《通信原理》习题第一章
1
第一章习题
习题 1.1 在英文字母中 E 出现的概率最大，等于 0.105，试求其信息量。
解：E 的信息量：
b25.3105.0logElog
E
1
log
222E
P
P
I
习题 1.2 某信息源由 A，B，C，D 四个符号组成，设每个符号独立出现，其出
现的概率分别为 1/4，1/4，3/16，5/16。试求该信息源中每个符号的信息量。
解：
bAP
AP
I
A
2
4
1
log)(log
)(
1
log
222
bI
B
415.2
16
3
log
2
bI
C
415.2
16
3
log
2
bI
D
678.1
16
5
log
2
习题 1.3 某信息源由 A，B，C，D 四个符号组成，这些符号分别用二进制码组
00，01，10，11 表示。若每个二进制码元用宽度为 5ms 的脉冲传输，试分别求出在
下列条件下的平均信息速率。
（1） 这四个符号等概率出现； （2）这四个符号出现概率如习题
1.2 所示。
解：（1）一个字母对应两个二进制脉冲，属于四进制符号，故一个字母的持续时
间为 2×5ms。传送字母的符号速率为
Bd100
1052
1
3B
R
等概时的平均信息速率为
sb2004loglog
2B2Bb
RMRR
（2）平均信息量为
符号比特977.1
5
16
log
16
5
3
16
log
16
3
4log
4
1
4log
4
1
2222
H
则平均信息速率为 sb7.197977.1100
Bb
HRR
习题 1.4 试问上题中的码元速率是多少？
解：
3
1 1
2 0 0 B d
5 * 1 0
B
B
R
T
习题 1.5 设一个信息源由 64 个不同的符号组成，其中 16 个符号的出现概率均
为 1/32，其余 48 个符号出现的概率为 1/96，若此信息源每秒发出 1000 个独立的符号，
试求该信息源的平均信息速率。
解：该信息源的熵为
《通信原理》习题第一章
2
96log
96
1
*4832log
32
1
*16)(log)()(log)()(
222
64
1
2
1
i
i
ii
M
i
i
xPxPxPxPXH
=5.79 比特/符号
因此，该信息源的平均信息速率 1 0 0 0 * 5 .7 9 5 7 9 0 b /s
b
R m H 。
习题 1.6 设一个信息源输出四进制等概率信号，其码元宽度为 125 us。试求码
元速率和信息速率。
解：
B 6
B
1 1
8 0 0 0 B d
1 2 5 * 1 0
R
T
等概时， skbMRR
Bb
/164log*8000log
22
习题 1.7 设一台接收机输入电路的等效电阻为 600 欧姆，输入电路的带宽为 6
MHZ，环境温度为 23 摄氏度，试求该电路产生的热噪声电压的有效值。
解： 23 6 12V 4 4 *1.38 *10 * 23 * 600 * 6 *10 4 .57 *10 VkT R B
习题 1.8 设一条无线链路采用视距传输方式通信，其收发天线的架设高度都等
于 80 m，试求其最远的通信距离。
解：由 2 8D rh ，得 68 8 * 6 . 3 7 * 1 0 * 8 0 6 3 8 4 9 k mD r h
第二章习题
习题 2.1 设随机过程 X(t)可以表示成：
( ) 2 co s(2 ), X t t t
式中， 是一个离散随机变量，它具有如下概率分布：P( =0)=0.5，P( = /2)=0.5
试求 E[X(t)]和
X
R (0 ,1) 。
解：E[X(t)]=P( =0)2 co s(2 )t +P( = /2) 2 co s (2 )= co s (2 ) s in 2
2
t t t
cos t
习题 2.2 设一个随机过程 X(t)可以表示成：
( ) 2 co s(2 ), X t t t
判断它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
《通信原理》习题第一章
3
解：为功率信号。
/ 2
/ 2
/ 2
/ 2
1
( ) lim ( ) ( )
1
lim 2 c o s ( 2 ) * 2 c o s 2 ( )
T
X T T
T
T T
R X t X t d t
T
t t d t
T
2 2
2 c o s ( 2 )
j t j t
e e
2 2 2 2
( ) ( ) ( )
( 1) ( 1)
j f j t j t j f
X
P f R e d e e e d
f f
习题 2.3 设有一信号可表示为：
4 e x p ( ) , t 0
( ) {
0 , t< 0
t
X t
试问它是功率信号还是能量信号？并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：它是能量信号。X(t)的傅立叶变换为：
(1 )
0 0
4
( ) ( ) 4 4
1
j t t j t j t
X x t e d t e e d t e d t
j
则能量谱密度 G(f)=
2
( )X f =
2
2 2
4 1 6
1 1 4j f
习题 2.4 X(t)=
1 2
c o s 2 s in 2x t x t ，它是一个随机过程，其中
1
x 和
2
x 是相互统
计独立的高斯随机变量，数学期望均为 0，方差均为 2 。试求：
(1)E[X(t)]，E[ 2 ( )X t ]；(2)X(t) 的概率分布密度；(3)
1 2
( , )
X
R t t
解：(1) 02sin2cos2sin2cos
2121
xEtxEttxtxEtXE
( )
X
P f 因为
21
xx 和 相互独立，所以
2121
xExExxE 。
又因为 0
21
xExE ，
1
22
1
2
xExE ，所以 22
2
2
1
xExE 。
故 22222 2s i n2c o s tttXE
(2)因为
21
xx 和 服从高斯分布，
21
xxtX 和是 的线性组合，所以 tX 也服从高斯分
布，其概率分布
函数
excel方差函数excelsd函数已知函数 2 f x m x mx m 2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载
2
2
2
exp
2
1
z
xp 。
(3)
222112112121
2sin2cos)2sin2cos(, txtxtxtxEtXtXEttR
X
2121
2
2s i n2s i n2c o s2c o s tttt
12
2
2c o s tt
习题 2.5 试判断下列函数中哪些满足功率谱密度的条件：
(1) ff 2cos 2 ； (2) afa ； (3) 2exp fa
《通信原理》习题第一章
4
解：根据功率谱密度 P(f)的性质：①P(f) 0 ，非负性；②P(-f)=P(f) ，偶函数。
可以判断(1)和(3)满足功率谱密度的条件，(2)不满足。
习题 2.6 试求 X(t)=A cos t 的自相关函数，并根据其自相关函数求出其功率。
解：R(t，t+ )=E[X(t)X(t+ )] = cos * cos( )E A t A t
2
21
c o s c o s ( 2 ) c o s ( )
2 2
A
A E t R
功率 P=R(0)=
2
2
A
习题 2.7 设 tX
1
和 tX
2
是两个统计独立的平稳随机过程，其自相关函数分别
为
21
XX
RR 和 。试求其乘积 X(t)=
1 2
( ) ( )X t X t 的自相关函数。
解： (t,t+ )=E[X(t)X(t+ )]=E[
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )X t X t X t X t ]
= 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )E X t X t E X t X t = 1 2( ) ( )X XR R
习题 2.8 设随机过程 X(t)=m(t) cos t ，其中 m(t)是广义平稳随机过程，且其自
相关函数为
4 2
1 0 , 1 0 k H Z 1 0 k H Z
( )
0 ,
X
f f
P f
其 它
(1)试画出自相关函数 ( )
X
R 的曲线；(2)试求出 X(t)的功率谱密度 ( )
X
P f 和功率 P。
解：(1)
1 , 1 0
1 0 1
0 ,
x
R
其 它
其波形如图 2-1 所示。
图 2-1 信号波形图
(2)因为 )( tX 广义平稳，所以其功率谱密度
XX
RP 。由图 2-8 可见，
X
R
21
x
R
1 0 1
《通信原理》习题第一章
5
的波形可视为一个余弦函数与一个三角波的乘积，因此
2
Sa
2
Sa
4
1
1
2
Sa
2
1
2
1
0202
2
00
x
P
2
1
0,
2
1
d
2
1
xx
RSPP 或
习题 2.9 设信号 x(t)的傅立叶变换为 X(f) =
s in f
f
。试求此信号的自相关函数
。
解：x(t)的能量谱密度为 G(f)=
2
( )X f =
2
s in f
f
其自相关函数 2
1 , 1 0
( ) 1 0 1
0 ,
j f
X
R G f e d f
其 它
习题 2.10 已知噪声 tn 的自相关函数 k-e
2
k
R
n
，k 为常数。
(1)试求其功率谱密度函数 fP
n
和功率 P；(2)画出
n
R 和 fP
n
的曲线。
解：(1)
2
2 2
( ) ( )
2 ( 2 )
kj j
n n
k k
P f R e d e e d
k f
20 kRP
n
(2) ( )
n
R 和 fP
n
的曲线如图 2-2 所示。
图 2-2
习题 2.11 已知一平稳随机过程 X(t)的自相关函数是以 2 为周期的周期性函数：
( ) 1 , 1 1R
试求 X(t)的功率谱密度 ( )
X
P f 并画出其曲线。
解：详见例 2-12
n
R
2k
0
fP
n
1
0
f
《通信原理》习题第一章
6
习题 2.12 已知一信号 x(t)的双边功率谱密度为
4 2
1 0 , 1 0 k H Z 1 0 k H Z
( )
0 ,
X
f f
P f
其 它
试求其平均功率。
解：
3 4
3
1 0 *1 0 4 2 4 1 0 8
0 0
2
( ) 2 1 0 2 * 1 0 * * 1 0
3 3
X
f
P P f d f f d f
习题 2.13 设输入信号
/
, 0
( )
0 , 0
t
e t
x t
t
，将它加到由电阻 R 和电容 C 组成的高
通滤波器（见图 2-3）上，RC＝ 。试求其输出信号 y(t)的能量谱密度。
解：高通滤波器的系统函数为
H(f)= ( ) 2 co s(2 ), X t t t
输入信号的傅里叶变换为
X(f)=
1
1 1 2
2
j f
j f
输出信号 y(t)的能量谱密度为
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( )(1 )
2 2
y
R
G f Y f X f H f
R
j fC j f
习题 2.14 设有一周期信号 x(t)加于一个线性系统的输入端，得到的输出信号为
y(t)= ( ) /dx t d t 式中， 为常数。试求该线性系统的传输函数 H(f).
解：输出信号的傅里叶变换为 Y(f)= * 2 * ( )j f X f ,所以 H(f)=Y(f)/X(f)=j 2 f
习题 2.15 设有一个 RC 低通滤波器如图 2-7 所示。当输入一个均值为 0、双边
功率谱密度为 0
2
n
的白噪声时，试求输出功率谱密度和自相关函数。
解：参考例 2-10
习题 2.16 设有一个 LC 低通滤波器如图 2-4 所示。若输入信号是一个均值为 0、
双边功率谱密度为 0
2
n
的高斯白噪声时，试求
(1) 输出噪声的自相关函数。(2)输出噪声的方差。
解：(1)LC 低通滤波器的系统函数为
C
R
图 2-3RC 高通滤波器
L
C
图 2-4LC 低通滤波器
《通信原理》习题第一章
7
H(f)=
2 2
2
12
2 1 4
2
2
j fC
f L C
j fL
j fC
输出过程的功率谱密度为
2
0
0 2
1
( ) ( ) ( )
2 1
i
n
P P H
L C
对功率谱密度做傅立叶反变换，可得自相关函数为
0
0
( ) ex p ( )
4
C n C
R
L L
(2) 输出亦是高斯过程，因此
2 0
0 0 0
( 0 ) ( ) ( 0 )
4
C n
R R R
L
习题 2.17 若通过图 2-7 中的滤波器的是高斯白噪声，当输入一个均值为 0、双边
功率谱密度为 0
2
n
的白噪声时，试求输出噪声的概率密度。
解：高斯白噪声通过低通滤波器，输出信号仍然是高斯过程。由 2.15 题可知
E(y(t))=0 , 2 0
0
(0 )
4
y
n
R
R C
所以输出噪声的概率密度函数
2
00
1 2
( ) ex p ( )
2
y
x R C
p x
nn
R C
第三章习题
习题 3.1 设一个载波的表达式为 ( ) 5 co s 1 0 0 0c t t ，基带调制信号的表达式为：
m(t)=1+ cos 200 t 。试求出振幅调制时已调信号的频谱，并画出此频谱图。
解： tttctmts 1000cos5200cos1
ttt
ttt
8 0 0c o s1 2 0 0c o s
2
5
1 0 0 0c o s5
1 0 0 0c o s2 0 0c o s51 0 0 0c o s5
由傅里叶变换得
400400
4
5
600600
4
5
500500
2
5
ff
fffffS
已调信号的频谱如图 3-1 所示。
《通信原理》习题第一章
8
图 3-1 习题 3.1 图
习题 3.2 在上题中，已调信号的载波分量和各边带分量的振幅分别等于多少？
解：由上题知，已调信号的载波分量的振幅为 5/2，上、下边带的振幅均为 5/4。
习题3.3 设一个频率调制信号的载频等于10kHZ，基带调制信号是频率为2 kHZ
的单一正弦波，调制频移等于 5kHZ。试求其调制指数和已调信号带宽。
解：由题意，已知
m
f =2kHZ， f =5kHZ，则调制指数为
5
2 .5
2
f
m
f
m
f
已调信号带宽为 2 ( ) 2 ( 5 2 ) 1 4 k H Z
m
B f f
习题 3.4 试证明：若用一基带余弦波去调幅，则调幅信号的两个边带的功率之
和最大等于载波频率的一半。
证明：设基带调制信号为 ' ( )m t ，载波为 c(t)=A
0
c o s t ，则经调幅后，有
'
0
( ) 1 ( ) co s
A M
s t m t A t
已调信号的频率
2
2 ' 2 2
0
( ) 1 ( ) c o s
A M A M
P s t m t A t
2 2 '2 2 2 ' 2 2
0 0 0
cos ( ) cos 2 ( ) cosA t m t A t m t A t
因为调制信号为余弦波，设
2 (1 )
1 0 0 0 k H Z 1 0 0
f m
B m f
f
，故
2
' ' 2 1
( ) 0 , ( )
2 2
m
m t m t
则：载波频率为
2
2 2
0
c o s
2
c
A
P A t
边带频率为
' 2 2 2
' 2 2 2
0
( )
( ) c o s
2 4
s
m t A A
P m t A t
因此
1
2
s
c
P
P
。即调幅信号的两个边带的功率之和最大等于载波频率的一半。
习题 3.5 试证明；若两个时间函数为相乘关系，即 z(t)=x(t)y(t)，其傅立叶变换
S(f)
25
45
－600－500－400
0 400500600
《通信原理》习题第一章
9
为卷积关系：Z( )=X( )*Y( )。
证明：根据傅立叶变换关系，有
ded
2
1
2
1 tj1
uuYuXYXF
变换积分顺序: uuYuXYX- tj1 ed
2
1
2
1
F
uYuX tut dde
2
1
e
2
1 jj
tytx
utyuX
u t
de
2
1 j
又因为 Ztytxtz -1F
则 YXZ - 11 FF
即 YXZ
习题 3.6 设一基带调制信号为正弦波，其频率等于 10kHZ，振幅等于 1V。它对
频率为 10mHZ 的载波进行相位调制，最大调制相移为 10rad。试计算次相位调制信
号的近似带宽。若现在调制信号的频率变为 5kHZ，试求其带宽。
解：由题意，
m
1 0 k H Z , A 1 V
m
f 最大相移为
m a x
1 0 ra d
瞬时相位偏移为 ( ) ( )
p
t k m t ，则 1 0
p
k 。
瞬时角频率偏移为 d
( )
s in
p m m
d t
k t
d t
则最大角频偏
p m
k 。
因为相位调制和频率调制的本质是一致的，根据对频率调制的
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
，可得调制指
数 1 0p m
f p
m m
k
m k
因此，此相位调制信号的近似带宽为
2 (1 ) 2 (1 1 0 ) * 1 0 2 2 0 k H Z
f m
B m f
若
m
f =5kHZ，则带宽为
2 (1 ) 2 (1 1 0 ) * 5 1 1 0 k H Z
f m
B m f
习题 3.7 若用上题中的调制信号对该载波进行频率调制，并且最大调制频移为
1mHZ。试求此频率调制信号的近似带宽。
解：由题意，最大调制频移 1 0 0 0 k H Zf ，则调制指数 1 0 0 0 / 1 0 1 0 0
f
m
f
m
f
故此频率调制信号的近似带宽为
6 3
( ) 1 0 c o s ( 2 * 1 0 1 0 c o s 2 * 1 0 )s t t t
《通信原理》习题第一章
10
习题3.8设角度调制信号的表达式为 6 3( ) 1 0 c o s ( 2 * 1 0 1 0 c o s 2 * 1 0 )s t t t 。试求：
（1）已调信号的最大频移；（2）已调信号的最大相移；（3）已调信号的带
宽。
解：（1）该角波的瞬时角频率为
6
( ) 2 * 1 0 2 0 0 0 s in 2 0 0 0t t
故最大频偏
2 0 0 0
1 0 * 1 0 k H Z
2
f
（2）调频指数
3
3
1 0
1 0 * 1 0
1 0
f
m
f
m
f
故已调信号的最大相移 10 rad 。
（3）因为 FM 波与 PM 波的带宽形式相同，即 2 (1 )
F M f m
B m f ，所以已调信号
的带宽为
B=2(10+1)* 31 0 2 2 k H Z
第四章习题
习题 4.1 试证明式
n
nff
T
f
s
1
。
证明：因为周期性单位冲激脉冲信号 ( ) ( )
T s
n
t t n T
，周期为 sT ，其傅里叶
变换 ( ) 2 ( )
n
s
n
F t n
而
2
2
1 1
( )
s
s
s
T
jn t
n
T
s S
F t d t
T T
所以
2
( ) ( )
s
ns
n
T
即
1
( ) ( )
s
ns
f n f
T
习题 4.2 若语音信号的带宽在 300～400 Hz 之间，试按照奈奎斯特准则计算理
论上信号不失真的最小抽样频率。
解：由题意，
H
f =3400 Hz ,
L
f = 300 Hz ,故语音信号的带宽为
B =3400-300= 3100 Hz
H
f =3400 Hz =1 3100 +
3
3 1
3100 = kBnB
《通信原理》习题第一章
11
即 n =1, k = 3 3 1。
根据带通信号的抽样定理，理论上信号不失真的最小抽样频率为
s
f = )1(2
n
k
B =2 3100 （1 +
3
3 1
）= 6800 Hz
习题 4.3 若信号 ( ) s in (3 1 4 ) 3 1 4s t t t 。试问：
（1） 最小抽样频率为多少才能保证其无失真地恢复？
（2） 在用最小抽样频率对其抽样时，为保存 3min 的抽样，需要保
存多少个抽样值？
解： ( ) s in (3 1 4 ) 3 1 4s t t t ，其对应的傅里叶变换为
( )S
其他 ,0
314 ,314
信号 ( )s t 和对应的频谱 ( )S 如图 4-1 所示。所以 Hz 5023142
HH
f
根据低通信号的抽样定理，最小频率为 Hz 1005022
Hs
ff ，即每秒采 100
个抽样点，所以 3min 共有：100 3 60=18000 个抽样值。
习题 4.4 设被抽样的语音信号的带宽限制在 300～3400 Hz ，抽样频率等于
8000 Hz 。试画出已抽样语音信号的频谱，并在图上注明各频率点的坐标值。
解：已抽样语音信号的频谱如图 4-2 所示。
(a) (b)
图 4-1 习题 4.3 图
图 4-2 习题 4.4 图
习题 4.5 设有一个均匀量化器，它具有 256 个量化电平，试问其输出信号量噪
比等于多少分贝？
)(S
314314 0
)( fS
)kHz(f419316715612411387764433003043647738411612715316419 . . . . . . . . . . . -. -. -. -. -. -. -. -. .
16 12 8 4 4 8 12 16
t
( )s t
3 1 4 3 1 4
《通信原理》习题第一章
12
解：由题意 M=256，根据均匀量化量噪比公式得
dB16.48256lg20lg20
dB
MNS
qq
习题 4.6 试比较非均匀量化的 A 律和 律的优缺点。
答：对非均匀量化：A 律中，A=87.6； 律中，A=94.18。一般地，当 A 越大时，
在大电压段曲线的斜率越小，信号量噪比越差。即对大信号而言，非均匀量化的 律
的信号量噪比比 A 律稍差；而对小信号而言，非均匀量化的 律的信号量噪比比 A
律稍好。
习题 4.7 在 A 律 PCM 语音通信系统中，试写出当归一化输入信号抽样值等于
0.3 时，输出的二进制码组。
解：信号抽样值等于 0.3，所以极性码
1
c =1。
查表可得 0.3（1 3 .9 3 ，1 1 .9 8 ），所以 0.3的段号为 7，段落码为 110，故
2 3 4
c c c =110。
第 7 段内的动态范围为：
(1 1 .9 8 1 3 .9 3)
1 6
1
6 4
，该段内量化码为 n ,则
1
6 4
n +
1
3 .9 3
=0.3，可求得 n 3.2，所以量化值取 3。故
5 6 7 8
c c c c =0011。
所以输出的二进制码组为 11100011。
第五章习题
习题 5.1 若消息码序列为 1101001000001，试求出 AMI 和
3
HDB 码的相应序列。
解： AMI 码为
3
HDB 码为
习题 5.2 试画出AMI 码接收机的原理方框图。
解：如图 5-20 所示。
图 5-1 习题 5.2 图
习题 5.3 设 )(
1
tg 和 )(
2
tg 是随机二进制序列的码元波形。它们的出现概率分别是 P 和
)1( P 。试证明：若 k
tgtg
P
)](/)(1[
1
21
，式中，k 为常数，且 10 k ，则此序列中将
无离散谱。
1010001001011
1000001001011
全波整流 采样判决
T
k
a
r(t)
《通信原理》习题第一章
13
证明：若 k
tgtg
P
)(/)(1
1
21
，与 t 无关，且 10 k ，则有
1
)(
)]()([
2
12
tg
tgtg
P
即 )()1()()()(
2221
tgPtgtPgtPg
0)()1()(
21
tgPtPg
所以稳态波为 )()1()()( s2s1 nTtgPnTtgPtv
0)]()1()([
s2s1
nTtgPnTtgP
即 0)( wP
v
。所以无离散谱。得证！
习题 5.4 试证明式
1
0
11
d2sin2sin4
W
fftWfHWtth 。
证明：由于
dfefHth
ftj 2
11
)()( ，由欧拉公式可得
ff tfHftdffH
fftftfHth
d2sin)(j2cos)(
d)2sinj2)(cos()(
11
11
由于 )(
1
fH 为实偶函数，因此上式第二项为 0，且
fftfHth d)2cos()(2)(
11
令， 'dd,' ffWff ，代入上式得
WW
W
fWtftWfHfWtftWfH
ftWfWfHth
d2sin2sin)(2d2cos2cos)(2
'd])'(2cos[)'(2)(
11
11
由于 )(
1
fH 单边为奇对称，故上式第一项为 0，因此
W
W
ff ttWfHW
ffttWfHWth
0
1
11
d2sin)(2sin4
d2sin)(2sin2)(
习题 5.5 设一个二进制单极性基带信号序列中的“1”和“0”分别用脉冲 )( tg [见图 5-2 的
有无表示，并且它们出现的概率相等，码元持续时间等于T 。试求：
（1） 该序列的功率谱密度的表达式，并画出其曲线；
（2） 该序列中有没有概率 Tf 1 的离散分量？若有，试计算其功率。
解：
O TT t
A
)( tg
《通信原理》习题第一章
14
图 5-2 习题 5.5 图 1
（1）由图 5-21 得
其他 0
2
,
2
1
)(
T
tt
T
A
tg
)( tg 的频谱函数为：
42
)(
2 wT
Sa
AT
wG
由 题 意 ， 2110 /PPP ， 且 有 )(
1
tg = )( tg , )(
2
tg =0 ， 所 以
)()(
1
fGtG 0)(,
2
fG 。将其代入二进制数字基带信号的双边功率谱密度函数的表达式中，
可得
T
m
f
m
Sa
AwT
Sa
TA
T
m
f
T
m
G
T
wT
Sa
TA
T
T
m
f
T
m
GP
T
fGPP
T
T
m
f
T
m
GP
T
m
PG
T
fGfGPP
T
fP
s
216416
2
1
444
1
)1(
1
)()1(
1
)1(
1
)()()1(
1
)(
4
2
4
2
2
4
22
2
2
2
21
2
21
曲线如图 5-3 所示。
图 5.3 习题 5.5 图 2
（2）二进制数字基带信号的离散谱分量为
T
m
f
m
Sa
A
wP
v
216
)(
4
2
当 m=±1时，f=±1/T，代入上式得
T
fSa
A
T
fSa
A
wP
v
1
216
1
216
)(
4
2
4
2
因为该二进制数字基带信号中存在 f=1/T 的离散谱分量，所以能从该数字基带信号中提取码
f
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
O
16
2
v
A
16
2
TA
)( fP
s
《通信原理》习题第一章
15
元同步需要的 f=1/T 的频率分量。该频率分量的功率为
4
2
4
2
4
2
4
2
4
2
2
216216
AAA
Sa
A
Sa
A
S
习题 5.6 设一个二进制双极性基带信号序列的码元波形 )( tg 为矩形脉冲，如图 5-4 所示，
其高度等于 1，持续时间 3τ =T/ ，T 为码元宽度；且正极性脉冲出现的概率为
4
3
，负极性脉冲
出现的概率为
4
1
。
（1） 试写出该信号序列功率谱密度的表达式，并画出其曲线；
（2） 该序列中是否存在
T
f
1
的离散分量？若有，试计算其功率。
图 5-4 习题 5.6 图
解：（1）基带脉冲波形 )( tg 可表示为：
其他 0
2/t 1
)(
tg
)( tg 的傅里叶变化为：
33
)()(
Tf
Sa
T
fSafG
该二进制信号序列的功率谱密度为：
T
m
f
m
SafG
T
T
m
f
T
m
GP
T
m
PG
T
fGfGPP
T
fP
m
m
336
1
)(
4
3
)1(
1
)()()1(
1
)(
22
2
21
2
21
曲线如图 5-5 所示。
)( tg
1
2/02/2/T t2/T
T/1 T/2 T/3 T/4 T/5 T/6 T/8 T/9T/7 f0
12/T
36/1
)( fP
《通信原理》习题第一章
16
图 5-5 习题 5.6 图
（2） 二进制数字基带信号的离散谱分量为
T
m
f
m
SafP
m
v
336
1
)(
2
当 1m ,
T
f
1
时，代入上式得
T
fSa
T
fSafP
v
1
336
11
336
1
)(
22
因此，该序列中存在 /Tf 1 的离散分量。其功率为：
2
22
8
3
3/
3/sin
36
1
3/
3/sin
36
1
v
P
习题 5.7 设一个基带传输系统接收滤波器的输出码元波形 )( th 如图 5-13 所示。
（1） 试求该基带传输系统的传输函数 )( fH ；
（2） 若其信道传输函数 1)( fC ，且发送滤波器和接收滤波器的传输函
数相同，即 )()(
RT
fGfG ，试求此时 )(
T
fG 和 )(
R
fG 的表达式。
解：（1）令
0
2
T
2
-1
)(
其他
T
tt
tg ，由图 5-6 可得 )( th =
2
T
tg ，因为 )( tg 的
频谱函数
4
2
2
)(
2 fT
Sa
T
fG
，所以，系统的传输函数为
)( fH = 2
2
22
2
4
2
2
)(
fT
j
fT
j
e
fT
Sa
T
efG
（2）系统的传输函数 )( fH 由发送滤波器 )(
T
fG 、信道 )( fC 和接收滤波器 )( fG
R
三部分
组成，即 )( fH = )( fC )(
T
fG )(
R
fG 。因为 1)( fC ， )()(
RT
fGfG ，则
)( fH = )(
2
T
fG = )(
2
R
fG
所以 )(
T
fG = )(
R
fG = 4
2
4
2
2
)(
fT
j
e
fT
Sa
T
fH
图 5-6 习题 5.7 图
习题 5.8 设一个基带传输系统的传输函数 )( fH 如图 5-7 所示。
（1） 试求该系统接收滤波器输出码元波形的表达式：
)( th
2/T TO t
1
《通信原理》习题第一章
17
（2） 若其中基带信号的码元传输速率
0B
2 fR ，试用奈奎斯特准则衡量
该系统能否保证无码间串扰传输。
图 5-7 习题 5.8 图
解：（1）由图 5-25 可得 )( fH =
0
f /1
00
其他
fff
。
因为
其他 0
t ,/1
)(
TTt
tg ，所以 )()( 2 fTTSafG 。
根据对称性： ,,),()(),j()(
0
fTtftgfGtgfG 所以 )()(
0
2
0
tfSafth 。
（2）当
0B
2 fR 时，需要以
0B
2 fRf 为间隔对 )( fH 进行分段叠加，即分析在区间
][
0,0
ff 叠加函数的特性。由于在 ][
0,0
ff 区间， )( fH 不是一个常数，所以有码间干扰。
习题 5.9 设一个二进制基带传输系统的传输函数为
其他, 0
2/1),2cos1(
)(
000
ff
fH
试确定该系统最高的码元传输速率
B
R 及相应的码元持续时间 T。
解： )( fH 的波形如图 5-8 所示。由图可知， )( fH 为升余弦传输特性，根据奈奎斯特第一
准则，可等效为理想低通（矩形）特性（如图虚线所示）。等效矩形带宽为
00
1
4
1
2
1
2
1
W
最高码元传输速率
0
1
2
1
2
WR
B
相应的码元间隔
0
2/1
BS
RT
图 5-8 习题 5.9 图
1
O
0
f
0
f f
)( fH
)( fH
0
2/1 02/1 04/1
0
0
2
0
《通信原理》习题第一章
18
习题 5.10 若一个基带传输系统的传输函数 )( fH 和式（5.6-7）所示，式中
1
WW 。
（1） 试证明其单位冲激响应，即接收滤波器输出码元波形为
22
/41
/cos
/
/sin1
)(
Tt
Tt
Tt
Tt
T
th
（2） 若用
T
1
波特率的码元在此系统中传输，在抽样时刻上是否存在码间串
扰？
解：（1）
其他, 0
2,
2
cos1
2
1
)(
1
1
Wff
浙公网安备 33021202002483