天津大学化工数学课件--第四章常微分方程数值解

天津大学化工数学课件--第四章常微分方程数值解nullnull4.1 引言第四章常微分方程的数值解包含一个未知函数及其导数关系的方程称为微分方程，其中只包含一个自变量的导数的方程叫常微分方程。定解问题应该包括微分方程和定解条件，根据定解条件的不同可分为初值问题和边值问题。实际过程中微分方程问题应该是非通解而是有确定解的问题，即定解问题。常微分方程的阶数：方程中出现的最高阶导数的阶数null问题1 在间歇蒸馏釜中，最初含有25mol的正辛烷和75mol的正庚烷，如果在1atm下进行操作，当最...

nullnull4.1 引言第四章常微分方程的数值解包含一个未知函数及其导数关系的方程称为微分方程，其中只包含一个自变量的导数的方程叫常微分方程。定解问题应该包括微分方程和定解条件，根据定解条件的不同可分为初值问题和边值问题。实际过程中微分方程问题应该是非通解而是有确定解的问题，即定解问题。常微分方程的阶数：方程中出现的最高阶导数的阶数null问题1 在间歇蒸馏釜中，最初含有25mol的正辛烷和75mol的正庚烷，如果在1atm下进行操作，当最后釜中剩有溶液的总摩尔数为10mol时，试求正庚烷的摩尔分率。正辛烷和正庚烷的混合物 4.1.1 常微分方程初值问题描述null总的物料平衡正庚烷的物料平衡 t=0操作方式决定S0, x0y (t）D (t)S(t), x(t)求S＝Sf时的xf常微分方程初值问题给出自变量在一端满足的条件初始条件：null问题2 在一个与外界没有质量交换的封闭系统中，三个组分A,B,C浓度分别为C1、C2、C3。当系统在特定频率光照下发生反应，求每种物质浓度随时间变化规律。C1(t) C2(t) C3(t)A B Cnull初始条件常微分方程组初值问题null问题3 一均匀细杆稳态导热问题。设其杆的一端恒温为T1，另一端绝热，试确定杆温度沿杆的分布情况。 T1绝热x=0x=l4.1.2 常微分方程边值问题描述边界条件给定自变量在两端满足的条件边界条件：二阶常微分方程边值问题null对于一阶初值问题：首先对自变量离散化处理： 4.2 初值问题的解法把区间 n等分，确定节点，即其中null数值解就是求取在节点处的函数近似值，设y（xi）≈ui ，即求null1、显式尤拉法（1）公式－又称折线法显式尤拉法的几何意义y=y(x)x0x1x2xn4.2.1 尤拉法null分析解为例4-1 解析解与数值解比较数值解为 null（2）误差分析①局部截断误差②总误差可以推出：当一个方法的局部误差为显式尤拉法的精度为P=1时，则称其具有P阶精度，方法的精度定义null（3）收敛性和稳定性对于一个给定的微分方程，若没有舍入误差，当步长趋于零时，方程的数值解逼近于精确解时，则称所采用的数值方法是收敛的。虽然数值方法可能是收敛的，但由于在实际计算中都不可避免地存在舍入误差，所以，当h趋于零时，并不意味着数值解一定趋于精确解。 null一般以下列初值问题讨论方法的稳定性绝对稳定区与λ和h的取值有关，如果λ是实数，则显示尤拉法的绝对稳定区为但当解会产生摆动就是当步长确定之后，随着步数的增加，计算中累积的误差会不会超出所允许的范围。绝对稳定性：随着步数的增加总误差不会步步增加稳定性：见例4－3null2、隐式尤拉法3、梯形法则隐式尤拉法的精度P=1，但当λ<0时可以无条件稳定梯形法则的精度P=2i=0,1,2,…n-1null4、改进尤拉法改进尤拉法的精度P=2如果设改进尤拉法可以写为：null4.2.2 龙格库塔法经典的四阶龙格—库塔公式：书(4-55)式有错 null例2：用四阶龙格库塔法解例4-1t=0四阶龙格-库塔法h=0.000625 0.37521829h=0.01 0.37691626分析解为显示尤拉法 null 例4-2 在一个与外界没有质量交换的封闭系统中，三个组分A,B,C浓度分别为C1、C2、C3。当系统在特定频率光照下发生反应，求每种物质浓度随时间变化规律。C1(t) C2(t) C3(t)A B C4.2.3 常微分方程组初值问题 null一阶常微分方程组初值问题：null一、一阶常微分方程组初值问题一阶常微分方程组初值问题：null回顾用四阶龙格－库塔法解常微分方程初值问题：null常微分方程组初值问题求解公式：null取h＝0.05，求y1(0.1)，由y2(0.1)的值，计算过程保留4位小数。解例4-2：null设 Cji≈uji， u10＝C0， u20＝u30＝0null例4－3 用四阶龙格—库塔法解常微分方程组初值问题取h＝0.05，求y1(0.1)，由y2(0.1)的值，计算过程保留4位小数。 x y1 y2 ---------------------------------------- 0.0500 1.1038 2.0526 0.1000 1.2154 2.1108 null4.2.4 高阶常微分方程求解√null将高阶方程初值问题转化为一阶方程组的问题设则nullnull例4－4 用四阶龙格—库塔法解常微分方程初值问题取h＝0.1，求y (0.1) 的值，计算过程保留4位小数。 X Y1 Y2 ------------------------------ 0.1000 0.0907 1.7254 0.2000 0.3299 2.9933

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