2011年全国高中数学联合竞赛加试试题、参考答案(专家预测卷考前必做)
第一式
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．请将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分．
1．已知a为给定的实数，那么集合
的子集的个数为
（A） 1 （B） 2 （C） 4 （D）不确定 【答】（ ）
2． 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点;
命题3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有
（A） 0个 （B） 1个 （C） 2个 （D） 3个 【答】（ ）
3．在四个函数y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以
为周期、在
上单调递增的偶函数是 【答】（ ）
（A） y=sin|x| （B） y=cos|x| （C） y=|ctgx| （D） y=lg|sinx|
4．如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是
（A）k=
（B）0
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．
三、解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．设
为等差数列，
为等比数列，且
，
，
,又
．试求{an}的首项与公差．
14．设曲线C1：
（a为正常数）与C2：y2=2（x+m） 在x轴上方仅有一个公共点P．(1) 求实数m的取值范围（用a表示）；
(2) O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当
时，试求ΔOAP的面积的最大值（用a表示）．
15．用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6 (a1>a2>a3>a4>a5>a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．
2011`年全国高中数学联合竞赛加试试题(专家预测卷考前必做)
考生注意：(1) 本试卷共三大题，全卷满分150分．
一．（本题满分50分）
如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线ED和AB交于点M，FD和AC交于点N．
求证：(1) OB⊥DF，OC⊥DE；
(2) OH⊥MN．
二．（本题满分50分）
设
（i=1，2，…，n）且
，求
的最大值与最小值．
三．（本题满分50分）
将边长为正整数m，n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形．每个正方形的边均平行于矩形的相应边．试求这些正方形边长之和的最小值．
2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一． 选择题：
1．C 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A
二．填空题：
7．
8．
9．
10．
11．
12． 732
三．解答题：
13．设所求公差为d，∵a1＜a2，∴d＞0．由此得
化简得：
解得：
……………………………………………………… 5分
而
，故a1＜0
若
，则
若
，则
……………………………… 10分
但
存在，故| q |＜1，于是
不可能．
从而
所以
……………………………… 20分
14．解：(1)由
消去y得：
①
设
，问题(1)化为方程①在x∈(－a，a)上有唯一解或等根．
只需讨论以下三种情况：
1°△＝0得：
，此时xp＝－a2，当且仅当－a＜－a2＜a，即0＜a＜1时适合；
2°f (a)f (－a)＜0，当且仅当－a＜m＜a；
3°f (－a)＝0得m＝a，此时xp＝a－2a2，当且仅当－a＜a－2a2＜a，即0＜a＜1时适合．
f (a)＝0得m＝－a，此时xp＝－a－2a2，由于－a－2a2＜－a，从而m≠－a．
综上可知，当0＜a＜1时，
或－a＜m≤a；
当a≥1时，－a＜m＜a．……………………………………………… 10分
(2)△OAP的面积
∵0＜a＜
，故－a＜m≤a时，0＜
＜a，
由唯一性得
显然当m＝a时，xp取值最小．由于xp＞0，从而yp＝
取值最大，此时
，∴
．
当
时，xp＝－a2，yp＝
，此时
．
下面比较
与
的大小：
令
，得
故当0＜a≤
时，
≤
，此时
．
当
时，
，此时
．……… 20分
15．解：设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为RFG，当R i＝a i，i＝3，4，5，6，R1、R2是a1、a2的任意排列时，RFG最小 ……………………………………………… 5分
证明如下：
1．设当两个电阻R1、R2并联时，所得组件阻值为R，则
．故交换二电阻的位置，不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1＞R2．
2．设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为RAB
显然R1＋R2越大，RAB越小，所以为使RAB最
小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的—个．
3．设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为RCD
若记
，则S1、S2为定值，于是
只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4＜R3，R3＜R2，R3＜Rl，即得总电阻的阻值最小 …………………………………………………………………… 15分
4°对于图3把由R1、R2、R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要RFG最小，由3°必需使R6＜R5；且由1°应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5＜R4，且应使RCD最小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4＜R3＜R2且R4＜R3＜R1，
这就说明，要证结论成立……………………………………………………………20分
2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
一．证明：(1)∵A、C、D、F四点共圆
∴∠BDF＝∠BAC
又∠OBC＝
(180°－∠BOC)＝90°－∠BAC
∴OB⊥DF．
(2)∵CF⊥MA
∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ①
∵BE⊥NA
∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ②
∵DA⊥BC
∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③
∵OB⊥DF
∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④
∵OC⊥DE
∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ …………………………………… 30分
①－②＋③＋④－⑤，得
NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2
∴OH⊥MN …………………………………………………………………… 50分
另证：以BC所在直线为x轴，D为原点建立直角坐标系，
设A(0，a)，B(b，0)，C (c，0)，则
∴直线AC的方程为
，直线BE的方程为
由
得E点坐标为E (
)
同理可得F (
)
直线AC的垂直平分线方程为
直线BC的垂直平分线方程为
由
得O (
)
∵
∴OB⊥DF
同理可证OC⊥DE．
在直线BE的方程
中令x＝0得H (0，
)
∴
直线DF的方程为
由
得N (
)
同理可得M (
)
∴
∵kOH ·kMN ＝－1，∴OH⊥MN．
二．解：先求最小值，因为
≥1
等号成立当且仅当存在i使得xi＝1，xj＝0，j＝i
∴
最小值为1． …………………………………………………………… 10分
再求最大值，令
∴
①
设
， 令
则①
…………………………………………………… 30分
令
＝0，则
由柯西不等式得：
等号成立
(k=1，2，…，n)
由于a1≥a2≥…≥an，从而
，即xk≥0
所求最大值为
…………………………………………… 50分
三．解：记所求最小值为f (m，n)，可义证明f (m，n)＝rn＋n－(m，n) (*)
其中(m，n) 表示m和n的最大公约数 ……………………………………… 10分
事实上，不妨没m≥n
(1)关于m归纳，可以证明存在一种合乎题意的分法，使所得正方形边长之和恰为rn＋n－(m，n)
当用m＝1时，命题显然成立．
假设当，m≤k时，结论成立(k≥1)．当m＝k＋1时，若n＝k＋1，则命题显然成立．若n＜k＋1，从矩形ABCD中切去正方形AA1D1D(如图)，由归纳假设矩形A1BCD1有一种分法使得所得正方形边长之和恰为m—n＋n—(m－n，n)＝m－(m，n)，于是原矩形ABCD有一种分法使得所得正方形边长之和为rn＋n－(m，n) …………………………………… 20分
(2)关于m归纳可以证明(*)成立．
当m＝1时，由于n＝1，显然f (m，n)＝rn＋n－(m，n)
假设当m≤k时，对任意1≤n≤m有f (m，n)＝rn＋n－(m，n)
若m＝k＋1，当n＝k＋1时显然f (m，n)＝k＋1＝rn＋n－(m，n)．
当1≤n≤k时，设矩形ABCD按要求分成了p个正方形，其边长分别为al，a2，…，ap
不妨a1≥a2≥…≥ap
显然a1＝n或a1＜n．
若a1＜n，则在AD与BC之间的与AD平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 (或其边界)．于是a1＋a2＋…＋ap不小于AB与CD之和．
所以a1＋a2＋…＋ap≥2m＞rn＋n－(m，n)
若a1＝n，则一个边长分别为m－n和n的矩形可按题目要求分成边长分别为a2，…ap的正方形，由归纳假设
a2＋…＋ap≥m－n＋n－(m－n，n))＝rn－(m，n)
从而a1＋a2＋…＋ap≥rn＋n－(m，n)
于是当rn＝k＋1时，f (m，n)≥rn＋n－(m，n)
再由(1)可知f (m，n)＝rn＋n－(m，n)． …………………………………………50分
浙公网安备 33021202002483