下载

5下载券

加入VIP
  • 专属下载特权
  • 现金文档折扣购买
  • VIP免费专区
  • 千万文档免费下载

上传资料

关闭

关闭

关闭

封号提示

内容

首页 线性代数第五版答案(全)

线性代数第五版答案(全).doc

线性代数第五版答案(全)

番茄鸡蛋酱
2012-10-01 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《线性代数第五版答案(全)doc》,可适用于高等教育领域

第一章行列式(利用对角线法则计算下列三阶行列式(()(解(((()((((()((()(((((((((()((((()((()((((((((()(解(acb(bac(cba(bbb(aaa(ccc(abc(a(b(c(()(解(bc(ca(ab(ac(ba(cb((a(b)(b(c)(c(a)(()(解(x(x(y)y(yx(x(y)((x(y)yx(y((x(y)(x(xy(x(y)(y(xy(x(y(x(((x(y)((按自然数从小到大为标准次序(求下列各排列的逆序数(()(解逆序数为()(解逆序数为(((((()(解逆序数为((((,(()(解逆序数为((((()((((n()((((n)(解逆序数为((个)((个)(((个)(((((((n()((n()((n()((((((n()(n()(n(个)()((((n()(n)(n()((((解逆序数为n(n()((个)((个)(((((((n()((n()((n()((((((n()(n()(n(个)(个)((个)(((((((n)((n)((n)((((((n)(n()(n(个)(写出四阶行列式中含有因子aa的项(解含因子aa的项的一般形式为(()taaaras(其中rs是和构成的排列(这种排列共有两个(即和(所以含因子aa的项分别是(()taaaa((()aaaa((aaaa((()taaaa((()aaaa(aaaa((计算下列各行列式(()(解EMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquation(()(解EMBEDEquationEMBEDEquation(()(解EMBEDEquation(()(解EMBEDEquationEMBEDEquation(abcd(ab(cd(ad(((证明:()((a(b)证明EMBEDEquationEMBEDEquation((a(b)(()证明(()证明(c(c(c(c(c(c得)(c(c(c(c得)(()((a(b)(a(c)(a(d)(b(c)(b(d)(c(d)(a(b(c(d)证明=(a(b)(a(c)(a(d)(b(c)(b(d)(c(d)(a(b(c(d)(()(xn(axn((((((an(x(an(证明用数学归纳法证明(当n(时((命题成立(假设对于(n()阶行列式命题成立(即Dn((xn((axn((((((an(x(an((则Dn按第一列展开(有(xDn((an(xn(axn((((((an(x(an(因此(对于n阶行列式命题成立((设n阶行列式D(det(aij),把D上下翻转、或逆时针旋转(、或依副对角线翻转(依次得(((证明(D(D(证明 因为D(det(aij)(所以(同理可证EMBEDEquation(((计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)((),其中对角线上元素都是a(未写出的元素都是(解(按第n行展开)(an(an((an((a()(()解将第一行乘(()分别加到其余各行(得(再将各列都加到第一列上(得(x((n()a(x(a)n((()解根据第题结果(有此行列式为范德蒙德行列式((()解(按第行展开)(再按最后一行展开得递推公式Dn(andnDn((bncnDn((即Dn((andn(bncn)Dn((于是(而(所以(()D(det(aij)(其中aij(|i(j|解aij(|i(j|(((()n((n()n(((),其中aa(((an((解((用克莱姆法则解下列方程组(()(解因为(((((所以((((()(解因为((((((所以((((((问(((取何值时(齐次线性方程组有非零解?解系数行列式为(令D((得((或(((于是(当((或((时该齐次线性方程组有非零解((问(取何值时(齐次线性方程组有非零解?解系数行列式为(((()(((()(((()(((()(((()(((()(((()((((令D((得(((((或(((于是(当(((((或((时(该齐次线性方程组有非零解(第二章 矩阵及其运算(已知线性变换((求从变量x(x(x到变量y(y(y的线性变换(解由已知((故EMBEDEquation(((已知两个线性变换((求从z(z(z到x(x(x的线性变换(解由已知EMBEDEquation(所以有((设((求AB(A及ATB(解(((计算下列乘积(()(解EMBEDEquationEMBEDEquation(()(解((((((()(()(()(解EMBEDEquationEMBEDEquation(()(解EMBEDEquation(()(解((ax(ax(axax(ax(axax(ax(ax)((设((问(()AB(BA吗解AB(BA(因为((所以AB(BA(()(A(B)(A(AB(B吗解(A(B)(A(AB(B(因为(EMBEDEquation(但EMBEDEquation(所以(A(B)(A(AB(B(()(A(B)(A(B)(A(B吗解(A(B)(A(B)(A(B(因为(((而(故(A(B)(A(B)(A(B((举反列说明下列命题是错误的(()若A((则A((解取(则A((但A((()若A(A(则A(或A(E(解取(则A(A(但A(且A(E(()若AX(AY(且A((则X(Y(解取(((则AX(AY(且A((但X(Y((设(求A(A(((((Ak(解(((((((((((设(求Ak(解首先观察EMBEDEquation(((((((((((EMBEDEquationEMBEDEquation(用数学归纳法证明(当k(时(显然成立(假设k时成立则k(时(由数学归纳法原理知(((设A(B为n阶矩阵且A为对称矩阵证明BTAB也是对称矩阵(证明因为AT(A(所以(BTAB)T(BT(BTA)T(BTATB(BTAB(从而BTAB是对称矩阵((设A(B都是n阶对称矩阵证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB(BA(证明充分性(因为AT(A(BT(B(且AB(BA(所以(AB)T((BA)T(ATBT(AB(即AB是对称矩阵(必要性(因为AT(A(BT(B(且(AB)T(AB(所以AB((AB)T(BTAT(BA((求下列矩阵的逆矩阵(()(解(|A|((故A(存在(因为(故EMBEDEquation(()(解(|A|(((故A(存在(因为(所以EMBEDEquation(()(解(|A|(((故A(存在(因为(所以EMBEDEquation(()(aa(((an()(解(由对角矩阵的性质知((解下列矩阵方程(()(解EMBEDEquationEMBEDEquation(()(解(()(解EMBEDEquation(()(解EMBEDEquation((利用逆矩阵解下列线性方程组(()(解方程组可表示为(故(从而有(()(解方程组可表示为(故(故有((设Ak(O(k为正整数)(证明(E(A)((E(A(A(((((Ak((证明因为Ak(O(所以E(Ak(E(又因为E(Ak((E(A)(E(A(A(((((Ak()(所以(E(A)(E(A(A(((((Ak()(E(由定理推论知(E(A)可逆(且(E(A)((E(A(A(((((Ak((证明一方面(有E((E(A)((E(A)(另一方面(由Ak(O(有E((E(A)((A(A)(A(((((Ak(((Ak((Ak)((E(A(A(((((Ak()(E(A)(故(E(A)((E(A)((E(A(A(((((Ak()(E(A)(两端同时右乘(E(A)((就有(E(A)((E(A)(E(A(A(((((Ak(((设方阵A满足A(A(E(O(证明A及A(E都可逆(并求A(及(A(E)((证明由A(A(E(O得A(A(E(即A(A(E)(E(或(由定理推论知A可逆(且(由A(A(E(O得A(A(E((E(即(A(E)(A(E)((E(或由定理推论知(A(E)可逆(且(证明由A(A(E(O得A(A(E(两端同时取行列式得|A(A|((即|A||A(E|((故|A|((所以A可逆(而A(E(A(|A(E|(|A|(|A|((故A(E也可逆(由A(A(E(O(A(A(E)(E(A(A(A(E)(A(E((又由A(A(E(O((A(E)A((A(E)((E((A(E)(A(E)((E(所以(A(E)((A(E)(A(E)(((A(E)((((设A为阶矩阵((求|(A)((A*|(解因为(所以EMBEDEquation(|(A(|((()|A(|((|A|((((((((设矩阵A可逆(证明其伴随阵A*也可逆(且(A*)(((A()*(证明由(得A*(|A|A((所以当A可逆时(有|A*|(|A|n|A(|(|A|n(((从而A*也可逆(因为A*(|A|A((所以(A*)((|A|(A(又(所以(A*)((|A|(A(|A|(|A|(A()*((A()*((设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*(证明(()若|A|((则|A*|((()|A*|(|A|n((证明()用反证法证明(假设|A*|((则有A*(A*)((E(由此得A(AA*(A*)((|A|E(A*)((O(所以A*(O(这与|A*|(矛盾故当|A|(时(有|A*|((()由于(则AA*(|A|E(取行列式得到|A||A*|(|A|n(若|A|((则|A*|(|A|n((若|A|((由()知|A*|((此时命题也成立(因此|A*|(|A|n(((设(AB(A(B(求B(解由AB(A(E可得(A(E)B(A(故EMBEDEquation((设(且AB(E(A(B(求B(解由AB(E(A(B得(A(E)B(A(E(即(A(E)B((A(E)(A(E)(因为(所以(A(E)可逆(从而((设A(diag(((()(A*BA(BA(E(求B(解由A*BA(BA(E得(A*(E)BA((E(B(((A*(E)(A(((A(A*(E)((((AA*(A)((((|A|E(A)(((((E(A)(((E(A)((diag(((()((diag(((()((已知矩阵A的伴随阵(且ABA((BA((E(求B(解由|A*|(|A|((得|A|((由ABA((BA((E得AB(B(A(B((A(E)(A(A(E(A()(A((设P(AP(((其中((求A(解由P(AP(((得A(P(P((所以A(A=P(P(|P|((((而(故EMBEDEquation((设AP(P((其中((求((A)(A(E(A(A)(解((()(((E(((()(diag((()diag((()(diag(((()(diag((()(diag((()diag((()(diag((()(((A)(P((()P(((设矩阵A、B及A(B都可逆(证明A((B(也可逆(并求其逆阵(证明因为A((A(B)B((B((A((A((B((而A((A(B)B(是三个可逆矩阵的乘积(所以A((A(B)B(可逆(即A((B(可逆((A((B()((A((A(B)B(((B(A(B)(A((计算(解设((((则EMBEDEquation(而((所以EMBEDEquationEMBEDEquation(即EMBEDEquation((取(验证(解(而(故((设(求|A|及A(解 令((则(故EMBEDEquation((((设n阶矩阵A及s阶矩阵B都可逆(求()(解设(则EMBEDEquationEMBEDEquation(由此得((所以(()(解设(则(由此得((所以((求下列矩阵的逆阵(()(解设((则((于是(()(解设(((则(第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(把下列矩阵化为行最简形矩阵(()(解(下一步(r((()r(r((()r()~(下一步(r((()(r((()()~(下一步(r(r()~(下一步(r(()~(下一步(r(r()~(下一步(r((()r(r(r()~(()(解(下一步(r(((()r(r((()r()~(下一步(r(r(r(r()~(下一步(r(()~(()(解(下一步(r(r(r(r(r(r()~(下一步(r((()(r((()(r((()()~(下一步(r(r(r(r(r(r()~(()(解(下一步(r(r(r(r(r(r()~(下一步(r(r(r(r(r(r()~(下一步(r(r(r((()(r(r()~(下一步(r(r()~((设(求A(解是初等矩阵E(()(其逆矩阵就是其本身(是初等矩阵E((())(其逆矩阵是E(((())(((试利用矩阵的初等变换(求下列方阵的逆矩阵(()(解~~~~故逆矩阵为(()(解~~~~~故逆矩阵为((()设((求X使AX(B(解因为EMBEDEquation(所以(()设((求X使XA(B(解考虑ATXT(BT(因为EMBEDEquation(所以(从而((设(AX(X(A(求X(解原方程化为(A(E)X(A(因为(所以((在秩是r的矩阵中,有没有等于的r(阶子式有没有等于的r阶子式解在秩是r的矩阵中(可能存在等于的r(阶子式(也可能存在等于的r阶子式(例如((R(A)((是等于的阶子式(是等于的阶子式((从矩阵A中划去一行得到矩阵B(问A(B的秩的关系怎样解R(A)(R(B)(这是因为B的非零子式必是A的非零子式(故A的秩不会小于B的秩((求作一个秩是的方阵(它的两个行向量是((((()((((((()(解用已知向量容易构成一个有个非零行的阶下三角矩阵((此矩阵的秩为(其第行和第行是已知向量((求下列矩阵的秩(并求一个最高阶非零子式(()解(下一步(r(r()~(下一步(r(r(r(r()~(下一步(r(r()~(矩阵的(是一个最高阶非零子式(()(解(下一步(r(r(r(r(r(r()~(下一步(r(r()~(矩阵的秩是(是一个最高阶非零子式(()(解(下一步(r(r(r(r(r(r()~(下一步(r(r(r(r()~(下一步(r(r(r(r()~~(矩阵的秩为(是一个最高阶非零子式((设A、B都是m(n矩阵(证明A~B的充分必要条件是R(A)(R(B)(证明根据定理(必要性是成立的(充分性(设R(A)(R(B)(则A与B的标准形是相同的(设A与B的标准形为D(则有A~D(D~B(由等价关系的传递性(有A~B((设(问k为何值(可使()R(A)((()R(A)((()R(A)((解EMBEDEquation(()当k(时(R(A)((()当k((且k(时(R(A)((()当k(且k((时(R(A)(((求解下列齐次线性方程组:()(解 对系数矩阵A进行初等行变换(有A(~(于是(故方程组的解为(k为任意常数)(()(解对系数矩阵A进行初等行变换(有A(~(于是(故方程组的解为(k(k为任意常数)(()(解对系数矩阵A进行初等行变换(有A(~(于是(故方程组的解为(()(解对系数矩阵A进行初等行变换(有A(~(于是(故方程组的解为(k(k为任意常数)((求解下列非齐次线性方程组:()(解对增广矩阵B进行初等行变换(有B(~(于是R(A)((而R(B)((故方程组无解(()(解对增广矩阵B进行初等行变换(有B(~(于是(即(k为任意常数)(()(解对增广矩阵B进行初等行变换(有B(~(于是(即(k(k为任意常数)(()(解对增广矩阵B进行初等行变换(有B(~(于是(即(k(k为任意常数)((写出一个以为通解的齐次线性方程组(解根据已知(可得(与此等价地可以写成(或(或(这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组(((取何值时(非齐次线性方程组(()有唯一解(()无解(()有无穷多个解解(()要使方程组有唯一解(必须R(A)((因此当((且(((时方程组有唯一解()要使方程组无解(必须R(A)(R(B)(故((()((()((((()((()((因此(((时(方程组无解(()要使方程组有有无穷多个解(必须R(A)(R(B)((故((()((()((((()((()((因此当((时(方程组有无穷多个解(非齐次线性方程组当(取何值时有解?并求出它的解(解 ~(要使方程组有解(必须((()((()((即(((((((当((时(~(方程组解为或(即(k为任意常数)(当(((时(~(方程组解为或(即(k为任意常数)((设(问(为何值时(此方程组有唯一解、无解或有无穷多解并在有无穷多解时求解(解B(~(要使方程组有唯一解(必须R(A)(R(B)((即必须((()((()((所以当((且((时(方程组有唯一解要使方程组无解(必须R(A)(R(B)(即必须((()((()(且((()((()((所以当((时(方程组无解要使方程组有无穷多解(必须R(A)(R(B)((即必须((()((()(且((()((()((所以当((时(方程组有无穷多解(此时增广矩阵为B~(方程组的解为(或(k(k为任意常数)((证明R(A)(的充分必要条件是存在非零列向量a及非零行向量bT(使A(abT(证明必要性(由R(A)(知A的标准形为(即存在可逆矩阵P和Q(使(或(令(bT(((((((()Q((则a是非零列向量(bT是非零行向量(且A(abT(充分性(因为a与bT是都是非零向量(所以A是非零矩阵(从而R(A)((因为(R(A)(R(abT)(min{R(a)(R(bT)}(min{(}((所以R(A)(((设A为m(n矩阵(证明()方程AX(Em有解的充分必要条件是R(A)(m(证明由定理(方程AX(Em有解的充分必要条件是R(A)(R(A(Em)(而|Em|是矩阵(A(Em)的最高阶非零子式(故R(A)(R(A(Em)(m(因此(方程AX(Em有解的充分必要条件是R(A)(m(()方程YA(En有解的充分必要条件是R(A)(n(证明注意(方程YA(En有解的充分必要条件是ATYT(En有解(由()ATYT(En有解的充分必要条件是R(AT)(n(因此方程YA(En有解的充分必要条件是R(A)(R(AT)(n((设A为m(n矩阵(证明(若AX(AY(且R(A)(n(则X(Y(证明由AX(AY(得A(X(Y)(O(因为R(A)(n(由定理(方程A(X(Y)(O只有零解(即X(Y(O(也就是X(Y(第四章 向量组的线性相关性(设v(((()T(v(((()T(v(((()T(求v(v及v(v(v(解v(v(((()T(((()T((((((()T((((()T(v(v(v(((()T(((()T(((()T(((((((((((((((()T(((()T((设(a(a)((a(a)((a(a)(求a(其中a((((()T(a((((()T(a(((((()T(解由(a(a)((a(a)((a(a)整理得((((()T((已知向量组A(a((((()T(a((((()T(a((((()T(B(b((((()T(b(((((()T(b((((()T(证明B组能由A组线性表示(但A组不能由B组线性表示(证明由EMBEDEquationEMBEDEquation知R(A)(R(A(B)((所以B组能由A组线性表示(由知R(B)((因为R(B)(R(B(A)(所以A组不能由B组线性表示((已知向量组A(a(((()T(a(((()T(B(b((((()T(b(((()T(b((((()T(证明A组与B组等价(证明由(知R(B)(R(B(A)((显然在A中有二阶非零子式(故R(A)((又R(A)(R(B(A)((所以R(A)((从而R(A)(R(B)(R(A(B)(因此A组与B组等价((已知R(a(a(a)((R(a(a(a)((证明()a能由a(a线性表示(()a不能由a(a(a线性表示(证明()由R(a(a(a)(知a(a(a线性无关(故a(a也线性无关(又由R(a(a(a)(知a(a(a线性相关(故a能由a(a线性表示(()假如a能由a(a(a线性表示(则因为a能由a(a线性表示(故a能由a(a线性表示(从而a(a(a线性相关(矛盾(因此a不能由a(a(a线性表示((判定下列向量组是线性相关还是线性无关(()(((()T(((()T(((()T(()((()T((((()T(((()T(解()以所给向量为列向量的矩阵记为A(因为(所以R(A)(小于向量的个数(从而所给向量组线性相关(()以所给向量为列向量的矩阵记为B(因为(所以R(B)(等于向量的个数(从而所给向量组线性相无关((问a取什么值时下列向量组线性相关?a((a(()T(a(((a(()T(a(((((a)T(解以所给向量为列向量的矩阵记为A(由知(当a((、、时(R(A)((此时向量组线性相关((设a(a线性无关(a(b(a(b线性相关(求向量b用a(a线性表示的表示式(解因为a(b(a(b线性相关(故存在不全为零的数(((使((a(b)(((a(b)((由此得(设(则b(ca(((c)a(c(R((设a(a线性相关(b(b也线性相关(问a(b(a(b是否一定线性相关?试举例说明之(解不一定(例如(当a((()T,a((()T,b((((()T,b((()T时(有a(b((()T(b((()T,a(b((()T((()T((()T(而a(b(a(b的对应分量不成比例(是线性无关的((举例说明下列各命题是错误的(()若向量组a(a(((((am是线性相关的(则a可由a(((((am线性表示(解设a(e((((((((()(a(a(((((am((则a(a(((((am线性相关(但a不能由a(((((am线性表示(()若有不全为的数(((((((((m使(a((((((mam((b((((((mbm(成立(则a(a(((((am线性相关,b(b(((((bm亦线性相关(解有不全为零的数(((((((((m使(a((((((mam((b((((((mbm((原式可化为((a(b)((((((m(am(bm)((取a(e((b(a(e((b(((((am(em((bm(其中e(e(((((em为单位坐标向量(则上式成立(而a(a(((((am和b(b(((((bm均线性无关(()若只有当(((((((((m全为时(等式(a((((((mam((b((((((mbm(才能成立(则a(a(((((am线性无关,b(b(((((bm亦线性无关(解由于只有当(((((((((m全为时(等式由(a((((((mam((b((((((mbm(成立(所以只有当(((((((((m全为时(等式((a(b)(((a(b)((((((m(am(bm)(成立(因此a(b(a(b(((((am(bm线性无关(取a(a(((((am((取b(((((bm为线性无关组(则它们满足以上条件(但a(a(((((am线性相关(()若a(a(((((am线性相关,b(b(((((bm亦线性相关(则有不全为的数((((((((((m使(a((((((mam(((b((((((mbm(同时成立(解a((()T(a((()T(b((()T(b((()T((a((a((((((((b((b(((((()((((((((与题设矛盾((设b(a(a(b(a(a(b(a(a(b(a(a(证明向量组b(b(b(b线性相关(证明由已知条件得a(b(a(a(b(a(a(b(a(a(b(a(于是a(b(b(a(b(b(b(a(b(b(b(b(a(从而b(b(b(b((这说明向量组b(b(b(b线性相关((设b(a(b(a(a(((((br(a(a(((((ar(且向量组a(a(((((ar线性无关(证明向量组b(b(((((br线性无关(证明已知的r个等式可以写成(上式记为B(AK(因为|K|(((K可逆(所以R(B)(R(A)(r(从而向量组b(b(((((br线性无关((求下列向量组的秩,并求一个最大无关组(()a(((((()T(a((((()T(a(((((((()T(解 由(知R(a(a(a)((因为向量a与a的分量不成比例(故a(a线性无关(所以a(a是一个最大无关组(()aT((((()(aT(((((((()(aT(((((((()(解由(知R(aT(aT(aT)(R(a(a(a)((因为向量aT与aT的分量不成比例(故aT(aT线性无关(所以aT(aT是一个最大无关组((利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组(()(解因为EMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquation(所以第、、列构成一个最大无关组()(解因为EMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquationEMBEDEquation(所以第、、列构成一个最大无关组((设向量组(a(()T(((b()T(((()T(((()T的秩为(求a(b(解设a((a(()T(a(((b()T(a(((()T(a((

用户评价(3)

  • 10.44.7.248 谢谢

    2012-12-18 04:40:52

  • txgyc 很有用 谢谢你的答案

    2012-10-02 05:53:53

  • zp23133 同济大学版,线代之巅

    2012-10-02 05:39:23

关闭

新课改视野下建构高中语文教学实验成果报告(32KB)

抱歉,积分不足下载失败,请稍后再试!

提示

试读已结束,如需要继续阅读或者下载,敬请购买!

文档小程序码

使用微信“扫一扫”扫码寻找文档

1

打开微信

2

扫描小程序码

3

发布寻找信息

4

等待寻找结果

我知道了
评分:

/50

线性代数第五版答案(全)

VIP

在线
客服

免费
邮箱

爱问共享资料服务号

扫描关注领取更多福利