随机变量分布函数
本文从随机变量分布函数最基本的的定义和性质谈起，探讨了二元联合分布函数的两种估计
方法
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，并介绍了概率密度函数的一个应用——瑞利概率密度分布函数在电信用户预测中的运用。综合了课内所学与查阅课外资料文献所得，更深入透彻地理解了随机变量分布函数和概率密度分布函数，并通过实际生活中的应用感知到了它们的重要性。
Part.1定义及性质
对于离散型随机变量可以用分布律全面地描述它。但对于非离散型随机变量，由于其取值不能一一列出，因而就不能像离散型随机变量那样可以用分布律来描述它。另外，我们通常遇到的非离散型随机变量取任一指定的实数的概率都等于零，而且，在实际问题中我们并不单一地关注随机变量取某一值的概率，相反，我们更多的是关注随机变量落在某个区间内的概率，即P(x1 < X ≤ x2 ) 。但注意到，
，所以我们只需要知道和就可以了，这就是引入了分布函数的概念。分布函数的引入可以对离散型的和非离散型的随机变量给出一种统一的描述方法，进行统一的研究。
一.随机变量分布函数的定义
定义1. 设X是一个随机变量，是任意实数，称函数：
为X的分布函数。
分布函数是个普通函数，它是实数的函数，有时也可用记号F X (x)来表示X的分布函数。正是通过分布函数，我们才能将数学分析的方法引入来研究随机变量。
如果将X看作数轴上随机点的坐标，则分布函数F X (x)的值就表示X落在区间
上的概率。对任意的实数
，有：
从分布函数的定义可见，任一随机变量（离散的或连续的）都有一个分布函数，有了分布函数就可据此算得与随机变量X有关事件的概率。下面先介绍分布函数的三个基本性质。
二.随机变量分布函数的性质
性质1 （单调性）F(x)是定义在整个实数轴(?∞,+∞)上的的单调非减的函数。即对任意的x1 < x 2，,
有：F(x1) ≤F(x2)
性质2 （有界性）对任意的，有0≤F(x)≤1，且：
证明： 因为0≤F(x)≤1 ，且由F(x)单调性可知，对任意整数m，n ,有：
又由概率的可列可加性得：
由此可得：
性质3 （右连续性）F(x)是的右连续函数。即对任意的x0,有：
证明：因为F (x)是单调有界非减函数，所以其任一点x0的右极限(Fx0+0)必存在。
为证明右连续，只要对单调下降的数列
当
时证明
成立即可。 因为 ：
所以得：
性质1至性质3是分布函数必须具有的性质。反过来还可以证明：任一满足这三个性质的函数，一定可以成为某个随机变量的。因此，满足这三个性质的函数通常都称为分布函数。
有了随机变量X的分布函数，那么有关X的各钟事件的概率都能方便地用分布函数来表示。例如，对任意的实数a,b，有：
特别，当F(x)在a与b点连续时，有：
例1．设有一反正切函数
它在整个数轴上是连续、单调严格递增的函数，且：
所以此函数满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是随机变量X的一个分布函数。称这个分布函数为柯西分布函数。
若随机变量X服从柯西分布，则：
三. 离散型随机变量的分布函数
定义2。若离散型随机变量X的分布律为:
， k=1,2···
则其分布函数为:
这里和式是对于所有满足xk≤x的求和。分布函数F(x)在x= x k( k=1,2···)
处有跳跃，其跳跃值为
。其图形是个阶梯形图形：
图1. 离散型随机变量的分布函数
在离散型随机变量中要特别注意端点的计算，这也是离散型随机变量与连续型随机变量的一个区别之处。值得一提的是：离散型随机变量的分布函数一般为阶梯跳跃函数，且在每个间断点处仅右连续。但也有分布函数不是阶梯函数的离散型随机变量。例如，记(0,1)区间中的全体有理数为且x1,x2···，且
, 则X为离散型随机变量，而此时的X分布函数非阶梯形。
Part.2 二元联合分布函数的两种估计方法
一、 copula函数估计方法
又Sklar定理知如果边缘分布是连续的，则存在唯一的copula函数来描述这两个随机
变量的相关结构。但现实应用中，我们遇到的边缘分布函数经常是不连续的，如经验分布函数，此时两个随机变量的copula函数就不唯一了。同时，相同的边缘分布函数，不同的copula函数构造的联合分布函数也是不同的。从上文知，选择合适的copula函数对减小估计的误差是很重要的。下面将分三步说明如何利用copula函数来构造二维随机变量的联合分布函数。
（1） 采用非
参数
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核密度估计去估计两随机变量X和Y的边缘分布函数，先估计其分布函数，如下所示：
其中Xi是与X独立同分布的样本，Yi是与Y独立同分布的样本。显然，X和Y的边缘分布函数很易求得，有如下形式：
（2） 用二元核密度估计方法估计二维随机变量的联合分布函数，先估计F（x,y）的密度函数，有：
同理，Xi,Yi是分别于X,Y独立同分布的样本。则F(x,y)的估计量有：
（3） 四种备选的copula函数分别作为X和Y的结构函数，与X，Y的边缘分布函数估计量构造联合分布函数的四种估计。计算出四种估计量在密度集中点上与二元核密度估计的联合分布误差，取绝对误差均值最小者作为两随机变量相应的copula函数，若绝对误差的均值相同，则取方差最小者。
二、 乘积公式估计方法
由乘积公式F(x, y) = F(x).F(y| x)可知，若想估计出联合分布函数，必然要估计出一变量的边缘分布函数及一变量在另一变量下的条件分布函数。鉴于此，分三步来处理该问题。
（1） 先估计变量X的边缘分布函数，与copula函数估计方法中X完全相似。
（2） 条件分布函数没有公式可用，因
,故条件分布函数可以用Xi上的
的回归来估计。一个简单的非参数估计量就是局部线性光滑估计量
：
其中：
（3） 利用乘积公式将两者结合，即可得到二维随机变量的联合分布函数的估计量：
以上两种估计方法中，都涉及了核k(.)及带宽的选择，本文中的核k(.)都选用经常用到的高斯和。由于作者知识水平有限，故在此不作更详细的介绍。
Part.3瑞利概率密度分布函数在电信用户预测中的运用
瑞利概率密度分布函数的表达式如下
取0
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的过程就是一个对分布函数和概率密度函数的认识不断加深的过程，在查找资料的过程中遇到了许多没学过的新名词，也增长了自己的知识，同时让我认识到现在所学的知识还很有限，这仅仅是一个开始，学无止境，今后还有很长的路要走。今后，我会努力做到活学活用，对生活中的一些有不确定性的实际问题用概率论的方法解决。
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