椭圆的热点问题(一)

椭圆的热点问题（一） 一 离心率 椭圆的第二定义：到一个定点F和到一条定直线L（F不在定直线L上）的距离之比是一个常数e（ ）的点的轨迹是椭圆，这个常数e就称为离心率。 椭圆的离心率e决定了它们的形状特征：e越接近1，则c越接近 ，从而 越小，椭圆越扁；e越接近0，这时椭圆就越接近于圆。 求椭圆离心率或其范围是这一部分的重点题型，也是全国各省高考的热点。下面从几个方面浅谈如何确定椭圆离心率e的值或范围。 求离心率的关键是列出一个与a,b,c,e有关的等式或不等关系.在此,要活用椭圆的特征三角形.常用方法如下： １.利用定义。椭圆的第二定义是与离心率密不可分的,在题目中挖掘这隐含信息有助于解题． ２.利用椭圆的变量范围。椭圆中变量的变化范围对离心率的影响是直接的,充分利用这一点，可优化解题． ３.利用直线与曲线的位置关系。根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的不等式，可迅速解题． ４.利用点与曲线的位置关系。根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一个重要的解题途径． 5.联立方程组。如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式并求其解． 6.三角函数的有界性。用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易解． 7.用根的判别式根据条件建立与ａ、ｂ、ｃ相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等式，可得简解 8.构造关于e的方程求解. 9.数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线形和圆。因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用平面几何的性质简化计算。 （一） 椭圆离心率的值的求法举例： 例 1、点P（-3，1）在椭圆 （ ）的左准线上，过点 且方向为 的光线，经直线 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（  ） A           B             C           D 解：由题意知，入射光线为 ，关于 的反射光线（对称关系）为 ，则 解得 ， ，则 ，故选A 例2、与底面成 角的平面截圆柱侧面得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（    ） A      B      C      D  以上都不是 解：椭圆的短轴长为圆柱底面圆的直径。弄清了这一概念， 考虑到椭圆所在平面与底面成 角，则离心率 ； 故选A 变式练习1：设椭圆的两个焦点分别为 、 ，过 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 ，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。 解： 例3：已知椭圆 ，F1,F2是椭圆左右两个焦点，以F1F2 为边做正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，求椭圆离心率。（ ） 变式练习1：已知椭圆 ，A是左顶点，F是椭圆右焦点，B是短轴的一个顶点， ，求椭圆离心率。  （ ） 变式练习2：如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，求椭圆的离心率  （        ） 解：以AD所在直线为X轴，AD中点为坐标原点建立坐标系。设正六边形的边长为r，则椭圆的半焦距 ，易知ΔAOF为等边三角形，∴F（ ，代入椭圆方程 中，得： ，∴ ，即： ， 又 法二：如图，连结AE，易知 ，设 ，由椭圆定义， 有： ， ， ∴ 例4：已知椭圆 的两焦点为F1(-c,0),F2(c,0),P是以 为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠ =5∠ ，求椭圆离心率e。  解： 为直径的圆与椭圆的一个交点， ∠ +∠ = 又∠ =5∠         ∴∠ = ，∠ =   设：   由正弦定理可得： ① 又      ②  把①代入②得： ③    又  ∵   ④    把①③代入④得： 例5、椭圆 过左焦点F1且倾斜角为 的直线 交椭圆于A,B两点，若 ，求椭圆离心率e。 解：设L为椭圆的准线，分别过A、B作 ⊥L , ⊥L于 ,过B作BM⊥ 于M，设 则   ∵直线AB的倾斜角为 。 ∴∠ABM=     ∴AM= 又由椭圆的第二定义知：   ∵ ∴       例6：椭圆 的左焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与椭圆交于A、B两点且F分 的比为 ，求椭圆的离心率e。 解：如图：过A、B两点分别作椭圆准线的垂线，垂足分别是 ,过B作 的垂线，垂足为M，有题意可设 ∵直线AB的倾斜角为 ∴ ∴ ，    ∴ 变式训练1：过点 作斜率为 的直线与椭圆 ： 相交于 ，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率为          答案 变式训:2：如图，在平面直角坐标系xOy中， 分别是椭圆 的左、右焦点，顶点B的坐标为 ，连结 并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结 ． （1）若点C的坐标为 ，且 ，求椭圆的方程； （2）若 ，求椭圆离心率e的值． 解析：（1）∵ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ∴椭圆方程为 （2）设焦点 ∵ 关于x轴对称，∴ ∵ 三点共线，∴ ，即 ① ∵ ，∴ ，即 ② ①②联立方程组，解得   ∴ ∵C在椭圆上，∴ ， 化简得 ，∴ ,  故离心率为 （二）椭圆离心率的范围的求法举例： 例1:已知椭圆的方程 ，F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点 若 ，求椭圆离心率的取值范围。 解：设： 由余弦定理得： ∴   又   ∴ ∴椭圆离心率的取值范围 变式练习：已知F1,F2是椭圆 的两个焦点，若满足 的点 总在椭圆的内部，求椭圆离心率的取值范围；          例2：已知椭圆 的两焦点为F1(-c,0),F2(c,0),P是直线 上的一点， 的垂直平分线恰过 点，求椭圆离心率的取值范围。 解：设 是 的中点，MN⊥ 于M，则M点            的横坐标为   ， 的横坐标为 ∴ 即椭圆离心率的取值范围是 例6已知A、B是椭圆 长轴的两个端点，如果椭圆上存在一点Q，使∠AQB=120°，求椭圆离心率的取值范围. 解：设∠AQB= ，Q（m，n）由椭圆的对称性，只用考虑 的情况 因为点Q在椭圆上，所以   ※ 又 而 把※式代入上式消去m，并整理得： 把 代入并解出 得：   ∵ ∴ 把 代入并整理得 又     即椭圆离心率的取值范围是 。 另解：因为椭圆上存在点Q使得∠AQB=120°所以 把 代入即得椭圆离心率的取值范围是 例7：椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若存在过椭圆左焦点 的直线 交椭圆于P、Q两点，使得OP⊥OQ，则椭圆离心率的取值范围为        解：设椭圆方程为 ，F(－c，0)，c＝ 直线l的方程为x＝ky－c P(x1，y1)，Q(x2，y2) ∴ ∴x1x2＝k2y1y2－kc(y1＋y2)＋c2＝ ＝ ∵OP⊥OQ ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴k2＝ ∵k2＞0，∴2a2c2－a2b2＞0 ∴2c2－a2＋c2＞0 ∴3e2＞a2 ∴e2＞ 又∵e＜1 ∴椭圆的离心率取值范围是 。 例8：椭圆 上有点 ，使得∠OPA=90°（点A是椭圆的右端点）, 求椭圆的离心率的取值范围. 解：因为 ，所以 即 …….① …….② 由①②得： 分解因式得 有一个根 此时和A点重合，舍去。所以 ，这就是点P的横坐标. 所以 ， 把 代入并解得 。 因此椭圆的离心率的取值范围是 例9：已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），两个焦点分别为F1和F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，设l与y轴交点为P，线段PF2的中点恰为B. 若｜k｜≤ ，求椭圆C的离心率的取值范围； 解：设右焦点F2（c，0），则l：y=k（x－c）. 令x=0，则y=－ck，∴P（0，－ck）. ∵B为F2P的中点，∴B（ ，－ ）. ∵B在椭圆上，∴ ＋ ＝1. ∴k2＝ · ＝（ －1）（4－e2） ＝ ＋e2－5. ∵｜k｜≤ ，∴ ＋e2－5≤ . ∴（5e2－4）（e2－5）≤0. ∴ ≤e2＜1.∴ ≤e＜1． 变式训练：已知 是椭圆和双曲线的公共焦点， 是他们的一个公共点，且 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（    ） A.   B.     C.3    D.2                      答案：A 二 定值问题 例1椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)． (1)求证： ＋ 等于定值； (2)若椭圆的离心率e∈ ，求椭圆长轴长的取值范围． (1)证明：　由 消去y， 得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，① ∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0， 即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0?a2b2(a2＋b2－1)＞0， ∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1 、x2是方程①的两实根． ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝ .② 由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0， 又y1＝1－x1，y2＝1－x2， 得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③ 式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④ ∴ ＋ ＝2. (2)解　利用(1)的结论，将a表示为e的函数 由e＝ ?b2＝a2－a2e2， 代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0. ∴a2＝ ＝ ＋ . ∵ ≤e≤ ，∴ ≤a2≤ . ∵a＞0，∴ ≤a≤ . ∴长轴长的取值范围是[ ， ]． 例2：已知椭圆 ＋ ＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F为圆x2＋y2＋2x＝0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为 －1. (1)求椭圆方程； (2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M ，证明： · 为定值． 解　(1)化圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程为(x＋1)2＋y2＝1， 则圆心为(－1,0)，半径r＝1，所以椭圆的半焦距c＝1. 又椭圆上的点到点F的距离最小值为 －1，所以a－c＝ －1，即a＝ . 故所求椭圆的方程为 ＋y2＝1. (2)①当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝－1. 可求得A ，B . 此时， · ＝ · ＝－ . ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)， 由 得(1＋2k2)x2＋4k2x＋2k2－2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ . 因为 · ＝ · ＝ ＋y1y2 ＝x1x2＋ (x1＋x2)＋ 2＋k(x1＋1)·k(x2＋1) ＝(1＋k2)x1x2＋ (x1＋x2)＋k2＋ ＝(1＋k2)· ＋ ＋k2＋