null数学直通车----推理与证明数学直通车----推理与证明知识体系nullnull第一节 合情推理与演绎推理基础梳理1. 合情推理
(1)归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理.简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
(2)类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.
(3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、
分析
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、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.null2. 演绎推理
(1)演绎推理:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理.
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情况;
③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.
常用格式:
大前提:M是P;小前提;S是M;结论: 典例分析题型一 归纳推理S是Pnull分析 归纳走到(n,n)处时,移动的长度单位及方向.解 质点到达(1,1)处,走过的长度单位是2,方向向右;
质点到达(2,2)处,走过的长度单位是6=2+4,方向向上;
质点到达(3,3)处,走过的长度单位是12=2+4+6,方向向右;
质点到达(4,4)处,走过的长度单位是20=2+4+6+8,方向向上;
……
猜想:质点到达(n,n)处,走过长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1),且n为偶数时运动方向与y轴相同,n为奇数时运动方向与x轴相同.
所以2 000秒后是指质点到达(44,44)后,继续前进了20个单位,由图中规律可得向左前进了20个单位即质点位置是(24,44).学后反思 归纳推理的一般步骤:
(1)通过观察个别情况发现某些相同的性质;
(2)从已知的相同性质中推出一个明确
表
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述的一般性命题(猜想).举一反三null在数列{an}中, (n∈N*),试猜想这个
数列的通项公式.题型二 类比推理【例2】类比实数的加法和向量的加法,列出它们相似的运算性质.分析 实数的加法所具有的性质,如结合律、交换律等,都可以和向量加以比较.解 (1)两实数相加后,结果是一个实数;两向量相加后,结果仍是向量;
(2)从运算律的角度考虑,它们都满足交换律和结合律,即:null a+b=b+a,a+b=b+a,
(a+b)+c=a+(b+c),(a+b)+c=a+(b+c);
(3)从逆运算的角度考虑,二者都有逆运算,即减法运算,即a+x=0与a+x=0都有唯一解,x=-a与x=-a;
(4)在实数加法中,任意实数与0相加都不改变大小,即a+0=a.在向量加法中,任意向量与零向量相加,既不改变该向量的大小,也不改变该向量的方向,即a+0=a.学后反思 (1)类比推理是个别到个别的推理,或是由一般到一般的推理.
(2)类比是对知识进行理线串点的好
方法
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.在平时的学习与复习中,常常以一到两个对象为中心,把与它有类似关系的对象归纳整理成一张图表,便于记忆运用.举一反三null2. 类比圆的下列特征,找出球的相关特征.
(1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆;
(2)平面内不共线的三个点确定一个圆;
(3)圆的周长和面积可求;
(4)在平面直角坐标系中,以点 为圆心,r为半径的圆的方程为题型三 演绎推理null【例3】(12分)已知函数 ,其中a>0,b>0,x∈(0,+∞),
试确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.分析 利用演绎推理证明.null学后反思 这里用了两个三段论的简化形式,都省略了大前提.第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义;第二个三段论所依据的大
前提是增函数的定义,小前提分别是f(x)在(0, ]上满足减函数的定义
和f(x)在[ ,+∞)上满足增函数的定义,这是证明该问题的关键.举一反三null 题型四 演绎推理在证明题中的应用
【例4】在梯形ABCD中,AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线.求证:AC平分∠BCD,DB平分∠CBA. 分析 在用演绎推理证明问题时,一定要按“三段论”的形式推理,当然有时可以省略大前提或小前提. 证明 如图,(1)等腰三角形两底角相等
(大前提),△DAC是等腰三角形,DA、DC
是两腰(小前提),∠1=∠2(结论).
(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角
相等(大前提),∠1和∠3是平行线AD、BC
被AC截出的内错角(小前提),∠1=∠3(结论).
(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),
∠2和∠3都等于∠1(小前提),
∠2=∠3(结论),即AC平分∠BCD.
(4)同理DB平分∠CBA.null学后反思 证明中如果把(4)也详细地写出,则一共通过六次三段论的形式,因此一个命题的证明形式,确切地应叫做复合三段论的形式,或说命题的推证方法是复合三段论;但是事实上,每一次三段论的大前提并不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面三段论的结论,也就不再写出了,如例3的证明可写成:
∵DA=DC(省略了大前提),∴∠1=∠2.
∵AD∥BC,且被AC截得内错角为∠1和∠3(省略大前提),
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,即AC平分∠BCD(省略大前提,小前提),
同理可证DB平分∠ABC.
这样,一般地,在推证命题时所采用的这种表达的方法,就叫做简化的复合三段论法 null 举一反三
4. 在锐角三角形ABC中 ,AD⊥BC于D.求证:
(1)△ABD是直角三角形;
(2)若M是AB的中点,则DM= AB.证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形(大前提),在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°(小前提),
所以△ABD是直角三角形(结论).
(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(大前提),
DM是Rt△ADB斜边上的中线(小前提),
所以DM= AB(结论).null易错警示错解分析 错误在于没有注意到原命题中的三角形是直角三角形,在解题中没有把三棱锥的题设与其进行类比.null【例2】 对任意x∈N*猜想: 与 的大小.错解 当n=1时,
当n=2时,
当n=3时,
当n=4时,
综上可猜想: 与 的大小关系不确定.错解分析 在归纳推理时,对n的取值一般要多取几个值进行观察,不要仅写出前几项就盲目地下结论.正解 当n=1,2,3,4时同“错解”;
当n=5时, ;当n=6时, ;
当n=7时, ;当n=8时, .
综上可猜想:当n∈N*且n≠3时,总有 ≥ .null考点演练null解析 由①②可看出,两角差为30°,则它们的相关形式的函数运算式的值
均为 .
猜想:若β-α=30°,则β=30°+α,
也可直接写成
下面进行证明:
故null12. 用“三段论”的形式写出下列演绎推理.
(1)若两角是对顶角,则这两角相等,所以若两角不相等,则这两角不是对顶角.
(2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等.
(3)0.332·是有理数.
(4)y=sin x(x∈R)是周期函数.解析: (1)两个角是对顶角,则两角相等, (大前提)
∠1和∠2不相等, (小前提)
∠1和∠2不是对顶角. (结论)
(2)每一个矩形的对角线相等, (大前提)
正方形是矩形, (小前提)
正方形的对角线相等. (结论)null(3)所有的循环小数都是有理数, (大前提)
0.332·是循环小数, (小前提)
0.332·是有理数. (结论)
(4)三角函数是周期函数, (大前提)
y=sin x是三角函数, (小前提)
y=sin x是周期函数. (结论)null第二节 直接证明与间接证明基础梳理1. 证明
(1)证明分为 与 .直接证明包
括 、 等;间接证明主要是 .
(2)综合法:一般地,
利用 ,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.
(3)分析法:一般地, 出发,逐步寻求使 ,直至最后,把要证明的结论归结
为 (已知条件、定义、定理、公理等),这种证明的方法叫做分析法.直接证明间接证明综合法分析法反证法已知条件和某些数学定义、定理、公理等从要证明的结论它成立的充分条件判定一个明显成立的条件null原命题不成立正确的推理假设错误证明了原命题成立“由因导果”null(2)分析法是 ,它是从要证的结论出发,倒着分析,逐渐地靠近已知.
3. 间接证明
用反证法证明问题的一般步骤:
(1) :假定所要证的结论不成立,而设结论的反面(否定命题)成立;(否定结论)
(2) :将“反设”作为条件,由此出发经过正确的推理,导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾;(推导矛盾)
(3) :因为推理正确,所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立)“执果索因”反设归谬结论null典例分析分析 从已知条件和已知不等式入手,推出所要证明的结论.学后反思 综合法从正确地选择已知真实的命题出发,依次推出一系列的真命题,最后达到我们所要证明的结论.在用综合法证明命题时,必须首先找到正确的出发点,也就是能想到从哪里起步,我们一般地处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质,逐层推进,从而由已知逐渐引出结论.null举一反三1. 设a>0,b>0,a+b=1,求证: .题型二 分析法的应用
【例2】设a、b、c为任意三角形三边长I=a+b+c,S=ab+bc+ca.
试证:I2<4S.null分析 将I平方得出a、b、c两两乘积及a2,b2,c2和的式子,比较已知条件和结论,宜采用分析法.证明 I2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)=a2+b2+c2+2S,
故要证I2<4S,
只需证a2+b2+c2+2S<4S,
即a2+b2+c2<2S(这对于保证结论成立是充分必要的).
欲证上式,只需证a2+b2+c2-2ab-2bc-2ca<0,
即证(a2-ab-ac)+(b2-bc-ba)+(c2-ca-cb)<0,
只需证三括号中的式子均为负值即可,null即证a2<ab+ac,b2<bc+ba,c2<ca+cb,
即a<b+c,b<a+c,c<a+b,
它们显然成立,因为三角形任一边小于其他两边之和.
故I2<4S.学后反思 (1) 应用分析法易于找到思路的起始点,可探求解题途径.
(2) 应用分析法证明问题时要注意:严格按分析法的语言表达;下一步是上一步的充分条件.2. 若sin α+cos α=1,求证:sin6α+cos6α=1.举一反三null证明: 由sin α+cos α=1 sin2α+cos2α+2sin α·cos α=1
sin α·cos α=0.①
欲证sin6α+cos6α=1,
只需证(sin2α+cos2α)(sin4α-sin2αcos2α+cos4α)=1,
即证sin4α+cos4α-sin2αcos2α=1,
即证(sin2α+cos2α)2-3sin2αcos2α=1,即证sin2αcos2α=0.
由①式知,上式成立,故原式成立.题型三 反证法的应用
【例3】(14分)若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+ ,b=y2-2z+ ,
c=z2-2x+ .
求证:a,b,c中至少有一个大于0.null分析 命题伴有“至少……”“不都……”“都不……”“没有……”“至多……”等指示性语句,在用直接方法很难证明时,可以采用反证法.证明 假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,…………..2′
则a+b+c≤0, …………………………………………………...4′
而a+b+c=x2-2y+ +y2-2z+ +z2-2x+ =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+
π-3. …………………………………………………………….6′
∵π-3>0,且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0,…………………..8′
∴a+b+c>0, ……………………………………………………10′
这与a+b+c≤0矛盾. …………………………………………..12′
因此a,b,c中至少有一个大于0. ……………………………..14′null学后反思 反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立.反证法的主要依据是逻辑中的排中律,排中律的一般形式是:或者是A,或者非A,即在同一讨论过程中,A和非A有一个且仅有一个是正确的,不可能有第三种情况出现.null分析 证明函数是偶函数,关键是证明函数关于y轴对称,即对称轴是x=0.null学后反思 (1)本题证明的前半部分用的是分析法,要证结论成立,只需证明a=-b,后半部分用综合法证明了a=-b,这一例是典型的分析综合法证明.(2)在用分析综合法证明时,可先分析再综合,也可以先综合再分析.null解析: (1)将 (n≥2)代入
得
两边取倒数得 (n≥2),
∴ =2n-1(n≥2),即 (n≥2).
当n=1时,上式也成立.
∴数列 构成以 为首项,公差为2的等差数列.
(2)∵
∴null易错警示null考点演练10. 完成反证法证题的全过程.
已知:a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列.
求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明:假设p为奇数,则均为奇数.①
因奇数个奇数之和为奇数,故有
奇数= ②
= ③
=0.
但奇数≠0,这一矛盾说明p为偶数.null证明: 由余弦定理,得a2-b2=c2-2bccos A,
则 .
又由正弦定理,得
,
11. 在△ABC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,
求证: .null12. 已知a,b,c,d都是正数,且bc>ad,求证: 第三节 数学归纳法第三节 数学归纳法基础梳理1. 数学归纳法的适用对象
数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法,若n0 是起始值,则n0 是
2. 数学归纳法的步骤
用数学归纳法证明命题时,其步骤如下:
(1) 当n=n0(n0∈N*)时结论正确;
(2)假设当 时命题正确,证明当n= 时命题也成立,从而退出命题对所有的 .其中第一步是
,第二步是 ,二者缺一不可。正整数n=k(k∈N*,且k≥n0)k+1使命题成立的最小正整数归纳奠基归纳递推null典例分析题型一 与自然数n有关的等式的证明
【例1】用数学归纳法证明: 分析 用数学归纳法证明问题,应严格按步骤进行,并注意过程的完整性和规范性.null当n=k+1时,
所以当n=k+1时,等式也成立.
综上可得,等式对于任意n∈N*都成立.学后反思 用数学归纳法证题时两个步骤缺一不可,证当n=k+1时命题成立,必须要用当n=k时成立的结论,否则,就不是数学归纳法证明.null举一反三
1. 用数学归纳法证明: null题型二 用数学归纳法证明整除问题
【例2】求证: (n∈N*)能被9整除.null由于f(k)能被9整除, 能被9整除,
所以 能被9整除.
由(1)、(2)知,对所有正整数n, 能被9整除.学后反思 整除问题一般是将n=k+1时的结论设法用n=k时的结论表达,而后利用假设来讨论判断是否满足整除.null证明: (1)当n=1时,
1-(3+x)=-2-x=-(x+2),能被x+2整除.
(2)假设当n=k时, 能被x+2整除,
则可设 = (f(x)为k-1次多项式).
当n=k+1时,
能被x+2整除.
综上可知,对任意n∈N*,1-(3+x)n能被x+2整除.null题型三 用数学归纳法证明不等式
【例3】求证: (n≥2,n∈N*).分析 和正整数有关,因此可用数学归纳法证明.null学后反思 在用数学归纳法证明不等式时,往往需综合运用不等式证明的其他方法,如比较法、放缩法、配方法、分析法、基本不等式等.null∵
∴左边≥1,∴n=k+1时原不等式成立.
综上可得,原不等式对于一切n∈N*都成立.nullnullnull易错警示【例】已知 (n∈N*).用数学归纳法证明 时, = .null解析: 首先必须应用归纳假设,然后采用配凑法.考点演练null即当n=k+1时等式成立.
由(1)(2)可知,原等式对任意n∈N*都成立.null(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即
成立,
则当n=k+1时,
所以当n=k+1时,猜想成立,
根据(1)(2)知猜想对任意n∈N*都成立.第四节 数系的扩充与复数的引入第四节 数系的扩充与复数的引入基础梳理a+biabbb=0b≠0a=0且b≠0a=c且b=da=0且b=0null直角坐标系实数实轴虚轴原点纯虚数虚数一一对应的一一对应的相等互为相反数时a-binull(a±c)+(b±d)i交换律结合律null(ac-bd)+(bc+ad)Inull典例分析题型一 复数的概念
【例1】已知复数z= (1+i)-m(3+i)-6i,则当m为何实数时,复数z是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?(5)对应点在第三象限?分析 复数z=a+bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值.null学后反思 利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,也是化归思想的重要表现.举一反三
1. 求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i的x、y的值,其中x∈R,y是纯虚数.null题型二 复数代数形式的运算
【例2】计算 学后反思 复数除法一般是将分母实数化,即分子分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简.null2. 求7+24i的平方根.null分析 把方程的根代入方程,用复数相等的充要条件求解.nullnull易错警示【例】m取何实数值时,复数
是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?nullnull考点演练10. (2008·上海)若z是实系数方程 的一个虚根,且|z|=2,则p= .
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
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