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03第2讲 韦达定理.pdf

03第2讲 韦达定理

xiaoq999
2012-10-03 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《03第2讲 韦达定理pdf》,可适用于高中教育领域

第二讲一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【知识技能要点讲解】一元二次方程以及根的判别式、根与系数的关系是中学数学中最为重要的基本性质有极其广泛的应用.根的判别式一元二次方程cbxax(a),其根的判别式为acb则有()一元二次方程有两个不相等实数根,x=ab()一元二次方程有两个相等实数根,x=x=ab()一元二次方程没有实数根根与系数的关系一元二次方程cbxax(a),当acb≥时两根为aacbbxaacbbx,于是有,abxxacxx这就是“赫赫有名”的一元二次方程根与系数的关系也有的书上称为韦达定理特别当a=时方程cbxx的两根x,x满足xx=,xx=反过来若一元二次方程的两实根x,x满足xx=p,xx=q,则这个一元二次方程为由根与系数的关系还可得:当acb≥时若ac两根同号(且,ab两根为负,ab两根为正)若ac两根异号【例题选讲】例若方程)(xkxx有两个不相等的实根则k可取的最大整数值是()(A)(B)(C)(D)解方程化为(k)xx=,由)(k解得k<,则k可取的最大整数值是故选C例已知cba,,是ABC的三边长且方程xabxbc)()()(ba有两个相等的实数根则这个三角形是()(A)等腰三角形(B)等边三角形(C)直角三角形(D)不确定解首先b≠c,又∵))(())(()(cababaacab∴a=b或a=c但b≠c故是等腰三角形选A点评这里方程有两个相等的实数根除外还要注意二次项系数cb≠,这点是容易忽视的例已知方程xkxk=的两实数根的平方和为则k的值为()(A)(B)(C)(D)或解设方程的两根为x,x,则xx=k,xx=k由)(kkxxxxxx,解得k=或k=又由)(kk检验知k=满足此式k=不满足此式故只有k=,选A点评利用根与系数的关系求字母系数的值或取值范围时切记不要忽略方程有实根的条件即例已知:关于x的方程xbxb=有两个相等的实根关于y的方程y(b)y=的两实根是y,y求以yy为两根的一元二次方程解依题意bb=,∴b=,b=,当b=时关于y的方程为yy=此方程无实根故b=舍去当b=时关于y的方程为yy=此方程有两个正实根y,y,有yy=,yy=因为(yy)=yyyy==,所以yy=又yy=因此以yy为两根的一元二次方程为tt=点评此题中容易忽视b=时关于y的方程为yy=无实根这一事实而多求出一个一元二次方程例已知,是方程(xa)(xb)cx=的两个实数根求关于x的方程(x)(y)cx=的实数根解将两个方程整理为x(abc)xab=()x(c)x=()依题意=abc,=ab,将它们代入方程()则方程()化为x(ab)xab=()方程()的两根为x=a,x=b,故方程(x)(y)cx=的两实数根为x=a,x=b例已知关于x的一元二次方程)()(mxmx()试证:无论m取任何实数此方程总有两个正根()设x,x是方程的两实根且满足xxxx=,求m的值解()证明∵=(m)×(m)=mm>,且xx=m>,xx=(m)>,∴无论m取任何实数此方程总有两个正根()∵xxxx=(xx)xx=(m)(m)=mm,于是mm=即mm=解得m=或m=(舍去),∴所求m的值为m=±例已知p,q,m,n是实数且pq=(mn),求证方程xpxm=和xqxn=中至少有一个方程有实数根分析若由条件pq=(mn)去探讨,nqmp,发现无从下手这样只有反过来考虑反证法证明假设这两个方程均无实数根则,nqmp于是又pq=(mn),)(nmqp=pqqp=)(qp,与矛盾故这两个方程中至少有一个方程有实数根点评象这种证明至少有„„至多有„„全部有„„的存在性问题当正面突破感觉困难时反过来考虑用反证法往往能使问题得以顺利解决【重难点剖析】利用条件关系构造一元二次方程继而解决相关问题()在所给条件中若已知两个实数p,q满足pq=m,pq=n则可构造一元二次方程xmxn=(其两根为p,q)继而解决相关问题()在所给条件中若有两个实数同时满足某一个二次等式则这个二次等式往往可看作是一个一元二次方程其两根为所给的两实数例设实数a是方程xx=的一个根,实数b是方程xx=的一个根并且ab≠,求baab的值分析若用求根公式分别表示出根a和根b不但求分式baab的值运算繁杂而且还要分根a,b的情况进行讨论显然这种思路不可取依题意aa=(),bb=()观察两方程的系数且a≠,方程()变形为(a)(a)=()由(),()可知b,a是方程xx=的两个根于是ba=,ab=,即,aabab∴baab=aaa=点评本题中通过观察将两个条件式中的()进行变形确定出b,a是方程xx=的两个根得到b,a的关系式使问题化简得解这是某些已知两个条件式求其他代数式的值常用的一种转化技能例已知常数a>x,y,z均为实数且满足xyz=a,xyz=a求x,y,z的取值范围解已知xyz=a()xyz=a()由()得xy=az,()由()()得xyz=aazz,即xy=aazz,()由()、()知x,y可看作是关于t的二次方程t(az)t(aazz)=()的两实根于是=(az)(aazz)=zaz≥,解得≤z≤a)(a同理可分别解得≤x≤a)(a≤y≤a)(a点评本题的解题关键在于通过条件式变形得到xy=az,xy=aazz,继而构造出关于t的二次方程t(az)t(aazz)=此方程的两实根是x,y由=(az)(aazz)≥解得z的范围有关二次方程的参变量范围问题有关求二次方程的参变量范围的问题通常考虑运用根的判别式、根的表达式、根与系数的关系列出不等式然后求出相关范围有时也需要依据条件先构造二次方程继而使问题得解如上面例例方程xxa=有两个都大于的实数根求实数a的取值范围解首先=()(a)=a≥,解得a≤其次两根x,=a,∴a即a解得a>,∴所求a的范围是<a≤例已知实数a,b满足aabb=,求aabb的取值范围分析若考虑运用以后会学习的不等式ab≥ab,由aabb=可得ab≤ab≤于是aabb=ab≥=同理由ab≥ab可以得到aabb=ab≤这种解法要运用到以后会学习的不等式况且ab≥ab这种情况还容易忽视因此现阶段并不可取从那里突破呢?记aabb=m,这样由aabb=和aabb=m可得到ab=,mab=m,(ab)=abab=m,由ab与ab便可构造系数含m的一元二次方程解记aabb=m,由aabb=和aabb=m可得到ab=,m()ab=m,(ab)=abab=m须有m≥,即m≤,这时ab=±m()由()、()可知a,b是二次方程t±mtm的两实根于是=(±m)(m)=m≥,得m∴m即baba点评解法中记aabb=m相当于增加了一个条件等式使写出ab,ab的表达式构造二次方程t±mtm成为可能【双基巩固】若方程xx(m)=有两个不相等实数根则m的取值范围为()(A)(,∞)(B)(,∞)(C)(-∞,)(D)(-∞,)若方程x(a)xab=有两个相等实数根则方程xaxb=的两根为()(A),(B),(C),(D),关于x的方程(xa)(xb)=的根的情况是()(A)没有实数根(B)有两个相等实数根(C)有两个不相等实数根(D)有两个正实数根若方程xmxm=的两根之和与两根之积的和等于则m的值为已知一元二次方程两实根的和是两实根平方和是求这个方程已知方程()()xx的一个根为,设另一个根为p,求ppp的值已知方程x(m)xm=的两根之和等于其两根之积且方程xmxm=的两根为p,q,求qp的值已知方程xpxq=的两个实数根分别比方程xqxp=的两实数根小求以pq为两根的一元二次方程若关于x的方程x(a)xaabb=有实数根试求a,b的值已知x,x是方程xmxn=的两个实数根y,y是方程ymy=的两个实数根且xy=,xy=,求mn的值【能力提升】设x,x是二次方程xx=的两根则xx的值为()(A)(B)(C)(D)已知关于x的方程xxk=两实数的立方和是这两实数根的平方和的倍则k的值为()(A)(B)(C)(D)如果关于x的方程mx(m)xm=没有实数根那么关于x的方程(m)x(m)xm=的实数根的个数为若方程xx=的两根,也是方程xpxq=的两根则pq=已知ABC的一边长为另外两边长恰是方程xxm=的两根求实数m的取值范围若关于x的方程xxm=的两个根都是小于的正数求实数m的取值范围已知实数a,b分别满足aa=和bb=,求ba的值已知关于x的方程pxx的两根为,,方程qxx的两根为nm,证明:))()()((pqnnmm第二讲解答BA由=(a)(ab)=aab=(a)b=,得a=,b=∴方程xaxb=的两根为方程为x(ab)ab=,)()(abba=(ab)>,故选C依题意m(m)=,∴m=设方程的两根为x,x,依题意xx=()xx=()由()()得xx=xx=()由()、()知所求方程为xx=.由根的判别式知()×p=,p=则ppp=p(p)p=依题意m=m,得m=,代入方程xmxm=得xx=,∴pq=,pq=,于是qp=qpqp=)()(pqpqqp=)()(=设xqxp=的两个实数根分别为x,x,则方程xpxq=的两个实数根分别x,x,由于xx=q,xx=p,(x)(x)=p,(x)(x)=q,∴q=p,q=xx(xx)=pq,解得p=,q=∴pq=,p×q=,于是以pq为两根的一元二次方程为xx=,即xx==(a)(aabb)=(ab)(a)≥,∴(ab)(a)≤,只有ab=且a=,解得a=,b=依题意xx=m,xx=n,yy=m,yy=,于是有(xx)-(yy)=mm==,解得m=或m=当m=时方程ymy=无实数根舍去当m=时方程ymy=为yy=yy=,yy=,有n=xx=(y)(y)=(yy)yy=∴m=,n=依题意xx=则x=x∴xx=xx=(xx)=()=选BA一个实数根或两个不等实数根=,=,又=p,=q,可得pq=设另两边长为a,b,则ba即有)(abba把ab=,ab=m代入得)(m得m设两根为,则=,m依题意,首先=(m)≥,m解得m且m又,∴))((即))((=)(=m>,解得m>∴所求m的取值范围是m由aa=得aa即(a)a=()又bb=()由()、()可知ab是方程xx=的两根于是ab=a×b=∴ba=(ba)(a×b)==由根与系数的关系得p,,qnm,mn∴左边=()(()()(npnmpmnnmm),又qmm,qnn,∴qmm,qnn∴左边=())(qnpnqmpm=))((pqqpqpmn右边

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