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Cours d'Algèbre.PDF

Cours d'Algèbre

ddn922
2012-10-09 0人阅读 举报 0 0 0 暂无简介

简介:本文档为《Cours d'Algèbrepdf》,可适用于高等教育领域

Coursd’algèbreMathsLMDSciencesetTechniquesParMMechabAvantProposCeciestunavantprojetd’unmanueldelapartieAlgèbreducoursdeMathématiquesdepremièresannéesLMDSciencesettechniquesetMathématiquesetinformatiqueIlpeutaussiêtreutilementutiliséparlesétudiantsd’autrespaliersaussibienensciencesetsciencesettechniquesqueceuxdeBiologie,ScienceséconomiquesouautreIlseracomposédetroispartieCettepremièrepartieestunpeulesmathématiquesgénéralesLadeuxièmeporterasuruneintroductionàl’algèbrelinéaireLatroisièmeaucalculmatriciel,quiestenfaitlebutultimedececoursTouteslesremarquesetcommentairessontlesbienvenusdelapartdesétudiantsainsiquedelapartd’enseignantsouspécialistesenmathématiquesouutilisateursdemathématiquesCesremarquesetcommentairesnouspermettrontcertainementd’améliorerlecontenuainsiquelaprésentationdelaversionfinaleEllespeuventêtreenvoyéesà:mustaphamechabgmailcomPrMustaphaMechabTabledesmatièresELÉMENTSDELOGIQUEOpérationsLogiquesLanégation¬:LaConjonction∧LaDisjonction∨:RèglesdeDeMorganL’Implication=⇒:LacontraposéeLaréciproquePropriétésdesopérationslogiquesELÉMENTSDELATHÉORIEDESENSEMBLESLesEnsemblesLesquantificateursPartiesd’unensembleOpérationssurlesensemblesApplicationsetFonctionsCompositiond’applicationsRestrictionetprolongementd’uneapplicationImagesetimagesréciproquesApplicationsinjectives,surjectives,bijectivesFonctionsRelationsbinairesRelationsd’équivalenceDécompositiond’uneapplicationRelationsd’ordrePluspetit,PlusgrandélémentElémentsMinimauxetélémentsmaximauxBorneInférieure,BorneSupérieureLeCoursd’AlgèbreParMMechabTABLEDESMATIÈRESSTRUCTURESALGEBRIQUESLoisdeCompositionsInternesUnicitédel’inverse(dusymétrique)StructuredeGroupeGroupesàdeuxélémentsSousgroupesGoupesQuotientsHomomorphismesdeGroupesStructured’AnneauxSousAnneauxHomomorphismesd’AnneauxIdéauxAnneauxQuotientsCorpsCaractéristiqued’uncorpsLeCoursd’AlgèbreParMMechabChapitreELÉMENTSDELOGIQUEDanscechapitreonselimiteraàl’introductiondespremiersélémentsdelalogiqueclassiqueDéfinitionOnappellepropositionlogiquetouterelationPquiestsoitvraiesoitfausse•Quandlapropositionestvraie,onluiaffectelavaleur•Quandlapropositionestfausse,onluiaffectelavaleurCesvaleurssontappelées“Valeursdevéritédelaproposition”Ainsi,pourdéfinirunepropositionlogique,ilsuffitdedonnersesvaleursdevéritésEngénéral,onmetcesvaleursdansuntableuqu’onnommera“Tabledevérités”ou“Tableaudevérités”L’Equivalence⇐⇒:OnditquedeuxpropositionslogiquesPetQsontlogiquementéquivalentes,ouéquivalentes,siellesontlesmêmesvaleursdevéritéOnnote:P⇐⇒QSatabledevéritésestdonnéepar:PQP⇐⇒QIlestclairqueSiO,PetQsonttroispropositionslogiques,alors:siOestéquivalenteàPetPéquivalenteàQ,alorsOestéquivalenteàQOpérationsLogiquesLanégation¬:EtantdonnéeunepropositionlogiqueP,onappellenégationdePlapropositionlogiqueP,qu’onnoteaussi¬P,quiestfaussequandPestvraieetquiestvraiequandPestfausse,donconpeutlareprésentercommesuit:Lefaitqu’unepropositionnepeutprendrequelesvaleursouprovientd’unprincipefondamentaldelalogique“classique”quiest:Leprincipedutiersexclu,àsavoirqu’unepropositionlogiquenepeutpasêtrevraieetfausseàlafoisLeCoursd’AlgèbreParMMechabELÉMENTSDELOGIQUEPPEnétablissantlestablesdevéritésdespropositions(P⇐⇒Q)et(P⇐⇒Q),ondéduitque:(P⇐⇒Q)⇐⇒(P⇐⇒Q)()Demême,latabledevéritésdePestlasuivante:PPPonvoitqu’elleestidentiqueàcelledeP,parsuite:PropriétéLanégationdelanégationd’unepropositionlogiquePestéquivalenteàP,donc:P⇐⇒PRemarquePourdéfinirunepropositionlogiqueP,ilsuffitdedonnerlessituationsoùelleestVraie,danslerestedessituationslapropositionPétantFausseetinversementsionconnaîtlessituationsoùPestFausse,danslerestedessituationsPestVraieLaConjonction∧:EtantdonnéesdeuxpropositionslogiquesPetQ,onappelleconjonctiondePetQ,lapropositionlogiqueP∧QquiestVraiequandPetQsontvraiesàlafoisSatabledevéritésestdonnéepar:QPouPQP∧QPropriétéSoitPunepropositionlogique,alorsP∧P¯estunepropositionfaussePreuve:Pourmontrercelà,ilsuffitderemarquequelatabledevéritésdeP∧P¯estlasuivante:PP¯P∧P¯LeCoursd’AlgèbreParMMechabMMechabOpérationsLogiquesLaDisjonction∨:EtantdonnéesdeuxpropositionslogiquesPetQ,onappelledisjonctiondePetQ,lapropositionlogiqueP∨QquiestVraiesil’unedespropositionslogiquesPouQestvraieSatabledevéritésestdonnéepar:QPouPQP∨QPropriétéSoitPunepropositionlogique,alorsP∧P¯estunepropositionfausseetP∨P¯esttoujoursvraiePreuve:Pourmontrercelà,ilsuffitderemarquequelatabledevéritésdeP∨P¯estlasuivante:PP¯P∨P¯RèglesdeDeMorganPropriété(RèglesdeDeMorgan)SoientPetQdeuxpropositionslogiques,alors:P∧Q⇐⇒P∨QP∨Q⇐⇒P∧QPreuve:OnétablitlapreuvedecesrèglesendonnantlesvaleursdevéritésdespropositionslogiquescorrespondantesPQPQP∨QP∧QP∨Q(P∨Q)P∧Q(P∧Q)Onvoitquelespropositionslogiques(P∨Q)et(P∧Q)ontlesmêmesvaleursdevérité,doncellessontéquivalentesDemêmepour(P∧Q)etP∨QConnuesaussisousl’appellationde:LoidedualitéDeMorganAuguste:Mathématicienbritannique(MaduraiTamilNadu(Inde)Londres)IlestlefondateuravecBooledelalogiquemoderneLeCoursd’AlgèbreParMMechabELÉMENTSDELOGIQUEL’Implication=⇒:EtantdonnéesdeuxpropositionslogiquesPetQ,onnote(P=⇒Q),lapropositionlogiquequiestFaussesiPestVraieetQestFausseQuandlaproposition(P=⇒Q)estVraie,onditquelapropositionPimpliquelapropositionQDecettedéfinition,onobtientlatabledevéritéssuivante:QPouPQP=⇒QEtantdonnéesdeuxpropositionslogiquesPetQ,alorslatabledevéritésdeQ∨Pestlasuivante:QPouPQQ∨POnvoitquecettetableestidentiqueàcellede(P=⇒Q),donc:(P=⇒Q)⇐⇒(Q∨P)()LacontraposéeLetravaildesscientifiquesconsisteàétabliràpartirdecertainesdonnéesouhypothèsesd’autrespropriétésSionnotePlesdonnéesouhypothèsesqu’onaetQlespropriétésqu’onveutétablir,alorstoutrevientàdémontrerque(P=⇒Q)estvraieCequinousfaitdirequelatâchedesmathématiquesconsisteenladémonstrationd’implicationsDanscertainessituations,ilestdifficiledemontrerdirectementl’implication(P=⇒Q)alorsonessayededonneruneautrepropositionéquivalentequipourraitêtreplusfacileàétablirPropriétéEtantdonnéesdeuxpropositionslogiquesPetQ,alorslespropositionssuivantessontéquivalentes:–(P=⇒Q)–(Q=⇒P)LadeuxièmeimplicationestappeléeContraposéedelapremièreimplicationPreuve:OndonneralapreuvedecetteéquivalencededeuxmanièredifférentesEnutilisantl’équivalence()onobtient(Q=⇒P)⇐⇒(P∨Q)⇐⇒(P∨Q)⇐⇒(Q∨P)⇐⇒(P=⇒Q)LeCoursd’AlgèbreParMMechabMMechabPropriétésdesopérationslogiquesdonc:(Q=⇒P)⇐⇒(P=⇒Q)Enutilisantlesvaleursdevéritédesimplications(P=⇒Q)et(Q=⇒P),onobtient:PQP=⇒QQPQ=⇒Pd’oùondéduitque:(P=⇒Q)⇐⇒(Q=⇒P)LaréciproqueEtantdonnéesPetQdeuxpropositionslogiques,onappellelaRéciroquedel’implication(P=⇒Q)laproposition(Q=⇒P)PropriétésdesopérationslogiquesPropriétéSoientO,PetQtroispropositionslogiques,alors((O∨P)∨Q)⇐⇒(O∨(P∨Q))(Associativitéde∨)((O∧P)∧Q)⇐⇒(O∧(P∧Q))(Associativitéde∧)((O∨P)∧Q)⇐⇒((O∧P)∨(O∧Q))(Distributivitéde∧parrapportà∨)((O∧P)∨Q)⇐⇒((O∨Q)∧(P∨Q))(Distributivitéde∨parrapportà∧)((O=⇒P)∧(P=⇒Q))=⇒(O=⇒Q)(Transitivitéde=⇒)Preuve:OnselimiteraàlapreuvedestroisdernièrespropriétésDansletableausuivant,onremarquequelespropositions(O∨P)∧Qet(O∧P)∨(O∧Q)ontlesmêmesvaleursdevéritéOPQO∧QP∧Q(O∧P)∨(O∧Q)O∨P(O∨P)∧QLeCoursd’AlgèbreParMMechabELÉMENTSDELOGIQUEdonc:(O∨P)∧Q⇐⇒(O∧P)∨(O∧Q)Demême,dansletableausuivantonremarquequelespropositions(O∧P)∨Qet(O∨Q)∧(P∨Q)ontlesmêmesvaleursdevéritéOPQ(O∧P)(O∧P)∨Q(O∨Q)(P∨Q)(O∨Q)∧(P∨Q)donc:(O∧P)∨Q⇐⇒(O∨Q)∧(P∨Q)NotonsRlapropositionlogique:((O=⇒P)∧(P=⇒Q))=⇒(O=⇒Q)Enutilisantladéfinitiondel’implicationetlespropriétésprécédentes,onobtient:R⇐⇒((O=⇒P)∧(P=⇒Q))=⇒(O=⇒Q)⇐⇒(O=⇒Q)∨((O=⇒P)∧(P=⇒Q))⇐⇒(O=⇒Q)∨((O=⇒P)∨(P=⇒Q))⇐⇒(Q∨O)∨((P∨O)∨(Q∨P))⇐⇒(Q∨O)∨((P∧O)∨(Q∧P))⇐⇒(Q∨O)∨((P∧O)∨(Q∧P))Ainsi,pourmontrerquelapropositionRestvraie,ilsuffitdemontrerquetoutessesvaleursdevéritésontégalesàOna:OPQQ∨OP∧OQ∧PRcequimontrelavéracitédeR,donclatransitivitédel’implicationLeCoursd’AlgèbreParMMechabMMechabPropriétésdesopérationslogiquesPropriétéEtantdonnéesdeuxpropositionslogiquesPetQ,alorsP⇐⇒Q⇐⇒(P=⇒Q)∧(Q=⇒P)Preuve:Comme:(P=⇒Q)∧(Q=⇒P)⇐⇒(Q∨P¯)∧(P∨Q¯)enutilisantlatabledevéritéssuivante:PQPQQ∨PP∨Q(Q∨P)∧(P∨Q)P∧QP∧Q(Q∧P)∨(P¯∧Q¯)P⇐⇒QondéduitqueP⇐⇒Q⇐⇒(P=⇒Q)∧(Q=⇒P)LeCoursd’AlgèbreParMMechabELÉMENTSDELOGIQUELeCoursd’AlgèbreParMMechabChapitreELÉMENTSDELATHÉORIEDESENSEMBLESLesEnsemblesDéfinitionOnappelleensembleEtoutecollectiond’objets,appelésélémentsdel’ensembleESilenombredecesobjetsestfini,onl’appellecardinaldeEetonlenotecard(E),siEpossèdeuneinfinitéd’éléments,onditqu’ilestdecardinalinfinietonnoteCardE=∞SiunobjetxestunélémentdeE,onditquexappartientàEetonnotex∈ESixn’estpasunélémentdeE,onnotex∈EPourdéfinirunensemble,–oubienonconnaitlalistedetousseséléments,onditalorsquel’ensembleestdonné“parExtension”,–oubienonconnaitseulementlesrelationsquilientlesélémentsetquinouspermettentdelesretrouvertous,onditalorsquel’ensembleestdonnépar“Compréhension”–PourreprésenterunensembleE,onmetlesobjetsquiformentl’enlembleentredeuxaccoladesExemple–SoitAl’ensembledesétudiantsdepremièreannéeSETI(SciencesExactes,TechnologieetInformatique)Onneconnaitpastouscesétudiantsmaisonpeutbienlesretrouver,doncAestunensembledonnéparcompréhension–SoitB={,,a,y,γ,}Bestdéfiniparextension,caronconnaittoussesélémentsLecardinaldeBestégalà(card(B)=)–IlarrivedereprésenterunensembleparundiagrammedeVennVennJohn:mathématicienetlogicienbritannique,(HullCambridge)Célèbrepouravoirconçusesdiagrammesqu’ilprésentaen,lesquelssontemployésdansbeaucoupdedomaines,enthéoriedesensembles,enprobabilité,enlogique,enstatistiqueeteninformatiqueElumembredelaRoyalSocietyenLeCoursd’AlgèbreParMMechabELÉMENTSDELATHÉORIEDESENSEMBLESEaγ∆L’ensembleE={a,,γ,∆,}L’undesaxiomesdelatéoriedesensembles,estque:Ilexisteunensemble,appelél’ensemblevideetnoté∅,quinecontientaucunélémentOnaalorsCard(∅)=Unensemblecontenantunseulélémentestappelé“Singleton”,doncdecardinalégalàLesquantificateursOnutiliselessymbolessuivants:∃lequantificateurexistentielOnécrit∃xpourlire“Ilexistex”∀lequantificateuruniverselOnécrit∀xpourlire“Pourtoutx”Onécrit∃!xpourlire“Ilexisteununiquex”Enutilisantcesquantificateurs,pourAunensembleona:–A=∅⇐⇒∀x(x∈A)–Aestunsingleton⇐⇒∃!x(x∈A)⇐⇒∃x((x∈A)∧(∀y(y∈A=⇒y=x)))Partiesd’unensembleDéfinitionOnditqu’unensembleAestinclusdansunensembleB,ouqueAestunepartiedel’ensembleB,ouqueAestunsousensembledeBsitoutélémentdeAestunélémentdeBOnnoteA⊂Betonaformellement:A⊂B⇐⇒∀x(x∈A=⇒x∈B)QuandAn’estpasunepartiedeB,onnoteA⊂Betonaformellement:A⊂B⇐⇒∃x((x∈A)∧(x∈B))LeCoursd’AlgèbreParMMechabMMechabLesEnsemblesL’ensembledetouteslespartiesd’unensembleAestnotéP(A)Exemple:SoitA={a,α,},alorsP(A)={∅,{a},{α},{},{a,α},{a,},{α,},A}PropriétéSoitAunensemble,alors∅∈P(A)etA∈P(A)DéfinitionSoientAetBdeuxensembles,onditqueAestégalàB,onnoteA=B,s’ilsontlesmêmesélémentsFormellementona:A=B⇐⇒(∀x(x∈A⇐⇒x∈B))⇐⇒((A⊂B)∧(B⊂A))OpérationssurlesensemblesDéfinitionSoientAetBdeuxensembles–OnappelleintersectiondeAetB,l’ensemble,notéA∩B,desélémentsdeAappartenantaussiàB–OnappelleréuniondeAetB,l’ensemble,notéA∪B,desélémentsdeAetdeceuxdeBFormellement,ona:A∩B={x(x∈A)∧(x∈B)}A∪B={x(x∈A)∨(x∈B)}ExempleSoientA={a,c,,,α,γ,}etB={ζ,η,γ,a,x,z},alors:A∩B={a,γ}etA∪B={a,c,,,α,γ,,ζ,η,x,z}PropriétéSoientAetBdeuxensembles,alors–(A∩B⊂A)∧(A∩B⊂B)–(A⊂A∪B)∧(B⊂A∪B)SiZ∈P(A),onnote:–⋂Y∈ZY={x(∀Y∈Z,x∈Y)}–⋃Y∈ZY={x(∃Y∈Z,x∈Y)}L’ensembledetouslesensemblesn’existepasLeCoursd’AlgèbreParMMechabELÉMENTSDELATHÉORIEDESENSEMBLESDéfinitionSiA∩B=∅,onditqueAetBsontdeuxensemblesdisjoints,etsideplusE=A∪B,onditqueAestlecomplémentairedeBdansE,ouqueAetBsontdeuxensemblescomplémentairesdansE,etonnote:A=∁EBouB=∁EAOnnoteaussi:A=EBEnd’autrestermes,PropriétéSoitEunensembleetAunepartiedeEOnappellecomplémentairedeAdansEl’ensemble∁EAdesélémentsdeEquinesontpasdansAFormellementona:∁EA={x∈Ex∈A}Avantdedonnerunexemple,onremarquequesiEestunensemblealors∅⊂Eet(∀x∈E,x∈∅),donc:∁E∅=EExempleSoientE={,a,α,,l,γ,,ℓ,♣,♠}etA={,a,α,♠},alors:∁EA={,l,γ,,ℓ,♣}PropriétéSoientEunensembleetAetBdeuxpartiesdeE,alors:A⊂B⇐⇒∁EB⊂∁EA∁E(∁EA)=A∁E(A∩B)=∁EA⋃∁EB∁E(A∪B)=∁EA⋂∁EBPreuve:OnaA⊂B⇐⇒∀x∈E((x∈A)=⇒(x∈B))⇐⇒∀x∈E((x∈B)=⇒(x∈A))Contrapposéedel’implication⇐⇒∀x∈E((x∈∁EB)=⇒(x∈∁EA))⇐⇒∁EB⊂∁EAdoncA⊂B⇐⇒∁EB⊂∁EALeCoursd’AlgèbreParMMechabMMechabLesEnsemblesSoitx∈E,alorsx∈∁E(∁EA)⇐⇒x∈∁EA⇐⇒(x∈∁EA)⇐⇒(x∈A)⇐⇒(x∈A)donc∁E(∁EA)=ASoitx∈E,alorsx∈∁E(A∩B)⇐⇒x∈A∩B⇐⇒(x∈A)∨(x∈B)⇐⇒(x∈∁EA)∨(x∈∁EB)⇐⇒x∈(∁EA∪∁EB)donc∁E(A∩B)=(∁EA∪∁EB)Soitx∈E,alorsx∈∁E(A∪B)⇐⇒x∈A∪B⇐⇒(x∈A)∧(x∈B)⇐⇒(x∈∁EA)∧(x∈∁EB)⇐⇒x∈(∁EA∩∁EB)donc∁E(A∪B)=(∁EA∩∁EB)Delapremièrepropriétéondéduitque:∁EE=∅DéfinitionOnappellepartitiond’unensembleE,toutefamilleF⊂P(E)telleque:LesélémentsdelafamilleFsontdisjointsdeuxàdeux,c’estàdire∀A,B∈F,A∩B=∅LafamilleFrecouvrel’ensembleEouqueFestunrecouvrementdeE,c’estàdire⋃A∈FA=EPropriétéSoitEunensemble,alorspourtoutepartieAdeE,F={∁EA,A}estunepartitiondeE

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