第四章恒定总流基本方程
本章是流体力学在工程上应用的基础。它主要利用欧拉法的基本概念，引入了总流分析方法及总流运动的三个基本方程式：连续性方程、能量方程和动量方程，并且阐明了三个基本方程在工程应用上的分析计算方法。
第一节总流分析法
一、概念
1.流管(stream tube )：在流场中取任一封闭曲线(不是流线)，通过该封闭曲线的每一点作流线，这些流线所组成的管状空间称为流管。
判断：棱柱形明渠不存在流管。错
图4-1 流管与元流图4-2
2.元流(tube flow)
流管中的液流称为元流或微小流束(图4-1)。
元流的极限是一条流线(图4-2)。
3.总流(total flow)：把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流。
4.过水断面(cross section)：即水道(管道、明渠等)中垂直于水流流动方向的横断面，如图4-3中的1-1,2-2断面。
判断：均匀流过水断面是一平面，渐变流过水断面近似平面。对
5.控制体：即在流场中划定的一个固定的空间区域，该区域完全被流动流体所充满。
6.控制断面：即控制体(流管)有流体流进流出的两个断面，如图4-4中的3-3,4-4断面。
图4-3 过水断面图4-4 总流、控制体与控制断面判断：恒定总流的能量方程可通过元流的能量方程在整个总流上积分而得。对
1
二、控制断面的选取
1.渐变流的性质
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上,
各点动压强按静压强的规律(2-11)式分布，如图4-5，即
图4-5
求证：在恒定渐变流的同一过流断面上各点动水压强按静水压强规律分布，即:。
证明：列出z1方向的N—S方程有:
对恒定流，当地加速度为0；对渐变流，迁移加
速度近似为0，故根据欧拉加速度的定义:
又如图4-6所示:
图4-6
积分得:
即证。
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
想一想：图4-7中，过水断面上的动压强分布符合静压强分布规律的为：直管处弯管处
图4-7 图4-8
2.急变流
动压强特性：在断面上有
因为急变流时，流线的曲率较大，沿垂直流向方向的加速度不能忽略，如图4-8。
3.选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀流断面上。
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如图所示管路系统中流体作实际运动，恒定。圆管等直径，则下述判断正确的是:
A.该管路系统上点3和5的测压管水头相等;
B.该管路系统上点7的测压管水头大于6点的测压管水头;
C.该管路系统上点1的动水压强p1=g水·h1;
D.该管路系统上点2和8的动水压强p1=p8=p a。
问题2：一等直径水管,A-A为过流断面,B-B为水平面,1,2,3,4为面上各点，各点的运动物理量有以下关系:
A.;
B.;
C.;
D.。
问题3：渐变流任意两个过水断面的。错
三、流量与断面平均流速
1. 流量(discharge)：是指单位时间内通过河渠、管道等某一过水横断面的流体量。
体积流量(m3/s):(4-1)质量流量(kg/s):
2. 断面平均流速v
总流过水断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称断面平均流速v。
图4-9中,(4-2)
图4-9
几何意义：以底为A，高为u的柱体体积等于流速分布曲面与过水断面所围成的体积。
想一想：为什么在总流分析法中需引入断面平均流速?因为总流过水断面上各点的流速是不相等的。为了简化总流的计算，所以引入了断面平均流速来代替各点的实际流速。
四、动量及动量修正系数
动量(momentum)是物体运动的一种量度，是描述物体机械运动状态的一个重要物理量。
元流中单位时间内通过过水断面的动量为:
总流通过整个过水断面的动量值为(在过水断面mn方向上):
(4-3)
式中:β——动量修正系数，是指实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值,β>1 。对于层流:β =4/3；紊流:β =1.02~1.05，计算值一般取1.0。
可求证β>1 :
(因为)
得证。
动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀,β值越小，越接近于1.0。
五、动能及动能修正系数
动能(kinetic energy)：是指物体由于机械运动而具有的能量。
(4-4)
——单位重量流体的平均动能(流速水头)。
——动能修正系数(层流α=2.0，紊流α=1.05~1.1，一般工程计算中常取α=1.0 )，是实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值，即
(因为)
动能修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀,α值越小，越接近于1.0。
层流与紊流的比较(图4-10)
图4-10
断面流速分布动能修正系数动量修正系数
圆管层流旋转抛物面α=2.0β=4/3
圆管紊流对数规律α=1.05~1.1β=1.02~1.05
想一想：动能校正系数α及动量校正系数β的物理意义是什么?
动能(动量)校正系数指按实际流速分布计算的动能(动量)与按断面平均流速计算的动能(动量)的比值。
六、总流分析方法
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1.以元流为基础;
2.控制断面恒选在均匀流或渐变流断面上。
3.有关物理量(如流速)断面平均化。
判断：当流速分布比较均匀时，则动量修正系数越接近于零。错
第二节连续性方程
取控制体，考虑到条件
(1)在恒定流条件下，流管的形状与位置不随时间改变;
(2)不可能有流体经流管侧面流进或流出;
(3)流体是连续介质，元流内部不存在空隙;
(4)忽略质量转换成能量的可能。
图4-11
根据质量守恒原理(图4-11)
(1)有固定边界域的总流连续方程式
(4-5)物理意义：流入控制体内的净质量流量与控制体内由于密度变化在单位时间里所增加的质量相等。
适用范围：恒定流、非恒定流、可压缩、不可压缩流体、理想流体、实际流体。
(2)恒定流的总流连续性方程
对于恒定流，有，则(4-5)式为
(4-6)适用范围：固定边界内所有恒定流，包括可压缩或不可压缩流体、理想流体、实际流体。
(3)不可压缩流的总流连续性方程(图4-12):
对于不可压缩流体有:ρ=const，则(4-5)式为
图4-12
(4-7)
或:(4-8)
物理意义：对于不可压缩流体，断面平均流速与过水断面面积成反比，即流线密集的地方流速大，而流线疏展的地方流速小。
适用范围：固定边界内的不可压缩流体，包括恒定流、非恒定流、理想流体、实际流体。
(4)分叉流的总流连续性方程(图4-13)
(4-9)
图4-13
或:(4-10)
或:(4-11)
或:(4-12)式中: n——支管数。流入节点的流量为“+”，流出节点的流量为“—”。
q——为节点流量。
问题：变直径管的直径d1=320mm,d2=160mm，流速υ1=1.5m/s,υ2为:
A.3m/s;
B.4m/s;
C.6m/s;
D.9m/s。
思考题:
不可压缩总流的连续性方程与连续性微分方程有无联系?
将连续性微分方程在微元体上积分，并引入断面平均流速的定义，可得连续性方程。
设总流的体积为V，其微体积为d V，则有:
假定总流的表面积为s，其微面积为d s，根据数学分析中的高斯定理:
式中u n为总流表面的法向分速，则
对于总流的形状不随时间改变的流动，注意到总流侧面上的法向分速等于零,
而过水断面上的流速即为法向流速，则上式为
式中第一项为正值是因u2与A2的外法向一致，而第二项为负值是因u1与A1的外法向相反。
利用断面平均流速的概念，上式可改写为
或:
第三节恒定总流能量方程
一、实际流体元流能量方程
对图4-14中控制体进行受力分析(s方向)
两端面积力:
重力:
粘滞性引起的摩阻力:
恒定流()的加速度:
由牛顿第二定律得:
(1)实际流体元流微分能量方程图4-14
等式两边同除以ρg d A，并将代入得实际流体元流微分能量方程:
(4-13)
适用范围：不可压缩或可压缩的恒定流。
(2)不可压缩流体的元流能量方程
对于不可压缩流体，有g=const，积分上式可得不可压缩流体的元流能量方程:
(4-14)
式中:——比能损失，它表明：在实际流体流动中，由于粘性作用，一部分有效能因阻力作用作负
功被转化成热能而消耗掉，造成流动流体能量的损失，即比能损失:
L——断面1及2之间
流程
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长度。
二、恒定总流能量方程
1.恒定总流能量方程的推导
设元流的流量为d Q=u1d A1=u2d A2，则在上述元流能量方程(4-14)的等式两端同乘以ρg d Q可得单位时间内元流两过水断面的重量能量关系式:
然后沿总流过水断面上积分可得总流能量关系:
(1)势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有，则:
(2)动能积分:
(3)损失积分:
实际流体恒定总流的能量方程(对单位重流体而言)
(4-15)
式中:z ——比位能(位置水头)
——比压能(压强水头，测压管高度)
——比动能(流速水头)
——比势能(测压管水头)
——总比能(总水头)
——平均比能损失(水头损失)，单位重流体克服流动阻力所做的功。
问题：水平放置的渐扩管如图所示，如忽略水头损失，断面形心点的压强有以下关系:
A.p1>p2;
B.p1=p2 ;
C.p1
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。
4.列能量方程解题注意与连续性方程的联合使用。
问题1：在应用恒定总流的能量方程，可选用图中的那几个断面，作为计算过水断面。
A.1,2,3,4,5;
B.1,3,5;
C.2,4;
D.2,3,4。
例1：如图所示的虹吸管泄水，已知断面1,2及2,3的损失分别为h w1,2=0.6v2/(2g)和h w2,3=0.5v2/(2g) ，试求断面2的平均压强。
解：取0-0，列断面1,2的能量方程(取α1=α2=1)
(a)
而v2=v3=v(因d2=d1=d)，因此可对断面1,3写出能量方程图4-15
(b)
可得:
代入式(a)中得:
可见虹吸管顶部，相对压强为负值，即出现真空。为使之不产生空化，应控制虹吸管顶高(即吸出高)，防止形成过大真空。
例2：水深1.5m、水平截面积为3m×3m的水箱，箱底接一直径为200mm，长为2m的竖直管，在水箱进水量等于出水量情况下作恒定出流，略去水头损失，试求点2的压强。
解根据题意和图示，水流为恒定流；水箱表面，管子出口，管中点2所在断面，都是渐变流断面；符合总流能量方程应用条件。水流不可压缩，只受重力作用。
取渐变流断面1-1,2-2和3-3。因为1-1断面为水箱水面，较竖直管大得多，故流速水头可近似取。取，并将基准面O-O取在管子出口断面3-3上，写出断面1-1和断面3-3的总流能量方程(4-15):
采用相对压强。将已知数据代入上式,
即得
由连续方程(4-7)，可得。因此有。图4-16
取断面3-3为基准面，取，写断面1-1和2-2的总流能量方程(4-15):
将已知数据代入上式可得
所以
其真空值为0.98N/cm2，或绝对值压强为8.82N/cm2。上式说明点2压强小于大气压强，其真空度为1m水柱，或绝对压强相当于10-1=9m 水柱。
例3：某一水库的溢流坝，如图所示。已知坝下游河床高程为105.0m，当水库水位为120.0m时，坝址处收缩过
水断面处的水深h c=1.2m。设溢流坝的水头损失。求坝址处断面的平均流速。
解由于溢流坝面水流为急变流，所以在距坝前一段距离处，取渐变流断面1-1和在坝下游水流较平直的C
处取断面2-2。由于水库的过水断面面积大，流速水头。
图4-17
水库水位和下游河床高程都为已知，基准面0-0取在下游河床底部。取，写出总流能量方程
因为渐变流断面上各点的单位势能()等于常数。可选断面上任一点求得其z和p值。为了计算方便，可选水面上一点，故可用相对压强计算，该点动水压强为零，即
又:
令。由图可知
将以上已知数据代入总流量方程，得
解得坝址处的流速
不同固体边界下的水头线:
图4-18
图4-19
注：出口为自由出流时,P-P线末端应落在出口断面的管轴线上。
不同出口流速时的水头:
下游水池流速为零下游水池流速不为零
图4-20图4-21
即管道出口处的测管水头线、总水头线与下游水位持平。即管道出口处的总水头线高于下游水位。
1.拿两张薄纸，平行提在手中，当用嘴顺纸间缝隙吹气时，问薄纸是不动、靠拢、还是张开?为什么?
靠拢；流速增大、压强降低
2.水流由等径斜管的高处A流向低处B(不考虑水头损失)。讨论压强出现以下三种情况时的情形:
p A>p B;p A=p B;p Ap B;p A=p B;p A
p B:A→B流动
p A=p B:A→B流动
p A
(z1-z2),B →A流动
3.恒定总流能量的限制条件有哪些?如何选取其计算断面、基准面、计算点、压强?
参考答案:
恒定总流能量的限制条件有:
1)恒定流;
2)不可压缩流体;
3)质量力只有重力;
4)所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流。
5)总流的流量沿程不变。
6)两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
7)式中各项均为单位重流体的平均能(比能)，对流体总重的能量方程应各项乘以ρgQ。
三选一列
1)选择基准面基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选自过水断面形心(z=0)，或选自由液面(p=0)等。
2)选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。
3)选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面上。
4)列能量方程解题注意与连续性方程的联合使用。
4.总流能量与元流能量方程有什么不同点?
参考答案:
1)以断面的平均流速v代替元流中的点流速u;
2)以平均水头损失h w代替元流的水头损失h′w1.2;
3)各项反映的是整股水流的能量代替某一元流的能量。
三、水头线
水头线：沿程水头(如总水头或测压管水头)的变化曲线。
总水头线是对应的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布状况。
测压管水头线是对应的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况。
水力坡度J：指单位长流程的平均水头损失，即
测压管水头线坡度J P：单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。
图4-23 虹吸管的水头线与真空区注意:1.理想流动流体的总水头线为水平线;
2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线;
3.测压管水头线可升、可降、可水平。
4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=J P。
5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。
判断：测压管水头线若低于管轴心，则该处水流一定处于真空状态。对错测压管水头线可用来预测管线真空范围，从而确定管线最高布置位置。
如下图的左图中,BC段由图中测压管水头线可知:
即BC段压强为真空。
图4-22
问题：粘性流体总水头线沿程的变化是:
A.沿程下降;
B.沿程上升;
C.保持水平;
D.前三种情况都有可能。
问题：粘性流体测压管水头线的沿程变化是:
A.沿程下降;
B.沿程上升;
C.保持水平;
D.前三种情况都有可能。
例4：如图所示为一流动系统，各种损失如图中所示。AB段直径d1=100mm,BC段直径d2=150mm。试求:1)AB段流速v1,Q;2)绘制总水头线和测压管水头线。
图4-24
解写1-1和2-2断面能量方程(4-15)，以O-O为基准面。
取:
由连续性方程知
总水头线断面值的计算:
同理:
测压管水头线断面值的计算:
图4-25
现按一定的比例，将各值绘制在相应断面上，如图所示。
思考题:
1.设有一水平压力管流，当不考虑水头损失的影响时，其测压管水头线沿程下降、上升或水平的条件各是怎样的?
参考答案:
下降：压强沿程减小。例：收缩管
水平：压强沿程不变。例：管径沿程不变
上升：压强沿程增大。例：扩散管
2.什么是水头线?总水头线与测压管水头线有何区别?
参考答案:
水头线：沿程水头(如总水头或测压管水头)的变化曲线。
总水头线是对应的变化曲线，它代表水头损失沿流程的分布状况。
测压管水头线是对应的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况。
四、能量方程的扩展
1.分恒定流
(4-19)
(4-20) 2.能量的输入与输出
在同一流动中，若另有机械能输出(如水轮机)，或输入(如泵或风机)，则能量方程形式为:
(4-21)
式中:+H s——输入流体的比能,;
N p——泵输入功率(轴功率)，单位:N·m;ηp——泵效率。
-H s——输出流体的比能;
N p——水轮机输出功率，单位:N·m;η——水轮机效率。
例6：一抽水机管系(如图)，要求把下水池的水输送到高池，两池高差15m，流量Q=30l/s，水管内径d=150mm。泵的效率h p=0.76。设已知管路损失(泵损除外)为10v2/(2g)，试求轴功率。
解：取基准面0-0及断面1(位于低水池水面)及2(位于高水池水面)。设泵输入单位重水流的能量为
h
p，取α1=α2=1，则能量方程有:
因z1=0,z2=15m,p1=p2=0，且过水断面很大,v1≈v2≈0而管中流速:
图4-26故有:
得:h p=16.47N·m/N
所需轴功率N p为:
3.气流的能量方程
总流的能量方程式(4-15)是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大(u<60m/s)压强变化不大的系统，如工业通风管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小，在这样的条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。
设恒定气流如图4-27，气流的密度为ρ，外部空气的密度为ρa，过流断面上计算点的绝对压强为
p1abs,p2abs，列1-1和2-2断面的能量方程方程式(4-15)，且取α1=α2=1:
(4-22)
进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式
(4-23)
式中p w为压强损失,p w =ρgh w 图4-27
将式(4-23)中的压强用相对压强p1,p2表示则
式中p a为z1处的大气压，为z2高程处的大气压，代入式(4-22)，整理得
(4-24)
这里p1,p2称为静压；称为动压。(ρa-ρ)g为单位体积气体所受有效浮力,(z2-z1)为气体沿浮力方向升高的距离，乘积(ρa-ρ)g(z2-z1)为1-1断面相对于2-2断面单位体积气体的位能，称为位压。
式(4-24)就是以相对压强计算的气流能量方程。
当气流的密度和外界空气的密度相同ρa=ρ，或两计算点的高度相同z2=z1时，位压项为零，式(4-24)简化为
(4-25)
式中静压与动压之和称为全压。
当气流的密度远大于外界空气的密度(ρ>>ρa)，此时相当于液体总流，式(4-24)中ρa可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，式(4-24)化简为
除以ρg，即
(4-26)由此可见，对于液体总流来说，压强p1,p2不论是绝对压强，还是相对压强，能量方程的形式不变。
例5：自然排烟锅炉如图，烟囱直径d=1m，烟气流量Q=7.135m3/s，烟气密度ρ=0.7kg/m3，外部空气密度
ρa =1.2kg/m3，烟囱的压强损失，为使烟囱底部入口断面的真空度不小于10mm水柱。试求烟囱的高度H。
解：选烟囱底部断面为1-1断面，出口断面为2-2断面，因烟气和外部空气的密度不同，则
其中1-1 断面:
2-2断面:
代入上式图4-28 自然排烟锅炉
得H=32.63m。烟囱的高度须大于此值。
由此题可见p2=0，自然排烟锅炉烟囱底部压强为负压p1<0，顶部出口压强p2=0 ，且z2
公式
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(4-27)能不能用来测量计算倾斜管道中的流量?能
3.射流器
图4-32为射流器示意图。其工作原理是利用水箱的水经过喷嘴流出后，由于流速增加，压力降低，便将真空室抽成真空。利用真空室形成的真空度，可以将一定深度的池水吸上，并与吸水管水流混合后从出水管一起流出。
已知:H=1m,h=5m,D=50mm,d=30mm，略去水头损失，试求真空室中的真空值p2及出水管流量
解：取断面1-1,2-2,3-3,4-4,5-5五个渐变流断面，以喷嘴轴线0-0为基准面，取动能修正系数α=1，列能量方程(4-15)式和连续性方程(4-9)有:
把H=1,h=5,E1=H,E4=-h,
图4-32
p2=p5代入有:
令Q1=kQ2得
解得:
所以真空室中的真空值为-5.00075m，出水管流量为0.007896m3/s。
以上计算抽取的介质为液体，而在实际工程中多为气体，气体作为介质时，其流量要大得多。最常见的应用是：离心式水泵启动前，须先在泵壳内灌满水，以排除空气，然后才能启动水泵，达到抽水的目的。在生产实践中排除泵内空气的过程常借助射流器来完成。上图所示为其装置的示意图，射流前将泵内抽成真空，水池中的水即被吸出充满泵壳内。
第四节恒定总流动量方程
动量定理：质量系的动量对时间的变化率等于作用于该质点系的所有外力之矢量和，即:
如图4-33从恒定总流中任取一束元流为控制体,d t时间内，流体从1-2处流至1'-2 '处。
d t时间内元流的动量变化(恒定流)为
由动量定律得:
图4-33
(1) 不可压缩流体恒定元流动量方程
不可压缩流体恒定流，有，且，则有
(4-29)
(2)不可压缩流体恒定总流动量方程
(4-30)
或(4-31)
计算时β可取为1.0。
判断：动量方程中只有力是有方向的，流速v可以以标量表示。错
式中:——作用于控制体内流体的所有外力矢量和。该外力包括:
(1)作用在该控制体内所有流体质点的质量力;
(2)作用在该控制体面上的所有表面力(动水压力、切力);
(3)四周边界对水流的总作用力。
或:
适用范围:
(1)理想流体、实际流体的不可压缩恒定流。
(2)选择的两个过水断面应是渐变流过水断面，而过程可以不是渐变流。
(3)质量力只有重力
(4)沿程流量不发生变化；若流量变化，则方程为:
(4-32)
想一想：在应用恒定总流动量方程时，为什么不必考虑水头损失?为内力
动量方程的解题步骤
1. 选脱离体根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为脱离体;
2. 选坐标系选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向;
3. 作计算简图分析脱离体受力情况，并在脱离体上标出全部作用力的方向;
4. 列动量方程解题将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强计算。注意与能量方程及连续性方程的联合使用。
若由动量方程求出的力是负号，说明所受的力的方向与假定方向相反。
例1：如图4-34所示，喷水推进船，从前舱进水，然后用泵及直径为d=15cm的排水管从后舱排向水中。已知船速u1=36km/h，推进力F=2kN。试求水泵的排水量及推进装置的效率。
图4-34
解：取船内流管的全部内壁轮廓为控制体，已知进水速度为v1=36km/h=10m/s，设相对于船艇的排水速度为v2，排水量为Q，则由动量方程(4-30)得
代入已知数据，得
推进装置的输出有效功率为(作用于船体):
由发动机输入到水力推进装置的输入功率为:
故推进装置的效率为
例2：一水平放置的喷嘴将一水流射至正前方一光滑壁面后，将水流分为两股，如图4-35所示。已知d=40mm, Q=0.0252m3/s，水头损失不计，求水流对光滑壁面的作用力R。
解: 1.取控制面：在楔体前后取缓变流断面1与断面2,3之间的水体为脱离体，作用于脱离体上的力有:
(1)断面1,2,3及脱离体表面上的动水压力P1,P2,P3及P均等于零(作用在大气中)
(2)重力G，铅垂向下
图4-35
(3)楔体对水流的反力R，待求。
2.取坐标，列动量方程(4-31):
（1）
3.令β1=β2=β3=1.0，α1=α2=α3=1。列能量方程（4-15）：
代入（1）式可得：
水流对壁面的作用力R=-R′，大小相等，方向相反。
当θ=60°时R=252N
θ=90°时 R=504N
θ=180°时R=1008N
例3：如图4-36(a)所示有一高度为50mm，速度v为18m/s的单宽射流水股，冲击在边长为1.2m的光滑平板上，射流沿平板表面分成两股。已知板与水流方向的夹角为30度，平板末端为铰点.若忽略水流、空气和平板的摩阻，且流动在同一水平面上，求：
（1）流量分配Q1和Q2；
（2）设射流冲击点位于平板形心，若平板自重可忽略，A端应施加多大的垂直力P，才能保持平板的平衡，图4-36(b)；
（3）若B点不铰接，平板与水流方向一致以u=8m/s运动时，水流作用在平板上的垂直力的大小。
图4-36(a)
解： 1.选0-0,1-1,2-2断面间水体为控制体，如图所示取x,y直角坐标。设平板作用在水股上的力
为R（在y方向，无平板反力，忽略摩阻），沿y轴方向写动量方程（4-31）
（1）
写0-0,1-1断面的能量方程（4-15）（沿流线）：
同理：又β1=β2=β=1，则（1）式为：图4-36(b)
∴Q cos30°=Q1－Q2 (2)
由连续性方程（4-9）：Q=Q1+Q2 (3)
联立（2）、（3）两式
Q2=Q－Q1=0.067Q
2.沿x轴方向写动量方程(4-31)式，如图4-36(c)：
图4-36(c)
水对平板在x方向的冲击力F为8100N，方向与R的方向相反。现对B点取矩：∑M B=0
即：
∴ P=4050N
3.当平板以速度u=8m/s沿水流方向运动时，单位时间水流冲击在平板上的质量是ρA(v-u)，图示控制体的相对速度v-u：
写x方向的动量方程：
当平板运动时，水流作用在平板上的垂直作用力是2.5kN，作用方向与R相反。
例4 图4-37为一滚水坝，上游水位因坝的阻挡而抬高，测得断面1-1的水深为1.5m，下游断面2-2水深为0.6m。略去水头损失，求水流对1m坝宽（垂直纸面方向）的水平作用力F。
解在坝前一段距离处，取渐变流断面1-1；在坝下游水流较平直处，取断面2-2。以坝基底部为基准面
0-0，设α1=α2=1，写出总流能量方程（4-15）：
（1）
利用连续方程（4-9）：
取宽度为1m，得
代入（1）式：
图4-37
得
1m坝宽的单宽流量
作用在断面1-1上的水压力
作用在断面2-2上的水压力
坝对水流作用力的合力为R，取断面1-1和2-2之间的水流为隔离体（图b)，写出总流动量方程（4-30）
得：
则水流对1m坝宽的作用力，方向与R相反。
如何选取脱离体？
参考答案 方向反；无关（无重力时）；计算断面与固体壁面 本章小结
一、几个基本概念
1）元流（tube flow ） ：充满在流管中的液流称为元流或微小流束。元流的极限是一条流线。无数元流之和就构成总流。
2）过水断面（cross section ）：即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流动方向的横断面，即与元流或总流的流线成正交的横断面称为过水断面。
3）点流速：流体流动中任一点的流速称为点流速，常用u 表示。一般情况下过水断面上各点的点流速是不相等的。
4）平均流速：由通过过水断面的流量Q 除以过水断面的面积A 而得的流速称为断面平均流速，常用υ表示，即
5）渐变流：水流的流线几乎是平行直线的流动。或者虽有弯曲但曲率半径又很大的流体流动，则可视为渐变流。渐变流的极限是均匀流。渐变流同一过水断面上的动水压强分布规律同静水压强，即=常数。但需要注意：对于不同断面
一般不相等。
6）急变流：流线间夹角很大或曲率半径较小或二者兼而有之，流线是曲线。急变流过水断面上的动水压强不按静水压强规律分布。
7）动能（动量）修正系数：指按实际流速分布计算的动能（动量）与按断面平均流速计算的动能（动量）的比值。它们的值均大于1.0，且取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀，其值越小，越接近于1.0。一般工程计算中常取1.0。
二、恒定总流连续性方程
不可压缩流体无分叉流时：，即Q1=Q2，即任意断面间断面平均流速的大小与过水断面面积成反比。
不可压缩流体分叉流动时：∑Q入=∑Q出，即流向分叉点的流量之和等于自分叉点流出的流量之和。
三、恒定总流能量方程
1.能量方程
各项物理意义和几何意义：
z——单位重量流体具有的位能（位置水头）
——单位重量流体具有的压强水头（测压管高度）
——单位重量流体具有的动能（流速水头）
——单位重量流体具有的势能（测压管水头）
——单位重量流体具有的总比能（总水头）
——单位重量流体产生的水头损失或能量损失。
2.能量方程的应用条件
（1）恒定流；
（2）不可压缩流体；
（3）质量力只有重力；
（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流；
（5）总流的流量沿程不变；
（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。
各项乘以ρgQ即可得对流体总重的能量方程：
3.应用能量方程时的注意事项
（1）沿流动方向在渐变流处取过水断面列能量方程；
（2）基准面原则上可任取，但应尽量使各断面的位置水头为正；
（3）在同一问题上必须采用相同的压强标准。一般均采用相对压强，而当某断面有可能出现真空时，尽量采用绝对压强；
（4）由于=常数，所以计算点在断面上可任取，但对于管道流动常取断面中心点，对于明渠流动计算点常取在自由液面上；
（5）应选取已知量尽量多的断面，如上游水池断面v1=0，p=0，下游管道出口断面p2=0 处，其中一个断面应包括所求的未知量。
（6）当一个问题中有2~3个未知量时，需和连续方程、动量方程联立求解；
（7）对于有分叉的流体流动能量方程仍可应用，因为上述能量方程是对单位重量流体而言的。
（8）当两断面有能量输入、输出时，能量方程应为：
能量输入时，H为“+”，能量输出时，H为“-”。
4.水头线
各断面的总水头连线称为总水头线或总能线。对于理想流动流体的总水头线为水平线；对于实际流动流体的总水头线恒为下降曲线或直线，其下降值等于两断面的水头损失h w。
各断面的测压管水头连线称为测压管水头线。测压管水头线与总水头线的间距是流速水头，若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=J P。测压管水头线可升可降，它取决于总流几何边界的变化情况。
四、恒定总流动量方程
作用在计算流段上的外力的合力在某坐标轴上的投影，等于在该方向上流出流入该流段流体的动量之差。对于分叉管流，其动量方程应为：
注意事项：
1）应在两渐变流断面处取脱离体，但中间也可为急变流；
2）动量方程是矢量式，应适当选取投影轴，注意力和速度的正负号；
3）外力包括作用在脱离体上的所有的质量力和表面力。固体边界对流体的作用力方向可事先假设，若最后得到该力的计算值为正，则说明假设方向正确；若为负，则说明与假设方向相反；
4）应是输出动量减去输入动量；
5）动量方程只能求解一个未知数，若未知数多于一个时，应联立连续性方程和能量方程求解。
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