电子科大 大学物理上 雷雨 第2章

质质质点点点动动动力力力学学学 (第第第二二二章章章 ) 目录 1 牛牛牛顿定律 2 非惯性系中的牛顿定律 S1 牛顿定律 1.1 牛牛牛顿顿顿定定定律律律 1，牛顿第一定律 物体在不受力或受到平衡力的作用下，始终保持原有 运动状态（静止或匀速直线运动状态）。也称惯性定律。 MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1714143466700_0： ∙ 惯性的存在。惯性—保持原有运动状态的能力。 ∙ 力不是维持运动的原因。 ∙ 将惯性定律严格成立的参考系称为惯性参考系，简称 惯性系。 S1 牛顿定律 2，牛顿第二定律 物体在加速度与受力成正比。 #»a = #» F m 说明： ∙ 式中 m反映了惯性大小—称为惯性质量。 ∙ 力是改变运动状态的原因。 ∙ 在惯性参考系中才成立。 ∙ 多个力同时作用时，可以先求出合力，再求加速度。 也可以先分别求出每个力的加速度，再求矢量和。 S1 牛顿定律 ∙ 分量形式⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ Fx = m dvx dt = m d2x dt2 Fy = m dvy dt = m d2y dt2 Fz = m dvz dt = m d2z dt2 ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ Fτ = maτ = mdvdt Fn = man = mv 2 ρ 2，牛顿第三定律 或称作用力与反作用力定律。作用力与反作用力大小 相等、方向相反、作用在同一条直线上。 说明： ∙ 作用力与反作用力与平衡力的区别。 ∙ 超距作用的反映。 S1 牛顿定律 1.2几几几种种种常常常见见见的的的力力力 1，重力 大小：mg，方向：竖直向下 2，弹力 大小：F = kx, x 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示伸长量，方向：与形变相反。 可以统一成： F = −kx（平衡位置为原点） 3，摩擦力 ¬静摩擦力 大小：≤ µN，方向：阻碍相对运动趋势。 ­滑动摩擦力 大小：F = µN，方向：阻碍相对运动。 S1 牛顿定律 4，万有引力 大小：F = G m1m2 r2 方向：略 m1, m2 : 引力质量 统一写成： #»F12 = −Gm1m2 r3 #»r 12 现代实验在很高的精度证明 :: 物 ::: 体 ::: 的 :: 惯 ::: 性 :: 质 ::: 量 ::: 与 :: 引 ::: 力 ::: 质 ::: 量 :: 相 ::: 等。 牛顿的万有引力理论是一种超距作用。他说“. . . 这据 我看来是一种莫大的荒谬。我相信，没有一个对哲学事物 有足够思考力的人，曾经这样想过” S1 牛顿定律 1.3牛牛牛顿顿顿定定定律律律的的的应应应用用用 ¬已知受力，求运动规律（速度、位置）用积分 ­已知运动规律，求受力求导 步骤： ∙ 受力 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ∙ 建坐标 ∙ 列出牛顿第二定律方程（运动微分方程） ∙ 解方程 例例例1 求求求质质质量量量为为为 m的的的质质质点点点从从从静静静止止止开开开始始始竖竖竖直直直下下下落落落。。。若若若空空空气气气 阻阻阻力力力与与与速速速度度度成成成正正正比比比 f = −kmv，，，( k为为为常常常数数数)。。。求求求速速速率率率与与与 时时时间间间的的的关关关系系系。。。 解：取竖直向下为正向，有 − kmv + mg = mdv dt 即 − kv + g = dv dt 积分 ∫︁ v 0 dv − kv + g = ∫︁ t 0 dt 解得 v = g k (1 − e−kt) 例例例2 如如如图图图，，，所所所有有有接接接触触触面面面均均均光光光滑滑滑。。。求求求两两两物物物体体体的的的加加加速速速度度度。。。 θ m M a1 a2 解：设 m向下的加速度和 M向 右的加速度为 a1，a2。 mg − N cos θ = ma1 N sin θ = Ma2 因为两物体的位移关系为： y1 = x2 tan θ 立即可得加两物体的加速度关系 a1 = a2 tan θ 联立以上方程，求得结果。 例例例3 飞飞飞机机机以以以 u的的的水水水平平平初初初速速速着着着陆陆陆，，，设设设飞飞飞机机机受受受的的的空空空气气气阻阻阻力力力 为为为 mcv2，，，升升升力力力为为为 mkv2。。。与与与地地地面面面的的的滑滑滑动动动摩摩摩擦擦擦系系系数数数 µ。。。试试试 求求求飞飞飞机机机着着着陆陆陆所所所滑滑滑行行行的的的距距距离离离。。。 解：列出水平和竖直方向的运动微分方程 −Nµ − mcv2 = ma N + mkv2 − mg = 0 求得 a = dv dt = (kµ − c)v2 − gµ 变形 vdv dx = (kµ − c)v2 − gµ 即 vdv (kµ − c)v2 − gµ = dx 积分 ∫︁ 0 u dv2 2(kµ − c)v2 − 2gµ = s 例例例4 桌桌桌面面面上上上平平平直直直放放放有有有一一一静静静止止止的的的长长长 L的的的链链链条条条，，，开开开始始始时时时有有有 长长长为为为 a的的的一一一段段段自自自然然然下下下垂垂垂于于于桌桌桌边边边。。。链链链条条条与与与桌桌桌面面面的的的滑滑滑动动动摩摩摩 擦擦擦系系系为为为 µ。。。求求求链链链条条条全全全部部部滑滑滑离离离桌桌桌面面面时时时的的的速速速度度度。。。 解：设当链条滑到垂于桌边的长为 x时 x L mg − L − x L mgµ = m dv dt 即 dv dt = x L g − L − x L gµ 变形 vdv dx = x L g − L − x L gµ 积分 ∫︁ v 0 vdv = ∫︁ L a (︂ x L g − L − x L gµ )︂ dx 例例例5 一一一条条条轻轻轻绳绳绳跨跨跨过过过摩摩摩擦擦擦可可可被被被忽忽忽略略略的的的轻轻轻滑滑滑轮轮轮，，，绳绳绳的的的一一一端端端 挂挂挂有有有质质质量量量为为为 m1 的的的物物物体体体，，，绳绳绳的的的另另另一一一端端端穿穿穿过过过一一一质质质量量量为为为 m2 的的的环环环，，，求求求当当当环环环相相相对对对于于于绳绳绳以以以恒恒恒定定定的的的加加加速速速度度度 a0沿沿沿绳绳绳向向向下下下滑滑滑 动动动时时时，，，物物物体体体和和和环环环相相相对对对于于于地地地面面面的的的加加加速速速度度度各各各是是是多多多少少少？？？环环环与与与 绳绳绳间间间的的的摩摩摩擦擦擦力力力多多多大大大？？？ a1 a2 解：设物体向下以 a1加速，环向下以 a2加速，取竖直向上为正。 T − m1g = −maa1 f − m2g = −m2a2 绳与滑轮不计质量，T = f 由相对运动规律知：−a2 = −a0 + a1 联立求解结果 例例例6 水水水平平平桌桌桌面面面上上上有有有一一一半半半径径径为为为 R的的的半半半圆圆圆形形形的的的槽槽槽，，，一一一质质质量量量 为为为 m的的的小小小球球球从从从一一一端端端入入入射射射，，，初初初速速速 v0。。。已已已知知知小小小球球球与与与槽槽槽的的的滑滑滑 动动动摩摩摩擦擦擦系系系数数数为为为 µ。。。求求求小小小球球球滑滑滑出出出的的的速速速率率率。。。 θ f N − f = mdvdt N = mv 2 R f = Nµ ⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ =⇒ dv dt = − µ R v2 dv dt = − µ R v2 =⇒ dv ds = − µ R v ∫︁ v v0 dv v = − ∫︁ piR 0 µ R ds v = v0e−piµ 例例例7 补补补充充充例例例题题题1，，，在在在 xoy平平平面面面运运运动动动的的的质质质点点点，，， t = 0时时时位位位 于于于原原原点点点，，，速速速度度度 v = v0，，，沿沿沿 y轴轴轴正正正向向向。。。质质质点点点受受受力力力 F = f0 t，，， 沿沿沿 x轴轴轴正正正向向向。。。求求求质质质点点点的的的轨轨轨迹迹迹 解：因为合力只在 x方向，y方向作匀速运动。有 y = v0 t 写出 x方向运动微分方程 m dvx dt = f0 t 积分一次得∫︁ vx 0 mdvx = ∫︁ t 0 f0 tdt =⇒ vx = f0 t2 2m dx dt = f0 t2 2m 再积分一次，得∫︁ x 0 dx = ∫︁ t 0 f0 t2 2m dt =⇒ x = f0 t 3 6m 所以得运动方程为⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ x = f0 t3 6m y = v0 t 消去时间，得轨迹 x = f0y3 6mv3 0 S2 非惯性系中的牛顿定律 2.1平平平动动动加加加速速速参参参考考考系系系中中中的的的牛牛牛顿顿顿定定定律律律 a F惯 设想一列沿平直轨道加速行驶的火 车车厢，在车厢光滑地板上的一个 质量为 m的物体。 地面的观察者认为，弹簧有拉力 F = k∆x = ma。 车厢内的观察者：弹簧有拉力 F = k∆x = ma，但物 体却没有水平加速度。 结论 在在在平平平动动动的的的加加加速速速参参参考考考系系系中中中，，，只只只要要要将将将所所所研研研究究究的的的对对对象象象在在在所所所受受受真真真 实实实力力力的的的基基基础础础上上上，，，外外外加加加假假假想想想力力力（（（称称称为为为惯惯惯性性性力力力））） F惯惯惯 = ma 方方方向向向与与与参参参考考考系系系的的的加加加速速速度度度反反反向向向 的的的力力力后后后，，，就就就可可可以以以应应应用用用牛牛牛顿顿顿定定定律律律。。。 S2 非惯性系中的牛顿定律 2.2匀匀匀速速速转转转动动动参参参考考考系系系中中中静静静止止止的的的物物物体体体 结论 在在在一一一个个个以以以 ω匀匀匀速速速转转转动动动的的的参参参考考考系系系中中中，，，研研研究究究静静静止止止的的的质质质量量量为为为m 的的的物物物体体体，，，其其其惯惯惯性性性力力力为为为 F惯惯惯 = mω2r 方方方向向向向向向外外外 2.3匀匀匀速速速转转转动动动参参参考考考系系系中中中运运运动动动的的的物物物体体体* 以 ω匀速转动的参考系中，运动的物体，惯性力⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩ F 1 惯 = mω2r 方向向外 F2 惯 = 2m#»v × #»ω 科里奥利力 惯性离心力 S2 非惯性系中的牛顿定律 2.4惯惯惯性性性力力力的的的本本本质质质 奥地利物理学家马赫：惯性力仍然是物体间的相互作 用，因而惯性力是真实的。 例例例1 光光光滑滑滑水水水平平平地地地面面面上上上有有有一一一个个个质质质量量量 M、、、长长长 L的的的小小小车车车，，，以以以 初初初速速速 v0沿沿沿直直直线线线运运运动动动。。。现现现将将将一一一质质质量量量为为为 m的的的小小小球球球静静静止止止地地地放放放 在在在前前前端端端。。。要要要使使使小小小球球球不不不掉掉掉下下下小小小车车车，，，求求求 L至至至少少少多多多长长长？？？设设设车车车 与与与小小小球球球的的的滑滑滑动动动摩摩摩擦擦擦系系系数数数为为为 µ。。。 L v0 a1 f F惯 v0 以地为参考系 f = mgµ a1 = f M = mgµ M 以小车为参考系 a = f + F惯 m = µg m + M M 匀减速运动 不掉下的最小长度满足 −2aL = 0 − v20 L = Mv20 2gµ(m + M) 例例例2 光光光滑滑滑水水水平平平地地地面面面上上上有有有一一一质质质量量量为为为 M半半半径径径为为为 R的的的静静静止止止的的的 半半半圆圆圆形形形物物物体体体，，，其其其顶顶顶端端端有有有一一一 m的的的小小小球球球。。。由由由于于于某某某种种种扰扰扰动动动，，， 小小小球球球沿沿沿圆圆圆表表表面面面下下下滑滑滑。。。不不不计计计摩摩摩擦擦擦，，，求求求小小小球球球在在在何何何处处处与与与半半半圆圆圆 形形形物物物体体体脱脱脱离离离。。。 θ mv1x = Mv2 mgR(1−cos θ) = 1 2 m(v21x+v 2 1y)+ 1 2 Mv22 v1y v1x + v2 = tan θ m (v1x + v2)2 + v21y R = mg cos θ 牛顿定律 非惯性系中的牛顿定律