专题训练一由动点产生的相似三角形问题教师版

1 个性化辅导 资料 新概念英语资料下载李居明饿命改运学pdf成本会计期末资料社会工作导论资料工程结算所需资料清单 启迪思维，点拨方法，开发潜能，直线提分！ 专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 训练一： 因动点产生的相似三角形问题 例1 2012年苏州市中考第29题 如图1，已知抛物线 （b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B，可以体验到，存在∠OQA＝∠B的时刻，也存在∠OQ′A＝∠B的时刻． 思路点拨 1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等． 2．联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示． 3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上． 满分解答 （1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )． （2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC． 因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)． 如图3，联结OP． 所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝ ＝2b． 解得 ．所以点P的坐标为( )． 图2 图3 （3）由 ，得A(1, 0)，OA＝1． ①如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么△OQC≌△QOA． 当 ，即 时，△BQA∽△QOA． 所以 ．解得 ．所以符合题意的点Q为( )． ②如图5，以OC为直径的圆与直线x＝1交于点Q，那么∠OQC＝90°。 因此△OCQ∽△QOA． 当 时，△BQA∽△QOA．此时∠OQB＝90°． 所以C、Q、B三点共线．因此 ，即 ．解得 ．此时Q(1,4)． 图4 图5 考点伸展 第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而∠QOA与∠QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况． 这样，先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置． 如图中，圆与直线x＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？ 如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB＝4OC矛盾． 例2 2012年黄冈市中考模拟第25题 如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C在x轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC与BF保持平行，但是∠BFC在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF保持45°，存在∠BFC＝∠BCE的时刻． 思路点拨 1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小． 2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF，作∠CBF＝∠EBC＝45°，或者作BF//EC．再用含m的式子表示点F的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m的方程． 满分解答 （1）将M(2, 2)代入 ，得 ．解得m＝4． （2）当m＝4时， ．所以C(4, 0)，E(0, 2)． 所以S△BCE＝ ． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1，当H落在线段EC上时，BH＋EH最小． 设对称轴与x轴的交点为P，那么 ． 因此 ．解得 ．所以点H的坐标为 ． （4）①如图3，过点B作EC的平行线交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′． 由于∠BCE＝∠FBC，所以当 ，即 时，△BCE∽△FBC． 设点F的坐标为 ，由 ，得 ． 解得x＝m＋2．所以F′(m＋2, 0)． 由 ，得 ．所以 ． 由 ，得 ． 整理，得0＝16．此方程无解． 图2 图3 图4 ②如图4，作∠CBF＝45°交抛物线于F，过点F作FF′⊥x轴于F′， 由于∠EBC＝∠CBF，所以 ，即 时，△BCE∽△BFC． 在Rt△BFF′中，由FF′＝BF′，得 ． 解得x＝2m．所以F′ ．所以BF′＝2m＋2， ． 由 ，得 ．解得 ． 综合①、②，符合题意的m为 ． 考点伸展 第（4）题也可以这样求BF的长：在求得点F′、F的坐标后，根据两点间的距离公式求BF的长． 例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题 直线 分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点． (1) 写出点A、B、C、D的坐标； (2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11闸北25”， 拖动点Q在直线BG上运动， 可以体验到， △ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种． 思路点拨 1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角． 2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标． 3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提． 4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个． 满分解答 （1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°． 因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么 ． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当 时， ．解得 ．所以 ， ． ②当 时， ．解得 ．所以 ， ． 图2 图3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是 ． 我们换个思路解答第（3）题： 如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N． 通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH中， ， ． ①当 时， ． 在Rt△BQN中， ， ． 当Q在B上方时， ；当Q在B下方时， ． ②当 时， ．同理得到 ， ． 例4 2011年上海市杨浦区中考模拟第24题 Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数 在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2． （1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠A＝ 时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； （3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP 相似存在两种情况． 思路点拨 1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口． 2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴． 3．如果△AEO与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答 （1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数 的图象上，所以 整理，得n＝2m． （2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝ ，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)． 已知△BDE的面积为2，所以 ．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)． 因为点D（4，1）在反比例函数 的图象上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为 ． 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得 ， ． 因此直线AB的函数解析式为 ． 图2 图3 图4 （3）如图3，因为直线 与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况： ①如图3，当 时， ．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． ②如图4，当 时， ．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． 考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况： 第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为 ，直线AB为 ．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． 图5 例5 2010年义乌市中考第24题 如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标； （2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标； （3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似． 思路点拨 1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了． 2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证． 3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB与x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方，或者假设交点G在x轴的上方． 满分解答 （1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点为M（1， ）． （2） 梯形O1A1B1C1的面积 ，由此得到 ．由于 ，所以 ．整理，得 ．因此得到 ． 当S=36时， 解得 此时点A1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G． 在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值． 在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF． 因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD． 由于 ， ，所以 ．解得 ． 图3 图4 考点伸展 第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3． 例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线 上． （1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A′B′B为菱形．再拖动点D在x轴上运动，可以体验到，△B′CD与△ABC相似有两种情况． 思路点拨 1．点A与点B的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B′ 的坐标、AC和B′C的长． 2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变． 3．探求△ABC与△B′CD相似，根据菱形的性质，∠BAC＝∠CB′D，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论． 满分解答 (1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线 上，所以 解得 ， ． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB＝5．因为四边形A A′B′B为菱形，所以A A′＝B′B＝ AB＝5．因为 EMBED Equation.3 ，所以原抛物线的对称轴x＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x＝4． 因此平移后的抛物线的解析式为 ． 图2 (3) 由点A (-2，4) 和点B′ (6，0)，可得A B′＝ ． 如图2，由AM//CN，可得 ，即 ．解得 ．所以 ．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D． ①如图3，当 时， ，解得 ．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）． ②如图4，当 时， ，解得 ．此时OD＝ ，点D的坐标为（ ，0）． 图3 图4 考点伸展 在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况． 我们也可以讨论△B′CD与△CB B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算． 例7 2009年临沂市中考第26题 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的 点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标． , 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景． 双击按钮“第(3)题”， 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大． 思路点拨 1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA． 满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于A(4，0)、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为 ，代入点C的 坐标（0，－2），解得 ．所以抛物线的解析式为 ． （2）设点P的坐标为 ． ①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4， ， ． 如果 ，那么 ．解得 不合题意． 如果 ，那么 ．解得 ． 此时点P的坐标为（2，1）． ②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4， ， ． 解方程 ，得 ．此时点P的坐标为 ． 解方程 ，得 不合题意． ③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1， ， ． 解方程 ，得 ．此时点P的坐标为 ． 解方程 ，得 ．此时点P与点O重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P的坐标为（2，1）或 或 ． 图2 图3 图4 （3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为 ． 设点D的横坐标为m ，那么点D的坐标为 ，点E的坐标为 ．所以 EMBED Equation.3 ． 因此 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ． 当 时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）． 图5 图6 考点伸展 第（3）题也可以这样解： 如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积． 设点D的横坐标为（m，n） ，那么 ． 由于 ，所以 ． 例8 2009年上海市闸北区中考模拟第25题 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cosA＝ ．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.． (1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度； (3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由． 图1 备用图 备用图 动感体验 请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次． 双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形． 思路点拨 1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形． 2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况． 3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意． 4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题． 满分解答 （1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝ ，所以AH＝ ＝ AC．所以BH垂直平分AC，△ABC 为等腰三角形，AB＝CB＝5． 因为DE//BC，所以 ，即 ．于是得到 ，（ ）． （2）如图3，图4，因为DE//BC，所以 ， ，即 ， ．因此 ，圆心距 ． 图2 图3 图4 在⊙M中， ，在⊙N中， ． ①当两圆外切时， EMBED Equation.DSMT4 ．解得 或者 ． 如图5，符合题意的解为 ，此时 ． ②当两圆内切时， EMBED Equation.DSMT4 ． 当x＜6时，解得 ，如图6，此时E在CA的延长线上， ； 当x＞6时，解得 ，如图7，此时E在CA的延长线上， ． 图5 图6 图7 （3）因为△ABC是等腰三角形，因此当△ABC与△DEF相似时，△DEF也是等腰三角形． 如图8，当D、E、F为△ABC的三边的中点时，DE为等腰三角形DEF的腰，符合题意，此时BF＝2.5．根据对称性，当F在BC边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF＝4.1． 如图9，当DE为等腰三角形DEF的底边时，四边形DECF是平行四边形，此时 ． 图8 图9 图10 图11 考点伸展 第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH是△ABC的高，D、E、F为△ABC的三边的中点，那么四边形DEHF是等腰梯形． 联系方式:金城中心：57253936；左安漪园：87196063；方庄方安苑：67682112；劲松华腾园：87735953;双井：87764368 _1234567953.unknown _1234568017.unknown _1234568049.unknown _1234568065.unknown _1234568073.unknown _1234568081.unknown _1234568089.unknown _1234568094.unknown _1234568090.unknown _1234568085.unknown _1234568087.unknown _1234568088.unknown _1234568086.unknown _1234568083.unknown _1234568084.unknown _1234568082.unknown _1234568077.unknown _1234568079.unknown _1234568080.unknown _1234568078.unknown _1234568069.unknown _1234568071.unknown _1234568072.unknown _1234568070.unknown _1234568067.unknown _1234568068.unknown _1234568066.unknown _1234568057.unknown _1234568061.unknown _1234568063.unknown _1234568064.unknown _1234568062.unknown _1234568053.unknown _1234568055.unknown _1234568056.unknown _1234568054.unknown _1234568051.unknown _1234568052.unknown _1234568050.unknown _1234568033.unknown _1234568041.unknown _1234568045.unknown 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