我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度

我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度 第五章 角动量 习题 d439km,近5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度，远地 d2384km,R6370km,远地点，地球半径，求卫星在近地点和远地点的速度之比. [解 答] 卫星所受的引力对O点力矩为 零，卫星对O点角动量守恒。 rm=rm,,远远近近 ,d+Rr2384+6370远近远地,,,,1.29rd+R439+6370,远近近地 ˆˆ,,，r=acostibsintj5.1.2 一个质量为m的质点沿着一条由定义的空间 ,曲线运动，其中a,b及皆为常数，求此质点所受的对原点的力矩. [解 答] ˆˆr=acostibsintj,,， ˆˆ,,，asintibcostj,,,,, 22ˆˆa=-acostibsintj,,,,, 22ˆˆ,,，,,()acostibsintjr,,,, 2Fmr,,,,,0，通过原点。 2ˆˆF=(3t-4t)i+(12t-6)j5.1.3 一个具有单位质量的质点在力场 中运动，其中t是时间.设该质点在t=0时位于原点，且速度为零，求t=2时该质点所受的对原点的力矩. [解 答] 已知，m=1kg Fma,有牛顿第二定律 12ˆˆ,,(3t-4t)i+(12t-6)jaFm d,,,,a,t0,0,0dt ,tt2ˆˆ？,,,(3t-4t)i+(12t-6)jdadtdt,,,000 322ˆˆ,，,ij=(t2t)(6t6t), dr,,,,,t0,0rdt同理由 rt322ˆˆd[(t2t)(6t6t)]dtrij,,，,,,00 124232ˆˆr=(t-t)i+(2t-3t)j43 4ˆˆˆˆt=2:r=i4j,F=4i18j,，，3 4ˆˆˆˆMrF()(),，,,，，，i4j4i18j03 ˆˆˆ i j k ˆˆˆ，,,,，,，,AB A A A (ABAB)i(ABAB)j(ABAB)kxyyyxxxyyxzzzzz B B Bxyz ˆˆˆ i j k 4ˆM 4 040k,,,,03 4 18 0 2466.010kg，14910km，5.1.4 地球质量为，地球与太阳相距，视地球为 质点，它绕太阳作圆周运动.求地球对医圆轨道中心的角动量. [解 答] 2Lrmmr,,,,, 2,,(rar/s),365243600，， 624r14910km,m6.010kg,，,，将代入上式得 402L2.6510kgm/s,，, 5.1.5 根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量. [解 答] ˆˆ,,，r=acostibsintj ˆˆ？,,，asintibcostj,,,,, 质点对原点的角动量: ˆˆˆˆ,，,，，,，,,,,,,,Lrm()m()acostibsintjasintibcostj ˆˆˆ i j k ˆ,,,,,atbtcos sin 0abmk ,m m 0asintbcost,,,, 5.1.6 根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2时对原点的角动量. [解 答] 由5.1.3，t=2s时 4ˆˆˆ,，,,,r=i4j,12j,m1kg223 4ˆˆˆ,，,,，，,Lrm()12ji4j3 ˆˆˆ i j k 42ˆL 4 016k(kgm/s),,,,,3 0 12 0 5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周做匀速圆周运动，这 ,310N是从孔下拉绳的力为.如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周做匀速圆周运动，这时小球的速率是多少,拉力所做的功是多少, [解 答] mRmR,,,00(1)小球角动量守恒: ? 2,0FTm,,002R0由牛顿第二定律:最初 ? R0,,,,0.8(m/s)0,0R又?解出代入?得 11223,,,,，,,Amm3.010(J)022(2)拉力所作的功 5.1.8 一个质量为m的质点在O-xy平面内运动，其位置矢量为 ˆˆ,,，r=acostibsintj ,其中a,b和是正常数，试以运动学及动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒. [解 答] (1)以运动学观点证明 ˆˆ,,，r=acostibsintj drˆˆ,,,,,,,,，asintibcostjdt 质点对坐标原点的角动量为: ˆˆˆˆ,，,，，,，,,,,,,,Lrm()m()acostibsintjasintibcostj ˆˆˆ i j k ˆ,,,,,atbtcos sin 0abmk,m m 0asintbcost,,,,=常矢量(守恒) (2)以动力学观点证明 2dr2,a==-r2dt 2F=ma=-mr,由牛顿第二定律: 质点对坐标原点的力矩为: 2MrFrmr,，,，,,()0,0 dLM,L=,dt由常矢量(守恒) 5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面上与固定点A相连.弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm.最初小球的 ,,0位置及速度如图所示.当小球的速度变为时，它与A点的距离最 ,,0大，且等于800mm，求此时的速度及初速度. [解 答] 由角动量守恒: mdmdsin30,,,00 ,,ddsin30,00 (1) 再由机械能守恒: 111222,,,，,mmk(d0.6)0222 (2) 联立求解: ,,,,1.306(m/s),0.3266(m/s)0 5.1.10 一条不可伸长的绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端 ,,2m,30,11系一个质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动.最初， ,,602后来继续向下拉绳使小球以沿水平圆周运动.求小球最初的速,,12度、最后的速度、以及绳对小球做的总功. [解 答] ,,,，2m,30,FTw,,11初时，指向圆心。 mgTcos,,,F1 tg,Fmgtg,,,,,11F Tsin,mg,1, 22,,11mgtgmm,,,1Rsin,111由牛顿第二定律: 2sin,1,,g2.38(m/s),11cos,1 ,,,60,,21最后， 22,,,sincos111121,,22cossin,,,3322122同样可求得: (1) 小球对轴角动量守恒: msinmsin,,,,,111222 ,,sin122,sin,,211即 (2) 3,131/31,,,,(3)3.43(m/s),,2133,，2(1)(2) 由动能定理: 1122,，,,，,,,,AEE(mm)mg(cos30cos60)0.00805(J)Kp211222 5.2.2 理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘.用轻线拴住轻弹簧使它处于压缩状态，将此弹簧竖直放置在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码.另一砝码盘上也放质量为m的砝码，使两盘静止.燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离.求砝码升起的高度.已知弹 0簧劲度系数为k被压缩的长度为. [解 答] 以滑轮、绳、两个砝码盘、两个物体、弹簧为 物体系。 受外力有:两个砝码盘和两个物体受到的重 力 mg=mg=mg=mg=mg1234，滑轮轴的压力 N。 Oxyz,建立坐标，如图，以轻线燃短到砝码与弹簧脱离为过程始末。 因物体系所受对O点合外力矩为零。物体系对O点角动量守恒: ,,,设砝码弹出时砝码盘速率为，砝码速率为， R滑轮半径为，则有: ,,mRmR+(m+m)R=0,,,,， ,,,,3即 ,在过程中砝码盘位移为，砝码位移为 ,,3则 ,，,0而 31,,,,0044故 N将地球包括在物体系内:此时受外力，不做功。重力和弹性力 为内保守力，做功。物体系机械能守恒。以弹簧自由伸长状态为 弹性势能零点。则: 1131122,，，,，,k3mmgmg2mg000022444 322mk2mg,,,004 23k320,,g,04m2即 在研究砝码相对于地的上抛过程 2,,2gh由运动学公式:可以求得 223k,30h,,,02g8mg4 23k0kmgh时，,08mg 当 5.2.3 两个滑冰于动员的质量各为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m.当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转.(1)在抓住绳索一端之前，各自对绳中心的角动量是多少,抓住之后是多少,(2)他们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何,(3)绳长为5m时，绳内张力多大,(4)二人在收拢绳索时，各做了多少功,(5)总动能如何变化, [解 答] 以两运动员和绳为物体系;受外力包括: 重力 Wmg,Wmg,,N,NAABBAB，冰面支持力。 mm,mgmgNN，，，,0ABABAB。因，由质心定义可知，物体系质 ,,,,0cc0心位于绳的中点。由质心运动定理，质心速度 (1)抓住绳之前 R12,,，，，,,,Jm706.5102275(kgm/s)00mA22 对O点角动量， 抓住绳之后 R1,,，，，,,,,Jm7010350mB22 对O点角动量， mmAA因受到的对O点的合力矩为零，故对O点的角动量守恒。 2JJ2275(kgm/s),,,0 ,,,,6.5(m/s)0且可知 mA(2)收拢绳索的过程，由对O点的角动量守恒。 rRR,,,,,,mmm0222 R10,？,,，,6.513(m/s),,0r5 (3)绳长5m时，由牛顿第二定律: 22,,,,2mT=m==4732(N)r/2r (4)由动能定理: 122,,,,,,Am()4436(J)A02