数学建模-人口增长模型

数学建模-人口增长模型 数学建模 人口增长模型 姓名 李伟东 班级 物联网21 学号 2120509011 数学建模 李伟东 人口增长模型 摘要 本文根据某地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2010年的人口数量。 首先，通过直观观察人口的变化规律后，我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得 人口数为333.8668百万。 到模型的具体参数，从而可以预测2010年的 然后，我们发现从1980年开始该地区的人口增长明显变慢，于是我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降，从而我们建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为296.3865。 关键字:人口预报，二次函数模型，阻滞增长模型 问题重述: 表1 该地区人口统计数据 年 份 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 年 份 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 人口 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 年 份 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3 问题分析 Matlab首先，我们运用软件[1]编程(见附件1)，绘制出1800年到2000年的人口数据图，如图1。 x=1800:10:2000; y=[7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3]; figure; 1 数学建模 李伟东 plot(x,y,'r*'); 300 250 200 150 100 50 018001820184018601880190019201940196019802000 图1 1800年到2000年的人口数据图 从图1我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且类似二次函数增长。 所以我们可以建立了一个二次函数模型，并用最小二乘法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数。 随着人口数的增加，人口的增长速度会慢慢下降,从而我们可以建立一个阻滞增长模型。 模型建立 符号说明 x(t) 时刻的人口数量 t 初始时刻的人口数量 x0 人口增长率 r x 环境所能容纳的最大人口数量，即 r(x),0mm 模型一:二次函数模型 x(t)我们假设该地区时刻的人口数量的人口数量是时间的二次函数，即: tt 2 数学建模 李伟东 2 xtatbtc(),，， 我们可以根据最小二乘法，利用已有数据拟合得到具体参数。即，要求、和ba，使得以下函数达到最小值: c n22Eabcatbtcx(,,)(),，，, ,iii,1i 其中是时刻该地区的人口数，即有:xtii 2222 E(a,b,c),(a,1800，b,1800，c,7.2)，...，a,2000，b,2000，c,280.3) ,,,EEE令，可以得到三个关于、和的一次方程，从而可b,,,0,0,0ac,,,abc 解得、和。 bac 我们用Matlab编程(见附件2)，解得0.006018，b,,21.357,c,18948，a, 即: 2 x(t),0.006018t,21.357t，18948 x(2010),333.8668从而我们可以预测2010年的人口数为百万。 x=1800:10:2000; y=[7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3]; plot(x,y,'r*'); % 画点，红色 hold on; % 使得以下图形画在同一个窗口 p = polyfit(x,y,2) % 多项式拟合，返回系数p xn = 1800:5:2010; % 定义新的横坐标 yn = polyval(p,xn); % 估计多项式p的函数值 plot(xn,yn) % 把(x,yn)定义的数据点依次连起来 % 给图形加上图例 xlabel('年份'); ylabel('人口数'); legend('原始数据','拟合函数',2); box on; grid on; x1=2010; 3 数学建模 李伟东 y1 = polyval(p,x1) % 估计多项式p在未知点的函数值 350 原始数据 拟合函数300 250 200 人口数150 100 50 0180018501900195020002050 年份 图2 二次函数模型的拟合效果图 图2是所得到的二次函数模型和原数据点的拟合效果图。 从图2可以看出拟合的效果在1950年之前还可以，但是对后期的数据拟合的不好。 模型二:阻滞增长模型 我们假设人口增长率是人口数的线性减函数，即随着人口数的增加，人rx 口增长速度会慢慢下降: rxrsx(),,0 人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数，当时，增长率为0: xx,xmm rsx,,00m 由上面的关系式可得出: ,,x ()1rxr,,,,0xm,, x(1800),7.2把上式代进指数增长模型的方程中，并利用初始条件，可以得到: 4 数学建模 李伟东 ,,,dxx,,rx,1,,0,, dtx,m,, ,x(1800),7.2, 解得: xmx(t), 10x,,,r(t,1800)m11e，,,,72,, 我们可以利用已有数据拟合求解得(程序见附件4): , -0.027958。 x,334.36r,m x(2010),296.3865可以预测2010年的人口数为百万。 clc; % 清屏幕 clear; % 清除以前的变量 (t,y) % 数据点 t=1800:10:2000; y=[7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3]; plot(t,y,'b*'); % 定义需要拟合的函数类型myfun(a,t)，a是参数列表,t是变量 myfun = @(a,t)[a(1)./(1+(a(1)./7.2-1)*exp(a(2)*(t-1800)))]; a0=[500,1]; % 初始值 % 非线性拟合.最重要的函数，第1个参数是以上定义的函数名，第2个参数是初值，第3、4个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit(myfun,a0,t,y); disp(['a=' num2str(a)]); % 显示得到的参数 % 画出拟合得到的函数的图形 ti=1800:10:2010; yi=myfun(a,ti); hold on; plot(ti,yi,'r'); % 给图形加上图例 xlabel('年份'); ylabel('人口数'); 5 数学建模 李伟东 legend('原始数据','拟合函数',2); box on; grid on; tn=2010; % 预测在未知点的函数值 yn=myfun(a,tn); disp(['yn=' num2str(yn)]); % 显示得到的参数 300 原始数据 拟合函数 250 200 150 人口数 100 50 0180018501900195020002050 年份 图4 阻滞增长模型的拟合效果图 从图4我们可以看出我们的模型对该地区的人口数据拟合得很好。可以看出阻滞增长模型更客观地反映人口的增长规律，基本上都在拟合曲线上，拟合效果好，特别是后期的数据非常的吻合，所以次模型对未来的人口数预测是很适合的，结果更准确，对未来的预测比指数增长模型更为优越。 参考文献 [1] 周义仓 赫孝良. 数学建模实验, 西安交通大学出版社, 2007年。 6 数学建模 李伟东 7