几何代数和几何计算

霸 参 见徊僻既回见徊鼢露《口》 ◆石 赫李洪波 数学是研究现实世界的“数”与“形”的科学。数学 就是围绕这两个概念的演变而发展的，也通过这两个 基本概念应用到各个不同的领域中去。代数是研究 “数”的学科，几何是研究“形”的学科。数学科学发展 的历程中两者彼此独立，又相互缠绕。几何(形)的概 念用代数(数)表示，几何的目标可经过代数计算实现； 反之．代数语言赋有了几何背景，可更加直观地理解它 们的意义，发现它们的丰富内俩。吴文俊院士指出：几 何代数化，在近代数学的兴起和发展过程中发挥着决 定性的作用。 几何计算的代数化 16世纪前的欧洲。几何学的发展一直是沿袭综合 “vmhetic)的方式。这种方式强调从基本儿何体和几何 关系出发，在某个公理体系内进行几何证明和推断。 这种欧几里得的演绎体系长期占据着西方数学的统治 地位。 17世纪初，笛卡儿创立了坐标几何．实现了“数” 与“形”的紧密结合．这与中国古代数学的几何代数化 思想是相通的。坐标就是变量。坐标儿何使变量进人 了数学，为微积分的伟大发现创立了前提条件。17世 纪后半叶．微积分创始人之一、大数学家莱布尼茨认 为．坐标仅仅是数字，一串坐标就是一串数字，然而坐 标系作为纯粹的外部参照物，它诱导的代数表示本身 没有几何意义，在此基础上进行的只是纯粹的代数计 算。通过坐标计算实现几何研究是一种解析(a兀a1-rtic) 的方式。他提出：“如何创造一种几何语言．利用它可 以直接进行几何计算和几何推理?”这形成菜布尼茨 的宏伟设想，即通过几何语言直接进行儿何计算，直接 石赫．李洪波：研究员．中国科学院数学与系统科学研究院数学机 械化重点实验章，北京100080。 shiHe，b Ho”gh0：Pro‰sor，K8y‰mtofy0fM讪e咖tlcs Machaniz枷on，chmeseAcadelnyofsci⋯，Beqi“gltxx堪O 处理几何体．从而以一种既解析叉综合的方式研究几 何学。经过一个半世纪，莱布尼茨的设想才有所实现。 19世纪中期，首先是格拉斯曼(H．G—s蚍nann)和凯 莱『A．ca“evl建立了后来以他们名字命名的向量和多 向量的外代数系统。根据格拉斯曼的观点．一个代数 用于表示几何的物体．如果通过代数的加、减、乘、除等 运算．能够表示纯粹的几何物体的加、减、乘、除等运 算．得到的代数运算结果依然是纯粹的几何体，那么， 这个代数就足一种几何语言．通过它可以直接进行几 何计算。 格拉斯曼把3维线性空间推广到n维。通过把n 维欧氏空间嵌入到n+1维欧氏向量空间，为射影几何 建立了真正的几何语言。这种语言根本不用坐标．当 需要使用坐标时，可以根据情况选择合适的齐次坐标． 其后，哈密顿通过建立四元数系，把微移{分推广到向量 分析，并建立了向量代数。这足3维欧氏位移空问上的 一种几何语言。克利福德fw．cli助rd)通过建立对偶四 元数．实现了3维欧氏空间巾刚体运动的乘法表H‘，得 到比向量代数更接近丁几何的语言。1879年．克利福 德建立了“几何代数”．即后来的克利福德代数，它是正 交几何的真正几何语言。 非欧几何的创立是几何学发展的划时代事件。19 世纪前半叶，罗巴切夫斯基创赢了非欧几何。，罗氏几何 的问世击破了欧氏几何的·统天下，拓展了人们肘几 何学的认识，使几何学的发展产生革命性的变化。直 到19世纪后半叶，罗氏几何的重要性才得到充分认 识。非欧几何为黎曼几何的创市提供了条件，而黎曼几 何是爱凶斯坦相对论的数学基础。 19世纪中期．火数学家高斯的学生瓦赫特 fWachter1在研究非欧几何时，发现欧氏几何可以在双 曲空间的某类球面上等距地实现。1872年，李(s．Lie) 在他的博士 论文 政研论文下载论文大学下载论文大学下载关于长拳的论文浙大论文封面下载 中首次建立了该模型的代数表示。这 个模型为n维欧氏几何提供的嵌A空间足Ⅱ+2维闵 2005年9月(57卷5期) o 穗 潺 氏向量空间。由于嵌入空间的正交变换群正好是欧氏 空间的共形变换群的双层覆盖，因而这一模型义被称 为共形模型。 遗憾的是，历史上共形模型长期局限于坐标表示， 它对构造欧氏几何甚至经典儿何的真正几何语言的贡 献长期没有表现出来。 1869年，贝尔特拉米(E．Beltmmi)给出罗氏几何的 直观解释．说明罗氏平面可以看作负常数曲率的曲面。， 1871年．克莱因建立了射影度量和非欧几何的关系。 他指出．欧氏几何和罗氏几何都可用射影方法构造m 来。1882年，庞加莱给出了一种模型：取圆的内部作为 罗氏平面．把垂直于已知圆周的圆弧看作罗氏几何的 直线，运动是把圆变为自身的反演。这是现代经常使 用的非欧几何在欧氏平面上等距实现的模型。， 这么多杰出的数学家参与几何代数和几何模型的 研究，关注莱布尼茨宏伟设想的具体实现，充分说明这 ·数学课题的重要性。迟缓的进展表明。几何代数和 几何计算的研究面对的道路将是艰难而漫长的。 非欧几何问世的前前后后相继产生_r多种几何。 各类儿何也出现了相应的几何代数语言。如今．人们 将射影几何、仿射几何、欧氏几何、罗氏几何、球几何等 几何统称为经典几何。对几何代数化而占，自然的问 题是能否建立一种几何代数语言．可用于经典几何的 统一表示，使得此类几何代数语言的运算结果同时在 不同的几何中都具有明确的几何解释．亦即同一个几 何计算的结果，在各类不同的几何之中具有相应的几 何意义，代表着相应的几何结论。这是实现几何计算 代数化必须面对的新挑战。 几何代数语言 对于最常用的经典几何，如何设计统一的几何语 言，如何应用儿何语言进行几何计算呢?应用代数方 法进行几何计算，需要通过三个步骤。 建模给出几何的代数表示。同一个几何问题可 以有各种备样的代数表示。所谓用“真正的几何语 言”直接进行几何计算，就 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 代数表示没有任何外 部参照物。 计算建立代数处理的算法。要求给出的代数表 示能够实现几何不变量代数的高效计算。 还原代数结果的几何解释。要求给出的代数表 示在计算过程中和得到的计算结果能够做出明确的几 何解释。 从数学理论的发展来看，经典几何的基本要素包 括几何体、几何量、几何关系、几何变换等．它们的有效 o 《科学》(双月刊) 表示主要依靠 协变量，即更高 维数几何空间 中的不变量。因 此．几何表示的 核心是构造合 适的协变量代 数，几何计算的 核心是解决不 ，堂量代数的符 号计算问题。 刘于经典 几何，有一类以 庞加莱模型：二维双曲空间 在欧氏平面的共形实现 统一模式生成的协变量代数，称为几何代数，它有四大 基本成分：表示几何体的格拉斯曼结构；表示几何关系 的克利福德乘法：表示几何变换的旋量或张最；表示几 何量的括号。 在此需要对协变量代数、格拉斯曼结构和括号系 统做一简要介绍。 协变量代数包括三个基本成分：基本西变量．协变 量之间的乘法．它们之间的代数关系。以平面仿射几何 为例，基本协变量是表示点和方向的向嚣、表示直线的 2一向量和表示甲面的3一向量，它们组成格拉斯曼结 构：机变量之问的乘法是格拉斯曼的外积和凯莱的交 积：协变量之间的代数关系是由克拉默法则给出的任 意4个向量(或2一向量)之间的线性依赖关系。这个协 变量代数称为2维格拉斯曼一凯莱代数。 格拉斯曼结构是表示基本几何体的一种代数结 构。它具有分层结构，其要与格拉斯曼外积、凯莱交积 以及克利福德埘偶运算相容．即这种代数结构在这些 代数运算之下是封闭的。相应的外积、交积和对偶算 子正好对应几何体的扩张、交和对偶。例如，在射影几 何、仿射几何和正交几何中，所有的点、线、面等的集台 具有格拉斯曼结构：在共形几何代数表示的欧氏、双曲 和椭圆几何中，所有的点、线、圆、而、球等的集合具有 格拉斯曼结构。 表示几何量的括号系统，就是应用代数表示进行 几何计算．不变量一般采用抽象符号表示，相应的不变 量系统就是各种括号代数。， 仍以平面仿射几何为例，三角形^目C的面积可 以用三个顶点的齐次坐标组成的3×3行列式表示(坐 标多项式)，也可以用三个顶点宁母的括号口日q表 示．其中括号算子具有多重线性、结合、反对称性，并满 足以下的仿射格拉斯曼一普吕克火系：对任何平面上 箍 辫 的点A，口，C，D，E，，，fA】口∞卜吲口∞1+[qM肋卜 [DlfABc]=0，[AE用陋cD】一[口E明[AcD]“cE用阻B驯一 【DE明【A日G】=0。 平面仿射几何的基本不变量系统就是由两种括号 【A】，阻曰q(即所谓基本不变量)生成的多项式环，模去 南上式的左端生成的理想(即所谓基本代数关系)得到 的商环，称为2维仿射括号代数。 基于不变量的儿何计算研究相当困难．进展缓 慢。亟待解决的基本问题包括如下三项：(1)计算思想 的改进：不变量的几何计算的关键是控制中问过程表 达式的爆炸式膨胀。原有的不变量计算是采用 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化 (norrnalization)思想．它不仅不能控制中间过程的爆 炸，反而助长爆炸。为此，必须抛弃部分原有的思 想，建立新的计算思想。(2)基本运算效能的提高：基 本的不变量代数运算包括展开和化简。展开通常指将 高级不变量表示为低级不变量的多项式形式：化简包 括因式分解和项的合并。原有的不变量计算是基于拉 直fstr8i曲￡ening)算法，它仅仅解决了尾否一个不变 量多项式等于0的恒等性判断(需要指出．这是柑当 不平凡的事情)。对于展开和化简等基本运算，在经 典不变量代数中从未系统地研究过。(3)高级不变量系 统的建立：几何问题中出现的不变量常常是基本不变 量的有理多项式．这说明基本不变量用于几何计算过 于低级，需要构造高级不变量来简化几何计算。实用 的高级不变量系统应该满足．实际问题中的不变量一 般是高级不变量的有理单项式。 共形几何代数(conflJ咖alGeometricA19ebra， cGA)最初称作广义齐次坐标，是新的几何表示和计 算系统。它是完全不依赖于坐标的经典几何的统一语 言，不仅拥有用于几何建模的协变虽代数，而且拥有 用于儿何计算的高级不变量算法。在表示方面．cGA 结合共形模型和几何代数．提供了表示几何体的格拉 斯曼结构，表示几何变换的统一旋量作用，和表示儿 何量的括号系统。在计算方面．cGA拥有新的高级 不变量代数，即零括号代数(Null Bracke￡sA1辨bra， NBA)；拥有新的计算思想，即基于括号的表示、消 元和展开以得到分解和最短的结果：拥有不变量的 展开和化简的高效计算技术。从而．可以用来进行 极其复杂的符号几何计算，是初等儿何最实用的不 变量系统，在儿何数据处理和几何计算方面表现出 很大的优势。 共形几何代数的创立．是几何代数和几何计算研 究令人瞩日的实质性进展，是莱布尼茨宏伟设想迄今 为止最成功的实现。 共形几何代数的表示工具 作为几何的高级不变量和协变量系统的结合， cGA为经典几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。 与经典的共彤模型不同的是cGA尤需实行仿射化．不 需引人原点．欧氏儿何的表示完全不依赖于坐标。CCA 使代数运算和几何计算相一致。 CGA的格拉斯曼结构 经典的共形模型是建立cGA的基础，它是n+2维 闵氏向量空间上的几何代数，记为鼽L1。设Ⅱ=沁nⅡ2， ⋯，％小％+0丑=(6，，6：，⋯，6舢6。0是鼽】】中的向量，在标准 正交基之下，它们的闵氏内积定义是砸-6)=∞6．+劫：+ ⋯+％L6叶，一屿。26叶2。胁【l中的非零向量工，其自身的内积 为0，即仕·x)42=0，称为nuU向量。null向量的集合记 为。，形 口。，具有自然的格拉斯曼结构，表示闵氏正突变 换的旋量作用，是几何代数诱导的括号系统。因此，它 是n+2维阂氏正交几何的一种经典语言。经典的共形 模型是依赖于坐标选择的。 鼽L1巾的_：LE向量s(自身的内积大于0的向_量)表示 Ⅳ的超平面(经过无穷远点)或超球面(不经过无穷远 点)，由叫u向量王表示的点z在南正向量s表示的超 平面或超球面上．当且仅当$与s的内积为O。 要内蕴地表示几何体．多向量的原点不能在几何 空间内。，冈此，在真正的几何语言中，几何表示一般 是齐性的。道理是这样的：如果原点是一个几何对 象，那么它作为代数乘法的零元素，乘以任何其他几 何对象都得到自己。这样，在齐性宅间的几何变换 下．南原点表示的几何对象可以变换到宅间任何同类 对象。由于代数乘法作为几何操作．在几何变换F具 有不变性．因此．得到的结论H能是几何空间仅包含 唯一几何体，它就是原点本身。对一般的几何空间， 这显然是不合理的。 CGA是在经典共形模型的基础之上建立的。CcA 的构造，就是从鼽u中选择一类格拉斯曼子结构，一 类旋量商群和一类括号子系统，给它们赋予欧氏几何 或其他经典几何的解释，从而得到经典儿何的协变量 代数表示。， cGA和经典的共形模型的根本区别在于：住cGA 中，‰¨中的r·ull』句量在表示欧氏几何巾的点时，不必 做仿射化和正交投影．因而是齐性的(表示差一个非零 数量因子唯一)。其次，唯一的无穷远点P完全确定了 唯一的n维欧氏空间，无需引入原点，因而欧氏几何的 表示完全不依赖于坐标。 2005年9月(57卷5期) O 穗 潺 在CGA中，鼽u中的闵氏卜外张量(即r个向量 的外积并具有闵氏度规)表示n维欧氏空间中的r一2 维球面或平面，其中2≤r≤n+1。由null向量工表示的 点J在由r_外张量A表示的平面或球面上，当且仅当 z与A的外积为O。这些r_外张量、null向量和表示n 维欧氏空间的(n十2)一外张量，构成CCA的格托斯曼结 构。在该结构上，格拉斯曼的外积“^”表示几何体的 扩张．凯莱的交积“V”表示几何体的交．克利福德的刘 偶算子“一”和正交投影算子P表示几何体的对偶和正 交投影。 例如，在欧氏平面上．一些典型的几何体和几何量 的表示如下： 直线曲： e^Ⅱ^6 圈曲c： o^6^c 圆所在平面： e^n^6^c 圆曲c与o’6’c’之交：(。^6^c)V(口’^6’^c’) 嘲曲c的半径的平方：(o^6^c)2，(e^o^6^c)2 几何构造经过正交投影算子P和克利福德的对偶算 子～”给出相应的几何特征： 点c到直线Ⅱ6的垂足：只M5(c)mode 嘲曲c的圆心：血^6^c)一mode 直线Ⅱ6的法向量：忙^n^6)一mc·de 三角形t小c的面积：(e^8^6^c)1，2．i．e，陋曲c1，2 ccA的格拉斯曼结构提供了一种分级表示，它与几何 体的扩张、相交、对偶和正交投影恰好相容。因为点的 表示完全不依赖于坐标，从而分级表示也完全不依赖 于坐标。 相比之下，在由李提f+I并经布拉施凯fw．Blaschke) 发晨的李球几何的代数模型中，尽管将n维欧氏几何 嵌入到n+3维向量空间．使得可以用等式的方式表示 定向，但是该代数模型的格拉斯曼结构没有几何意义． 因而无法构成经典几何语言。， CGA的统一旋量作用 在共形模型中，闵氏嵌入空间的正交变换在旋 量表示下实现了欧氏窄问的共形变换。例如，保持 nuu向萤e不变的正交变换实现了欧氏变换．保持 由P张成的1维子空间不变的正交变换实现了相似 变换，等等。 由于CGA的格拉斯曼结构在闵氏嵌入空间的正 交变换下不变，因而对分级表示的几何体．它们的共形 变换具有相同的旋量作用。这一特点使得cGA的旋量 和作为3维刚体运动表示的对偶四元数和超旋量有很 大区别，因为后两者在不同的几何体(例如点、线、面) 上的作用是不同的。 o 《科学》(双月刊) 例如。3 维的刚体运 动群可以由8 个参数刻画。 满足两个约 束。这一点在 CGA、对偶四 元数和超旋 量表示中都 是相同的，但 是由于后两 者对点、线、 j攀穆卷器 黧套警蓑瓣i 《 _；『Ⅲ置j鬟 西摩松定理1’．2’，3’是0 向三边的垂足．则此三点共线。 面的表示没有格拉斯曼分级结构，因而刚体运动群对 不同几何体的作用方式无法统一。而cGA具有格拉斯 曼分级结构．刚体运动群对不同几何体的作用是一致 的。另外，对偶四元数和超旋量只适用于表示3维物体 及其刚体运动，要椎广到高维几何的表示，则需要借助 于CGA。 CGA的基本不变量系统 经典的不变量理论研究的是在一般线性群下不变 的多项式环。从几何观点看，由于射影几何的变换群是 特殊线性群。园而绛典的不变量理论构成射影几何在 齐性表示的瓜变量代数。这种代数的基本元素是所谓 的括号，因此，这种环也称为括号代数。例如，在n一1 维射影空间中取n个点n。，％，⋯，％，用括号fn。啦⋯划表 示n个点的齐次坐标组成的n×n阶行列式。 括号代数作为多项式环的商环，即多项式环模掉 一个理想。定义括号代数f商环1的理想是多项式牛成 的所谓格拉斯曼一普吕克syzy奸坪想。，对于正交几何， 它的代数不变量都是向量的括号和内积的多项式，相 应的基本不变量代数称为内积括号代数．足多项式环 模去两类多项式牛成的所谓内积格拉斯曼一普吕克 8y2ygy理想而得到的商环。 CCA的基本不，变量系统就是闵氏嵌人牵间的内 积括号代数。这蝤不变量尽管比较低级，已经可以 用来进行相当不平凡的儿何计算和几何定理自动推 广了。 例如．经典的西摩松定理说的是：如果平面i一四点 O，1，2，3共圆，那么从其中任一点，例如0点，向其他 三点组成的三角形的一边引垂线，得到垂足l’．2’， 3’，则j个垂足共线。 现在问，如果0，1，2，3不共圆，那么1’，2’，3’离 共线差多少? 利用内积括号代数．可以得到以下等式： 赣 静 一一陡!：!’!’J：上[坐21】睦!望I P·1’P·2’e·3’4 P·tk-1P·2P·3l·21·32·3 这个齐性等式在进行几何解释时，可以采用共形模型 的仿射化形式，得到两摩松定理的推广：对平面上任何 四点0，1，2，3，设1’，2’，3’是自0向三角形123的三 边所引的垂足．则有 ‰3_骂；丑=sdl一孥4) p—l习 p珊 其中，s∞是三角形123的面税，p。是三点l，2，3确 定的圆的半径，Om是二点1，2，3确定的圆的圆心， d叫也是点0和圆心0必之间的距离。 cGA对经典几何的统一表示 本节所讲的经典几何是指一个齐性空间，其变换 群是一般线件群的某个李子群。经典几何包括射影、 仿射、欧氏、椭圆、双曲、共形几何等。由于cGA的齐性 表示性质和具有格拉斯曼结构。n维射影和仿射几何 可以通过某非零向量做透视投影得到。具体步骤是， 对任意取定的非零向量4，4决定的透视投影是rI— n^j。，它将n+2维闵氏向茸空间鼽I】映为n维射影空 间．P“。事实上，仟一null向量z∈鼽1l，Ⅱ^工是鼽u中 的直线，再将直线Ⅱ^T看做一点，即得到n维射影牵 问P“。．该射影卒问在仿射超平面恤l J·4=一1】上的限 制．正好是n维仿射空间。 在n+2维闵氏向量空间中，有三种不同的向量， 它们与自身的内积分别等于0、大于O或小于O。由它 们确定的三种仿射化得到i种不同儿何的等距模型： 欧氏、双曲和椭圆。 如果不进行仿射化，则三种几何的代数框架正好都 是cGA．具有相同的格拉斯曼结构和对应的几何计算。 这样．在CGA中的一个等式可以在不同的几何巾进行小 同的几何解释．从而实现经典几何的统一表示。这种表示 的共形性质是显然的，因为不同的仿射化对几何度量的 影响仪相差一个与切空间无关的非零因子，而这正是共 形度量的定义。，这种统一表示提供了大昔强有力T具。 以前面所说的西摩松定理为例．它的几何构型可 以用如下方程组描述： 『01231_0 0，1．2，3共圆 阳123]≠O 1，2，3不共线 (e^0^1’)·(P^2^3)=0 陋1’23]=0 (P^0^2’)·(P^1^3)=0 忙12’3l_0 (P^0^3’)-(P^1^2)=0 陋123’]=0 l’是0向23引的垂足 }2’是0向13引的垂足 }3，是。向12引的垂足 ， 结论是：№1’2’3’]-0(1’，2’，3’共线)。 现在对上面方程组中的几何对象做出另外一种解 释：不把P解释成无穷远点．而是解释成有限点；相反 地，我们把0解释成无穷远点。于是在上述方程组中， 通过互换P，0，得到如下的方程组，这些方程的几何意 义已明显改变： 陋123】_0 1．2．3共线 【0123]≠O o，1，2，3不共线 fP^0^1’)· 【01’23]_0 (e^0^2’)· 【012’3]_O (0^2^3)=0 (O^1^3)=0 01’是圆023的直径 02’是阐013的直径 (口^0^3’)·(0^1^2)=0、 f0123，1：o }03’是圆012的直径 结论变为：【01’2’3’1_O(0，1’，2’，3’共圆) 这样得到新的几何构型：，由于圆的直径的第二个 端点可以线性构造，例如过0引入直线02的垂线和 直线03的垂线．它们的交点就是点l’。这样新的几何 构型完全是线性构造了。 进一步分析发现．通过将新的条件写成如下等价 的线性构造序列： 2是0向1’3’引的垂足 3是0向1’2’引的乖足 1是0向2’3’引的垂足 0，1，2．3不共线 1．2．3共线 新的几何构型恰好是西摩松定理的逆定理，只不过i 点组1，2，3和l’，2’，3’发生了对换。 对几何构造中的几何对象做出另外一种解释，可 以将非线性问题变成线性问题．可以得到新的几何构 型，可以使假设条件转移为结论，这是cGA所蕴含的 强大功能之一．对几何建模和几何推理将有重要意义。 (本文获“国家基础研究发展规划项目”支持，编号 2004CB318000．，) 关键词：共形几何代数几何代数化几何建模 几何计算雩括号代数 Ⅲ 2005年9月(57卷5期) o 一；、乒蒜掌犁爹登 一F稿*# ￡骤，。一了∞，◇。。i。j≯鹕#￡蘸篷窖辩二蠡∥馨篷『霜。拳。：。黔影：；一1㈨疆。{Mi箩：始。j霪#一一哆黪雾一一，。。帮。。瓣。iv。秽；。；勰。{一》冁ik≯誊雾曦芝瓣燮夔颡鳓蠹麟一一黟#注《璺霪碧一虿。％罗臻≯蝴#馕㈣上雾一繇蓑隧 翁 器 偶瓯固见徊甜 时代的需求 ◆石 赫李洪波 数学科学的发展要适应时代的需求。 欧洲的文艺复兴，极大地促进了自然科学的进步， 各类新的重大发现，如天文学、力学、机械学等，只有成 功应用了数学，才能形成完美的科学定律。坐标几何 正是适应这样的时代需求应运而生的．它的建立改变 了科学的历史进程。 如今，人类社会正在步入信息时代。信息科学的 发展与数学紧密相关。这些高新技术的发展和变化， 迫切需要数学科学提供强大有力的工具，以解决亟待 克服的技术难题。 在20世纪相当长的时间内，真正几何语言的设计 陷入了一种沉寂状态，没有获得多大进展。20世纪下 半叶，计算机科学和信息技术的发展复兴了一大批长 期沉寂的代数语言。例如。1940年代，数值计算的发展 需要线性代数和矩阵；1950年代，计算机图形学需要 应用射影几何的齐次坐标；1970年代，对偶四元数应 用于机器人学和机器人设计，理论物理的研究中大量 应用克利福德代数和几何代数；1980年代，格拉斯曼一 凯莱代数成功应用于计算机视觉，而距离几何则在蛋 白质分子构型的研究中获得应用，等等。 1998年美国科学年会的主旋律之一是强调几何 学在科学技术发展中的重要意义，明确指出几何学在 CT扫描、核磁共振等医疗技术，在机器人、光盘、传真、 无线电话、高清晰度电视等许多高新技术中发挥着关 键作用。与会科学家发出了“几何学万岁”的呼唤。 这种复兴的背后反映了科学技术的一种迫切需 求，即需要建立“新的”代数工具来更好地解决几何问 题，包括通用、简洁的几何建模和快速、鲁棒的几何计 石赫，李洪波：研究员，中国科学院数学与系统科学研究院数学机 械化重点实验室，北京100080。 ShiHe，LiHongbo：Professor，KeyLabor8toryofM8thematics Machanization，ChineseAcademy0fScience，Be巧ing100080． 胃圃7＼以 厂Ⅵ／≯＼j。|、 ／} fl ＼)／∥73＼ i ，一t一一 ／ f’～7 厶／／／／7 算。在此形势下，设计真正的几何语言进行几何计算的 问题重新引起人们的重视。这是时代的需求。 然而，真正的几何语言的创立、高效的几何计算方 法的开拓谈何容易，这是公认的数学难题。例如，几何 代数的创始人海斯特内斯(D．Hestenes)在1994年的文 章中仍然认为，利用几何代数解决高新技术的问题，如 复杂的刚体运动学问题，似乎是极为遥远的。 就在几年之后．李洪波主创了共形几何代数 CGA。CGA是一个新的几何表示和计算工具。作为几 何的高级不变量和协变量系统的结合．它为经典几何 提供了统一和简洁的齐性代数框架，以及高效的展开、 消元和化简算法，从而可以进行极其复杂的符号几何 计算，在几何建模与计算方面表现出很大的优势。 CGA现已成为国际几何代数研究的主流。目前正在 被应用于计算机图形学、计算机视觉、几何设计、机器人 等高技术领域，以及代数学、宇宙学等基础研究领域。 CGA建立了经典几何统一的代数框架，实现了用 几何语言直接(脱离坐标)进行几何计算，给出了几何 对象的稳定、快速、高效的算法．为高新技术问题的解 决提供了新的数学工具。CGA的创立是几何代数化思 想的又一个成功的范例。 CGA具有格拉斯曼分级结构，故可引入分级的不 变量系统。称为零括号代数。从而建立了高级不变量系 统。CGA采用局部化计算的思想，尽量得到最短的计 算结果。CGA创立了高效的展开、消元和化简算法，实 现了不变量代数的高效计算。下面详细介绍一下CGA 的计算工具。 高级不变量计算框架：零括号代数 CGA所具有格拉斯曼分级结构为几何体的表示 提供了真正的几何语言。但是，在CGA的基本不变量 系统，即内积括号代数中。只有作为基本不变量的内积 和括号(即距离的平方和带符号的体积)没有分级结 构．因而常常造成实际问题中出现的不变量只能写成 2005年11月(57卷6期) 藤 瀑 基本不变量的复杂有理多项式，给几何计算带来难以 克服的实质性困难。 我们通过如下方式。在CGA中引入分级的不变量 系统，称为零括号代数(“零”的意思是向量的平方等于 零)。它的基本元素是两类括号：尖括号“<>”和方括号 “【】”，其中尖括号的内容长度是偶数(当长度为2时 恰好是向量的内积)，方括号的内容长度与空间维数的 差是非负偶数(当偶数为0时恰好是经典的括号)。此 系统中的基本元素，除内积和经典括号外，称为高级不 变量(它们的syzygy定义此处略)。 以欧氏平面几何为例∞=4)，括号的几何解释是， 它们代表一些角度的和的余弦和正弦．乘以一个公共 的由面积、距离、半径等组成的有理单项式因子。因此。 这两种括号是平面三角函数的一种有理实现。是以点 的形式对角度、面积、距离、半径等进行的表示。 例如，三角函数的和角 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 sin(Q+伪=si呶co够+ cosdsi邮，cos(仅+国=co锨co驴一si删si邮，在零括号代 数中可以表现为如下恒等式： 丢№。口：口，口。口。缸棚翟+5] =【口1口2口3口4](口l口5⋯口嬲)+(口1口2口3口4)[口1口5⋯口2“5】，⋯ 丢<口l口：刚。叩，⋯口撕) q’ =<口l啦嘞峨)(口1如⋯如+5>一№】口2嘞砌陋1嘞⋯勉+5] 此处口。表示无穷远点(注意4，在点串中出现的位置)， 点串口l口2口3口4表示由有序的三点口2，口3，口4构成的角 度d，而有序的点串口l口，⋯口丑硝(Z为奇数)表示角度卢， 口l口2口3口4口1口5⋯口2f《表示仅弗。此时口一5⋯口撕的点数较 多(可能多于4个)，表示卢可能仍然是角度的和卢邛，+ 岛+⋯+届，这由无穷远点n。出现的次数Z决定。 零括号代数的优势是：为大量几何问题中出现的 不变量提供了最佳代数表示，即有理单项式。 CGA的计算思想 不变量理论的传统计算思想是，通过将一个单项 式写成“更加标准”的多项式，化不变量为标准型。这 显然会导致中间表达式的爆炸式膨胀。 在CGA的不变量体系中(包括经典括号代数、仿 射括号代数、内积括号代数和零括号代数等)，我们采 用局部化计算的思想，即在符号处理的每一步，都尽量 得到分解和最短的结果。具体地说，就是基于括号的 表示、消元和展开，尽量得到分解和最短的结果。 几何体的代数表示 给定代数框架后，一个几何体可以有多个代数表 示。造成这种现象的原因有两种：一种是几何本身的 26 《科学》(双月刊) 内在原因，例如一条直线由它的两个点决定，如果该直 线上有多个已知点，则它的表示显然不唯一(即任意两 点可以表示之)：另一个原因是代数框架的外在性质造 成的，例如凸四边形1234的面积，当顶点i采用齐次 坐标@i，咒，1)时，具有唯一表示(鬈肌慨扔+石班托∥1)／2～ p∥：啊∥，啊弘。彤≯。)／2，但是在仿射括号代数中，它具有 两种表示：([123]“134])／2=([124】+[234])／2。 我们提出的策略是：同一几何体多次出现在同一 表达式中，代数表示可以不同．但不同的代数表示前面 需要乘以转换系数；选择不同代数表示的目的，是使得 其后的消元和展开得到分解和最短的结果。 例如，圆123的圆心O有表达式O脚=(1·2)(1·3) (2·3弦+№123](1八2^3)～。如果圆上另有点4，则圆心 也可表达为O=O埘。现要计算表达式．厂=l·O+2·O+ 3·O+4·0。当把O=0∞代入．厂的前三项，各得到一个单 项式；而代入第四项，则得到一个二项式。如果将0= 0埘代入．厂的第四项，得到的也是单项式。为了减少则 得的项数，可以在第四项中代入0埘。但是作为代数式， 0123≠O埘，因此需要在O埘前面乘以转换系数O∞／0124 =(1·3)(2·3)／(1·4)(2·4)。 括号内逐批消元 用代数消元进行几何计算和定理证明时，变元一 般按照预先规定的顺序逐个从被计算的表达式中消 去。如果变元表示的是几何上的点，消元也被称为消 点。消元之后紧接着就要把新的表达式展开和化简。 例如，设3是直线12和12’的交点，现在需要 计算括号[P345]，即从该括号消去3。这可通过代入 3由1，2，1’，2’表示的形式得到，例如，代入P^3= 一[P121’]P^2’+[P122’]P八1’之后得[P345]=一【P121’] №2，45】+№122ⅢP1，45】，此时消元后的展开结果是 唯一的。 然而在不变量代数中，由于syzygy关系的介入， 展开的结果一般是不唯一的。例如，直线12和1’27的 交点3还具有表示p^1八2)V p^1’^2，)，将它代入 括号№345]后再展开，可以得到三种结果： 佃^1八2)Vp^1’^2，)V佃^4八5) =一№121，]№2，45]+p122，]p145] =№11’2，]№245]一№2l，2，】№245】 =№124]№1，2’5】一№125]№l，2’4](2) 再举一个例子。设S，5’，5”分别是直线对(12， 34)，(1，2’，3’4，)，(1”2”，3”4”)的交点，现在要计算括号 【e55’5”]。在经典的不变量代数中，可以将P^1简记 为1，将P八1^2简记为12，将№123】简记为【123]。在 采用简化记号后，将三点5，5’，5”的表达式同时代人 翁 辫 p55’5”]，得到分解的形式[(12V34)(1，2’V3，4，)(1”2” V3”4”)]。 展开上式能得到16847种不同的结果，其中只有 极少数是因式分解的形式或二项的形式。如果对三点一 个一个地消，每消一个后就展开，则只能得到(16847种 之中的)一种结果，它是分解形式或二项形式的可能性 微乎其微。因此，为了得到分解和最短的结果，高明的策 略是在一个括号的范围内逐批消元，而不是逐个消元。 有理展开策略 展开主要有两种：从协变量表达式到不变量表达式 的展开，例如式(2)；从高级不变量到低级不变量的展开， 例如式(1)。展开的结果一般并不唯一，因此要求采用次 数和项数尽量少的展开。所谓次数少是指展开后可以得 到平凡的单项公因子，去掉公因子后次数降低。 实际计算中。我们发现减少项数通常有利于进行 因式分解从而降低次数。为达到减少项数的目的。我 们的策略是将协变量表达式或高级不变量展开为有理 多项式。这是CGA的展开技术最有特色的一点。 例如，在平面几何中，【123456]采用经典的卡亚涅 罗展开，得到15项；采用CGA的多项式展开，得到的 最短展开是6项：而采用CGA的有理展开，得到最短 的展开是如下的有理二项式： [123456]__2型些咩豢严三哟(3) 这个展开式在几何计算中发挥着重要作用，被使用的 频率之高出人意料；相比之下，它的多项式展开在实际 计算中却很少被采用。 CGA的展开技术 CGA的展开理论，研究的是对同一表达式的不 同展开结果，按照因子的个数和项数进行完全分类。 这样在再遇到相匹配的表达式时，就以预知的方式 展开为分解和最短的结果。需要指出的是，展开理论 在经典不变量代数中很少提及，是CGA的研究促使 我们认识到展开理论的重要性，并率先对展开技术 进行系统研究的。 CGA的展开分三个部分：从格拉斯曼一凯莱代数 到经典括号代数的展开：从克利福德代数到内积括号 代数的展开：从共形几何代数到零括号代数和在零括 号代数内部的展开。 对于经典不变量代数，我们建立了凯莱展开理论， 完成了对典型的低维格拉斯曼一凯莱代数表达式的分 解展开和二项展开的分类。 关于克利福德代数到内积括号代数的展开．经典的 结果主要由卡亚涅罗假．Caianiello)给出。通过进一步改进 卡亚涅罗的展开公式，我们得到了大量短得多的展开式。 关于共形几何代数和零括号代数的展开。目前我 们已发现许多有理展开的公式，系统的理论正在形成。 CGA的化简技术 化简包括因式分解和项的合并，它们在经典不变 量代数中一直是公开的难题。 在经典括号代数中，我们提出三个基于格拉斯 曼一普吕克syzygy的算法，使得射影几何计算大为简 化。这些算法使得机器产生的射影几何定理的证明几 乎全部是二项的，优于任何原有代数方法。 在内积括号代数中，我们给出它的生成理想的三 类多项式，称为内积范·德·瓦尔登syzyg)r多项式，并 将它们用于简化几何计算。在密克四圆和五圆定理的 纯粹代数证明中起了很大作用。 在零括号代数中。我们通过建立20个因式分解公 式，用于平面几何中关于圆的几何计算．在所有测试的 例子中都得到了完全几何分解。所谓完全几何分解，是 指将结论多项式分解成基本不变量的乘积．即得到的 结果为有理单项式。它是自动推广已知定理(或者叫 自动发现新定理)的一个典型方式。 我们讨论的是几何问题，因此可以借助特殊的几 何构型进行化简。如果前面叙述的化简称为代数化简 的话，应用几何构型的化简就称为几何化简(或几何变 换)。我们提出三类二次曲线变换和三类圆变换。 例如，二次曲线的第一类变换是，基于六点1，2'3，4，5， 6共二次曲线的以下方程进行的化简(匹配四阶单项式)： [125]【345][136】[246]=[126]【346][135][245](4) 二次曲线的第二类变换是，基于二次曲线的以下方程 进行的化简(匹配三阶单项式)： [125】[345][136]_世哗烀地盟(5) 二次曲线的第三类变换是，基于二次曲线的以下方程 进行的化简(匹配四阶二项式)： [123Ⅱ245]【246][356]一【124][235Ⅱ236][456] ：[!垄翊[里圣囱隆量鲴隆堡訇[丝鲴 (6) 『1341 计算实例表明，这些变换是处理二次曲线和圆等 几何构型的有力工具。 (本文获“国家基础研究发展规划项目”支持，编号 2004CB318000。) 关键词：共形几何代数几何代数化几何建模 几何计算零括号代数 Ⅲ 2005年11月(57卷6期)