数形结合求最值数形结合求最值数形结合求最值数形结合求最值
数形结合求最值数形结合求最值 在解决与数量相关的问题时,有些用纯数量的方法很难解决，可考察其结构特点，找出与其对应的几何背景，从而利用几何图形的性质,帮助我们找出解决问题的方法.本文主要说明如何根据函数式的结构特点，利用切线的斜率来求最值.
一、构造圆的切线求最值
例1 求函数y=sinx+2[]cosx-3的最值.
分析 设a=cosx,b=sinx，显然p(a,b)是单位圆上的点，(3,-2)是定点，设为a，则y是定点a与单位圆上动点p的连线的斜率,y的最值即是要求...
数形结合求最值数形结合求最值
数形结合求最值数形结合求最值 在解决与数量相关的问题时,有些用纯数量的方法很难解决，可考察其结构特点，找出与其对应的几何背景，从而利用几何图形的性质,帮助我们找出解决问题的方法.本文主要说明如何根据函数式的结构特点，利用切线的斜率来求最值.
一、构造圆的切线求最值
例1 求函数y=sinx+2[]cosx-3的最值.
分析 设a=cosx,b=sinx，显然p(a,b)是单位圆上的点，(3,-2)是定点，设为a，则y是定点a与单位圆上动点p的连线的斜率,y的最值即是要求斜率的最值，由a向单位圆引切线ap
1和ap2，则ap1和ap2的斜率就是所求的函数的最值.(如图1)设ap的方程为y+2=k(x-3)，即kx-y-3k=0.?ap是切线，?它到圆心o的距离等于半径1，即|3k+2|[]k2+1=1，解得k
1,2=-3?3[]4，这就是两个斜率的最值，也就是所求函数的最值，即ymax=-3+3[]4,ymin=-3-3[]4.
例2 求函数y=1-x2[]2+x的最大值.
解 由定义知1-x2?0且2+x?0，?-1?x?1，设x=cosθ，θ?,0，πy=sinθ[]cosθ+2=sinθ-0[]cosθ-(-2)，可看作是动点m(cosθsinθ)(θ?,0，π)与定点a(-2，0)连线的斜率，而动点m的轨迹方程x=cosθ,
y=sinθ,θ?,0，πx2+y2=1(y?,0，1,)
at，t为切点，|ot|=1，|oa|=2，是半圆(如图2).
?kat=1[]3，?0?kam1[]3.即函数的值域为0，3[]3，故最大值为3[]3.
二、构造抛物线的切线求最值
例3 求f(x)=x2+3x2+1的最小值.
分析 本题是一道常规的函数求最值问题，常用的方法是利用基本不等式或函数的单调性来解决.我们可以把式子进行简单的变形，即可看出其几何意义.设a=x2+1(a?1),则b=x2+3=x2+1+2=a2+2，?点(a,b)在抛物线y=x2+2(x?1)上，此时f(x)=b[]a，可理解为抛物线上的点(a,b)与原点(0,0)连线的斜率(如图3)，则原题转化为求斜率k的最小值.设过原点(0,0)的直线方程为y=kx，由题可知，当直线y=kx与抛物线y=x2+2(x?1)相切时，k有最小值，即y=kx,
y=x2+2x2-kx+2=0，当δ=0时，可得k=?22，由图可知k=22，?原函数的最小值为22.此时切点为(2,4)，即当x=2时有最小值为22.
三、构造椭圆的切线求最值
例4 已知a>b>0,θ为锐角，求f(θ)=asecθ-btanθ的最小值.
分析 ?f(θ)=asecθ-btanθ=a[]cosθ-b
sinθ[]cosθ=a-bsinθ[]cosθ=a-bsinθ[]0-(-cosθ),
?此式可理解为定点a(0,a)与动点p(-cosθ,bsinθ)的连线的斜率.
?a>b>0,θ为锐角，?动点p(-cosθ,bsinθ)在椭圆x2+y2[]b2=1(x0)上(如图4).
?当直线ap与椭圆相切时，斜率f(θ)=k取最小值，则切线方程为y=kx+a，代入椭圆方程x2+y2[]b2=1(x0),并化简可得(b2+k2)x2+2akx+a2-b2=0.
由δ=0可得b2-a2+k2=0(k>0)，?k=a2-b2，
f(θ)的最小值为a2-b2.
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