抓住本质探究滚动问题

抓住本质探究滚动问题抓住本质探究滚动问题张睿（浙江省宁波市镇海区古塘中学，315200）圆的滚动问题，在新老教材中都出现过。近年更是作为竞赛题出现。由于解决此问题，需要较强的空间想象能力，因此对于所有学生，甚至是老师都是难点。笔者结合自己在教学中的反思，发现抓准了问题的本质，找到解决问题的一般方法，便能帮助学生灵活应对这类题目的变式。 1、由简入手：圆在直线上滚动探究一：若半径为r的圆沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？分析：如图1，圆滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长2πr，即AB=2πr ,则圆心经...

抓住本质探究滚动问题张睿（浙江省宁波市镇海区古塘中学，315200）圆的滚动问题，在新老教材中都出现过。近年更是作为竞赛题出现。由于解决此问题，需要较强的空间想象能力，因此对于所有学生，甚至是老师都是难点。笔者结合自己在教学中的反思，发现抓准了问题的本质，找到解决问题的一般方法，便能帮助学生灵活应对这类题目的变式。 1、由简入手：圆在直线上滚动探究一：若半径为r的圆沿直线滚动一周，圆心经过的距离是多少？分析：如图1，圆滚动一周，在直线上经过的路程为圆的周长2πr，即AB=2πr ,则圆心经过的路程OO` =2πr。圆在直线上滚动一周，圆自身转动了一圈。因此可以作出一个大胆猜想：圆沿线（包括直线、曲线、折线）滚动时，圆自身转动一圈，圆心经过的路程为一个圆周长；反之，圆心经过的路程为一个圆周长，圆自身转动了一圈。对这个猜想的补充说明：要正确理解这个猜测，必须分清两个概念，即“滚动、转动”。转动的定义：物体的各部分都绕着同一条轴线做圆周运动，这样的运动叫做转动。那么圆自身的转动指的就是：圆上各点绕着圆心做圆周运动，其所研究的对象是圆自身。而滚动的主体要有两个图形，两个图形保持时刻接触。 2、拓广范围：圆在多边形内、外滚动探究二：如图，⊙Ｏ沿着△ＡＢＣ的外侧（圆和边相切）作无滑动的滚动一周回到原来位置。已知△ＡＢＣ的周长是⊙Ｏ周长的５倍，问⊙Ｏ自身转动了几圈？分析：而按照本文前面的猜想，只要算出圆心经过的路程，根据：⊙Ｏ转动的圈数= ，即可得到结果。解：如图2，虚线为滚动过程中圆心的轨迹，圆心经过的路程等于三条线段长加上三条弧长。其中三条线段长： =△ＡＢＣ的周长；图中三段弧所在圆的半径即为⊙Ｏ的半径，而它们的度数和，等于以A、B、C为顶点的三个周角，减去六个直角，再减去△ＡＢＣ的内角和的差，即。所以三段弧长和为⊙Ｏ的周长。 ∴圆心经过的路程=△ＡＢＣ的周长+⊙Ｏ的周长 ∴⊙Ｏ转动的圈数= （圈）小结：圆在n边形外侧滚动一周，圆心经过的路程等于n边形的周长加上n段弧长，而这些弧所在圆的半径即为圆的半径，圆心角和为：发现即是n边形的外角和，这样n段弧长和为圆周长。∴⊙Ｏ转动的圈数= ① = = ② 在一些出版的论文中，曾看到公式 ②。虽然，两个公式有相似之处，但笔者认为，研究圆心经过的路程，是这类问题的本质。如在以下的探究中，更能灵活应对。探究三：如图，已知Rt△ＡＢＣ中∠B=60°，∠C=30°，AB=4，⊙Ｏ的半径r=1。若⊙Ｏ沿着Rt△ＡＢＣ的内侧作无滑动的滚动一周回到原来位置。问⊙Ｏ自身转动了几圈？分析：如图3，圆心经过的路程为△O1O2O3的周长。略解：如图3，圆与三角形三边相切，切点分别为D、E、F、G、H、M，连结圆心和各切点，延长HO2交BC边于点N，由已知易得在Rt△O2NG中，可得O2N= ，则HN= 在Rt△HNC中，可得HC= △O1O2O3的周长=△ABC的周长-2AD-2BE-2HC = ⊙Ｏ转动的圈数=6/2π(圈) 小结：抓住本质，则圆在多边形上滚动，内外无别。 3、曲直无别，圆在另一圆的内、外滚动探究四：⊙M和⊙N为等圆，半径为r.若⊙N沿⊙M外侧无滑动滚动一周，则⊙N自身转动几圈? 分析：如图4，⊙N的圆心经过的路程为，以点M为圆心，2r为半径的圆的周长 ∴⊙N转动的圈数=4πr/2πr=2(圈) 学生对这道题，直观上难以想象。认为⊙N滚动一周，圆上每个点依次与⊙M上每个点重合一次，因此⊙N只转动了一圈。这暴露出学生对本文中提到的转动一圈的概念不清。可向学生讲清概念的同时，利用图4，让学生直观感受。如图4，当⊙N的圆心，由N1的位置移到N2的位置时，圆上点A、B的位置也相应转动到点A’、B'的位置，我们发现⊙N刚滚动了四分之一周时，自身已经转动了半圈；而当⊙N滚动了二分之一周时，自身已经转动了一整圈。小结：圆的滚动问题，只要找准圆心经过的路程，不但内外无别，曲直亦无别！以下是两道变式题，读者可自行解决。 1、⊙A的半径为1，⊙B的半径为4。若⊙A沿⊙B内侧无滑动滚动一周，则⊙A自身转动几圈? 略解：如图5，⊙A的圆心在以点B为圆心，半径为3的圆上，圆心经过的路程为6π，则自身转动的圈数=6π/2π=3（圈）。 2、半径为1的小圆从点O到点O'，沿曲线AB作无滑动的滚动，已知半圆AC、半圆BC所在圆的半径分别为4、2。则小圆自身转动了几圈？略解：如图6，小圆的圆心在以3为半径的圆上，圆心经过的路程为6π，则自身转动的圈数=6π/2π=3（圈）。学习数学，能让学生学会透过想象，认识事物的本质。在无滑动的滚动过程中，圆只有通过自身的转动，才能使得圆心产生位移。相信通过这样的探究，学生不只是能应对各式各样的变式题，更能运用这种探究思维，去观察错综复杂的世间万物。参考书目：《中小学数学》教师版 2005年1-2期《“转圈几何”的探究》钱卫娣 2005年第9期《“内外”确实有别》刘少伟 2007年第5期《有趣的滚动》刘向平内容摘要：圆的滚动问题中，圆不管是沿曲线或直线滚动，还是沿多边形的内或外滚动，其自身转动的圈数，都与其圆心经过的路程有关。即： ⊙Ｏ转动的圈数= 。图6 图5 图4 图3 图2 图1 _1244119259.unknown _1244138440.unknown _1244138861.unknown _1244138964.unknown _1244139275.unknown _1244138588.unknown _1244120677.unknown _1244124941.unknown _1244120293.unknown _1244118675.unknown _1244119181.unknown _1244117653.unknown _1244116802.unknown

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