二元函数的极值与最值

二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下: 1(二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断 是否是极值点;对于驻点可用极值的充分条件判定。 (x,y)(2)二元函数取得极值的必要条件: 设在点处可微分且在z,f(x,y)00(x,y)f'(x,y),0(x,y)点处有极值，则，，即是驻点。 f'(x,y),000x0000y00 (x,y)(3) 二元函数取得极值的充分条件:设在的某个领域内有z,f(x,y)00 f'(x,y),f'(x,y),A连续上二阶偏导数，且，令，f'(x,y),0x00xx00y00f'(x,y),B，，则 f'(x,y),Cxy00yy00 2(x,y)当且 A<0时，f为极大值; B,AC,000 2(x,y)当且A>0，f为极小值; B,AC,000 2(x,y)时，不是极值点。 B,AC,000 2(x,y)注意: 当B,AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有00极值，需另行讨论 32 例1 求函数z = x + y,2xy的极值( 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数: 222,z,z,z,z,z2,,2,2y,2x,6x，(, , ( ,3x,2y,222,x,y,y,x,x,y 2,3x,2y,0,,z,z再求函数的驻点(令= 0，= 0，得方程组 ,,y,x2y,2x,0., 22求得驻点(0，0)、( (，)33 利用定理2对驻点进行讨论: 2(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =,2， C = 2，B,AC0,故(0, 0)不是函数, z = f(x, y) 的极值点( 222(2)对驻点，由于A =4, B =,2，C = 2,B,AC =,40, 且A0,则 ,,(，)33 224f(，),, 为函数的一个极小值( 3327 222x,6xy，10y,2yz,z，18,0例2:(2004数学一)设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值. z,z(x,y) 【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。 222x,6xy，10y,2yz,z，18,0【解】 因为 ，所以 ,z,z ， 2x,6y,2y,2z,0,x,x ,z,z,6x，20y,2z,2y,2z,0 . ,y,y ,z,,0,,x,3y,0,,,,x令 得 ,,,z,3x，10y,z,0,,,0,,,y, x,3y,,故 ,z,y., 222x,6xy，10y,2yz,z，18,0将上式代入，可得 x,9,x,,9,,, ,, y,3, 或 y,,3, ,, ,,z,3z,,3.,, 22,z,z,z22,2y,2(),2z,0由于 ， 22,x,x,x 22,z,z,z,z,z,6,2,2y,2,,2z,0, ,x,x,y,y,x,x,y 22,z,z,z,z,z2 ， 20,2,2,2y,2(),2z,022,y,y,y,y,y 222,z115,z,zB,,,A,,所以 ，，， C,,22(9,3,3)(9,3,3)(9,3,3),x,y26,x3,y 112故，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为AC,B,,0A,,0636 z(9,3)=3. 类似地，由 222,z1z1z5,,B,,A,,, ，，， C,,,22(,9,,3,,3)(,9,,3,,3)(,9,,3,,3),x,y26x,3y, 112可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大AC,B,,0A,,,0366 值为 z(-9, -3)= -3. 【评注】 本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时 应注意x,y,z满足原方程。 2(二元函数的条件极值 (x,y)f(x,y),,(x,y)在点拉格朗日数乘法:设某领域内有连续偏导数，引入辅助函数 00 F(x,y,,),f(x,y)，,,(x,y) 解联立方程组 ,F,,,,f'(x,y)，'(x,y),0xx,,x,,F,,, ,f'(x,y)，'(x,y),0,yy,y, ,(x,y),0,,, (x,y)得可能是在条件下的极值点 z,f(x,y),(x,y),000 例3经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的(1,1,1) 体积最小(并求此最小体积( 【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。 【解】设所求平面方程为 xyz ( ，，,1,(a,0,b,0,c,0)abc 因为平面过点，所以该点坐标满足此平面方程，即有 (1,1,1) 111 ( (1) ，，,1abc 设所求平面与三个坐标平面所围立体的体积为V， 则 1( (2) V,abc6 原问题化为求目标函数(2)在约束条件(1)下的最小值(作拉格朗日函数 1111( L(a,b,c),abc，,(，，,1)6abc求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组: ,1,bc,,0,2,6a,,1,ac,,0, ,26b,,1,ab,,0.2,6c, 由此方程组和(9)解得a = b = c = 3( 由于最小体积一定存在(又函数有惟一的驻点(故a = b = c = 3为所求(即 平面 x + y + z = 3( 与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小(最小体积为 193 V,，3,.min62 R例4 某公司通过电台及报纸两种方式做销售广告，收入万元与电视广告费万x元及报纸广告费y万元之间的关系为: 22R,15，14x，32y,8xy,2x,10y( ? 在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略; ? 若提供的广告费用为总额1(5万元，求相应最佳广告策略( 【解】? 利润函数为 22,15，13x，31y,8xy,2x,10y， L(x,y),R,(x，y) ，得方程组: 求函数L的各个偏导数，并令它们为0 ,L,,13,8y,4x,0,,,,x ,,L,31,8x,20y,0.,,,y, 解得，(则为惟一的驻点( L(x,y)y,1.25(0.75,1.25)x,0.75 又由题意，可导且一定存在最大值，故最大值必在这惟一的驻点处L(x,y) 达到(所以最大利润为万元( L(0.75,1.25),39.25 因此，当电视广告费与报纸广告费分别为万元和万元时，最大利0.751.25润为万元，此即为最佳广告策略( 39.25 ? 求广告费用为1(5万元的条件下的最佳广告策略，即为在约束条件 下， 求的最大值(作拉格朗日函数 x，y,1.5L(x,y) F(x,y),L(x,y)，,,(x,y) 22,15，13x，31y,8xy,2x,10y，,(x，y,1.5)( 求函数的各个偏导数，并令它们为0，得方程组: F(x,y) ,F,,,13,8,4，,0,yx,,,x ,,F,31,8x,20y，,,0.,,,y, 并和条件联立解得，(这是惟一的驻点，又由题意，x，y,1.5y,1.5x,0 一定存在最大值，故万元为最大值( L(x,y)L(0,1.5),39 【评注】 本题也可由，解得，代入目标函数转换成一元函x，y,1.5y,1.5,x 数求解。 3(二元函数的最值 二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。 2222fxyxyxy(,)2,，,例5:(2007数学一)求函数在区域D上的最大值和最小 22Dxyxyy,，,,{(,)4,0}值，其中: 。 【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。 22,,fxyxxy(,)22,,【详解】 因为 ，，解方程: fxyyxy(,)42,,xy 2,,fxxy,,,220,,x(2,1), 得开区域内的可能极值点为. ,2,fyxy,,,420,y, f(2,1)2.,,其对应函数值为 2fxyx(,),又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0. ,,,22x 22xyyx，,,,,,4,0,22当，构造拉格朗日函数 222222Fxyxyxyxy(,,)2(4),,,，,，，, 2,,Fxxyx,,，,2220,,x53,2,(0,2),(,),解方程组 得可能极值点:，其对Fyxyy,,，,4220,,,y2222,,Fxy,，,,40,,, 537ff(0,2)8,(,).,,,应函数值为 224 7比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0. 2,0,4,8,4 2222xyyx，,,,,,4,0,22y,4,x【评注】当，代入目标函数转换成一元函数求解更简单。 例3(:2005数学二)已知函数z=f(x,y) 的全微分dz,2xdx,2ydy，并且f(1,1,)=2. 2y2求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值. D,{(x,y)x，,1}4 ,f,f,,2y【解】 由题设，知 ，， ,2x,y,x 22,f(x,y),x，C(y)C(y),,y，C于是 ，且 ，从而 ， C(y),,2y 22f(x,y),x,y，2.再由f(1,1)=2，得 C=2, 故 (下略)