数字逻辑2

null 第二章 逻辑代数基础 第二章 逻辑代数基础 2.1 逻辑代数的基本概念 2.2 逻辑代数的基本定理和规则 2.3 逻辑函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式的形式与变换 2.4 逻辑函数化简 知识要点 知识要点1、逻辑代数的基本概念2、逻辑代数的公理、定理和规则3、逻辑函数表达式的形式与变换4、逻辑函数的化简方法 重点与难点 重点与难点一、基本概念1、逻辑和逻辑值2、逻辑变量和逻辑函数3、逻辑运算4、逻辑函数的描述null5、逻辑函数的相等二、公理、定理和规则1、基本公理和定理2、重要规则3、复合逻辑null三、函数表达式的形式与变换1、两种基本形式2、两种标准形式3、表达式形式的变换四、逻辑函数的化简1、代数化简法2、卡诺图化简法 2.1.1 三种基本运算 2.1.1 三种基本运算 2.1 逻辑代数的基本概念null逻辑乘(与)、 逻辑加(或)、 逻辑反(非)一、与运算null FE ABnull 某个事件受若干个条件影响，若所有的条件都齐备，该事件才能成立，称为逻辑乘(与)。null二、或运算nullF EAB 即：F＝f(A，B)＝A∨B＝A＋B一个事件的成立与否有许多条件，只要其中一个或几个条件成立，事件便成立，这样一种逻辑关系称逻辑加（或）。null三、非运算FEARnull2.1.2逻辑函数及逻辑函数间的相等2.1.2逻辑函数及逻辑函数间的相等一、 逻辑函数的定义(1) 逻辑变量和逻辑函数的取值只有0和1。null二、逻辑函数的相等判断两个逻辑表达式是否相等的方法有：1、列表法2、利用逻辑代数的公理；定理和规则证明。2.1.3 逻辑函数的表示方法2.1.3 逻辑函数的表示方法一、真值表(便于直观的观察变量和函数之间的关系) *二、逻辑函数表达式(便于获得逻辑电路图) *三、卡诺图(主要用于逻辑函数化简)四、时序图、时间图(工作波形图) *2.2.1 逻辑代数的基本定理2.2.1 逻辑代数的基本定理一、公理2.2 逻辑代数的基本定理和规则null三、交换律二、公式(可由公理推出)null四、结合律五、分配律A(BC)=(AB)C=(AC)BA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)·(A+C) 加法的分配律null六、摩根律null七、常用公式null证：推广：证：2.2.2 重要规则2.2.2 重要规则一、代入规则null以此推广得到摩根律的一般形式:null二、反演规则null例1：其实反演规则就是摩根律的推广。按反演规则可直接写出：null若用摩根律则先对原函数两边取非，得：null三、对偶规则(2)若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等。(1)若一个定理是正确的，则其对偶式也一定正确。结论:null(3) (F`)`=F即对对偶式再求对偶就得原函数本身。利用对偶规则有时可以简化等式的证明。例：试证 A+BC=(A+B)·(A+C)令: F1=A+BC F2=(A+B)·(A+C)求两个函数的对偶:F1`=A(B+C)=AB+AC F2`=AB+AC因为 F1`= F2` 所以 F1=F2 得证null四、展开规则null例：试化简下列函数：2.2.3几种导出(复合)的运算2.2.3几种导出(复合)的运算 null AAABBB C C CDDD F F F=AB+CD ≥1 +≥1 ＆ABFCD&&1null 异或的逻辑符号: 同或的逻辑符号:异或同或null异或和同或的真值表如下:null异或和同或的基本运算公式null(4)结合律(5)分配律(3)交换律null(6) 因果互换律A+(B C)=(A+B) (A+C)null(7) 常用式子2.2.4 正逻辑与负逻辑2.2.4 正逻辑与负逻辑 各种逻辑运算最终是通过相应的逻辑门来实现的。null与门 或门或门 与门与非门 或非门或非门 与非门异或门 同或门同或门 异或门同一个逻辑电路，在不同的逻辑假定下，其逻辑功能是完全不同的。如下表：null 如:正逻辑与门 F=AB ,对应负逻辑的或门 F=A+B 由上可见:同一个电路的正逻辑表达式与负逻辑表达式互为对偶式.null例：正逻辑的与门等价负逻辑的或门0V 0V 0V 0 0 0 1 1 1 0V +3.6V 0V 0 1 0 1 0 1 +3.6V 0V 0V 1 0 0 0 1 1 +3.6V +3.6V +3.6V 1 1 1 0 0 02.3.1 逻辑函数表达式的基本形式2.3.1 逻辑函数表达式的基本形式一、基本与或式二、基本或与式2.3 逻辑函数表达式的形式与变换 借助摩根律，以上两种基本式可以变换成：与非- 与非式；或与非式；或非或式以及或非或非式；与 或非式；与非与式。 2.3.2 逻辑函数的标准形式 2.3.2 逻辑函数的标准形式一、标准与或式(积之和)、最小项和式二、标准或与式(和之积)、最大项积式null三、最小项null* 最小项的几个性质即任意两个不相同的最小项的乘积为0。null(4) 所有最小项的和为1。例：null(6) 任一个n变量的最小项，都有n个相邻的最小项。四、最大项null 看作1。在最大项中，将和项中的原变量看作0，反变量最大项的几个性质：(2)任意两个不相同的最大项之和为1。null(3) 全体最大项之积为0nullA B C 最小项 编号 最大项 编号1 1 1 m7 M71 1 0 m6 M61 0 1 m5 M5 1 0 0 m4 M40 1 1 m3 M30 1 0 m2 M20 0 1 m1 M10 0 0 m0 M02.3.3 逻辑函数表达式的转换2.3.3 逻辑函数表达式的转换一、代数转换法 用代数法求一个函数的“最小项之和”的形式： 第一步：将函数式变换成一般“与或”表达式null用代数法求一个函数的最大项之积的形式：第一步：将函数表达式转换成一般“或与”式。null 例1: 将 转换成最小项之和。(1)将表达式变换成“与或”表达式。解:(2)变换为标准积之和null解: 例2. 将 变换成最大项之积。(1)将表达式变换成“或与”表达式null以上是利用加法的分配律进行折分，下面继续用加法的分配律：null(2) 变换为标准和之积表达式(反向应用最大项定理：只有一个变量互反的两个最大项的乘积等于相同变量之和)：二、真值表转换法null0 0 0 00 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 0null根据真值表可得： A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0例2. 将上式表示成最大项之积。 2.4.1 公式法化简 2.4.1 公式法化简最简: (1) 乘积项(或逻辑相加项)最少。(2) 每项中变量数最少化简方法:(1) 公式法(利用公理;定理和规则)(2) 卡诺图法(3) 列表法 2.4 逻辑函数化简null一、与或式化简null4、配项法，利用及例4：例5:null例6:例7:null例1: 例8:二、或与式化简null例2: 2.4.2 卡诺图化简法 2.4.2 卡诺图化简法一、用卡诺图表示最小项 ABCDF30001000110101111m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15nullBCDEF40001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15BCDEF40001111000011110m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28m29m30m31A=0A=1nullF5ABCDE00011110000001011010110111101100m0m1m2m3m4m5m6m7m8m9m10m11m12m13m14m15m16m17m18m19m20m21m22m23m24m25m26m27m28m29m30m31null最小项为1时的变量取值(1为原变量,0为反变量)。 图形两侧标注的“0”和“1” 表示使对应小方格内二、卡诺图化简法null1、将最可能多的2n(n=0,1,2 )个相邻的1格圈在一起，得到一个卡诺圈，对应卡诺圈发生过变化的变量被消去，没变化过的保留，以此得到一个乘积项。2、按1将卡诺图中所有的“1”格圈完。null3、将所得到的乘积项相加，得到函数的最简与或4、任何一个“1”格可以多次圈用.7、卡诺图中的卡诺圈应尽可能的少。式。null0011ABF11110011ABF211(1)、圈“1”所得的逻辑函数表达式 0001101101BCAF3111111null0001101101BCAF3111111null0001101101BCAF411111null0001101101BCAF51111null0001101101BCAF6111111null0001101101BCAF711111111F7=1null ABCDF8000100011010111111111111null ABCD000100011010111111111111F9null ABCD000100011010111111111111F10null ABCD000100011010111111111111F1111null ABCD0001000110101111111111F1211null(2)、圈“0”所得的逻辑函数表达式 ABCDF1300010001101011111111111100000000null ABCD000100011010111111111111F1400000000null ABCD000100011010111111111111F1511000000null1、把与或式化成标准与或式填入卡诺图三、如何用卡诺图对逻辑函数化简例1null0001101101BCAF1111化简后: F=AC+AB+BCnullABCD0000010111111010111111111F2、把与或式的每一项直接填入卡诺图例2:null3、化简为或与式例: F(A,B,C,D)=∏M(3,7,11,12,13,14,15)解: 将函数用“最小项之和”形式表示得:F(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,4,5,6,8,9,10)null ABCD00000101111110101111111F110000000F(A,B,C,D)=∏M(3,7,11,12,13,14,15)null4、利用禁止逻辑化简逻辑函数 即任何逻辑函数乘上不属于它的最小项之非，其 逻辑功能不变。nullnull例1：试用禁止法化简下列逻辑函数：nullnull例2:试用禁止法化简下列逻辑函数null2.4.3 列表化简法(Q-M化简法)2.4.3 列表化简法(Q-M化简法)蕴涵项:与或表达式中的每个“与项”。null的化简步骤如下:列表化简法适用于计算机排序处理.列表化简法null(3) 找出函数的必要质蕴涵项(4) 找出函数的最小覆盖.方法是将n个变量的函数中的相邻最小项合并，消去相异的一个变量，得到(n-1)个变量的“与”项；再将相邻的(n-1)个变量的“ 与 ”项合并,消去相异的变量，得到(n-2)个变量的“ 与 ”项； 以此类推，直到不能再合并为止，此时得到的即是所要求的全部质蕴涵项。null例:F(A,B,C,D)=∑m(0,2,3,5,7,8,10,11,13,15)null这里用“ -”表示消去的变量,选择过的最小项用“√”作标记，表示它们已包含在第(Ⅱ)的与项中，并在第(Ⅱ)栏中的第二列指出相应的“与”项是由那几个最小项合并产生的。null 组号 mi A B C D Pi 0 0 0 0 0 0 √ 1 2 0 0 1 0 √ 8 1 0 0 0 √ 2 3 0 0 1 1 √ 5 0 1 0 1 √ 10 1 0 1 0 √ 3 7 0 1 1 1 √ 11 1 0 1 1 √ 13 1 1 0 1 √ 4 15 1 1 1 1 √ (Ⅰ) 最小项null 组号 ∑mi A B C D Pi 组号 ∑mi A B C D Pi 0 0.2 0 0 - 0 √ 2 3.7 0 - 1 1 √ 0.8 - 0 0 0 √ 3.11 - 0 1 1 √ 1 2.3 0 0 1 - √ 5.7 0 1 - 1 √ 2.10 - 0 1 0 √ 5.13 - 1 0 1 √ 8.10 1 0 - 0 √ 10.11 1 0 1 - √ 3 7.15 - 1 1 1 √ 11.15 1 - 1 1 √ 13.15 1 1 - 1 √(Ⅱ) (n-1)个变量的与项null 组号 ∑mi A B C D Pi 0 0.8 8.10 - 0 - 0 p3 0.8 2.10 - 0 - 0 1 2.3 10.5 - 0 1 - p2 2.10 3.11 - 0 1 - 2 3.7 11.15 - - 1 1 p1 3.11 7.15 - - 1 1 5.7 13.15 - 1 - 1 p0 5.13 7.15 - 1 - 1 (Ⅲ) (n-2)个变量的与项null该函数的全部质蕴涵项为:P0=∑m(5,7,13,15)=BDP1=∑m(3,7,11,15)=CDnull××××××××××××√√√√√√√√3、求函数的全部必要质蕴涵项(建表如下:)覆盖情况mi0 2 3 5 7 8 10 11 13 15p0*P1P2P3*Pi√√null (1)表中逐行标上各质蕴涵项覆盖最小项的情况。如表中P0可以覆盖m5 ,m7 ,m13 ,m15 ，故对P0行的这几个最小项处打“×”标记，其它各行以此类推。null覆盖时参考。最小项,在该列打“√”标记，供下一步找函数最小(4) 在表中最后一行，凡是被必要质蕴涵项覆盖的4 、找出函数的最小覆盖null尚有m3,m11 未被覆盖.可见P0、P3可覆盖m0 ,m2 ,m5 ,m7,m8 ,m10 ,m13 ,m15nullmiPiP1P2311××××null从图中可见，P2这的“×”完全包含在P1行中，故消去P2行。2.4.4 逻辑函数化简中两个实际问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的考虑2.4.4 逻辑函数化简中两个实际问题的考虑一、包含无关最小项的逻辑函数的化简1、某些变量的取值不会出现。null2、某些变量的某些取值对函数无意义(无关)。显然对函数而言： 约束条件=0null A B C F 0 0 0 × 0 0 1 √ 0 1 0 √ 0 1 1 × 1 0 0 √ 1 0 1 × 1 1 0 × 1 1 1 × null例2: 试设计一个对8421BCD码的检测电路。当8421BCD码对应的十进制数3≤X≤7时输出为“1”，否则输出为“0”。nullA B C D F1 0 0 0 00 0 0 0 01 0 0 1 00 0 0 1 01 0 1 0 d0 0 1 0 01 0 1 1 d0 0 1 1 11 1 0 0 d0 1 0 0 11 1 0 1 d0 1 0 1 11 1 1 0 d0 1 1 0 11 1 1 1 dnullABCD00000101111110101111Fdddddd1A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 d 1 0 1 1 d 1 1 0 0 d 1 1 0 1 d 1 1 1 0 d 1 1 1 1 dnullABCD00000101111110101111Fdddddd1A B C D F 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 d 1 0 1 1 d 1 1 0 0 d 1 1 0 1 d 1 1 1 0 d 1 1 1 1 dnull二、多输出函数的化简衡量多输出函数最简的标准是:1、所有逻辑表达式中包含的不同与项总数最少。2、在满足1的前提下，各与项中所含的变量数最少。null 多输出函数化简的关键是充分利用各函数间可共享的部分。作出两函数的卡诺图如下:null ABC 0001111001111ABC 0001111001111F1F2null≥1≥1 & & & &合并公共项前null0000 0111111010 AB CD F10000 01 0111111010 AB CD F20000 01 0111111010 AB CD F3111111111111111111 0111111111例2:null 根据卡诺图可得化简后的逻辑函数:null A B C F 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1返回F=AB+AC+BC&&&≥1FABACBCnullABF返回F=AB