高等数学(下册)复习大全----往届考题及答案讲解

高等 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 (下册)复习大全----往届考题及答案讲解 高等数学下册总复习资料 财管双语班 财管双语班 目 录 目录 〈一〉多元函数微分法及其应用 ............................................................................ 1 第九章 重积分 ........................................................................................................ 5 第十章 曲线积分与曲面积分 ..................................................... 错误～未定义书签。 第十一章 无穷级数 ................................................................................................. 7 第十二章 微分方程 ............................................................................................... 13 〈二〉强化训练 ............................................................................................................. 16 (?)04、05、06期末试卷.................................................................................... 16 2004—2005学年第二学期期末考试试卷 ........................................................... 16 2005—2006学年第二学期期末考试试卷 ........................................................... 20 2006—2007学年期末考试试卷 ......................................................................... 22 (?)自测训练 ...................................................................................................... 25 试卷一 ............................................................................................................. 25 附参考答案:................................................................................................... 28 试卷二 ............................................................................................................. 29 附参考答案:................................................................................................... 32 试卷三 ............................................................................................................. 33 附参考答案:................................................................................................... 36 2005,2006学年第二学期期末考试试卷(2005级快班试卷)........................... 38 2006,2007学年第二学期期末考试(2006级快班试卷).................................. 41 试卷四 ............................................................................................................. 44 参考答案及提示 ............................................................................................... 48 试卷五 ............................................................................................................. 52 参考答案及提示:............................................................................................ 56 高等数学下册总复习资料 高等数学下册总复习 〈一〉多元函数微分法及其应用 一、基本概念 1(多元函数 (1)知道多元函数的定义 n元函数:y f(x1,x2, ,xn) (2)会求二元函数的定义域 1?:分母不为0; 2?:真数大于0; 3?:开偶次方数不小于0; 4?:z arcsinu或arccosu中|u|?1 (3)会对二元函数作几何解释 2(二重极限 x x0y y0limf(x,y) A 这里动点(x,y)是沿任意路线趋于定点(x0,y0)的( (1) 理解二重极限的定义 (2) 一元函数中极限的运算法则对二重极限也适用，会求二重极限; (3) 会证二元函数的极限不存在(主要用沿不同路径得不同结果的方法)( 3(多元函数的连续性 (1)理解定义:limf(P) f(P0)( P P0 (2)知道一切多元初等函数在其定义域内连续的结论; (3)知道多元函数在闭区域上的最大最小值定理、介值定理。 二、偏导数与全微分 1(偏导数 (1)理解偏导数的定义(二元函数) z x limf(x0, x,y0),f(x0,y0) x x 0 z y limf(x0,y0, y),f(x0,y0) y y 0 (2)知道偏导数的几何意义以及偏导数存在与连续的关系( (3)求偏导数法则、公式同一元函数( 2(高阶偏导数 (1)理解高阶偏导数的定义( 1 财管双语班 (2)注意记号与求导顺序问题( (3)二元函数有二阶连续偏导数时，求导次序无关:3(全微分 (1)知道全微分的定义 若 z f(x0, x,y0, y),f(x0,y0)可 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示成A x,B y,o( )，则z f(x,y)在点(x0,y0)处可 微;称A x,B y为此函数在点(x0,y0)处的全微分，记 z x y 2 z y x 2 ( 为dz A x,B y( (2)知道二元函数全微分存在的充分必要条件: 函数可微，偏导数必存在; (A z x ，B z y ;dz z x dx, z y dy) 偏导数存在，不一定可微( z,dz是否为o( ))( 偏导数连续，全微分必存在( 方向导数、梯度，只对快班要求( 三、多元复合函数与隐函数求导法则 1(多元复合函数的求导法则 (1) z x z u z v , u x v x z y z u z v , u y v y (2)对于函数只有一个中间变量的二元函数或多个中间变量的一元函数(全导数)的求 导法要熟练掌握( (3)快班学生要掌握多元复合函数(主要是两个中间变量的二元函数)的二阶偏导数的 求法( 2(隐函数的求导公式 (1)一个方程的情形 若F(x,y) 0确定了y y(x)，则 dydx , FxFy ; 若F(x,y,z) 0确定了z z(x,y)，则(2)方程组的情形 z x , FxFz ， z y , FyFz ( 2 高等数学下册总复习资料 若 F(x,y,z) 0 G(x,y,z) 0 能确定 y y(x) z z(x) ，则由 dydxdydx dzdxdzdx Fx,Fy Gx,Gy ,Fz ,Gz 0 0 可解出 dydx 与 dzdx ; 若 u y F(x,y,u,v) 0 G(x,y,u,v) 0 确定了u u(x,y)，v v(x,y)，象上边一样，可以求出 u x ， v x 及， v y ( 四、多元函数微分法的应用 1(几何应用 (1)空间曲线的切线与法平面方程 1?:曲线 :x (t)，y (t)，z (t)，t t0时， 上相应点(x0,y0,z0)处的切线方程: x,x0 y,y0 z,z0 (t0) (t0) (t0) 法平面方程: (t0)(x,x0), (t0)(y,y0), (t0)(z,z0) 0 y (x)x,x0y,y0z,z0 2?:曲线 : ，则点(x0,y0,z0)处的切线方程: z (x)1 (x) (x) 00 法平面方程:(x,x0), (x0)(y,y0), (x0)(z,z0) 0 3?:曲线 : F(x,y,z) 0 G(x,y,z) 0 ，则点P(x0,y0,z0)处的切线方程为 y,y0FzGzFzGz x,x0FyGy FzGz P FxGxFxGx P P z,z0FxGx FyGy P 法平面方程: FyGy FzGz P (x,x0), (y,y0), FxGx FyGy P (z,z0) 0 (2)空间曲面的切平面与法线方程 1?:曲面 :F(x,y,z) 0，点(x0,y0,z0)处的切平面方程为: 3 财管双语班 Fx(x0,y0,z0) (x,x0),Fy(x0,y0,z0) (y,y0),Fz(x0,y0,z0) (z,z0) 0 法线方程: x,x0Fx y,y0Fy z,z0Fz 2?:曲面 :z f(x,y)，在点(x0,y0,z0)处的切平面方程为: z,z0 fx(x0,y0) (x,x0),fy(x0,y0) (y,y0) 法线方程为:2(极值应用 x,x0 fx y,y0 fy z,z0,1 z 0 x (1)求一个多元函数的极值(如z f(x,y)):先用必要条件 ，求出全部驻点， z 0 y 再用充分条件求出驻点处的zxx，zyy与zxy ; 2 AC,B 0，A 0时有极大值，A 0时有极小值; AC,B 0时无极值( 2 (2)求最值 1?:纯数学式子时，区域内驻点处的函数值与区域边界上的最值比较; 2?:有实际意义 的最值问题( (3)条件极值 求一个多元函数在一个或m个条件下的极值时，用拉格朗日乘数法( 如:u f(x,y,z)在条件 1(x,y,z) 0与 2(x,y,z) 0下的极值时，取 F(x,y,z; 1, 2) f(x,y,z), 1 1(x,y,z), 2 2(x,y,z) Fx F y 解方程组 Fz 1 2 0 0 0，求出x，y，z 0 0 则(x,y,z)就是可能的极值点;再依具体问题就可判定(x,y,z)为极大(或极小)值点( 4 高等数学下册总复习资料 第九章 重积分 一、 二重积分 n 1( 定义: f(x,y)d lim D 0 f( i, i) i (n )i 1 2( 几何意义:当f(x,y)?0时， f(x,y)d 表示以曲面z f(x,y)为顶，以D为底的 D 曲顶柱体体积( 物理意义:以f(x,y)为密度的平面薄片D的质量( 3( 性质 1?: kf(x,y)d k f(x,y)d D D 2?: [f(x,y) g(x,y)]d D D f(x,y)d g(x,y)d D 3?:若D D1,D2，则 f(x,y)d D D1 f(x,y)d , D2 f(x,y)d 4?:f(x,y) 1时， f(x,y)d D D 5?:若在D上 (x,y)? (x,y)，则 (x,y)d ? (x,y)d D D D f(x,y)d ? D f(x,y)d 6?:若f(x,y)在闭区域D上连续，且m?f(x,y)?M，则 m D? f(x,y)d ?M D D 7?:(中值定理)若f(x,y)在闭区域D上连续，则必有点( , ) D，使 D f(x,y)d f( , ) D 4( 二重积分的计算法 (1)在直角坐标系中 1?:若积分区域D为X,型区域 a x b D: (x) y (x)2 1 则化为先y后x的二次积分: 5 财管双语班 ba D f(x,y)dxdy dx 2(x) 1(x) f(x,y)dy 2?:若积分区域D为Y,型区域 D: c y d 1(y) x 2(y) 则化为先x后y的二次积分: D f(x,y)dxdy dc dy 2(y) 1(y) f(x,y)dx (2)在极坐标系中 f(x,y) f(rcos ,rsin ),d rdrd 1?:极点在D外: : D 1( ) r 2( ) 则有 D f(x,y)d d 2( ) 1( f(rcos ,rsin ) rdr O 极点在D外 ) r 2?:极点在D的边界上: D: 0 r ( ) 则有 r O 极点在D的边界上 D f(x,y)d d ( ) f(rcos ,rsin ) rdr 3?:极点在D内: 0 2 D: 0 r ( ) 则有 D f(x,y)d 2 0 d ( ) f(rcos ,rsin ) rdr 极点在D内 在计算二重积分时要注意: 1?:选系:是直角坐标系还是极坐标系; 若积分区域是圆域、环域或它们的一部分;被积式含有x,y或两个积分变量之 2 2 6 高等数学下册总复习资料 比 yx 、 xy 时，一般可选择极坐标系( 2?:选序:当选用直角坐标系时，要考虑积分次序，选错次序会出现复杂或根本积不出的 情况(二次积分换次序)( 3?:积分区域的对称性与被积函数的奇偶性要正确配合，如:D 关于x轴(或y轴)对称时，应配合被积函数对于(或yx)的奇偶性( 4?:若f(x,y) f1(x) f2(y)， 积分区域D: 分的乘积。 a x b c y d ,则二重积分可化为两个定积 第十一章 无穷级数 一、 常数项级数 1( 基本概念 (1) 定义:形如 un u1,u2, ,un, 的无穷和式，其中每一项都是常数( n 1 n (2) 部分和:Sn u i 1 i (3) 常数项级数收敛(发散) limSn存在(不存在)( n (4) 和S limSn(存在时)( n 注:发散级数无和( (5) 余项:当limSn S时，称级数rn n u i 1 n,i 为原级数第n项后的余项( 2( 基本性质 (1) kun与 un敛散性相同，且若 un S，则 kun kS; n 1 n 1 n 1 n 1 (2) 若 un S， vn ，则 ,un,vn, s, 推论1:若 un收敛， vn发散，则 ,un,vn,必发散; 推论2:若 un与 vn都发散，则 ,un,vn,不一定发散( 7 财管双语班 (3) 在级数前面去掉或添加、或改变有限项后所得级数与原级数的敛散性相同(收敛级 数的和改变)( (4) 收敛级数加括号(按规则)所得级数仍收敛于原来的和; (收敛级数去括号不一 定收敛) (5) 若级数 un收敛，则必有limun 0( n 1 n (若limun 0，则 un必发散) n n 1 3( 几个重要的常数项级数 n,1 (1) 等比级数 aq n 1 a 1,q 发散 |q| 1|q| 1 ; (2) 调和级数 n 1 1n1n 发散; (3) p,级数 n 1 p (p 0)，p 1时收敛，0 p?1时发散); (4) 倒阶乘级数 n 1 1n! 收敛( 4( 常数项级数的审敛法 (1) 正项级数的审敛法 设 un与 vn均为正项级数 n 2 n 1 1?: un收敛 Sn 有界; n 1 2?:比较法 若 un收敛(发散)，且un?vn，(un?vn)，则 vn收敛(发散)( n 1 n 1 推论1:若lim unvn n l，0 l , ，则 vn与 un具有相同的敛散性( n 1 n 1 推论2:若limn un l，则 un发散; n n 1 若limn un l(p 1)，则 un收敛( n n 1 p 8 高等数学下册总复习资料 3?:比值法 1时 ，则有 1时 1时 u n 1 n 收敛 若lim un,1un n u n 1 n 发散 u n 1 n 待定 4?:根值法 1时 ，则当 1时 1时 u n 1 n 收敛 若lim n un u n 1 n 发散 u n 1 n 待定 (2) 交错级数的审敛法 莱布尼兹定理:若交错级数 (,1)n,1un(un 0)满足: n 1 1?:un?un,1 2?:limun 0 n 则 (,1)n,1un收敛，且其和S?u1，|rn|?un,1( n 1 (3) 任意项级数的审敛法 1?:若limun 0，则 un发散; n n 1 2?:若 |un|收敛，则 un绝对收敛; n 1 n 1 3?:若 |un|发散， un收敛，则 un条件收敛( n 1 n 1 n 1 二、 函数项级数 1( 基本概念 (1) 定义:形如 un(x) u1(x),u2(x), ,un(x), ; n 1 (2) 收敛点、发散点、收敛域、发散域; 9 财管双语班 n (3) 部分和:Sn(x) u i 1 i (x); (4) 和函数:在收敛域上S(x) limSn(x) n u n 1 n (x)( 2( 幂级数 (1) 定义: an,x,x0,，当x0 0时有: anxn; n n 0 n 0 (2) 性质 n 1?:若 anx在x0处收敛，则当|x| |x0|时， anxn绝对收敛(发散); n 0 n 0 n 若 anx在x0处发散，则当|x| |x0|时， anxn发散( n 0 n 0 2?:幂级数 a,x,x, n n 0 n 的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间 (x0,R,x0,R)，两端点是否属于收敛域要分别检验( 3?:在 anxn的收敛区间,,R,R,内，此级数的和函数S(x)连续( n 0 (3) 收敛区间的求法 1?:不缺项时，先求 lim an,1an n ，得收敛半径R 1 ; 再验证两端点，则收敛域,(x0,R,x0,R)?收敛的端点( un,1(x)un(x) (x)，解不等式 (x) 1得x的所属区间 2?:缺项时，先求lim n x1 x x2，再验证端点x1，x2，则收敛域,(x1,x2)?收敛的端点( 3( 幂级数的运算 (1) 幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算( (2) 幂级数 在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即 a n 0 n x S(x)，|x| R，则有: n 10 高等数学下册总复习资料 n anx n 0 ,a n 0 n x n , na n 0 n x n,1 S (x)，|x| R; x0 n anx dx n 0 n 0 x0 anxdx n n,1x n 0 an n,1 x0 S(x)dx，|x| R 4( 函数展开为幂级数 (1) 充要条件:若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则 f(x) n 0 f (n) (x0) n! (x,x0) n limRn(x) 0( n (2) 唯一性:若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x) a n 0 n n (x,x0)，则其系数 an 1n! f (n) (x0)，(n 0,1,2, )( (3) 展开法: 1?:直接法(见教材P218) 2?:间接法 利用几个函数的展开式展开 e x n 0 x n n! ，(, ,, ) 2n,1 2n,1 sinx (,1) n 0 n x (2n,1)! n 或 (,1) n 1 n,1 x (2n,1)! ，(, ,, ) cosx (,1) n 0 x 2n (2n)! ，(, ,, ) 11,x x n 0 n ，(,1,1) ln,1,x, (,1) n 0 n x n,1 (n,1) ，(,1,1] ,1,x, 5( 傅立叶级数 m 1, n 1 m(m,1)(m,2) (m,n,1) n! x，(,1,1) n (此内容只适用于快班) (1) 定义:如果三角级数 a02, ,a n 1 n cosnx,bnsinnx,中的系数an，bn是由尤拉—— 11 财管双语班 傅立叶公式给出，即 an 1 1 , f(x)cosnxdx，n 0,1,2, ; bn , f(x)sinnxdx，n 1,2, 则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数( (2) 收敛定理 设f(x)是周期为2 的周期函数，如果它在一个周期内满足:连续或只有有限个第一类间 断点;单调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数 a02 , ,a n 1 n cosnx,bnsinnx, 收敛于 f(x) f(x,0),f(x,0) 2 x为连续点x为间断点 ( (3) 函数f(x)展开为傅立叶级数的方法: 1?:求f(x)的傅立叶系数; 2?:将1?中的系数代入三角级数式; 3?:写出上式成立的区间( (4) 正弦级数与余弦级数 称 bnsinnx(an 0)为正弦级数;称 n 1 a02 , a n 1 n cosnx(bn 0)为余 弦级数( 若在 , , 上，f(x)为奇函数，则有an 0，其正弦级数为 bnsinnx， n 1 bn 2 f(x)sinnxdx，(n 1,2, ); 若在 , , 上，f(x)为偶函数，则有bn 0，其余弦级数为 a02 , n 1 ancosnx，an 2 f(x)cosnxdx，(n 0,1,2, ); 若f(x)是定义在 0, 上的函数，要求其正弦(余弦)级数，可先对f(x)进行奇(偶)延 拓; 奇延拓:F(x) f(x) x 0, ,f(,x) x , ,0 12 高等数学下册总复习资料 偶延拓:F(x) f(x) f(,x)x [0, ]x [, ,0) 对于周期为2l的函数的展开情况与上边类似(略)( 第十二章 微分方程 一、 基本概念 1( 微分方程:含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程( 2( 微分方程的阶:微分方程中未知函数的导数的最高阶数叫微分方程的阶( 3( 微分方程的解: 满足微分方程的函数叫微分方程解; 若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫 微分方程的通解; 确定了通解中任意常数以后所得的解叫微分方程的特解( 4( 初始条件:用来确定通解中任意常数的条件叫初始条件( 二、 一阶微分方程的解法 一阶微分方程的形式通常记为: F(x,y,y ) 0或y f(x,y)或P(x,y)dx,Q(x,y)dy 0( 常见一阶微分方程有: 1( 可分离变量微分方程 能化成g(y)dy f(x)dx的一阶微分方程叫可分离变量的微分方程(通常有 dy dx g(y) f(x)或M1(x) N1(y)dx,M2(x) N2(y)dy 0， 分离变量，两边积分可得通解( 2( 齐次微分方程 一阶方程dy dx f(x,y)中的f(x,y)可表示成yx的函数，即f(x,y) y ， x 则称此方程为齐次方程( 解法:令u y x，则dy dx u,xdu dx代入原方程便得可分离变量微分方程( 3( 一阶线性微分方程 形如dy dx,P(x) y Q(x)或dx dy,P(y) x Q(y)的方程叫一阶线性非齐次微分 方程。Q 0时，为一阶线性齐次微分方程( 13 财管双语班 dy dx,P(x)dx,P(x) y 0的通解为y ce ( 用常量变易法得dy dx,P(x) y Q(x)的通解为: ,P(x)dx P(x)dxdx,c ( y e Q(x)e 4( 贝努利方程 形如dy dx,P(x) y Q(x) y(n 0,1)的方程叫贝努利方程( n 解法:两边同除以yn，令y1,n z，便得一阶线性非齐次微分方程( 5( 全微分方程(普通班不要求) 若方程P(x,y)dx,Q(x,y)dy 0满足 P y Q x，即Pdx,Qdy为某二元函数 u(x,y)的全微分，则称此方程为全微分方程( 其通解为:u(x,y) u(x,y) xx0xP(x,y0)dx, yy0Q(x,y)dy C或 y y0Q(x0,y)dx, x0P(x,y)dy C( 三、 可降阶的高阶微分方程 1( y(n) f(x)型 接连n次积分，可得此方程的含有n个相互独立的任意常数的通解( 2( y f(x,y )型 dp dx令y p，则y 的通解( 3( y f(y,y )型 ，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程 令y p，则y dp dx dp dy dy dx pdp dy，代入原方程，得到一阶微分方程 pdp dy f(y,p)(解此一阶微分方程，得到y p (y,C1)，然后分离变量并积分便可得此方程的通解( 14 高等数学下册总复习资料 四、 线性微分方程解的结构 y ,p(x)y ,Q(x)y 0 …………………………(1) y ,p(x)y ,Q(x)y f(x) ……………………(2) 称(1)为二阶线性齐次微分方程，称(2)为二阶线性非齐次微分方程( 1?:若y1，y2是(1)的两个解，则线性组合C1y1,C2y2也是(1)的解( 2?:若y1，y2是(1)的两个线性无关的解，则y C1y1,C2y2就是(1)的通解( 3?:若y1，y2是(2)的两个解，则y y1,y2就是(1)的一个解( 4?:若是(1)的通解，y*是(2)的一个特解，则y ,y*就是(2)的通解( 5?:若(2)中的f(x) f1(x),f2(x)，且y1是y ,p(x)y ,q(x)y f1(x)的特解，y2 是y ,p(x)y ,q(x)y f2(x)的特解，则y* y1,y2就是(2)的特解( 五、 二阶线性常系数微分方程 1( 齐次:y ,py ,qy 0………………………………(1) 其特征方程为:r2,pr,q 0………………………(2) 1?:若r1，r2为(2)的不等二实根，则(1)的通解为:y C1e1,C2e rx r2x * * * * ( 2?:若r1，r2为(2)的相等二实根，则(1)的通解为:y (C1,C2x)e1( 3?:若r1,2 i 为(2)的一对共轭复根，则(1)的通解为: y e n阶(n 2)的略( x rx (c1cos x,c2sin x)( 2( 非齐次 y,py,qy f(x)…………………………(1) 相应齐次方程为:y ,py ,qy 0…………(2) 方程(1)的通解y (2)的通解,(1) 一个特解y( 已解决，这里关键是求y: x 1?:若f(x) ePm(x)，其中Pm(x)为x的m次多项式，此时令 * * 15 财管双语班 y xeQm(x)，这里Qm(x)为系数待定的m次多项式( *k x 0 k 1 2 当 不是特征方程的根时当 是特征方程的单根时当 是特征方程的重根时 2?:f(x) e x Pl(x)cos x,Pn(x)sin x (其中Pl(x)、Pn(x)分别为l、n次多项式) 此时令y* xke x Qm(x)cos x,Rm(x)sin x ，此处m max{l,n};Qm(x)、 0 Rm(x)是两个m次系数待定的多项式，k 1 当 i 不是特征根时当 i 是特征根时 ( 〈二〉强化训练 (?)04、05、06期末试卷 2004—2005学年第二学期期末考试试卷 一、 单选题(每小题4分，共16分) 1( 下面结论错误的是( )( (A) 若f(x)在(a,b) ) 23 ，， 13 (B) 23 ，, 23 ， 13 (C), 23 ，, 23 ， 13 (D) 23 ， 23 ，, 13 3( 平行于z轴的平面是( ) 16 高等数学下册总复习资料 3x,2z 0 (A)(B)(C)(D)2x,3y,10 0 4y,z 0 x,y,z,1 0 4( 设D (x,y)|x2,y2 a2,a 0,y 0 ，在极坐标中，二重积分 (x,y)dxdy可22 D 表示为( ) (A) d rdr (B) d r2dr 0000 a3 a (C) 2 , 2d a0 rdr (D) 32, 2d rdr 0a2 二、 填空题(每小题4分，共16分) 1( , xsinxdx 4 2( 设a 3i,k，b 2i,3j,2k，则a b 3( 设z xy,x3，则 z x, z y 4( 设区域D (x,y)|0 x 1,0 y 2 ，则 kdxdy D 三、 计算题(每题6分，共48分) 1( 计算 e01,xdx( 2( 求球心在点(2,,2,1)并与zOx平面相切的球面方程( 3( 计算 xdxdydz，其中 为三个坐标面及平面x,2y,z 1所围成的闭区域( 17 财管双语班 D 4( 计算 xyd ，其中D是由直线x 2，y 1及y x所围成的闭区域( 2 (2xy,x)dx,(x,y)dy5( ，其中是由抛物线和Ly x22 L y x所围成的区域的正向边界曲线( 2 6( 求微分方程y ,2y ,5y 0的通解( 18 高等数学下册总复习资料 7( 将函数 11,x2展开成x的幂级数( 8( 求幂级数 n 1(x,1)2 nnn的收敛域( 四、 综合题(共14分) sec x rcos 1( 设有关系式 ，将积分 4d f(rcos ,rsin )rdr化为直角坐标系下 的00 y rsin 二次积分。(6分) 2( 设f(x) x3,1,x f(t)dt,0xx0 (8分) tf(t)dt，其中f(x)为连续函数，求f(x)。 19 财管双语班 五、 证明题(6分) a0dy e0ym(n,x)f(x)dx a0(a,x)em(n,x)f(x)dx 2005—2006学年第二学期期末考试试卷 一、 选择题(每题4分，共20分) 1( z 1 ln(x,y)的定义域( )( A(x,y 0 B(x,y 0 C(x,y 1 D(x,y 0且x,y 1 2( z f(x,y)在(x0,y0)处可 微的充分条件是( )( A(fx (x0,y0)，fy (x0,y0)都存在 B(fx (x0,y0)，fy (x0,y0)在(x0,y0)的某个邻域 )时， n 1aqn(a为常数)收敛( A(q 1 B(|q| 1 C(q ,1 D(|q| 1 4( 当积分区域D是由( )围成时， dxdy 1( D A(x轴、y轴及2x,y,2 0 B(x 1，x 2及y 3，y 4 C(|x| 1 2，|y| 1 2 D(|x,y| 1，|x,y| 1 20 高等数学下册总复习资料 5( dy dx22( ,y 0的通解是( ) A(y Asinx B(y Bsinx C(y sinx,Bcosx D(y Asinx,Bcosx 二、 填空题(每题4分，共24分) 1( z arcsin(yx)，则 z y 22( L是一条分段光滑的闭曲线，则2xydx,xdy L 3( x 1 3,x2 22 3, , exnnn 3, 的收敛域是 4( 改变积分次序 dx 1lnx0f(x,y)dy 225( L为圆周:x acost，y asint(0?t?2 )，则(x,y)ds L 三、 计算题(每题10分，共40分) 1( 2( 3( De,x,y22dxdy，D:中心在原点半径为a的圆周围成的闭区域( Lydx，L半径为a， 圆心在原点，逆时针绕行的上半圆周( 2 dSz2222， :球面x,y,z a被平面z h (0 h a)截出的顶部( 21 财管双语班 4( 已给 yxdx x2,y，求满足y0xx 0 0之特解( 四、 (12分)把正数a分成三个正数之和，使它们乘积最大，并由此结果证明 xyz?x,y,z 3(x 0，y 0，z 0)( 五、 (8分)计算 |y,x|dxdy，其中区域D为0?x?1，0?y?1( D2 2006—2007学年期末考试试卷 一、填空题(每小题4分，共20分) y1( 设z x，则dz 2( 设平面区域D (x,y)||x| 1,0 y 2 ，则 (xsiny,3)dxdy 3 D 3( 设L为平面上任意正向简单闭曲线，则(3xy,cos2x)dx,(siny,x)dy L23 4( 幂级数 n 1(x,1)nn的收敛域是 5( 微分方程y ,y ,6y 0的通解是 22 高等数学下册总复习资料 二、选择题(每小题4分，共20分) 1( 设z sec(xy,1)，则 z x( ( ) (A)xsec(xy,1)tan(xy,1) (B)ysec(xy,1)tan(xy,1) (C)xtan2(xy,1) (D)ytan2(xy,1) 2( 设 是长方体:|x|?1，0?y?2，0?z?1，则 xyzdv ( )( 2 (A)0 (B)1 3 (C)2 3 (D)3 2 3( 设L是圆域x2,y2?2x的正向周界，则(x2,y)dx,(2x,y3)dy ( )( (A),2 (B)2 (C),3 (D)3 4( 幂级数 an(x,1)n在x 3处收敛，则该级数在x ,4处( )( n 0 (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性不能确定 5( 函数y C,x(C为任意常数)是微分方程xdy dx22,dydx( 1的( ) (A)特解 (B)通解 (C)不是解 (D)是解，但既非特解，又非通 解 三、计算下列各题(每小题6分，共30分) 1( 求极限limxy 2,xy,2( x 0 y 0 2( 设z f(y x,x,y)，求22 z x， z y( 23 财管双语班 3( 计算二次积分 dy 01yyexxdx( 4( 判断级数 n 1nnn2n!的敛散性( 5( 求微分方程xy ,y ex的通解( 四、求解下列各题(每小题8分，共16分) n,11( 求幂级数 nxn 1的收敛域及其和函数，并求级数 n 1n3n的和( 2( 求微分方程y ,4y 0在y(0) 0，y (0) 4下的特解( 24 高等数学下册总复习资料 五、(本题满分6分)设z x,f(v)，其中f(v)可微，且v x2,y2，证明: z x z y y( y,x 六、(本题满分8分)设有均匀锥面z 锥面的质量与质心( x,y22(0?z?1)，其面密度 1，求该 (?)自测训练 试卷一 一、填空题(每小题4分，共20分) 1( limxy 2,xy,2 3(x,y) (0,0)222( 已知D:x,y?1，y?0，则 (xcosy,y)dxdy D 3( 设,xydx,yxdy (x,y) 22m2222(其中x,y 0)是某二元函数的全微分，则m 4( 幂级数 n 1x2n,12n,1 2的和函数是S(x) dy dx5( 微分方程 dydx2,,6y 0的通解是 25 财管双语班 二、选择题(每小题4分，共20分) 1( 曲面x2,4y2,2z2 6上点(2,2,3)处的法线方程为( )( (A)(C) x,2,1x,2,1 y,2,4y,24 z,33z,33 (B) (D) x,21x,21 y,2,4y,24 z,33z,33 2( 设D是矩形域:0?x? 4 ，,1?y?1，则 xcos(2xy)d ( )( D (A)0 (B), 12 (C) 12 (D) 14 3( 设L是以A(,1,0)，B(,3,2)及C(3,0)为顶点的三角形域的围界沿ABCA方向，则 (3x,y)dx,(x,2y)dy L ( )( (A),8 (B)0 (C)8 (D)20 4( 若幂级数 an(x,2)n在x ,5处收敛，则其在x 0处是( )( n 1 (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性不能确定 5( 函 数y x 3 6 ,Cx(C为任意常数)是微分方程 dydx 2 2 ( x的( ) (A)通解 (,)特解 (C)不是解 (D)是解，但既非通解，又非特解 三、 计算下列各题(每题5分，共25分) 1( 设由ln 3 x,y 22 arctan yx 确定了y y(x)，求 dydx ( 2( (x D 2 ,y)2dxdy，其中积分区域D (x,y)|x,y 1,x 0( 2 22 26 高等数学下册总复习资料 3( L( yds，其中L为摆线x a(t,sint)，y a(1,cost)的一拱(0?t?2 )2 4( 判断级数 5( 求微分方程 1nn 11,a(a 0)的敛散性( dydx 2y6x,y2的通解( 四、试解下列各题(每题7分，共21分) 1( z f(x,y,e)，其中f具有连续二阶偏导数， 求 2( 将函数f(x) 23( 求微分方程yy 2(y ,y )满足y(0) 1，y (0) 2的特 解( 22xy z x y2( 1x,4x,32展开成x,1的幂级数( 27 财管双语班 五、(本题满分8分)求锥面z 22x,y被柱面z 2x所割下部分的曲面面积( 2 y六、(本题满分6分)设z x(x 0，x 1)，证明:x z y x,1 z lnx y 2z( 附参考答案: 一、1.222.2 33.24.1 2ln1,x 1,x5.y c1e,2x,c2e3x 二、1.B dy dx2.Cx,yx,y3.A4.C5.D 三、1( 2( 5 3(256 15a 3 4(a?1时发散，a,1时收敛 5(x 212y,cy 23 四、1( z x y ,4xyf11,2(x,y)e22xyf12,(1,xy)exyf2,xye2xyf22 2( 1x,4x,32 (,1)n 1n,11 11 n,1,n,12 2428 n (x,1)，|x,1| 2 高等数学下册总复习资料 3(y tan(x, 4 ) 五、A 2 六、证明略 试卷二 一、填空题(每题4分，共20分) 1( 设F(u,v,w)是可微函数，且Fu(2,2,2) Fw(2,2,2) 3，Fv(2,2,2) ,6，曲面 F(x,y,y,z,z,x) 0通过点(1,1,1)，则过这点的法线方程是 2( 已知f(x,y)在xOy面上连续，且f(0,0) 0，则lim t 0 1 , t 2 2 f(x,y)dxdy 2 x,y t 2 3( L是xOy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为 (x,y)，则L关于过原点且垂直于 xOy面的直线的转动惯量可用曲线积分表示为 (x,y) 为连续函数)( 4( 级数 n 1 (x,2) n n 的收敛区间是 5( 微分方程y ,2y ,5y 0的通解是二、选择题(每题4分，共20分) 1( 设z 2 x,y 2 ，则 z y ( ( ) (A)y 2x,yln4 (B)(x,y) 2yln4 (C)2y(x,y2)ex,y (D)2y42( 变换二次积分 dx 1e lnx0 2 2 2 x,2y ( f(x,y)dy的次序为( ) e 1 (A) dy 1 elnx0e1 f(x,y)dx (B) dy f(x,y)dx e y (C) lnx0 dy f(x,y)dx (D) dy 1ee y f(x,y)dx 29 财管双语班 3( 设L是从点O(0,0)沿折线y 1,x,1至点(2,0)的折线段，则曲线积分 I ( ,ydx,xdy ( ) L (A)2 (B)0 (C),2 (D),1 4( 已知 un 3，u1 1，则 ,un,un,1, ( )( n 1n 1 (A)6 (B)5 (C)4 (D)2 5( 微分方程y ,P(x) y Q(x) yn(n为整数)，则( )( (A)当n 0或1时为贝努利方程 (B)当n 0或1时为线性微分方程 (C)当n 0或1时为贝努利方程 (D)当n 1时为可分离变量方程 三、计算下列各题(每题5分，共25分) 1( 设z x2tan(2xy)，求 2( 化 f(x,y)dxdy为极坐标下的二次积分，其中D (x,y)|x2,y2 2x,y 0 ( D z x( n 3( 判断级数 n 1nn3 n!的敛散性( 24( (6xy,y)dx,(6xy,3xy)dy，其中L是从点A(0,1)沿y x,1至点B(1,2)的2322 L 一段弧( 30 高等数学下册总复习资料 5( 求微分方程y(4),5y ,36y 0的通解( 四、试解下列各题(每题7分，共21分) 1( 求函数f(x,y) x3,y3,3x2,3y2,9x的极值( 2( 求幂级数 n 1xn n的和函数，并求级数 n 12nnn 3的和( 3( 设二阶可导函数 (x)满足 (x) ex, 五、(本题满分8分)设有抛物面壳z 求该抛物面壳的质量与质心( 12(x,y)(0?z?1)，其面密度为 z，22 x0(t,x) (t)dt，求 (x)( 31 财管双语班 六、(本题满分为6分)设z z(x,y)由方程F(x,z,y,z) 0所确定，且F(u,v)具有连续偏导数， 证明:x zz x,y y z,xy. 附参考答案: 一、1(x,1y,1z,1 2 ,1 ,1 2(0 3( (x2,y2) (x,y)ds L 4([1,3) 5(y ex(c1cos2x,c2sin2x) 二、1.A2.D3.C4.B三、1(2xtan(2xy),2x2ysec2(2xy) 2( 22cos 0d 0f(rcos ,rsin )rdr 3(收敛 4(4 5(y c,2x 1e,c2x2e,c3cos3x,c4sin3x 四、1(f极小(1,0) ,5，f极大(,3,,2) 31 2(S(x) ln1 1,x(其中x ,1,1,)，ln3 3( (x) 1 2(cosx,sinx,ex) 32 yx5.C 高等数学下册总复习资料 五、M 2 (1,63) 15， 0， 112,4 14(1,63) 六、证明略 试卷三 一、填空题(每题4分，共20分) 1 1( lim ,y sin,xy, x 0 x y 2 xy2( 设u z则du 3( 2 0dy 2ysinxxdx 4( L为圆周 x 2cost y 2sint，0?t?2 ，则(x,y)ds L223 5( 设二阶线性非齐次微分方程的三个特解为y1 x，y2 x,sinx，y3 x,cosx，则 此方程的通解为 二、选择题(每题4分，共20分) 22 x,y z 1( 曲线 在点(3,1,4)处的切线对y轴的倾角为( )( 2 x 3 (A) 4 (B) 2 (C)3 4 (D) 33 财管双语班 2( 设D (x,y)|x2,y2 1 ，f(,x,y) f(x,y)，f(x,y)为连续函数，则有( ) 成立( (A) f(x,y)d 0 (B) f(x,y)d 2 DDx,y 1,x 02 2f(x,y)d (C) f(x,y)d 2 f(x,y)d (D) f(x,y)d 4 f(x,y)d Dx2,y2 1,y 0Dx2,y2 1,x 0,y 0 3( 已知(x,ay)dx,ydy( )( (x,y)2为某二元函数的全微分，则a (A),1 (B)0 (C)1 (D)2 4( 若 (x,k)n 2 )( n 1n在x点收敛，则k的取值范围是( (A)1,k?3 (B)1?k?3 (C)2,k?3 (D)2?k,3 5( 具有特解y,xxx 1 e，y2 2xe,，y3 3e的三阶线性常系数齐次微分方程是( (A)y ,y ,y ,y 0 (B)y ,y ,y ,y 0 (C)y ,6y ,11y ,6y 0 (D)y ,2y ,y ,2y 0 三、计算下列各题(每题5分，共25分) 2 1( 已知由x z lnz y确定了z z(x,y)，求 z x y( 2( 22x,x2 2 0dx 0x,y2dy( 3( (x2,y2)ds，其中L是以(0,0)、(2,0)、(0,1)为定点的三角形边界( L 34 )( 高等数学下册总复习资料 4( 将函数y 5( 求微分方程y ,y ,3y ,3y 0的通解( 四、求解下列各题(每题7分，共21分) 1( 计算I 1x2展开为x,1的幂级数( (xy,yz,zx)dS，其中 为锥面z x,y被柱面x,y 2ax所截2222 得的部分( 2( 设函数 (x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分 3 (x),2 (x),xe ydx2x L, (x)dy 与路径无关，求函数 (x)( 3( 求幂级数 n 1nn!xn,1的和函数，并求 n 1n2 n!n的和( 35 财管双语班 五、(本题满分共8分)在第一卦限内作球面x2,y2,z2 1的切平面，使切平面与坐标 面所围四面体的体积最小，并求切点的坐标与最小四面体体积( 六、(本题满分6分)设f(x)是[a,b]上的正值连续函数，试证 Df(x)f(y)dxdy?(b,a)，2 其中D为:a?x?b，a?y?b( 附参考答案: 一、1(2 2(du y z 3(1 4(256 5(y c1sinx,c2cosx,x 二、1.C z x y2xylnzdx,x zxylnzdy,xyzxy,1dz 2.Bxz233.D4.A5.B 三、1( y(x,z) 2(16 9 3(3,55 3 36 高等数学下册总复习资料 4(1 x2 n(x,1) n 0n,1，|x,1| 1 5(y c1ex,c2cos 642a 1543x,c3sin3x 四、1( 提示:由对称性知 xydS 0， yzdS 0，所以 I dS ，所以 (xy,yz,zx)dS ， zxdS I (xy,yz,zx)dS zxdS 2 2x,y 2ax2acos 0 2, 2d cos d 3 cos d 5 4 2 , 2cos d 54 20 15442 53 2(S(x) e， n 1xn2 n!n 12 2e 3( (x) c1e,c2e 1 313x2x,(x2,x)e2x 五、切点坐标为(,,1 3 1 2)，V 32体积单位 六、提示: Df(x)f(y)dxdy D f(x)f(y) , dxdy f(x) f(y) 37 财管双语班 2005,2006学年第二学期期末考试试卷(2005级快班试卷) 一、填空体(每小题5分，共20分) 1( limxy ,xy,1 (x,y) (0,0) 2( z f(x2,y2,xey)，f具有一阶连续偏导数，则 z y 23 3( 已知平面区域D为:x2,y2?a，则 D2(x,y)dxdy 2 4( 设 是由光滑曲面 所围成的空间区域，其体积为V，则沿外侧的积分 (z,x)dydz ,(y,x)dzdx,(z,y)dxdy 二、单项选择题(每小题5分，共25分) 1( 曲线 y x z x,y22在点(0,0)处的法平面方程为( )( (A)x,y 0 (B)x,y 0 (C)x,z 0 (D)x,z 0 2( 设D是由y x2，y 4x2及y 1所围成的区域，D1是由y x2，y 4x2及y 1， x?0所围成的区域，则 (x,y)dxdy ( )( D (A)2 (x,y)dxdy (B)0 (C)2 ydxdy (D)2 xdxdy D1D1D1 3( 为:,1?x?1，0?y?1，0?z?2，则 xyzdv ( )( 2 (A)2 3 (B)1 (C)2 (D)8 3 4( 已知幂级数 an(x,2)n在x1 ,1处发散，在x2 5处收敛，则幂级数的收敛半径 n 0 R ( )( (A)1 3 (B)1 (C)2 (D)3 38 高等数学下册总复习资料 5( 微分方程y ,y x的通解为( )( (A)y c1e,x,c2ex,x (B)y c1cosx,c2sinx,x (C)y c1e,x,c2cosx,x (D)y c1ex,c2sinx,x 三、计算下列各题(每小题8分，共32分) 1( 2( 设L是以A(,1,0)，B(,3,3)及C(3,0)为顶点的三角形域的周界域的ABCA方向，求 Dxydxdy，其中D是y x及y x围成的平面区域( 2 (3x,y)dx,(x,2y)dy的值( L 3( 判断级数 n 1nnn2 n!的敛散性( 4( 已知 f(ax)da 0112f(x),1，求f(x)( 四、(本题满分8分)z z(x,y)由方程F(x,z y,y,z x) 0所确定，F(u,v)具有连续偏导数，证明:x z x,y z y z,xy( 39 财管双语班 五、(本题满分8分)在直线 距离( 六、(本题满分7分)计算x2,y3 1上求一点，使该点到原点的距离最短，并求出最短 ,1 x 1 0 y 1y,xdxdy( 2 40 高等数学下册总复习资料 2006,2007学年第二学期期末考试(2006级快班试卷) 一、选择题(每小题4分，共20分) 1( 曲面z x2,y2在点(,1,2,5)处的切平面方程是( )( (A)2x,4y,z 11 (B),2x,4y,z ,1 (C)2x,4y,z ,15 (D)2x,4y,z ,5 2( 设 是长方体:|x|?1，0?y?2，0?z?1，则 xyzdv ( )( 2 (A)1 3 (B)2 3 (C)3 2 (D)0 233( L是圆域x2,y2?2x的正向周界，则(x,y)dx,(2x,y)dy ( )( L (A),3 (B),2 (C)3 (D)2 4( 幂级数 an(x,1)n在x 3处收敛，则该级数在x ,4处( )( n 0 (A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散 (D)收敛性不能确定 5( 微分方程y ,2y ,10y excos3x的一个特解应具有形式( )(其中a，b 为常数)( (A)ex(acos3x,bsin3x) (B)xex(acos3x,bsin3x) (C)axecos3x,besin3x (D)aecos3x,bxesin3x 二、填空题(每小题4分，共20分) 1( z f(x,y,22xxxxy x)，f可微，则 z y 32( 设平面区域D (x,y)||x| 1,0 y 2 ，则 (xsiny,3)dxdy D 22222223( 为球面x,y,z a(a 0)的外侧，则xzdxdy,yzdzdx,xydydz 4( 幂级数 n 1(x,1)nn的收敛域是 5( 微分方程y ,2y ,4y 0的通解是三、计算下列各题(每小题6分，共30分) 1( 求函数z 1,x,2y在闭域x?0，y?0，x,y?1上的最大最小值( 41 财管双语班 2( 计算二次积分 dy 01yyexxdx( 3( 计算 (x2y,2y2)dx,(4xy, L13其中L是从点A(1,0)到点B(2,3)的任意平x)dy，3 面曲线( 4( 判断级数 n 1nnn2 n!的敛散性( 5( 求微分方程xy ,y e的通解( 四、求解下列各题(每小题8分，共16分) x 42 高等数学下册总复习资料 1( 已知z f(xy, 2yx)具有二阶连续偏导数，求 z x y2( 2( 函数f(x)连续，二阶可导，且满足f(x) ex, 五、(本题满分8分)设有均匀锥面z 锥面的质量与质心( 六、(本题满分6分)证明曲面z xf( 43 x0(t,x)f(t)dt，求f(x)( x,y22(0?z?1)，其面密度 1，求该yx)的所有切平面都交于一 点，其中f为可微函数( 财管双语班 注:试卷四、试卷五可以选作。 试卷四 一、填空题(每题3分，共18分) y 1( 设u(x,y,z) ，则du z x (3,1,1) 2( 设f (x)连续，f(1) 2，f (1) 3，则曲线x 1,f 2, M0(3,2,,1)点处的切线方程为 y 4 ，y f(z)在2 3( 设I 20 dx 2xx f(x,y)dy，交换积分次序后，I x x 4( 设L为正向圆周x2,y2 4，则曲线积分y(ye,1)dx,(2ye,x)dy L 5( 设 为半球面z ，则 (x,y,z)dS 6( 设 ,1 f(x) 2 1,x , x 00 x ， 则其以2 为周期的傅立叶级数在点x 处收敛于 二、选择题(每题3 分，共18分) 1( 二元函数z f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分必要条件是( )( (A)f(x,y)在(x0,y0) 处连续 (B)fx (x,y)，fy (x,y)在(x0,y0)某邻域存在 (C 0时， z,fx (x0,y0) x,fy (x0,y0) y是无穷小量 (D 0 z,f (x,y) x,f (x,y) y 是无穷小量 2( 设函数f(x,y)在点(x0,y0)不连续，则f(x,y)在点(x0,y0)处( )( (A)极限不存在 (B)fx (x0,y0)，fy (x0,y0)不存在 (C)不可微 (D)任一方向的方向导数不存在 44 高等数学下册总复习资料 u3( 函数u xe在点M0(2,0,,2)沿l {,1,2,2}的方向导数 lyz( ( ) M0 (A)i,4j (B), 1 8 i,j (C),3 (D)3 33 4( 设y1(x)，y2(x)是二阶线性非齐次微分方程y ,P(x)y ,Q(x)y f(x)的两个不同的 特解，使y y1(x), y2(x)也是该非齐次微分方程的一个特解，则常数 ， 必须 满足( )( (A) (B) , 1 (C) , 1 (D) ， 为任意实数 5( 已知级数 an(x,1)的收敛域是 ,1,3 ，则级数 anx2n的收敛域是( )( n n 0n 0 (A) ,1,3 (B) ,2,2 (C),,2,2 (D),, 2,2 6( 设L为闭曲线|x|,|y| 2，逆时针方向为正，则Laxdy,bydx|x|,|y|( ( ) (A)4(a,b) (B)8(a,b) (C)4(a,b) (D)8(a,b) 三、计算题(每题5分，共30分) 1( 设z f(xe,xy,ylny)，其中f具有二阶连续偏导数，求 2( 在曲面z xy上求垂直于平面x,3y,z,9 0的法线( 3( 计算I 45 x z x y2( 20dx ex2,y2dy( 财管双语班 4( 设L为单位圆x2,y2 1，计算,|x|,|y|,ds( L 5( 判断级数 (,1)n n 1(n,1)!nn,1的敛散性( 6( 求解微分方程xy ,y x( 四、综合计算(每题5分，共15分) 1( 求函数f(x,y) e(2x,y,3)的极值( 46 2x22 高等数学下册总复习资料 2( 计算曲面积分 (y 2,x)dydz,(z,y)dzdx,(x,z)dxdy，其中 为抛物面22 22z 2,x,y位于z?0内部分的上侧( 3( 将函数f(x) 五、计算下列各题(每题6分，共12分) 1( 由两条抛物线y x和x y所围成的平面薄片，其面密度 (x,y) xy，试求该薄板 的质量( 2( 设f(x)具有二阶连续导数，f(0) 0，f (0) 1，且 ,x ydx,f (x)dy f(x),6f(x),4e L (1,1)221(x,3)2展开成x的幂级数( 与路径无关，试计算 f (x),6f(x),4e,x ydx,f (x)dy的值( (0,0) 47 财管双语班 六、(本题满分7分)设函数f(u)具有二阶连续导数，而z f(exsiny)满足方程 z x 22 , z y 2 2 ez，求f(u)( 2x 参考答案及提示 一、填空题 1. 3dy,3dz。 uxy y 提示: ln， yz x z z u x y z x,1 xy y ， ,2 zz z u x,1 ; du u x dx, u y d u z dz y,21 z,1,112 2. x,318 y,2,12 z,11 ，或者 x,3,32 。 y x 1,f(2,) 提示:曲线为 2，可以将方程组中x，y，z中的任意一个变量看 4 y f(z) 作参数，此处将y看作参数，求 dxdy ， dzdy 。由f(1) 2，知M0(3,2,,1)在曲线 上，所以M0(3,2,,1)为切点。 48 高等数学下册总复习资料 1y dx (2,) , f dy22 ，然后将x 3，y 2，z ,1代入上式， 1 4z3 f (z4) dz dy 1 dx , f (1) dy2dx3dx1 ，由f (1) 3，可知，所以切线的方向 ,， , dzdy2dy12 1 ,4f ( dy 向量为(, 10 y 32 ,1,, 112 ) 21 2 3. dy yf(x,y)dx, 2 dy yf(x,y)dx 2 4. ,8 5. 。 提示:由对称性 xdS 0， ydS 0，所以 (x,y,z)dS zdS dS ， (x,y,z)dS zdS 2 2 x,y 2 dxdy x,y 1 2 6. 2 2 二、选择题 1(D 2(C 3(C 4(B(提示:利用线性微分方程解的叠加性原理) 5(D 6(A 三、计算题 1( z x 2 (e,xe)f1,yf2， xx z x y z x x(e,xe)f12,(e,xe)(1,lny)f13,f2,xyf22,y(1,lny)f23 xxxx 2( y， z y x 49 财管双语班 x,31 20 y,13 y 2 z,31 20 3( 交换积分次序，然后再进行积分 dy e ,y dx ye ,y 2 dy , 1 2 20 e ,y 2 d(,y) , 2 12 e ,y 2 2 , 12 (e ,4 ,1) 4(8。 提示:设L1为L:x2,y2 1在x轴上方部分，L2为L:x2,y2 1在第一象限 部分。由对称性 ,|x|,|y|,ds L 2,|x|,|y|,ds 4,|x|,|y|,ds 4,x,y,ds， L1 L2 L2 然后利用参数方程 x cos y sin ，ds d ， ,|x|,|y|,ds L 4,|x|,|y|,ds 4,x,y,ds 4 L2 L2 20 ,cos ,sin ,d 8 5(绝对收敛。 (n,2)! lim un,1un n n,2 (n,2)!n(n,2)n(n,1) lim lim lim n,2n,1 n n (n,1)!(n,1)n (n,1)(n,1)!(n,1) n,1 n n,1 n,1 6(y 13x, 3 n lim n n,1 12 2 n,1 13 1e 3 1 C1x,C2 x,C1x,C2 2 不显含y的可降阶的高阶微分方程。 令p(x) y (x)，则原方程化为p , 1x p x，这是个一阶线性微分方程， 解得p x(C1,x)。因此 y x(C1,x)，所以原微分方程的通解为 y 13x, 3 12 C1x,C2 2 13 x,C1x,C2，其中C1,C2是任意常数。 32 四、综合计算 1(驻点为(1,0)，极小值 22 2(利用高斯公式，设 1:z 0，(x,y?2内部分) 50 高等数学下册总复习资料 ,y , 1 2 ,xdydz,z,ydzdx,x,zdxdy ,, 2 ,, 2 , 2 ,,1,1,1,dxdydz 22 2,x,y z,z 0 ,3 2 0 2 dxdydz 20 2, 0 2 2,x,y z,z 0 dz ,3 ,6 ,6 d 2 d 3 ,2 , ,d (y,x)dydz,(z,y)dzdx,(x,z)dxdy 1 222 (x,z)dxdy 12 0 2 1 xdxdy 2 2 2 xdxdy 2 x,y 2 2 2 0 d 32 cos d 1,cos2 2 2 d , 14 2 sin2 2 所以 (y,x)dydz,(z,y)dzdx,(x,z)dxdy ,7 n 1111 x 1 1 , , 3(由于 ,，而, 2 xx,333n 0 3 x,3(x,3) 1,3 1 1 xn n , , (,) 2 (x,3)x,33 9 3n 0 1 n 1 (, x3 ) n,1 。 五、计算下列各题 1(解 (x,y)dxdy xydxdy D D 10 dxx 2 121 10 2 5 (x,x)dx 12 2(由积分与路径无关，得 ,x f (x),f (x),6f(x) 4e， 解微分方程，得通解 y C1e ,2x ,C2e 3x ,e ,x ， 51 财管双语班 由f(0) 0，f (0) 1得特解 y 15e ,2x , 45 e 3x ,e ,x 。 六、由于 z x esiny f (esiny)， x x z x 2 2 x2xxx (esiny) f (esiny),esiny f (esiny); z y ecosy f (esiny)， xx z x 2 2 x2xxx (ecosy) f (esiny),esiny f (esiny) 所以 z x 22 , z y 2 2 e 2x x2x f (esiny) ez， 所以f (exsiny) f(exsiny)， ,uu 即f (u),f(u) 0，解微分方程，得f(u) C1e,C2e。 试卷五 一、填空题(每小题3分，共18分) 2t4,2t,2t ,e， 1( 设f(x,y)可微，若f(e2t,t,2) 2t，fx (e,t,2) e 2t 则fy (e,t,2) 22 2( 当 时，平面2x,2y,z 与曲面z 4,x,y相切( 3( 设I 20 dx 2xx f(x,y)dy，交换积分次序后，I 4( 设f(u)为可微函数，且f(0) 0，则lim t 0 1 , t 3 2 f 2 x,y 22 ,d x,y t 2 x,2x 5( 通解为y C1e,C2e的微分方程是 ,1 6( 设f(x) 1 , x 00 x ，则f(x)的傅立叶展开式 a02 , (a n 1 n cosnx,bnsinnx)中 的an 二、选择题(每小题3分，共18分) 52 高等数学下册总复习资料 1( 若fx(x0,y0) 0，fy(x0,y0) 0，则( )( (A) lim f(x,y)存在 (x,y) (0,0) (B)f(x,y0)在x x0点连续，f(x0,y)在y y0点连续 (C)df(x,y)(x ,y0) 0 f(D)f(x,y)在M0 (x0,y0)点沿任一方向l的方向导数都为 l 0 M0 2( 球面x2,y2,z2 4a2与柱面x2,y2 2ax所围成的立体的体积为( )( 2acos 0 (A )4 20d (B )4 20d 2acos 0 (C )8 20d 2acos 0 (D ) 2, 2 d 2acos 0 3( 已知曲线y y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线2x,y,6 0平行，而y(x)满 足微分方程y ,2y ,5y 0，则曲线的方程y ( )( (A),exsin2x (B) ex(sin2x,cos2x) (C)ex(cos2x,sin2x) (D)exsin2x 4( 设limnun 0，则 un( )( n n 1 (A)收敛 (B)发散 (C)不一定 (D)绝对收敛 x 5( 由曲线xy 1，直线y x和x 2所围成的平面薄板，其面密度为 (x,y) ，则 y 2 该薄板的质量m ( )( (A) 92 (B) 94 (C) n 29 (D) 49 6( 设幂级数 (,1) n 0 n,1 (x,a) n(n,1) 在区间(2,, ) )( (A)a 0，收敛半径为r 2 (B)a 0，收敛半径为r 1 (C)a 1，收敛 半径为r 1 (D)a 1，收敛半径为r 2 三、计算题(每小题5分，共30分) 53 财管双语班 1( 设z arctan x,y1,xy，求 z x y2( 2( 设函数z z(x,y)由方程x2,ze2y,ln(2x,z) 1所确定，求dz 3( 求函数u ln(x, 数( 4( 计算I 域( 5( 计算 D(0,0,1)( 在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,,2,2)方向的方向导 (x,y)dv，其中 是由 x,y 2z，z 1及z 2所围成的空间闭区 2222xy222dxdy，其中D是由xy 2，y 1,x及 x 2围成( 54 高等数学下册总复习资料 6( 计算 xyzdxdy，其中 为球面x2,y2,z2 1(x?0，y?0)的外侧( 四、综合计算(每题6分，共18分) 1( 求函数z x2, y2在圆域(x, 2( 计算二次积分 1dx 21,(y,2?9上的最大值和最小值( 2dy(x,y)222, 21dx 0dy(x,y)222( 3( 设y e是微分方程xy ,p(x)y x的一个解，求此微分方程满足条件y(ln2) 0的特 解( 五、计算下列各题(每题6分，共12分) x 55 财管双语班 1( 设曲线积分 xydx,y (x)dy与路径无关，其中 (x)具有连续偏导数，且 (0) 0， L2 计算I (1,1)(0,0)2xydx,y (x)dy( 2( 求幂级数 n 1 2n,12nx2n,1的收敛域，以及该级数在收敛区间上的和函数，并求数项级数 n 12n,12n的和( 2 n 六、(本题满分4分)证明题:若级数 a收敛，证明级数 n 1n 1ann绝对收敛( 参考答案及提示: 一、填空题 1( ,2e。 提示:对f(e,t,2) 2t两端同时对t求导数，得2t4 f x 2e2t, f y 2， 56 高等数学下册总复习资料 将 f x 2t4,2t,2t fx (e,t,2) e,e代入上式，解出 f y 2t4 fy (e,t,2) ,2e。 2( 6。 提示:设切点为(x0,y0,z0)，曲面z 4,x2,y2在点(x0,y0,z0)处的法向量为 (,2x0,,2y0,,1)，与平面法向量平行x0 1,y0 1,z0 2， ,2x0 2 ,2y0 2 ,11 ，得 代入平面方程即得 6。 3( I 4( 23 20 dy yf(x,y)dx, 2 y 42 dy yf(x,y)dx 2 2 f (0)。 提示: lim, 1 t 0 t 3 2 2 fd lim, 2 23 2 0 d f(r) rdr t 2 lim, t 0 t0 f(r) rdr x,y tt t 0 t 3 t 3 lim, t 0 2 f(r) rdr t 3 lim, t 0 2f(t) t3t 2 f (0) 5( y ,y ,2y 0 提示:由于该题没有说明为线性常系数方程，可以采用如下方法求解。 y C1ex,2C2e,2x ，解出C1，C2 得， x,2x y C1e,4C2e C1 13e ,x ,y ,2y ,，C2 16 e 2x ,y ,y ,， x,2x 代入y C1e,C2e即得微分方程。 6( 0 二、选择题 1(B 2(B 3(D 4(C(提示:考察级数 n 2 1nlnn ，该级数发散，但是limnan 0) n 5(B 6(C 三、计算题 1( 解 57 财管双语班 z x 1 x,y 1, 1,xy 2 2 (1,xy),y(x,y) (1,xy) 2 1,y 2 2 2 2 2 1,x,y,xy z xy 2 2y(1,x,y,xy),(1,y)(2y,2xy) (1,x,y,xy) 2 3 2 32 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 22222 2y,2xy,2y,2xy,2y,2xy,2y,2xy (1,x,y,xy) 2 2 2 0 2( 提示:该题有多种解法，下面采用对方程求微分的方法. 2xdx,e 2y dz,2ze 2y dy, 2dx,dz2x,z 0 将x 0，y 0，z 1，得dz,2dy,2dx,dz 0， 所以dz u x u y u y ,dx,dy (0,0,1) 3( ， ， ， u1 11 AB (2,,2,1)， ,0, 3 22 l 1 。 2,,2,1 ,, 2 2 2 4( 利用柱面坐标计算: 2 2 0 d rdr r2rdz, 2 2 2 0 d 0 r2rdz 2 1 2 14 3 。 5( 2 1 dx 2 x 1,x xy 22 dy , 2 1 3 x2x 7 ,dx ,,arctan2。 2 2 84 1,x 6( 将 分为 1:z ， 2:z 。 58 高等数学下册总复习资料 xyzdxdy xyzdxdy, xyzdxdy 1 2 Dxy , 10 Dxy 2 d 20 cos sin d 2 cos sin d 20 10 215 四、综合计算 1( 解:先求圆域(x, z x 2x， ,(y, 2 ?9 (2) L (x, ,(y,,9 0。 2 (3) 将(1)，(2)式相除，得x y，代入(3 )式，得x ，y 即圆域边界上的可能最值点为 , 2 ,, ， 2 22。 将(0,0) ， , 2 , ， , 2 22 22 代入函数z x,y求出相应的函 处 数值，然后比较，得在(0,0)点取得最小值，最小值为;在22 取得最大值，最大值为25。 59 财管双语班 2( 积分区域如图:利用极坐标进行计算 30 d 2cos 1 1 4 d 30 d 2cos 1 1 3 d 30 1 , 2 2 1 2cos d 30 1 1 , 28cos2 d 6 , 18 tan 3 6 , 8 3( 将y ex代入微分方程xy ,p(x)y x，得 xe,p(x)e x， x x 所以p(x) xe,x,x，代入xy ,p(x)y x，得 xy ,(xe ,x ,x)y x， 转化为 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 一阶线性微分方程y ,(e,x,1)y 1， y e e e e,(e ,x ,1)dx (e e ,e ,x ,x ,1)dx ,x e,x dx,C e , e ,x ,e ,x ,x dx,C,C , ,x ,x e ,x ,x ,,e e ,e edx,C e ,x , e ,x ,x , , e ,e de ,x , ,x ,C e,Ce , xe ,x ,x 将x ln2，y 0代入上式，解得C ,e 五、计算下列各题 1( 由于 xydx,y (x)dy与路径无关，所以 L 2 , 12 ，所以特解为y e,e x e ,x ,x, 12 。 Q x P y ， 2 因此，y (x) 2xy， (x) 2x， (x) x,C，由 (0) 0知C 0， (1,1)(0,0) 所以 (x) x，I 2 xydx,yxdy 22 12 60 高等数学下册总复习资料 (2n,1)x 2n,1 2( 幂级数的收敛域:lim un,1un n lim n 1，解得 x 2n,1 (2n, 1)x2 2 n n,1 x 2 ， 当x , n 1 2n,1，级数发散; 当x n 1 ，级数发散。 所以原级数收敛域为(求和函数: 。 设S(x) n 1 2n,12 x n x 2n,1 x n 1 2n,12 n x 2n,2 ，另设 (x) n 1 2n,12 n x 2n,2 ，则 x0 (x)dx 0 2n,12 n x 2n,2 dx n 1 n 1 x0 2n,12 n2 x 2n,2 n 1 12 n x 2n,1 1x n 2 1 x x 22 xxn 1 2 2,x1, 2 所以 (x) 2,x 22 (2,x) 32 2 ，得 S(x) 2x,x 2 (2,x) ( 求 n 1 2n,12 n : 当x 1时，由 n 1 2n,12 n x 2n,1 2x,x 2 32 (2,x) 可得 n 1 2n,12 n 3。 六、证明 2n 由级数 a， n 1 n 1 1n 2 2 收敛，则 (an, n 1 1n 2 ) 又因为2 ann ?a, 2 n 1n 2 ，所以级数 n 1 ann 收敛 61