null行列式的定义和性质 行列式的定义和性质 null 1.二阶行列式 — 平行四边形的有向面积null称为二阶行列式, 记作是平行四边形 OAPB 的有向面积,是两个向量或的函数,计算公式:或null从原点O出发作有向线段OA，OB，OC使则就是以OA,OB,OC为棱的平行六面体的有向体积。称为三阶行列式，记作2. 三阶行列式 — 平行六面体体积null 三阶行列式的基本性质 (3) det(e1, e2 , e3)=1 , e1,e2 ,e3 分别是三条坐标轴上的单位向量.)可以看作的乘积来展开. (1) det( (2) 如果三个向量 中有两个相等,
则 det( ) = 0 .
将三个向量 中的任意两个互换位置, 则det( ) 变为原来值的相反数。null利用基本性质计算三阶行列式(2.1)这样的项可以从 (2.1) 中去掉。只剩下 i,j,k 两两不相等的项。(2.1) 变成当 i,j,k 中有两个相等时，null代入(2.2), 得又类似地有(2.2)我们有类似地有nullnull其中3.n 阶行列式null它应具有以下基本性质：
(1) 是 的某种乘积，可以按乘法法则展开。
(2) 如果 n 个向量 中有两个相等, 则 = 0 。将n个向量 中的任意两个互换顺序， 则 变为 。
(3) det(e1,e2,…,en)=1，其中 n 维列向量 ei 的第 i 分量为1、其余分量为0。是由决定的 “n 维体积”null利用基本性质计算 n 阶行列式(3.1)当 i1,i2,…,in 中有两个相等时，这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 两两不相等的项, (3.1)中的 变成对1,2,…,n 的全体排列 (i1,i2,…, in ) 求和, 成为:null 将排列 中任意两个数 相互交换位置, 称为这个排列的一个对换。相应地，行列式 中的 互换了位置，其值变为原来值的相反数 。
进行若干次对换(设为 s 次)可以将排列
变成
标准
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排列 (12…n), 相应地将
变成 (3.2) 以下只须对每个排列 求null 可以证明, 的值由排列 唯一决定, 我们将 记为 sgn 。则 sgn代入(3.3) 得到(3.3)于是得这可以作为 n 阶行列式的定义。(3.4)
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