意时刻的速度和加速度分别为 和 . 质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将t = 2 s代入上式，就得到质点在第二秒末的速度和加速度，分别为 和  . 1-12 设质点的位置与时间的关系为x = x(t)，y = y(t)，在计算质点的速度和加速度时，如果先求出 ，然后根据 和 求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成，得到的结果为v = 和 。你认为哪一组结果正确？为什么？ 解 第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下  . 速度和加速度中的r是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。 1-13 火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现，第一节车厢从其身边驶过的时间是5.0 s。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间？ 解 设火车的加速度为a，每节车厢的长度为l，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1，t1满足 .(1) 前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2，前九节车厢通过观察者身边所需时间为t3，并可列出下面两个方程式  , (2)   (3) 由式(1)得  . 将上式代入式(2)和式(3)，分别得到  ,  . 第九节车厢通过观察者身边所需时间为 t = t3  t2 =15.00 s  14.14 s = 0.86 s . 1-14 一架开始静止的升降机以加速度1.22 ms2 上升，当上升速度达到2.44 ms1 时，有一螺帽自升降机的天花板上落下，天花板与升降机的底面相距2.74 m。计算： (1)螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间； (2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。 解 设螺帽落到升降机地面所需时间为t，在这段时间内螺帽下落的距离为h1，同时升降机上升的距离为h2。 (1)若以螺帽为研究对象， 可取y轴竖直向下，t = 0时，螺帽的速度为v0 = 2.24 ms1，加速度为g，则有 (1) 若以升降机为研究对象， 可取y轴竖直向上，t = 0时，升降机的速度为v0 = 2.44 ms1，加速度为a = 1.22 ms2，这时应有 (2) 显然h = h1 + h2就是升降机的天花板与底面之间的距离，等于2.74 m。于是 (3) 有式(3)解得  . (2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离，就是上面所说的h1，将上面所求得的t代入式(1)，可以得到 . 1-15 设火箭引信的燃烧时间为6.0 s，今在与水平面成45角的方向将火箭发射出去，欲使火箭在弹道的最高点爆炸，问必须以多大的初速度发射火箭？ 解 以火箭发射点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。设发射火箭的初速度为v0 ，则其竖直向上的分量为 , 竖直向上的速度为  . 火箭到达最高点时，vy= 0，由此可以求得初速度为  . 1-16 倾斜上抛一小球，抛出时初速度与水平面成60角，1.00秒钟后小球仍然斜向上升，但飞行方向与水平面成45角。试求： (1)小球到达最高点的时间； (2)小球在最高点的速度。 解 以抛设点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。 (1)为求得小球到达最高点的时间，必须先求出它的初速度v0 。因为v0与水平方向成60角，所以可列出下面的方程式 . 当t = 1 s 时，速度v与水平方向成45，必定有 ，所以  , 由此解得  . 如果小球到达最高点的时间为t，则有  , 由此解得  . (2)小球到达最高点时的速度是沿水平方向的，其大小为  . 1-17 质点作曲线运动，其角速度 为常量，质点位置的极径与时间的关系可以表示为 ，其中0和都是常量。求质点的径向速度和径向加速度，横向速度和横向加速度。 解 质点的径向速度为  , 横向速度为  . 质点的径向加速度为  , 横向加速度为  . (计算过程用到了 为常量的条件。) 1-18 质点沿任意曲线运动, t时刻质点的极坐标为 ,，试求此时刻质点的速度、加速度，并写出质点运动的轨道方程。 解 t时刻质点的速度为  , 此时刻质点的加速度为  . 题目给出了轨道的参量方程，由参量方程消去参变量t，就可以得到质点运动的轨道方程。由轨道的参量方程的第二式得  , 将上式代入轨道的参量方程的第一式，得  , 这就是质点运动的轨道方程。 1-19 质点沿半径为R的圆周运动，角速度为 = ct，其中c是常量。试在直角坐标系和平面极坐标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度的表达式。 解 建立如图1-12所示的坐标系，直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合，并且就是质点运动所沿的圆周的圆心。显然直角坐标与极坐标有如下关系  , (1) 图1-12 式中= R ，就是圆周的半径。相反的关系可以表示为 .  (2) 设t = 0时，质点处于圆周与x轴的交点上。由题已知  , 所以 (3) 将式(3)代入式(1)，得 , . 于是质点的位置矢量可以表示为 ； 质点的运动速度可以表示为 ； 质点的运动加速度可以表示为 在极坐标中质点的位置矢量可以表示为 ； 质点的速度为 ； 质点的加速度为  . 1-20 质点按照s = bt  的规律沿半径为R的圆周运动，其中s是质点运动的路程，b、c是常量，并且b2 > cR。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间？ 解 质点运动的速率为  , 切向加速度为 , 切向加速度的大小可以写为at = c。法向加速度可以表示为  . 切向加速度与法向加速度大小相等，即  , 由此解得  . 讨论：因为 v = b  ct , 所以，当t = 0时，v = b ，当t = b/c时，v = 0 。这表示在0到b/c时间内，质点作减速运动。而在t = b/c之后，质点沿反方向作圆周运动，切向加速度为c，速率不断增大。可见质点有两个机会满足“切向加速度与法向加速度大小相等”。一个机会是在0到b/c之间，即  , 为什么t = t1是处于0到b/c之间呢？根据已知条件b2 > cR，也就是b >，所以必定有b/c > t1 > 0。 另一个机会是在t = b/c之后，即  . 图1-13a 1-21 质点从倾角为 =30 的斜面上的O点被抛出，初速度的方向与水平线的夹角为 = 30， 如图1-13a所示，初速度的大小为v0 = 9.8 ms1 。若忽略空气的阻力，试求： (1)质点落在斜面上的B点离开O点的距离； (2)在t = 1.5 s时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。 解 建立如图所示的坐标系：以抛射点O为坐标原点，x轴沿水平向右，y轴竖直向上。这时质点的抛体运动可以看作为x方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动的合成，并且有 ,  . (1)设B点到O点的距离为l，则B点的坐标可以表示为 如果质点到达B点的时间为，则可以列出下面的方程式 (1) (2) 以上两式联立，可解得 (3) 将式(3)代入式(1)，得  . (2)设在t = 1.5 s 时质点到达C点，此时  ,  . 所以速度的大小为 图1-13b  . 速度与y轴负方向的夹角为 . 现在求C点的切向加速度at和法向加速度an 。由图1-13b可见，质点的总加速度就是重力加速度g，方向与vy一致，而at和an则是它的两个分矢量。并且由于at与v的方向一致，所以at与g之间的夹角就是v与vy之间的夹角，即角。于是可以得到  ,  . 图1-14 1-23 用绳子系一物体，使它在竖直平面内作圆周运动。问物体在什么位置上绳子的张力最大？在什么位置上张力最小？ 解 ：设物体在任意位置上细绳与竖直方向的夹角为，如图1-14所示。 这时物体受到两个力的作用，即绳子的张力T和重力mg，并且下面的关系成立  . 所以可把绳子张力的大小表示为  . 由上式可以得到：当物体处于最低点时， = ，张力为最大；当物体处于最高点时，= 0 ，张力为最小。 1-24 质量为m的小球用长度为l的细绳悬挂于天花板之下，如图1-15所示。当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动，角速度为。求细绳与竖直方向的夹角。 图1-15 解 小球受到绳子的张力T和重力mg的作用，并且在竖直方向上无加速度，所以有   (1) 在水平方向上，小球有向心加速度  , 张力T的水平分量提供了小球的向心力，故有 (2) 由式(1)和式(2)可以解得  , . 1-25 在光滑的水平桌面上并排放置两个物体A和B，它们互相接触，质量分 别为mA = 2.0 kg，mB = 3.0 kg。今用F = 5.0 N的水平力按图1-16所示的方向作用于物体A，并通过物体A作用于物体B。求： 图1-16 (1)两物体的加速度； (2)  A对B的作用力； (3)  B对A的作用力。 解 取水平向右为x轴。 (1)以两物体A和B为研究对象，它们在水平方向上受到力F的作用， 所以在该方向上应有 ,  . (2)设A对B的作用力为F1 ，沿x轴的正方向，物体B沿x方向的加速度为a，可列出下面的方程式  . (3)设B对A的作用力为F2，沿x轴的反方向，物体A沿x方向的加速度为a，可列出下面的方程式 , . 图1-17a 1-26 有A和B两个物体，质量分别为mA = 100 kg，mB = 60 kg，放置于如图1-17a所示的装置上。如果斜面与物体之间无摩擦，滑轮和绳子的质量都可以忽略，问： (1)物体如何运动？ (2)物体运动的加速度多大？ (3)绳子的张力为多大？ 解 物体A的受力情况如图1-17b所示： 张力T； 重力mAg 图1-17c 支撑力NA。 图1-17b 物体B的受力情况如图1-17c所示： 张力T； 重力mAg； 支撑力NA。 (1)我们可以假定物体B向下滑，物体A向上滑，加速度为a。若解得a > 0，物体确实按所假定的方向滑动；若解得a < 0，物体实际上是沿与假定方向相反的方向滑动。 对物体B：  ,  (1) 对物体A： (2) 将以上两式相加，得 , 解得 所以，系统中的物体A沿斜面向上滑动，物体B沿斜面向下滑动。 (2)物体运动的加速度为  . (3)由式(2)可以解得 . 图1-18a 1-27 在光滑的水平桌面上放着两个用细绳连接的木块A和B，它们的质量分别是mA和mB。今以水平恒力F作用于木块B上，并使它们一起向右运动，如题1-18a图所示。求连接体的加速度和绳子的张力。 解 木块A受三个力的作用： 图1-18b 重力mAg，竖直向下； 支撑力NA，竖直向上； 绳子拉力T，水平向右。 木块B共受四个力的作用： 重力mBg，竖直向下； 支撑力NB，竖直向上； 恒力F，水平向右； 绳子拉力T ，水平向左。 上述各力都表示在图1-18b中。 建立坐标系O - xy，取x轴水平向右，y竖直向上。沿x轴向右的力为正，向左的力为负；沿y轴向上的力为正，向下的力为负。设木块A和B沿水平方向的加速度分别为a和a，于是可以列出下面的运动方程： A：  , ； B：  ,  . 另外 , . 由以上方程可解得  ,  . 绳子的拉力就是绳子的张力。 如果水平恒力F作用于木块A并拉着A、B连接体一起向左运动，这时解得的加速度大小不变，但绳子的张力变为  . 可见，由于 ，则 。 图1-19 1-28 质量为m的物体放于斜面上，当斜面的倾角为时，物体刚好匀速下滑。当斜面的倾角增至时，让物体从高度为h处由静止下滑，求物体滑到底部所需要的时间。 解 物体受力情形如图1-19所示。当斜面倾角为时，物体刚好匀速下滑，这时物体在运动方向上所受合力为零，即 , , . 由此解得 , . 当斜面倾角变为时，让物体从斜面顶端自由下滑，这时 , ,  . 于是可解得  . 如果斜面长度l所对应的高度正好是h，物体从斜面顶端自由下滑到底部的时间为t，可列出下面的方程  . 所以  . 讨论：从上面的结果看，下式必须成立 . (1) 因为  ,(2) 将式(2)代入式(1)，得  , 即  , 所以必定有  . 图1-20a 1-29 用力F去推一个放置在水平地面上质量为M的物体，如果力与水平面的夹角为，如图1-20a所示，物体与地面的摩擦系数为，试问： (1)要使物体匀速运动，F应为多大？ (2)为什么当角过大时，无论F多大物体都不能运动？ (3)当物体刚好不能运动时，角的临界值为多大？ 解 物体受力情形如图1-20b所示。 (1)物体作匀速运动时所受合力为零，于是有  ,  , 图1-20b  . 由以上三式可解得  . (2)在一般情况下，水平方向上的运动方程可以表示为  , 于是可以解得物体的加速度为  . 可见，推动物体前进的力是 ，随的增加而减小；阻碍物体前进的力是摩擦力 ，随的增加而增大。所以，当 值过大时，推动力 就不足以克服作用于物体的最大静摩擦力，物体就不能运动。 (3)设物体刚好不能运动时的临界角为0，下面的关系成立 ，  . 因为在等于这个临界角0时，无论F为多大，物体都刚好不能运动，这就是说，当F沿着这个临界角的方向时，物体运动与否都与F无关。用F除以上式，并令F，可得 , 解得  . 图1-21 1-32 车厢在地面上作匀加速直线运动，加速度为5.0 ms2 。车厢的天花板下用细线悬挂一小球，求小球悬线与竖直方向的夹角。 解 设悬挂小球的细线与竖直方向成角，如图1-21所示。若取地面为参考系，可列出下面的方程  ,  . 解得 , = 272 . 1-33 汽车以2.50 ms1 的速率经过公路弯道时，发现汽车天花板下悬挂小球的细线与竖直方向的夹角为1。求公路弯道处的半径。 解 设小球悬线与竖直方向的夹角为，可以列出下面的方程  ,  . 可以解得  . 1-34 设地球是半径为R、质量为M的均匀球体，自转角速度为，求重力加速度g的数值与纬度的关系。(提示：先求出质量为m的物体处于地面上纬度为的地方的重量，然后根据重量求出重力加速度与纬度的关系。) 解 地面上物体的受力情况如图1-22所示。由图可见 . 利用余弦定理，得 , 因为很小，4项可以略去，所以上式可化为 图1-22 于是可得 , 也就是 . 上式就是所要求的重力加速度g的数值与纬度的关系。