2数学模型

null第二章 控制系统的数学模型第二章 控制系统的数学模型QINGDAO UNIVERSITY青岛大学机电工程学院本章主要 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 2.1 系统的微分方程 2.2 非线性数学模型的线性化 2.3 拉氏变换及其反变换 2.4 系统的传递函数 2.5 系统的传递函数方框图及其简化 2.6 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数 2.7 相似原理null2.1 系统的微分方程null由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。 系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。 数学模型 数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。 静态数学模型：静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。 null 建立数学模型的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 解析法 实验法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型应能反映系统内在的本质特征，同时应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。null数学模型的形式 时间域： 微分方程 差分方程 状态方程 复数域： 传递函数 方框图 频率域： 频率特性 线性与非线性 数学模型的 分布性与集中性 准确性和简化 参数时变性null 建立数学模型的一般步骤 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 系统工作原理和信号传递变换的过程， 确定系统和各元件的输入、输出量； 从输入端开始，按照信号传递变换过程，依 据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各 元件、部件的动态微分方程； 消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排null 机械平移系统mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fK(t)机械平移系统及其力学模型fC(t)null式中，m、C、K通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。 null 弹簧－阻尼系统系统运动方程为一阶常系数微分方程。 null R-L-C无源电路网络null一般R、L、C均为常数，上式为二阶常系数微分方程。 若L=0，则系统简化为：nullnull电枢控制式直流电动机这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩ML，输出是转速w 电枢回路方程为 其中ea 为反电势Km称为电动机电磁力矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程此时激磁电流为常数，所以kd称为电动机反电势常数 电机通电后产生转矩nullnull 通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等 于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性 质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容 等）的个数。 系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决 于系统的结构及其参数。 本章作业：2.4(a) 2.11null随动系统的例子：nullnull整理得：代入参数得:null2.2 非线性数学模型的线性化 线性系统与非线性系统可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的系数是时间t的函数，则为线性时变系统； 线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：null线性系统满足叠加原理，而非线性系统则不满足叠加原理。 系统(或微分方程) 满足线性性质就是满足叠加原理， 或者说，满足叠加原理的系统(或微分方程)就称为线性系统(或微分方程)。 线性定常系统null用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。 非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，将非线性系统简化为线性系统处理。 实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。 null线性系统优点：可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计线性系统缺点：有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。null假设： 在控制系统整个调节过程中，所有变量与平衡工作点之间只会产生足够微小的偏差．以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差．null例：液压伺服机构数学模型的线性化null()， null当预定工作条件：q(x0,p0)=0, x0 =0, p0=0则：Δq=q, Δx=x, Δp=pnull null 线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择有关； 线性化是有条件的，必须注意线性化方程适 用的工作范围； 某些典型的本质非线性，如继电器特性、间 隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不 能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对 系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作 为非线性问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 处理。 nullnull2.3 拉氏变换及其反变换 拉氏变换的定义 设函数f(t) (t0)在任一有限区间上分段连续， 且存在一正实常数，使得：则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j（，均为实数）；nullF(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数； f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。 拉氏反变换的定义 L－1为拉氏反变换的符号。null 几种典型函数的拉氏变换 单位阶跃函数1(t) null 指数函数null 正弦函数与余弦函数 由欧拉公式，有： nullnull 单位脉冲函数(t) null 单位速度函数（斜坡函数） null 单位加速度函数函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。 null幂函数的拉氏变换null 拉氏变换的主要定理 叠加定理 齐次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a为常数； 叠加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)] a，b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。 微分定理 null式中，f '(0)，f ''(0)，……为函数f(t)的各阶导数在t=0时的值。null当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：null 积分定理 当初始条件为零时：null 延迟定理 设当t<0时，f(t)=0，则对任意0，有：null 位移定理 null 初值定理 初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。 终值定理 终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同。null 卷积定理 f(t)和g(t)的卷积可表示为：其中，f(t)g(t)表示函数f(t)和g(t)的卷积。null 时间比例尺的改变null 若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 直接按公式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。拉氏反变换方法null例1：例2：null例3：nullF(s)只含有不同的实数极点于是：nullnull有共轭极点例：null有重极点假若F(s)有L重极点, 而其余极点均不相同。nullnullnullnull2.4 系统的传递函数2.4 系统的传递函数 2-4-1 传递函数的概念和定义 传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 零初始条件： t<0时，输入量及其各阶导数均为0； 输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工 作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也 均为0；null式中：（t）—输入，（t） —输出为常系数设系统或元件的微分方程为：null 几点结论 传递函数是复数s域中的系统数学模型，是s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；与系统的输入无关。 若输入给定，则系统输出特性完全由传递函 数G(s) 决定，即传递函数表征了系统内在的 固有动态特性。 传递函数通过系统输入量与输出量之间的关 系来描述系统的固有特性。即以系统外部的 输入－输出特性来描述系统的内部特性。 null传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统； 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零 时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于 相对静止状态。因此，传递函数原则上不能 反映系统在非零初始条件下的全部运动规律； 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。null令：N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。 特征方程null 其中： —传递系数； -zi —零点（i=1,…,m）； -pj —极点（j=1,…,n）。表示成零点、极点形式：系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。 传递函数的表示形式null 零、极点分布图 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“×”表示。 null分别称为时间常数，K称为放大系数null若零点或极点为共轭复数，则一般用2阶项来表示。若 为共轭复极点，则：或其系数 由 求得；null传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程 消去中间变量 在零初始条件下取拉氏变换 求输出与输入拉氏变换之比 方法二：列写系统中各元件的微分方程 在零初始条件下求拉氏变换 整理拉氏变换后的方程组， 消去中间变量整理成传递函数的形式 传递函数求解示例 null 质量-弹簧-阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：null R-L-C无源电路网络的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：nullnull求电枢控制式直流电动机的传递函数方程两边求拉氏变换为：令 ，得转速对负载力矩的传递函数：2-4-2 典型环节及其传递函数2-4-2 典型环节及其传递函数任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节所组成。 null式中：或：null由上式可见，传递函数表达式包含六种不同的因子，即：一般，任何线性系统都可以看作是由上述六种因子表示的典型环节的串联组合。上述六种典型环节分别称为：null比例环节： K一阶微分环节： s+1null实际系统中还存在纯时间延迟现象，输出完全复现输入，但延迟了时间，即xo(t)=xi(t-)，此时：null 比例环节 输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。其运动方程为：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量；K—比例系数，等于输出量与输入量之比。null比例环节的传递函数为：null 惯性环节 凡运动方程为一阶微分方程：形式的环节称为惯性环节。其传递函数为： T—时间常数，表征环节的惯性，和 环节结构参数有关式中，K—环节增益（放大系数）；null如：弹簧-阻尼器环节nullnull 微分环节 输出量正比于输入量的微分。式中，—微分环节的时间常数在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。nullnull除了上述纯微分环节外，还有一类一阶微分环节，其传递函数为：微分环节的输出是输入的导数，即输出反映了输入信号的变化趋势，从而给系统以有关输入变化趋势的预告。因此，微分环节常用来改善控制系统的动态性能。null 积分环节 输出量正比于输入量对时间的积分。 式中，T—积分环节的时间常数。null积分环节特点： 输出量取决于输入量对时间的积累过程。 且具有记忆功能； 具有明显的滞后作用。积分环节常用来改善系统的稳态性能。如当输入量为常值 A 时，由于：输出量须经过时间T才能达到输入量在t = 0时的值A。null如：有源积分网络 null 振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为： null式中，T—振荡环节的时间常数 —阻尼比，对于振荡环节，0<<1 K—比例系数振荡环节传递函数的另一常用标准形式为（K=1）：n称为无阻尼固有频率。null若 ，传递函数有一对共轭复数极点。y(t)t0单位阶跃响应曲线极点分布图null如：质量-弹簧-阻尼系统传递函数：null 二阶微分环节 式中，—时间常数 —阻尼比，对于二阶微分环节，0<<1 K—比例系数 运动方程：null 延迟环节 惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅 由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要 求的输出值；式中，为纯延迟时间。 延迟环节从输入开始之初，在0 ~ 时间内, 没有输出，但t=之后，输出完全等于输入。延迟环节与惯性环节的区别：nullnullnull延迟环节是一个非线性的超越函数，所以有延迟的系统是很难分析和控制的。为简单起见，化简如下：或2.5 系统的传递函数方框图及其简化 2.5 系统的传递函数方框图及其简化 系统方框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。 nullnull1、方框（或环节）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。 方框与实际系统中的元部件并非一一对应。函数方框具有运算功能，即： X2(s)=G(s)X1(s) null2、 信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号 的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。 3、引出点（或测量点）：表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。null 4. 求和点（比较点、综合点）信号之间代数加减运算的图解。用符号“”及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的 “+”或“-”表示加上此信号或减去此信号。 相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。 null求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。 null任何系统都可以由信号线、函数方框、信号引出点及求和点组成的方框图来表示。 null 系统方框图的建立 步骤 建立系统各元部件的微分方程,明确信号 的因果关系（输入/输出）。 对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部 件的方框图。 按照信号在系统中的传递、变换过程，依 次将各部件的方框图连接起来，得到系统 的方框图。 方框图的等效变换和简化方框图的等效变换和简化方框图的基本连接方法只有三种：串联、并联、反馈。 简化原则：变换前后变量关系保持等效。 （1）串联连接：null负载效应null（2）并联连接：null（3）反馈连接： null 方框图的等效变换法则 求和点的移动 null 引出点的移动 null 由方框图求系统传递函数 基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。 注意：比较点和引出点之间一般不宜交换其位置。 null例1：求下图所示系统的传递函数。null解：1、A点前移；null2、消去H2(s)G3(s)反馈回路null3、消去H1(s) 反馈回路4、消去H3(s) 反馈回路例2：例2：nullnullnullnull2.6 考虑扰动的反馈控制系统的传递函数 考虑扰动的闭环控制系统 Xi(s)到Xo(s)的信号传递通路称为前向通道； Xo(s)到B(s)的信号传递通路称为反馈通道； null 闭环系统的开环传递函数 闭环系统的开环传递函数也可定义为反馈信号 B(s)和偏差信号 (s)之间的传递函数，即：将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)称为该 闭环控制系统的开环传递函数。记为GK(s)。null xi(t)作用下系统的闭环传递函数 令n(t)=0，此时在输入xi(t)作用下系统的闭环传递函数为：null 输入作用下系统的偏差传递函数 null n(t)作用下系统的闭环传递函数 令xi(t)=0，此时在扰动n(t)作用下系统的闭环传递函数（干扰传递函数）为： null 扰动作用下系统的偏差传递函数 令xi(t)=0，此时系统在扰动作用下的偏差传递函数（称扰动偏差传递函数）。 null 结论 系统的固有特性与输入、输出的形式、位置 均无关；同一个外作用加在系统不同的位置 上，系统的响应不同，但不会改变系统的固 有特性； null 系统的总输出 根据线性系统的叠加原理，系统在输入xi(t)及扰动n(t)共同作用下的总输出为：null上式表明，采用反馈控制的系统，适当选择元部件的结构参数，可以增强系统抑制干扰的能力。 null2.7 相似原理能用形式相同的数学模型来描述的物理系统为相似系统，称数学模型中占相同位置的物理量为相似量。本章作业：2.17 2.18 null 学习要求 掌握系统微分方程的建立方法； 掌握拉氏变换和反变换的基本概念及方法； 掌握传递函数的概念和特点及其与微分方程 间的关系； 能熟练进行方框图的等效变换； 掌握控制系统典型传递函数。