基本不等式及应用 - 饶平二中!!

基本不等式及应用 - 饶平二中!! 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 (三)基本不等式及应用 一、知识归纳: 1(基本不等式: a，b,ab?，(当且仅当时，取等号) a,0,b,0a,b2 a，bab2(),ab，,2变形:，， a，b,2ab2ba 22?重要不等式:如果，则(当且仅当时，取“”号) ,a,b,Ra,ba，b,2ab2(最值问题: 已知是正数， x,y ?如果积是定值P，则当时，和有最小值; x，y2Pxyx,y 12S?如果和是定值S，则当时，积有最大值. x，yx,yxy4 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立， 以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。 x，yxy3(称为的算术平均数，称为的几何平均数。 x,yx,y2 二、学习要点: 1(掌握基本不等式的结构特点，利用基本不等式可以求涉及和、积结构的代数式的最值， 难点在于定值的确定。 2(基本不等式的应用在于“定和求积、定积求和”。必要时可以通过变形(拆补)、运算(指、 对数等)构造定值。 3(只有在满足“一正、二定、三等”条件下，才能取到最值。 4(基本不等式的主要应用有:求最值、证明不等式、解决实际问题。 三、例题分析: 42，3x，例1(已知，则的最大值是________. x,0x 例2(已知，且， x,0,y,02x，8y,xy,0 x，y求(1)的最小值;(2)的最小值。 xy 例3(求下列函数的最小值 2x，7x，10y,(x,,1)(1) x，1 基本不等式及应用 第1页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 (2)已知，且求的最大值及相应的x，y的值。 x,0,y,03x，4y,12,lgx，lgy 2例4(某村 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左(右两侧与m 后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多mm 少时,蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少 四、练习题: (一)、选择题: ab 1(设，且，则的最小值是 a，b,3a,b,R2，2 4222A(6 B( C( D( 262(下列不等式中恒成立的是 2214x，2x，4x，,22,3x,,2,2,2A( B( C( D( 22xxx，5x，2 3(下列结论正确的是 11 A(当 B( x,0且x,1时,lgx，,2当x,0时,x，,2lgxx 11当x,2时,x，0,x,2时,x, C(的最小值为2 D(当无最大值 xx 14(x，y)(，)4(若是正实数， 则的最小值为 x,yxy A(6 B( 9 C( 12 D( 15 a、bab,a，b，3a，b5(若正数满足，则的取值范围是 A( ,( C( D( [9,，,)[6,，,)(0,9](0,6) 基本不等式及应用 第2页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 26(设，且，则x的取值范围是 y,R4y，4xy，x，6,0 A( B( C(或 D(或 ,3,x,3,2,x,3x,,2x,3x,,3x,27(下列函数中最小值是4的是 44y,sinx，y,x， A( B( xsinx 121，x1,xy,x，，3,x,0C( D( y,2，22x，1 xx8(若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是 9，(4，a),3，4,0 A( B( C( D( (,,,,8],[0,，,)(,,,,4](,8,4](,,,,8] 229(若直线过圆的圆心，则的最2ax,by，2,0(a,0,b,0)abx，y，2x,4y，1,0大值是 11A( B( C( D( 1242 22a,2a，1,a，4a,2p,q,210(已知，，则 a,2a,2 A( B( C( D( p,qp,qp,qp,q(二)、填空题: logm，logn11(点在直线位于第一象限内的图象上运动，则的最大值(m,n)x，y,122是____________. 1y,log(x，，5)(x,1)12(函数的最小值是_____________. 3x,1 222213(已知，则的取值范围是__________. ax，bya，b,1,x，y,2 1171ab，,ab,14(已知a,0,b,0，且a，b,1，则下列不等式?;?;4ab4 11，,22?;?。其中正确的序号是________________. a，b,2a2b (三)、解答题: 22a,0,b,0,2a，b,115(已知且，求的最大值。 S,2ab,4a,b 基本不等式及应用 第3页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 2x，a，116(求函数y,的最小值，其中。 a,02x，a 17(经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与y ,920y,(,,0)汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为:。 ,2，3，1600,, (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大,最大车流量为多少,(精, 确到千辆/小时) 0.1 (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内, 18(某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价 20元，求: (1)仓库面积S的最大允许值是多少, (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长, 基本不等式及应用 第4页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 (三)基本不等式及应用 参考 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 三、例题分析: 42，3x，例1(已知，则的最大值是_________. x,02,43x 例2(已知，且， x,0,y,02x，8y,xy,0 求(1)的最小值;(2)的最小值。 x，yxy 82，,1解:(1)由，得， x，8y,xy,0xy 82828 又，则，得， x,0,y,01,，,2,,xy,64xyxyxy 当且仅当时，等号成立。 x,y 8yx, (2)法1:由，得， x，8y,xy,0？x,0？y,2y,2 8y16,(y,2)，，10,18x，y,y， 则 ， y,2y,2 16(y,2),当且仅当，即时，等号成立。 y,6,x,12y,2 82，,1法2:由x，8y,xy,0，得， xy 822x8y2x8y(，),(x，y),10，，,x，y则=。 10，2,,18yxxyyx例3(求下列函数的最小值 2x，7x，10y,(x,,1)(1) x，1 (2)已知x,0,y,0，且3x，4y,12,求lgx，lgy的最大值及相应的x，y的值。 t,x，1？x,,1t,0x,t,1解:(1)换元法，设，，则， 22(t1)7(t1)10,，,，t，5t，44t，，5,4，5,9y,,, 且 ttt 基本不等式及应用 第5页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 4t,当且仅当，即时，等号成立。则函数的最小值是9。 t,2x,1t 113x，4y2xy,(3x)(4y),(),3 (2)由，且得 x,0,y,03x，4y,12,12122 3y, ，当且仅当，即，时， ？lgx，lgy,lgxy,lg33x,4y,6x,22 3y,等号成立。故当，时，的最大值是 x,2lgx，lgylg32 2例4(某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左(右两侧与m 后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多mm 少时,蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少 解:设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S,(a,4)(b,2),ab,4b,2a，8,808,2(a，2b). 2 所以 S,808,42ab,648(m). 2a,2b,即a,40(m),b,20(m)时,S,648(m).当 最大值 答:当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大 2种植面积为648m. 四、练习题: (一)、选择题: B(A(B(B(,( C(C( D( A(A( 解析: 14yx4，14，，，4(解析:x，y为正数，(x+y)()??9，选B. xyxy 26(，得x,,2或x,3，选C ？y,R？,,16x,16(x，6),0 4x,(4，a),3，,48(解:法一:分离变量:，故选D x3 x 法二:设，则原方程有解的条件是方程至少有一个正根。故应分为有一正、一t,3 负根及两个正根两种情形讨论。 x2法三:设，，问题转化为f(t)与x轴的交点至少有一t,3f(t),t，(4，a)t，4 基本不等式及应用 第6页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 ,,0,,个在y轴的右边，由于，则满足题设的充要条件是 f(0),4,4，a,,0,2,(二)、填空题: 11(______12( ____3______.13( ______.14( _????_____. [,2,2],2 (三)、解答题: 2215(已知且，求的最大值。 a,0,b,0,2a，b,1S,2ab,4a,b解: ？a,0,b,0,2a，b,1, 222 ？4a，b,(2a，b),4ab,1,4ab 21ab,且，即， ab,1,2a，b,22ab84 2,122 ,2ab,(1,4ab)？,S,2ab,4a,b,2ab，4ab,12 11a,,b,当且仅当时，等号成立。 42 2x，a，116(求函数y,的最小值，其中。 a,02x，a 12解:?a,0 ?(1)当0,a?1时，y,?2， x，a，2x，a 新疆王新敞奎屯当且仅当x,?时，y,2 1,a最小值 12x，a(2)当a,1时，令,t(t?)，则有y,f(t),t， ， at (t,t)(tt,1)2112设t,t?,1，则f(t),f(t),,0 a2121tt12 a，1新疆王新敞奎屯?[a,，,)f(t)在上是增函数 ?y,f(),，此时x,0 a最小值a综合(1)(2)可知:当0,a?1，x,?时，y,2， 1,a最小值 基本不等式及应用 第7页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 a，1新疆王新敞奎屯当a,1，x,0时，y, 最小值a 17(经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量(千辆/小时)与y ,920y,(,,0)汽车的平均速度(千米/小时)之间的函数关系为:。 ,2，3，1600,, (1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大,最大车流量为多少,(精, 确到千辆/小时) 0.1 (2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内, 18(某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱， 正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价 20元，求: (1)仓库面积S的最大允许值是多少, (2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长, 18(解:设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为 xS,xyy 依题设，，由基本不等式得 40x，2，45y，20xy,3200 3200,240x,90y，20xy,120xy，20xy， ,120S，20S (S,10)(S，6),0S,100，即，故，从而 ？S，6S,160,0S,10 S所以的最大允许值是100平方米， x,15取得此最大值的条件是40x,90y且xy,100，求得，即铁栅的长是15米。 基本不等式及应用 第8页(共9页) 饶平二中 2007高三文科数学第一轮复习 不等式 基本不等式及应用 第9页(共9页)