第17章 第1讲
一、选择题
1．(2009·深圳一模)如果复数(2＋ai)i(a∈R)的实部与虚部互为相反数，则a的值等于
( )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
[解析] (2＋ai)i＝2i＋ai2＝－a＋2i
由－a＋2＝0得a＝2.
[
答案
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] D
2．(2008·广东卷)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是( )
A．(1,5)
B．(1,3)
C．(1，eq \r(5))
D．(1，eq \r(3))
[解析] |z|＝eq \r(a2＋1)，而0＜a＜2，即1＜a2＋1＜5，
∴1＜|z|＜eq \r(5).
[答案] C
3．(2010·全国Ⅰ，1)复数eq \f(3＋2i,2－3i)＝( )
A．i
B．－i
C．12－13i
D．12＋13i
[答案] A
4．(2010·陕西，2)复数z＝eq \f(i,1＋i)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] z＝eq \f(i,1＋i)＝eq \f(i1－i,1－i2)＝eq \f(1＋i,2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i.
∴复数z在复平面内的对应点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))在第一象限．故选A.
[答案] A
5．(2010·湖北，1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z
表
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示复数z，则表示复数eq \f(z,1＋i)的点是( )
A．E
B．F
C．G
D．H
[解析] 由图示可知z＝3＋i，∴eq \f(z,1＋i)＝eq \f(3＋i,1＋i)＝2－i，再结合图示知点H对应复数2－i，故选D.
[答案] D
6．(2009·安徽卷理)i是虚数单位，若eq \f(1＋7i,2－i)＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15
B．－3
C．3
D．15
[解析] eq \f(1＋7i,2－i)＝eq \f(1＋7i2＋i,5)＝－1＋3i，∴a＝－1，b＝3，ab＝－3，选B.
[答案] B
7．(eq \f(1＋i,1－i))2 005等于( )
A．i
B．－i
C．22 005
D．－22 005
[解析] 原式＝(eq \f(1＋i,1－i))2 004(eq \f(1＋i,1－i))＝i，故选A.
[答案] A
二、填空题
8．(2008·北京)已知(a－i)2＝2i，其中i是虚数单位，那么实数a＝________.
[解析] a2－2ai－1＝a2－1－2ai＝2i，a＝－1.
[答案] －1
9．(2009·惠州市第二次调研考试)在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是________．
[解析] z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i，它所对应的点在第二象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－4m＜0,m2－m－6＞0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0＜m＜4,m＜－2或m＞3))⇒3＜m＜4.
[答案] (3,4)
10．(2009·福建卷文)复数i2(1＋i)的实部是________．
[解析] i2(1＋i)＝－1－i，所以实部是－1.
[答案] －1
11．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为eq \r(3)，则eq \f(y,x)的最大值是________．
[解析] 由eq \r(x－22＋y2)＝eq \r(3)得(x－2)2＋y2＝3.
设k＝eq \f(y,x)，得y＝kx，代入上式，整理得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，
∵x∈R
∴△＝(－4)2－4(1＋k2)≥0，解得－eq \r(3)≤k≤eq \r(3)
∴kmax＝eq \r(3).
[答案] eq \r(3)
12．对于非零实数a，b，以下四个命题都成立：
①a＋eq \f(1,a)≠0；
②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
③若|a|＝|b|，则a＝±b；
④若a2＝ab，则a＝b.
那么，对于非零复数a，b，仍然成立的命题的所有序号是________．
[答案] ②④
亲爱的同学请写上你的学习心得
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．
3．两个虚数不能比较大小．
4．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
5．z2＜0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9＜0.
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