电动力学04

电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 1 第四章 电磁波的传播 §1 平面电磁波 一、 电磁场的波动方程 Maxwell 方程 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =⋅∇ =⋅∇ +∂ ∂=×∇ ∂ ∂−=×∇ 0B D J t DH t BE f f K K KKK KK ρ 无电流和电荷分布时 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =⋅∇ =⋅∇ ∂ ∂=×∇ ∂ ∂−=×∇ )4(0 )3(0 )2( )1( B D t DH t BE K K KK KK z 在真空中 物质方程 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = )6( )5( 0 0 HB ED KK KK μ ε 由（2）式 H t E KK ×∇=∂ ∂ 0 1 ε 可得 ( )[ ]EEE EB t H tt E KKK KKKK 2 0000 00000 2 2 1)(1 )(1111 ∇−⋅∇∇−=×∇×∇−= ×−∇×∇=∂ ∂×∇=∂ ∂×∇=∂ ∂ μεμε μεμεε 所以 02 2 00 2 =∂ ∂−∇ t EE KK με （7） 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 2 又，由（1）式 E t B KK ×−∇=∂ ∂ 可得 ( ) ( ) ( )[ ]BBB H t E t B KKK KKK 2 0000 0 2 2 11 1 ∇−⋅∇∇−=×∇×∇−= ×∇×−∇=∂ ∂×−∇=∂ ∂ μεμε ε 所以 02 2 00 2 =∂ ∂−∇ t BB KK με （8） 令 00 1 με=c ，电磁场在真空中的波动方程 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂−∇ =∂ ∂−∇ ⇒ 01 01 2 2 2 2 2 2 2 2 B tc B E tc E KK KK （9） 讨论： 1）上述方程的解决定于边界条件，有多种形式的解 2）所有电磁波（如无线电波、光波、X 射线和γ 射线等）在真空中都以光速 c传播。 3）光速c是最基本的物理参数量。（ →c 电磁现象， →G 万有引力， →k 热现象， →h 量 子现象） z 在介质中 考虑一定频率的电磁波射入介质内，束缚电荷在电场作用下作相同频率的振荡。极化 强度 )()()( 0 ωωχεω EP e GG = 一般，极化率 )(ωχ e 与ω有关（讲述物理图象）。 在线性介质中， ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = =⇒ )()()( )()()( ωωμω ωωεω HB ED GG GG （10） ε 和μ 随频率改变的现象称为介质的色散。 注意： 1）由于色散效应，在介质中没有形如（9）式的（一般性）波动方程（不能以εμ替换 00με ）。 2）对于非单一频率（非正弦变化）的电磁波，一般不再满足 ( ) ( )tEtD ε= 。 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 3 二、 时谐电磁波 时谐：（电场和磁场）随时间作谐振变化。时谐电磁波即是单一频率（单色）电磁波。 z 为什么要研究时谐电磁波？ 1）许多实际情况（无线电广播、通讯中的载波、激光器辐射的光束等）可近似作为单一频 率电磁波； 2）一般情况下，可作 Fourier 频谱 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，电磁波可分解为不同的频率的单色波的叠加。可以 对各成份进行分析处理。 z 时谐电磁波满足的方程 时谐电磁波的复数形式 ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = − − ti ti exBtxB exEtxE ω ω KKKK KKKK , , （11） 单一频率的电磁波满足 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =∂ ∂−∇ =∂ ∂−∇ 0 0 2 2 2 2 2 2 B t B E t E KK KK εμ εμ 将（11）式代入上式，可得 Helmholtz 方程 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+∇ =+∇⇒ 0 0 22 22 BkB EkE KK KK （12） 其中 μεω=k （13） 注意： 1） Helmholtz 方程中的E G 和B G 仅是电场和磁场的空间部分； 2） 对某一频率，Helmholtz 方程一般有多种电磁波解，每种解称为一种波模。 z E K 与B K 的关系 Bi t BE KKK ω=∂ ∂−=×∇ E k iEiB KKK ×∇−=×∇−=⇒ μεω （14） EiDi t DH GKKK εωω −=−=∂ ∂=×∇ B k iBiE KKK ×∇=×∇=⇒ μεωεμ （15） 时谐电磁波仍然要满足 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 4 ⎩⎨ ⎧ =⋅∇ =⋅∇ 0 0 B EK K （16） 上述（14）、（15）和（16）式，即是时谐（单色）电磁波的 Maxwell 方程。 三、 平面电磁波 Helmholtz 方程最简单的情形是：E K 和B K 与 y、 z 无关，只与 x有关。 以电场强度为例 022 2 =+⇒ EkE dx d KK 它的一个解为 ikxeEE 0 KK = （17） 注意上述E G 仅是电场强度的空间部分，考虑时间部分，则应为 ( )tkxieEE ω−= 0 KK （18） 讨论： 1） ( )txkie ω− 称为相位因子，上述电磁波当 x相同时，在同一时刻 t，相位 ( )tkx ω− 相同，即 相位相同的点（等相面、波阵面）与 x轴正交； 2） 0=⋅=⋅∇ EeikE x KGK ，EK的方向与 kK垂直； 四、 平面电磁波的特征 在电磁波的复数形式（11）中，有实际意义的是E K 的实数部分 ( ) ( )tkxEtxE ω−= cos, 0KKK 当 0=t 时， 0=x 平面处于波峰；经过 t时间，波峰移到 0=− tkx ω 处，即 k tx ω= 处， 波峰移动速度， kdt dx ω= ，这即是等相面移动速度——相速。 相速 με ω 1== k v z 在真空中的相速为光速： 00 1 εμ=c z 在介质中的相速： rr cv εμμε == 1 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 5 显然，相速 v与ω 有关，有色散现象（不同颜色的光，相速度不同→光的折射）。 电磁波并不沿 x轴方向传播时 ( ) )(exp, 0 txkiEtxE ω−⋅= GKKKK μεω=k 考虑面 ( )kS K⊥ 上一点P，其相位 txk ωϕ −⋅= KK 由此可知，S 面上各点ϕ相等。所以， 等相面 k K⊥ 。 等相面移动方向 k K→ 方向→电磁波的传播方向。 以 'x 表投影（沿 k K 方向），则 tkx ωϕ −= ' 。相邻波峰之空间距离记为λ，在同一时刻 'xkΔ=Δϕ λπ k=2 λπ2=⇒ k 由 ( ) 00 =⋅=∇⋅=⋅∇ −⋅ EkieEE txki KKKK KK ω 所以 kE KK ⊥ （19） E K 可在垂直于 k K 的任意方向上振荡。 E K 的取向称为偏振方向。可规定两个相互垂直的 方向为基本方向，任意方向的偏振方向可沿两个基本方向分解。 上述推导对B K 亦适用。亦即对于B K ，也有上述类似结论。 又 ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) EnE k kEkEkii EtxkikiiEtxkii txkiEiEiB KKKKKKK KKKKKKK KKKKK ×=×=×=×−= ×−⋅−=×−⋅∇−= −⋅×∇−=×∇−= μωμωωω ωωωω ωωω 00 0 expexp exp E K 和 B K 的关系 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 6 EnB KKK ×= μω （ nG为波矢方向的单位矢量） （20） 由此可知，E K 和B K 同相；结合（19）式，可得（ k K 、E K 、B K ）相互垂直，且 v B E == με 1K K （21） 小结：（P. 142）如右图， z 电磁波是横波； z E G 与 B G 相互垂直，且 BE GG × 沿波 矢 k G 方向； z E G 与B G 同相，且振幅之比为相速。 五、 电磁波的能量和能流 平面电磁波的能量密度 ( ) ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=⋅+⋅= 22 1 2 1 2 1 BEHBDEw KKKKKK με 因为 με 1= B E 22 1 BEw με == K （22） 平面电磁波的能流密度 [ ] ( ) nwnEEnE EnEBEHES KKKKK KKKKKKKG μεμ ε μ ε μεμμ 1 11 2 ==××= ××=×=×= 所以 nvwS KG = （23） 可见电磁波能量的传播方向（即电磁波的传播方向）为 k K 。 六、 （能量密度和能流密度）瞬时值和平均值的计算 w 和 S G 涉及场强的二次项，不宜用场强的复数形式进行计算。计算时，只取实部。 z w 和 S G 的瞬时值（与时间的关系） 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 7 ( ) ( )[ ]txkE txkEw ωε ωε −⋅+= −⋅= KK KK 2cos1 2 1 cos 2 0 22 0 （24） 由（23）式可得 S G 的瞬时值。 z w和 S G 的在一个周期的平均值 数学补充： 设两个复函数 tieftf ω−= 0)( 和 φω itiegtg +−= 0)( ，φ是它们的相位差。考虑它们的 乘积在一个周期（ ω π2=T ）的平均值 )Re( 2 1cos 2 1 )cos()cos( 2 * 00 /2 0 00 gfgf tgtdtfgf == −= ∫ φ φωωπ ω ωπ （25a） 可以证明：对于两个矢量函数 f G 和 gG，有 )Re( 2 1 * gfgf GGGG ⋅=⋅ （25b） )Re( 2 1 * gfgf GGGG ×=× （25c） ＃ 运用上述公式，可得 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =×= ==⋅+⋅= nEHES BEBHDEw GGGG GGGG 2 0 * 2 0 2 0 ** 2 1)Re( 2 1 2 1 2 1)Re( 4 1 μ ε με （26） 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 8 §2 电磁波在介质界面上的反射与折射 电磁波与光波一样，投射到介质分界面时会发生折射和反射现象，这个问题属于电磁场 边值问题。 电磁波最基本情形：平面电磁波 问题：为什么平面电磁波是电磁波最基本情形？ 两个或多个频率的平面电磁波构成一个复杂的电磁波 ( ) ( )∑ −⋅= j jj j j txkiEAtxE ωK KKKK exp, 0 构成 ( )txE ,KK 的平面电磁波的频率是分离分布的。 如果，构成 ( )txE ,KK 的平面电磁波频率连续分布（取值），则 ( ) ( ) ( ) ( ) ωωωω dtxkiEAtxE −⋅= ∫ KKKKK exp, 0 反过来，对任意电磁波，可以作频谱展开。可以通过分析平面电磁波来研究一般电磁波。 所以我们先讨论平面电磁波。 一、 反射和折射定律 当一束平面电磁波投射到介质表面时，在空间中存在入射、反射和折射（电磁）波 ( ) ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −⋅= −⋅= −⋅= txkiEE txkiEE txkiEE ω ω ω KKKK KKKK KKKK "exp 'exp exp '' 0 '' ' 0 ' 0 折射 反射 入射 注意：电磁波在介质分界面处，波矢、振幅可以发生改变，但频率应不变。（问题： 为何频率不变？其物理图象） 1．电磁场边值关系 ( ) ( )( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =−⋅ =−⋅ =−× =−× )4(0 )3( )2( )1(0 12 12 12 12 BBn DDn HHn EEn KKK GGK GKKK KKK σ α 上述关系是由 Maxwell 方程得到，对任意电磁场、任意介质均成立。它可以视为边界处的 Maxwell 方程。 在一定频率下，上述边界条件只有两个是独立的。 说明： 对于无自由电荷和传导电流分布系统，Maxwell 方程 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 9 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =⋅∇ =⋅∇ ∂ ∂=×∇ ∂ ∂−=×∇ )8(0 )7(0 )6( )5( B D t DH t BE K K KK KK 对一定频率的电磁波，由（5）和（6）式 ⎩⎨ ⎧ −=×∇⇒−=×∇ =×∇ EiBEiH BiE KKLK KK ωεμωε ω （9） 矢量的旋度的散度始终为零，所以，Maxwell 方程的（7）和（8）两式可以由（5）和（6） 导出。故，对一定频率的电磁波，Maxwell 方程只有两个是独立的。常选（5）和（6）。 边值关系是从 Maxwell 方程导出的，所以边值关系也只有两个是独立的，（5）和（6） 对应的边值关系为（1）和（2）， 对于绝缘介质（实际需利用的边值关系）， 0=αK ，所以 ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ =−× =−× 0 0 12 12 HHn EEn KKK KKK （10） 2．波矢关系式 设介质分界面为无限大的平面，由 电场强度的边值关系（1） ( ) "' EnEEn KKKKK ×=+× ( ) "exp 'expexp '' 0 ' 00 xkiEn xkiExkiEn KKKK KKKKKKK ⋅×= ⋅+⋅× 分界面上 0=z ，上述关系对任意 x、y 均成立，所以，上式的三个指数因子必 须在 0=z 的平面上完全相等，有 xkxkxk KKKKKK ⋅=⋅=⋅⇒ "' （当 0=z 时） （这样指数因子可以略去）。又由于 x、 y是任意的，根据上式，可得 z 波矢关系式 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ == ==⇒ ''' ''' yyy xxx kkk kkk （11） z 由上述条件可得波矢 k K 、 'k K 和 "k K 共面 说明： 设入射波矢 k G 在 xz平面（如图），则 0=yk ，由（11）式， 0''' == yy kk ，所以反射波 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 10 矢和折射波矢也在 xz平面内。 3．反射定律 如图，以θ 、 'θ 和 "θ 分别表示入射、反射和折射角，根据（11）式， ''' sinsin θθ kkkk xx === ⇒ k k ' 'sin sin =θ θ （12） 对单色平面波（P.140 1.21）相速 με ω 1== k v ，可得 v k ω= 。由于反射波和入射 波处于同一介质，所以 'kk =⇒ （13） 代入（12）式，有 'θθ =⇒ （14） 这就是平面电磁波的反射定律。 4．折射定律 由（11）式 "sinsin '''' θθ kkkk xx === 21 11 22 2 1 " " "sin sin n v v v v k k =====⇒ με με θ θ 21n 为介质 2 相对于介质 1 的折射率， 平面电磁波的折射定律 21"sin sin n=θ θ （15） 讨论： 1）电磁波在介质中的相速： rrrr cv εμεμεμμε === 111 00 ，所以，介质的折射率 rrn εμ= （16） 2）相对折射率（介质 2 相对于介质 1） 11 22 11 22 1 2 21 εμ εμ εμ εμ === rr rr n nn （17） 3）介质的色散现象：对一般介质（除铁磁介质）有 0μμ ≈ 所以 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 11 1 2 21 εε≈n 由于电容率ε 与ω有关， 21n 与ω有关 ⇒ 产生色散现象。（光的色散是颜色的散开，光的 颜色决定于频率）。 4）以上推导是从电场的边值关系出发，由磁场的边值关系也可导出同样的结论。 二、 振幅关系 菲涅耳（Fresnel）公式 对于平面电磁波，（ k K ，E K ，H K ）相互垂直；平面电磁波象光波一样，有两个独立（相 互垂直）的偏振方向，这两个方向可以选择为：与入射面垂直和与入射面平行。 1． ⊥EK 入射面 如图（a）所示，图中三点无限接近界面。 设E K 、 'E K 和 "E K 方向一致，运用边界关系（10） ⎩⎨ ⎧ =− =+ "cos"'cos'cos ''' θθθ HHH EEE KKK 对于平面电磁波（P. 141 1.28 式） με 1= B EK K ⇒ EH μ ε= （18） 利用 'θθ = ， 021 μμμ ≈≈ ，且对于 H 、 'H 和 "H 运用关系式 EH μ ε= ，可以得到： ( ) ( ) ( )⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +−=+= + −−=+ −= ⇒ "sin "sincos2 "coscos cos2" "sin "sin "coscos "coscos' 21 1 21 21 θθ θθ θεθε θε θθ θθ θεθε θεθε E E E E （19） 2. //E G 入射面 如图（b）所示，设H G 、 'H G 和 "H G 方向一致，运用边界关系（10） ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =− ''' '''''' coscoscos HHH EEE θθθ 利用（18）式，可得 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 12 ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −+= + −= ⇒ "cos"sin "sincos2" " "' θθθθ θθ θθ θθ E E tg tg E E （20） （19）、（20）称为 Fresnel 公式 讨论： 1） Fresnel 公式表明垂直和平行于入射面的电磁波，其反射与折射行为不同； 2） 对于自然光（两种成份偏振光等量混合），经过反射或折射后变为部分偏振光； 3） 当 0'' 90=+θθ 时，由（20）式， 0'=E ，表明：反射光中没有平行于入射面的 成份，反射光是完全偏振的。这就是光学中的 Brewster 定律，相应的入射角为布儒 斯特角； 4） 若 12 εε > （电磁波由光疏介质向光密介质入射），由折射定律[（15）式]，有 ''θθ > ， 由（19）式可知 E E ' 为负，即：对于垂直于入射面的分量，反射波与入射波反相， 这就是反射过程中的半波损失。 上述结论是光学课程中已学过的，并已得到实验证实。上面的推导说明，可以从 Maxwell 方程出发，根据电磁场理论可以解释上述现象。 三、 全反射 从折射定理 1 2 21"sin sin ε ε θ θ ≈= n ，若 12 εε < （即 121 θ ） 此时，电磁场的边值关系仍然成立，所以，由此导出的波矢关系（11）式仍然成立 ⇒ θsin'' kkk xx == （21） 又因为 1v k ω= ， 2 '' v k ω= ⇒ 21 2 1'' knk v vk == （22） 当 21sin n>θ 时，由（21）和（22）式， ⇒ '''' kkx > 引入K，它满足 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 13 iKkkk xz ≡−= 2''2'' " （23） 其中 2 21 2sin nkK −= θ （24） 可见，在介质 2 中，波矢 "k G 的 z 分量为虚数。 z 全反射时，介质 2 中的电磁波形式 ( )txkieEE xzK ω−= − ''''0 exp" （25） 可以验证，上述形式的解仍满足亥姆霍兹方程。 上述结果表明：当 21sin n>θ 时，介质 2 中仍有电磁波，它沿 x轴方向传播，且沿 z 轴 指数衰减。 z 由（24）式，衰减长度 2 21 2 11 sin2 n K − =− θπ λ （26） 即，透射到介质 2 中的薄层厚度与 1λ 同数量级（一般情况下）注意到随θ 减小， 1−K 增大， 厚度增大。 z 全反射时，介质 2 中电场和磁场的关系 考虑 ⊥"E 入射面情况，即 "" yEE = 由 P. 141 （1.27）式，在介质 2 中 yy zxx eE k eiKek E k kH G KKKKK " " )"( " " "" 2 2 2 2 ×+=×= μ ε μ ε 利用（21）和（22）式 '' 212 2 2 2 sin" " " E n E k k H y x z θ μ ε μ ε == （27） 利用（26） "1sin "sin1 "sin "sin " " " " 2 21 2 2 2 2 21 2 212 2 2 21 2 1 2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 E n i En n i En v vi En k kiE k KiH y y yyx −−= −−= −−= −−=−= θ μ ε θμ ε θμ ε θμ ε μ ε （28） 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 14 与电磁波在介质 1 中不同，发生全反射时，在介质 2 中 "zH 与 "E 同相，但， "xH 与 "E 存 在 090 相差。 z 能流密度 HES KKG ×= ( SG方向与 kK方向同) 所以 )Re( 2 1 * HES KKG ×= 考虑 ⊥"E 入射面情况，当发生全反射时，在介质 2 中 [ ] ( )zxyxzy zzxxyy eHEeHE eHeHeES GG GGGG "*""*" ""*" Re 2 1 )()(Re 2 1" −= +×= 注意到， ( )txkieEE xKz ω−= − ""0'' exp ，所以 ( ) ( ) Kz zyx eE n EE n E n EHES 22 0 212 2 ''* 212 2 '' 212 2*"*"'' "sin 2 1 "Resin 2 1 sin"Re 2 1Re 2 1 −= = ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛== θ μ ε θ μ ε θ μ εK （29） ( ) ( ) ( ) 0 "Re1sin 2 1 "Re1sin 2 1 "1sin"Re 2 1Re 2 1 22 02 21 2 2 2 ''* 2 21 2 2 2 2 21 2 2 2*"*"'' = −= −= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −−−=−= − Kz xyz eEi n EiE n E n iEHES θ μ ε θ μ ε θ μ εK （30） 平均能流密度只有 x方向分量。即，在全反射时，沿 z 透入介质 2 的平均能流密度为零。 z 本节关于折射和反射的公式在 21sin n>θ （全反射）下仍成立，只需作代换 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −=⇒ =⇒ 1sin"cos sin"sin 2 21 2 '' '' 21 '' '' n i k k nk k z x θθ θθ （31） 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 15 如 Fresnel 公式（19）式 φ θθ θθ θθ θθ θεθε θεθε 2 2 21 2 2 21 2 21 21 21 21 sincos sincos "coscos "coscos "coscos "coscos' ie ni ni n n E E −= −+ −−= + −=+ −= （32） 其中 θ θφ cos sin 221 2 n tg −= 讨论： 1） 反射波与入射波振幅相同，说明：反射波平均能流密度与入射波相同⇒能量被全部反 射； 2） 反射波与入射波有一定相差，说明：反射、入射波瞬时能流值不同； 3） ''zS 也只是平均值为 0，其瞬时值是不为 0 的。在全反射中，介质 2 具有（临时存储能量 的）实际物理作用：在半周内能量进入介质 2，在另一半周释放能量到介质 1。 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 16 §3 有导体存在时电磁波的传播 在前面学习了电磁波在真空和绝缘介质中的传播（包含在介质表面的反射和折射）。 注意：绝缘介质与导体最大的不同在于：介质内部没有自由电荷，电磁波在其中传播是无 衰减的，没有能量损耗。 问题：电磁波在导体中传播情形会如何（将受到自由电子的影响）？ z 电磁波进入导体，在电磁场作用下，自由电子形成传导电流，电阻的存在使得存在焦耳 热损耗，电磁波能量不断转化为热能，电磁波必定是衰减的。 z 从上述分析可以看到，求解电磁波在导体中的传播问题，实质上是求解有电流情形的 Maxwell 方程的问题。 一、 导体内的自由电荷分布 如果在导体内存在电荷，它激发电场，由 Maxwell 方程， E K⋅∇= ερ 电场导致导体中出现电流，由欧姆定律 EJ KK σ= 所以 ρε σ=⋅∇ JK z 导体中电荷（分布）满足的方程 由电荷守恒定律 J t K⋅−∇=∂ ∂ρ ，可得 ρε σρ −=∂ ∂ t （1） z 导体中的电荷随时间作指数衰减 上述方程的解为 ( ) ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−= tt ε σρρ exp0 （2） 导体中的电荷随指数衰减， 衰减特征时间 σ ετ = （3） z 频率为ω的电磁波进入导体 电磁波中，电场变化的周期为 ω π2 ∽ω 1 ，如果 τω >> 1 （4） 导体内将会实际上是 ρ 为零的状态。 讨论： 1） 对于理想导体， ∞→σ （电阻率趋于零），由（3）式, 0→τ 。不等式(4)对任意的ω 均成立。 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 17 2） 对实际导体，σ 并不 ∞→ ，把满足不等式（4）的导体称为良导体，良导体的条件也可 表为 1>>εω σ （5） 良导体与理想导体类似，可以认为其内部没有自由电荷分布，电荷只能分布在表面上。 3） 对一般金属而言， s1710~ −τ ，只要电磁波ω不是太高，均可视为良导体。 二、 导体内电磁波、复电容率 在导体内部，没有自由电荷分布，但可能有传导电流，相应的 Maxwell 方程 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =⋅∇ =⋅∇ +∂ ∂=×∇ ∂ ∂−=×∇ 0 0 B D J t DH t BE K K KKK KK 对一定频率的电磁波 ⎩⎨ ⎧ = = HB ED KK KK μ ε Maxwell 方程为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⋅∇ =⋅∇ +−=×∇ =×∇ 0 0 H E EEiH HiE K K KKK KK σωε ωμ 引入复电容率 ω σεε i+≡' （6） Maxwell 方程为 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =⋅∇ =⋅∇ −=×∇ =×∇ 0 0 ' H E EiH HiE K K KK KK ωε ωμ （7） 在 EEiH KKK σωε +−=×∇ 中，第一项是位移电流，第二项是传导电流，传导电流引 起的焦耳热（功率）损耗，其平均耗散功率密度 ( ) ( ) 20** 21Re21Re21 EEEEJ σσ =⋅=⋅ KGKK 这里 0E 是导体内电磁波的振幅（包含衰减因子）。 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 18 说明：（关于耗散功率密度） 考虑最简单的情形（如图所示）：长度为 lΔ ，横截面 为 SΔ 的一段导体，其内部电场为 E，导体内电流为 I ， 其电阻为 R，两端电压为U ，电流密度为 J ，则单位时 间的焦耳热损耗 lSJElSEJlIEIURIW ΔΔ=ΔΔ=Δ=== 2 所以，单位体积的焦耳热损耗为 JE lS W =ΔΔ 这就是耗散功率密度。当 J 和E方向不一致时，应改写为 EJ GG ⋅ 。所以 耗散（Dissipation）功率密度： EJwd GG ⋅= （7a） ＃ 讨论： 1） 位移电流与电场存在 090 的相差，在一个周期内不消耗功率，但存在能量转换。 2） 就复电容率 ω σεε i+=' 而言，其实部对应位移电流的贡献，不引起电磁波功率损耗， 其虚部是传导电流的贡献，引起能量损耗。 三、 导体内电磁波解 1． 电磁波解 只要把ε 换为 'ε ，即可有绝缘介质中的电磁波解得到导体中的电磁波解。（因为，ε 换 为 'ε 后，导体中的 Maxwell 方程与介质中的一致） 在一定频率下，有亥姆霍兹方程 022 =+∇ EkE KK （8） 其中， μεω '=k 有平面波解，其空间部分为： ( ) xkiExE KKKG ⋅= exp0 其中， k G 是复矢量。令 导体中的波矢 αβ KKK ik += （9） 所以， 导体中的电磁波 ( ) ( ) ( )txixEtxE ωβα −⋅⋅−= KKKK expexp, 0 （10） 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 19 2． αK与 βK的关系 由（9）式 ( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛ +==⋅+−=+⋅+= ωσεμωμεωβααβαβαβ iiiik 2'2222 2 KKKKKK 导体内波矢满足 ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ω σεμω ik 22 （10a） 所以 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =⋅ =− ⇒ σμωβα εμωαβ 2 1 222 KK （11） αK和 βK有 6 个未知量，上述两个方程对求解αK与 βK是不够的，要确定αK和 βK，需考虑具体 问题的边值条件。 例如，当电磁波从真空投射到导体表面时，以 xz为入射面，又波矢关系 xxx kkk == ''' ， 可得 xxx ik αβ += 由于真空中的波矢是实数，所以 ⎩⎨ ⎧ = = xx x kβ α 0 ，再根据αG和 βG满足的方程，可以解出另外两个 未知分量 zα 和 zβ 。从而，αK和 β K 被确定（它没有 y方向分量）。 四、 趋肤效应和穿透深度 研究电磁波进入导体的情况，讨论最简单的情形：平面电磁波垂直投射到导体表面。 在导体外，波矢只有 z 方向分量，由波矢关系可知，αK和 βK只有 z 方向分量，在导体 中，电磁波的形式（以电场为例） ( ) ( )tzizEE ωβα −−= expexp0KK αK和 βK中只有两个分量α 和 β ，由（11）式可得 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ==⋅ =− ωμσαββα μεωαβ 2 1 222 KK 由此，可完全解出α 和 β 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 20 ωμσβα 2 1=⇒ μεωσμωββ 2222 2 2 4 1 =−⇒ 0 4 1 222224 =−−⇒ σμωμεβωβ 2 2222242 2 σμωεμωμεωβ +±= 2β 要求大于 0 2 2222242 2 σμωεμωμεωβ ++=⇒ 又， β 不可取负值（因为波沿 z 方向传播），所以 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −+= ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ++= 2 1 22 2 2 1 22 2 11 2 1 11 2 1 ωε σμεωα ωε σμεωβ 对良导体 1>>εω σ ⇒ 22 1 σμω εω σμεωβα =⋅≈≈ （12） z 穿透深度 ωμσαδ 21 == （13） 所以对高频电磁波，（E K 、B G 和电流）存在趋肤效应。 对非垂直入射也存在趋肤效应。 例： 对于铜，当频率为 Hz50 时， cm9.0~δ ；当频率为 MHz100 时， cm3107.0~ −×δ 。 五、 电场和磁场的关系 由 Maxwell 方程（（7）式）， 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 21 ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) ( ) Eni tzizEie i Etziz i tzizE i E i H z KK KK K K KK ×+= −−×+−= ×−−∇= −−×∇= ×∇= ωμ αβ ωβαβαωμ ωβαμω ωβαωμ ωμ expexp1 expexp1 expexp1 1 0 0 0 导体内磁场与电场的关系 ( ) EniH KKK ×+= ωμ αβ （14） nK为电磁波传播方向。 z 良导体情形（（12）式， 1>>εω σ ， 2 σμωβα ≈≈ ）， EniEniH KKKKK ×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=×⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛≈ 4 exp 4 exp2 πωμ σπ ωμ α （15） 磁场相位比电场相位滞后 4 π 。且 1>>= ωε σ ε μ E HG K （16） 磁场的作用远比电场重要。 六、 导体表面上电磁波的反射 讨论简单情形：电磁波垂直入射(入射角 0=θ )，且EK垂直于入射面（P. 146 图 4-4(a)）。 Maxwell 方程 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ +∂ ∂=×∇ ∂ ∂−=×∇ J t DH t BE KKK KK 其中关于磁场强度的（旋度）方程 EiEEiH KKKK 'εωσεω −=+−=×∇ 作替换 'εε → 后，应认为没有传导电流（ JK为 0）。实际上，电流在 'ε 中进行描述。 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 22 电场（切向）边值关系： "' EEE =+ （17） 磁场（切向）边值关系： "' HHH =− （引入 'ε 后，无传导电流） （18） 对于入射波（在真空中） 00 1 εμ=B E （P.142 （1.29）式） 所以 EEBH 0 0 0 00 0 μ ε μεμμ === （19） 对于反射波亦有 '' 0 0 EH μ ε= （20） 对于透射波（在导体中） ( ) "1" EiH αβωμ += （P.155 （3.23）式） （21） 导体中 0μμ ≈ ，从磁场强度的边值关系（18）式 ( ) "1")'(' 0 0 EiHEEHH αβωμμ ε +==−=− ⇒ ( ) ( ) '''0 1 EiEE αβμωε +=− 对良导体 2 ωμσβα =≈ （P.154 （3.21）式）， ⇒ ( ) ( ) '''0 12 EiEE +=− ωσε ⇒ ( ) ( ) '' 0 ' 1 2 EiEE +=− ωε σ 与电场边值关系（17）式联立， ⇒ σ ωε σ ωε 0 0 ' 2 1 2 1 ++ −+ = i i E E 定义反射系数 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 23 2' E ER ≡ （22） 对于良导体，可把 σ ωε02 作为小量（因为ε 与 0ε 同量级） σ ωε σ ωε σ ωε σ ωε σ ωε σ ωε 0 2 0 0 0 2 0 2 0 2 21 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 −≈⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ −≈ + − ≈ +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ − =R 即 σ ωε 0221−≈R （23） 讨论： 1） σ 越大，反射系数R越接近 1； 2） ω 越小（λ越大），R越接近 1。对于微波或无线电波，频率很小，一般金属均可近似 看作理想导体（ 1→R ），电磁波将全部反射（如微波炉）。 物理图象：电磁波投射到导体表面上，只能透入导体表面薄层。薄层厚度与ω 、σ 有关。ω 越大或σ 越大，厚度越小。在导体内，电磁波与自由电荷作用，引起传导电流，这种电流 使电磁波向空间发射（激发的电磁波）。但同时，对于实际导体，会有焦耳热产生，使得电 磁波能量部分耗散（导体吸收“很小”部分电磁波能量）。 Ex. 1（P. 156） 设 ( )0k K 入射波矢（在空间中），由边值关系 ( ) xxx ik αβ +=0 （24） ( )0k K 是实矢量，⇒ ( )0xk 是实数， ( )⎩⎨ ⎧ = = 0 0 xx x kβ α （25） 由（10a）式，导体内的波矢（P.153 （3.16）式） ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += ω σεμω ik 22 （26） 由上式，对良导体（ 1>>εω σ ） βααβωμσ KK ⋅+−=≈⇒ 2222 iik （27） 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 24 022 =−⇒ αβ （28） 选入射面为 xz面，因为 0=xα ( )20 0 00 2 2 1 2 1 2 1 kzz >>===⋅ ωε σεμωωμσβαβα KK （29） （因为 ε 与 0ε 同级， 0μμ ≈ ） 注意到，射面为 xz面， ( ) 2)0(2)0(20 zx kkk += ，且 ( )0xx k=β ， 2xzz ββα >>⇒ （30） 022222 =−+=−⇒ zzx αββαβ 由（30）式， 2xβ （是小量）在上式中可以忽略， 022 ≈−⇒ zz αβ 所以 2 ωμσβα ≈≈ zz ， ( )zx ββ << （31） αK垂直于表面，βK接近法线方向，穿透深度 δ 仍由（13）式给出（P.154（3.22））。 ＃ Ex. 2 （P. 157） 如图所示，在导体中，由于趋肤效应， 电流分布于导体表面薄层，可以把这样的电 流分布看成面电流分布（把薄层压缩到导体 表面），用线电流密度 fαG 描述这个电流面分 布， 线电流密度 fαG 定义为：通过单位横截 线的电流。 所以，有 ∫∞= 0 dzJf KKα （32） 讨论（关于 fαG ）： 电流密度 J G 是通过单位横截面的电流。积分 ∫∞0 dzJK 正好是通过这样的横截面的电流， 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 25 横截面的宽度（沿横截线方向）为单位长度，长度无限（沿 z 方向）。这样的电流，正好是 “压缩电流层到表面后”通过单位横截线的电流，即有（32）。 # 由欧姆定理 EJ GG σ= （33） 在导体内的电磁波（设电磁波垂直入射） )(exp)exp(),(0 tzizyxEE ωβα −−= GG （34） 将（33）和（34）代入（32）式 )exp( )exp(1 )exp()exp( )(exp)exp( 2222 22 0 0 00 0 0 ti i E ti i E dzziztiE dztzizEf ω βα β βα αβα σ ωβασ βαωσ ωβασα − ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + − + + = −−= +−−= −−= ∫ ∫ ∞ ∞ G G G GK 令 22 cos βα αφ + = ，⇒ 22 sin βα βφ + = 等效于令 α βφ =tg 。有 )(exp)(exp 022 0 titiE ff ωφαωφβα σα −=− + = K G K （35） 由（7a）式，导体内平均损耗功率密度 )Re( 2 )Re( 2 1 ** EEEJwd GGGG ⋅=⋅= σ 由（34）式， )2exp( 2 1)Re( 2 1 2 0 * zEEJwd ασ −=⋅= GG 导体表面平均损耗功率面密度（单位面积） α σασ 4 )2exp( 2 1 20 0 2 0 0 E dzzEdzwP dL =−== ∫∫ ∞∞ 利用（35）式 2 0 22 4 fL P αασ βα += 对于良导体，由（12）和（13）式 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 26 δβα 1≈≈ （36） 所以 2 02 1 fLP ασδ= 可以证明，良导体（在高频下）的电阻相当于 厚度为δ 的薄层直流电阻。 说明： 右图为一薄层直流电阻， δσ H LR 1= （37） 仍考虑一简谐变化的电流密度（要压缩薄层到导 体表面）（参见（35）式） )exp(0 tiff ωαα −= 所以，电流强度 HI fα= （38） 耗散功率（单位时间的焦耳热损耗） RIWd 2= 平均耗散功率 2 0 2* 2 1)Re( 2 fd RHIIRW α== 表面平均损耗功率面密度（单位面积） 2 0 2 0 2 0 2 11 2 1 2 1 fff d L H L L HR L H LH W P ασδαδσα ==== 与前面结果相同。 ＃ 电动力学讲稿●第四章 电磁波的传播 27 §4 谐振腔 一、 有界空间中的电磁波 对于理想导体（ ∞→σ ），电磁波进入导体的穿透深度（ ωμσδ 2≈ ）趋于 0，电磁 波被全部反射，（良）导体可以构成电磁波存在的边界。 z 如果用导体构成中空金属管，可以用来传输电磁能量——波导。 z 对于中空金属腔，电磁波被腔壁反射，形成有确定频率的电磁振荡（具有驻波形式）— —谐振腔。 二、 理想导体的边界条件 对于单一频率的电磁波，电磁场的边值关系 ( ) ( )⎪⎩ ⎪⎨⎧ =−× =−× αKKKK KKK 12 12 0 HH