Z_p_s_上的线性码及其对偶码的MacWilliams关系式

Z_p_s_上的线性码及其对偶码的MacWilliams关系式 s Z上的线性码及其对偶码的MacWillia ms 关系式P 董学东 , 董久祥 , 张 妍 , 曹 明 ( ) )辽宁师范大学 数学学院 ,辽宁 大连 116029 2 摘 要 :Asch 等人给出 Z上的线性码及其对偶码的 MacWilliams 关系式 ,其中 p 为奇素数. 进一步推广 Asch 等人的 p s 结果 ,得到了 Z上的线性码及其对偶码的 MacWilliams 关系式 ,其中 s ?2 并且 p 为奇素数. p 关键词 : 线性码 ;重量计数子 ;MacWilliams 关系式 中图分类号 :O157. 4 文献标识码 :A 1 引言 在文献[ 1 ]中 Kumar 等人证明了一些十分重要的二元非线性码实际上就是 Z上的线性码在 Gray 4 2 映射下的象. 这使人们对环上的线性码的研究产生浓厚的兴趣. Asch 等人给出 Z上的线性码及其对偶 p s 码的 MacWilliams 关系式 , 其中 p 为奇素数. 但对于 Z的线性码及其对偶码的 MacWilliams 关系式在文 p 献中尚未见到 , 其中 s ?2 且 p 为奇素数. 本文首先利用 Z的一些基本性质给出 Z上的线性码及其对 p p s s s 偶码的生成矩阵. 然后引入 Z上的重量 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 并定义重量计数子. 由此导出了 MacWilliams 关系式.p 2 MacWilliams 关系式 s p 是一个素数且 q = p, s ?2 且 s ?N. 定义 Z= { 0 , 1 , , q - 1} 是 Z 模 q 的环 , 记环中单位构成 设 q 3 ( ) 集合 Z = { x ?Z | x , p= 1} . q q n ( ) 定义 2 . 1 [ 3 ]长为 n 的 Z上的线性码 C 是 Z的加法子群. 如果将码 C 的分位置换得到码 C,′q q 则称 C 与 C′等价. 容易证明 Z上的每一个线性码 C 都等价于一个具有 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式生成矩阵的码 C,′ 其生成矩阵为q I AAAAAk 0 , 1 0 , 2 0 , 3 0 , s - 1 0 , s 0 pApApApA0 pI1 , 2 1 , 3 1 , s - 1 1 , s k1 2 2 2 2 pApApA0 0 pI 2 , 3 2 , s - 1 2 , s G = k2 s - 1 s - 1 0 0 0 pIpA ks - 1 , s s - 1 其中 I为 k阶单位矩阵 , A 为 Z上的矩阵. 由 [ 3 ] 定理 3 . 10 可得 , 若对 0 ?i < j ?s , 有k i i , j q i j - 1? ㄒ ㄒ- B AB = - ?A 的生成矩阵为. 于是 Ck = i + 1 i , k i , j s - j , s - k s - j , s - i ( )B B B IC 0 , s 0 , s - 1 0 , 1 n - k ( ) pB pB pIC0 1 , s 1 , s - 1 k s - 1 H = s - 1 s - 1 ( ) pB pIC0 0s - 1 , s k 1 收稿日期 :2003210208 s - i ( ) ( ) 对任意 c ?C, ′则 c 能被唯一写成 c = a, , aG , a? Z/ p, C 中的码字个数为0 s - 1 i q( ) sk+ s - 1k+ + k 0 1 s - 1 p. ω 定义 2 . 2 Z上一个重量函数 为1 0 x = 0 s - 2 s i ω( ) ( ) ( ) x= p - 1px , p= p, i = 0 , 1 , s - 2. s - 1 s s - 1( ) px , = p p ω 定理 2. 1 Z上的重量函数满足下列性质q ) ω( ( ) ω( ( ) ω) 1x + y?x+ y; () ω( ( ) ) ω( ) ) (2x , q= x, 其中 x ?0 ; 3 3 ( ) ω( ) ω如果 u ?Z , 则 ux= x; q ( )s - 1 2 () ω( ) ( ) 4?xy= pp - 1, 其中 x ?0.y ?Zq () () () () 证 1, 2, 3易证 , 下面证明 4. i s - i s - i - 1 i s s - 1 ( ) ( ) 在 Z中| { x ?Z| x , q= p} | = p- p, i = 0 , 1 , , s - 1 . | { x ?Z| xp, p= p} | =q qq i + 1 i i i i 3 ( ) ω ( ) p- p, 而 | { x | xp= 0 , x ? Z} = p. 于是对 x = pk , k , p = 1 即 k ? Z , 有 ?xy = y ?Zq q q ( )s - 1 i s - 1 i + 1 i s - 2 s i + 1 i i 2 ω( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ?py= pp- p+ pp - 1[ p- p- p- p] = pp - 1. y ?Zq n n( ) ω( ) ( ) ω( ) )ω ω我们推广这个重量函数 到 Z, 令 x= ?x 并定义距离 d 为 d x , y= x - yq j = 1 j 下面我们给出一种 Z上的对称重量计数子q n j j ( ) ( ) ( ) 定义 2 . 3 设 x ?Z, n x= | { 1 ?i ?n| x= 0} | , n x= | { 1 ?i ?n| x , q= p} | , j = 0 , 1 , , si p i q 0 n( )( )s21xn i x0 p (ω) ωΠ- 1. 称 W, X, , X= ? X 为 C 的对称重量计数子. c 0 s - 1x ?Ci = 0 i ? 为证明 C 与 C 的对称重量计数子的 MacWilliams 关系 , 我们需要证明两个引理 : 0 s > u + t + 1 s π2i tp - 1 s引理 2 . 1 设 s , u , t 为非负整数 , 则 ?j = - p s = u + t + 1 ( ) j = 0 , j , p = ps - t p u e s - u - 1 ( ) pp - 1s < u + t + 1 证 我们区分两种情况. 情况 1 : s - u - t - 1 ?0 , s , u , t 为非负整数. s - u - 1s - u - t - 1ππ 2i 2i up p Π)( Π( x -px -js - u - t j = 0 j = 0 s e πi 2p - 1 t u )sp js - t ( )(Π) p= p=多项 式 x - e j = ( ) s - t j = 0 , j , p = pps - u - 1 s - u - t - 1 ππi2i2e( ) Π( )x - j x - p jj = 0 s - tpep u + 1 p - 1 Π j = 0s - u - t - 1 p s - u - t - 1e t p( ) ( ) s - u - t - 1p - 1 s - u - t - 1s - u - t - 1u - t - 1tt - 1s - p ) x ( )t( ) p - 2 t p p( ) ppp - 1p pp - 1p ) ( ) ( p = x+ x= x+x+ + 1 s - u - t - 1)p- 1 1 ( x s - u - t - 1s - u - 1s - u - 1s - u - t - 1p ( p - 2) p( p - 1) t p( ) p - 1- p x+ + 1 = x+ px+ + 1. 观察两端系数可知若 s - u - t - 1 > ππ sii2s2s - t j s - t j t p - 1 p - 1 susupp0 , 则 ?e = 0. 若 s - u - t - 1 = 0 , 则 ?e = - p.( ) ( ) j = 0 , j , p = p j = 0 , j , p = p 情况 2 : s - u - t - 1 < 0. s 2πi sj s - t p - 1 p - 1 s - u s - u - 1 s - u - 1 sup su ( ) 此时 , ?e= ?1 = p- p= pp - 1.( ) ( ) j = 0 , j , p = p j = 0 , j , p = p π2i xyn n q ( ) ω, , X θ() () θ引理 2 . 2 [ 2 ]设 f 是 Z到 C[, X]的函数 , 并且 f x = ?f y , 其中= e . s - 1 y ?Zq 0q 1 ?() () 于是 ?f y=?f c. c ?Cy ?C | C| 1?s ? ( ( ) Ww , Y, , 定理 2 . 2 设 C 与 C 是 Z上的对偶码 , q = p, 则 Ww , X, , X= c 0 q c 0 s - 1 | C| i - 1 t t( ) ) pp - 1X, t = 0 , 1 , , s - 1. Y, 其中 Y= w - pX+ ?s - is - 1t s - t - 1 i = 1 ( )()()( )( )s - 1 ixxy n yn i yn x yn y n xs - 1 nn n 0 p0 pj j 0 jΠΠ () ( ) θ Πθ证 设 f x= w X. 于是 f x = ?- w X = ?w i = 0 i i = 0 i j = 1 y ?Zy ?Zq q ( )n q - 1s - 1xyn ( y)s - 1ny njp p yΠΠw i i ( ) j0Πθ X X .=? i = 0 i i = 0 i j = 0 y = 0 ( )( )q - 1xyn ys - 1n i ys - 1s - i - 1j0 p θΠ( ) ( 我们看内部和 A = ?w X . 当 x= 0 时 , A= w + p - 1? pX . 当 x ,x i j i = 0 i i = 0 y = 0j x j j t πss2i πp js 2i st p - 1 tp - 1 ssp ) ) ( ( ) p= p, t = 0 , 1 , , s - 1 时 , A = w + ?pj X+ ?e X + +)( ) x0 ( j = 0 , j , p = 1 = 0 , j , p = p 1 j psj e t πs2i p js p - 1 ss - 1 p ) ( ?e X .( ) j = 0 , j , p = p s - 1 t ti - 1 ( ) 由引理 2. 1 可得 A = w - pX+ ?再由引理 2. 2 可证得.pp - 1Xx s - t - 1 i = 1s - i j 参考文献 : 1 HAMMONS A R ,J R P V , KUMAR , et al . The Zlinearity of Kerdock , Preparata , Gothals and related codesJ . IEEE Trans Inform Theory , 1994 , 4 40 :3012319 . 2 BRAM VAN ASCH , HENK C A ,VAN TIBORG. Two“dual”Families of nearly2linearly codes over Z, p oddJ . Applicable Algebra in Engineering p Communication and Computing , 2001 ,11 :3132329 . 2 3 GRAHAM H. NORTO ,ANA SǎLǎGEAN. On the Structure of Linear and Cyclic Codes over a Finite Chain RingJ . Applicable Algebra in Engineer ing Communication and Computing ,2000 ,10 :4892506 . sA MacWill ia ms Relation of L inear Codes and Their Dual Codes over Z p DON G Xue2dong , DON G J i u2xia ng , ZHAN G Ya n , CAO Mi ng ( )School of Mathematics , Liaoning Normal University , Dalian 116029 , China Ab stract :Asch et al . gave a kind of MacWilliams relation of the symmetrized weight enumerator for a linear code 2 and its dual code , where p is an odd prime . In this paper we generalize the result of Asch et al . to linear over Z p s codes over Z,where p is an odd prime and s ?2 .p Key wo rd s :linear codes ; weight enumerator ; MacWilliams realtion 学术论文参考文献的著录 ( 依据国家标准 ,凡科学研究 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 或论文都要列出文后参考文献 ,一般每篇文章应不少于 3 条 综述 ) 性论文除外. 所列文献应是作者直接参阅过的. () 《辽宁师范大学学报》自然科学版采用顺序编码制 ,即在正文中按引用文献的先后用阿拉伯数字 外加方括号[ ]标注序号. 参考文献著录执行 GB/ T 7714 - 1987 ,要求做到项目齐全 、著录符号正确. 几种常用的文献著录格式 及符号如下 : () () ) (期刊 [ 序号 ] 作者. 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 名J . 刊名 ,年 ,卷 期:起止页码. 如期刊不设卷 ,则为“年 期:页码. ” () 图 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf [ 序号 ] 作者. 书名M . 版本 第一版不注. 出版地 :出版省 ,年. 页码. 论文集 [ 序号 ] 析出作者. 析出题名 A . 文集责任者. 文集名 C . 出版地 : 出版者 , 年. 析出 页码. () 报纸 [ 序号 ] 作者. 题名N . 报纸名 ,出版日期 版次. ) (电子文献 [ 序号 ] 作者. 题名[ 文献类型标志 引用日期 ] 更新日期. 获取或访问路径.